Ficha de matemática 12ano, Exercícios de Matemática

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Ficha de preparação

para o exame de

MATEMÁTICA A

RESOLUÇÕES

Daniela Raposo

Luzia Gomes

• Para^ cada^ resposta,^ identifique^ o^ item.
• Utilize^ apenas^ caneta^ ou^ esferográfica^ de^ tinta azul ou preta.
• Não^ é^ permitido^ o^ uso^ de^ corretor.^ Risque^ aquilo que pretende que não seja classificado.
• É^ permitido^ o^ uso^ de^ régua,^ compasso,^ esquadro, transferidor e calculadora gráfica.
• Apresente^ apenas^ uma^ resposta^ para^ cada^ item.
• A^ ficha^ inclui^ um^ formulário.
• Nas^ respostas^ aos^ itens^ de^ escolha^ múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.
• Nas^ respostas^ aos^ restantes^ itens,^ apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.

Ficha de Preparação para o Exame de Matemática A, 2026

Retirado de Exame Nacional de Matemática A, 2025

2 Ficha de Preparação para o Exame de Matemática A, 2026

Ficha de Preparação para o Exame de Matemática A, 2026

Os dois itens que se apresentam a seguir são itens em alternativa. O item 1 .1 integra-se nas Aprendizagens Essenciais (AE) de Matemática A, de 10.º, 11.º e 12.º anos, homologadas em 201 8 (AE 2018 ). O item 1 .2 integra-se nas Aprendizagens Essenciais de Matemática A, homologadas em 2023 (AE 2023 ). Responda apenas a um dos dois itens. Na sua folha de respostas, identifique claramente o item selecionado.

1

1. 1 Expoente 12 , volume 3, página 94 AE 2018

2. 2 Domínio 11 , volume 2, página 9 (^2) AE 2023

O valor de lim 1 + 3 n^ é: (A) 3 √√∫ e (B) e (C) e^3 (D) 1

1 n

hi j

hi (^1) j

hi j

hi j

GeoGebra: Exercício 4

20 O valor da soma 1 + ^1 √ 2 + 12 + … + (^1 √ 2 ) n + … é:

(A)ɍʤʳɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍɍ(B) 0 (C) √ 2 + 2 (D) √ 2 – 1

2 Domínio 12 , volume 2, página 196

27 Considera a função f definida por:

f ( x ) =

x + tg x x se^ x^ <^0 ( x + 1 ) e – x^ se x ɍʬɍǣ a) Estuda a função f quanto à continuidade no ponto de abcissa 0. b) Estuda a função f quanto à monotonia em R+.

4 Ficha de Preparação para o Exame de Matemática A, 2026

Os dois itens que se apresentam a seguir são itens em alternativa. O item 3 .1 integra-se nas Aprendizagens Essenciais (AE) de Matemática A, de 10 .º, 11 .º e 12 .º anos, homologadas em 201 8 (AE 2018 ). O item 3 .2 integra-se nas Aprendizagens Essenciais de Matemática A, homologadas em 2023 (AE 2023 ). Responda apenas a um dos dois itens. Na sua folha de respostas, identifique claramente o item selecionado.

√∫

hi j

hi j

hi j

hi j

hi j hi j

hi j

hi j

hi j hi j

Na figura está representado um triângulo inscrito numa circunferência de centro O e raio igual a 1. Um dos lados do triângulo é um diâmetro da circunferência.

Qual das expressões seguintes representa, em função de x , a área da parte a sombreado? (A) p – sen(2 x ) (B) p – 2 sen(2 x ) (C) – sen(2 x ) (D) p –

x O

p 2

sen(2 x ) 4

4

3

(^6) Considera uma variável aleatória X , que segue uma distribuição normal de valor médio 11. Se P ɧǤǣɍʭɍ X ɍʭɍǤǥɨɍʨɍǣɓǥɓɍſƖéŋɍČéƇɍƇēĩƖijœƐēƇɍéĨijƀŒéĉźēƇɍĔɍœēĆēƇƇéƀijéŒēœƐēɍưēƀČéČēijƀéə (A) P ( X < 12 ) > P ( X > 9 ) (B) P ɧǬɍʭɍ X ɍʭɍǤǤɨɍʨɍǣɓǥ (C) P ɧǬɍʭɍ X ɍʭɍǤǦɨɍʨɍǣɓǧ (D) P ( X ɍʭɍǤǣɍ∨ X ɍʬɍǤǥɨɍʨɍǣɓǫ

Dominio 12_Tema 2_092_231_3.indd 205 19/02/26 15

AE 2018 Expoente 12 , volume 2 , página 134 3. 1

AE 2023 Domínio 12 , volume 1 , página 205 3. 2

Ficha de Preparação para o Exame de Matemática A, 2026 5

Domínio 12 , volume 3 , página 138 6 Domínio 12 , volume 1 , página 205 7

3. Na tabela apresentam-se os dados relativos à esperança de vida à nascença, por sexo, em seis

anos pertencentes ao período 199 5- 2020. Anos Esperan hçoam^ deens^ vid (aan^ ào^ sn) a( x sc)ença^ –^ Espera mnçulah^ deer^ evsid (aa^ nào^ ns)a (s y c)ença^ – 1995 2000 2005 2010 2015 2020 71 , 72 , 4 74 , 4 76 , 2 77, 4 78 , 78 , 4 79 , 4 80 , 9 82 , 2 8 3, 2 8 3, Fonte: PORDATA (consultado em junho de 2025 ) Completa o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela anterior. Escreve, na folha de respostas, apenas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção, a), b) ou c), selecionada. A cada espaço corresponde uma só opção. A mediana da esperança de vida à nascença dos homens é I^ anos e a amplitude interquar- til é II^ anos. Em 2020 , a diferença percentual entre a esperança de vida à nascença das mulheres e a espe- rança de vida à nascença dos homens, com aproximação às décimas, é igual a III. Com base nos dados da tabela, obteve-se um modelo de regressão linear de y sobre x. A equa- ção da reta de regressão, com os valores de a e de b arredondados às milésimas, é IV. I a) 72 , 4 b) 75, 03 c) 75, II III IV a) 4 b) 5 c) 6 a) 6 , 9 % b) 7, 2 % c) 9 , 1 % a) y = 0 ,77 1 x + 2 3, 422 b) y = 1 , 292 x – 3 0 , 009 c) y = 1 , 013 x + 1 3, 402 Exame_128_158_2.indd 138 11/03/26 15: 4 Considera todos os números naturais de sete algarismos que se podem escrever utilizando dois algarismos 5, um algarismo 6 , três algarismos 8 e um algarismo 0. Escolhendo um desses números ao acaso, determina a probabilidade de o número escolhido ser múltiplo de 5 e menor que oito milhões. Apresenta o resultado na forma de fração irredutível. Ficha de Preparação para o Exame de Matemática A, 2026 7

Ficha de Preparação para o Exame de Matemática A, 2026

8 Domínio 11 , volume 1 , página 187

9 Domínio^12 ,^ volume^1 ,^ página 89

10 Domínio 12 , volume 3 , página 141

13 Na figura está representada, num referencial o.n. Oxy , a circun- ferência de equação ( x – 1 )Ȅ^ + ( y + 2)Ȅ^ = 16. Sabe-se que:

• C é o centro da circunferência;
• A e B são dois pontos da circunferência;
• o arco de circunferência AB tem comprimento 103 /. Determina o valor do produto escalar C ≥ A.^ B ≥ C.

Dominio 11_Tema 2_126_218_38.indd 187

A O

B

C^103 π

y

x

Dominio 11_Tema 2_126_218_38.indd 187 13/

10. Considera, em C, os números complexos:

z 1 = 3 i ȃȉ^ e z 2 = 21 – +^ ii Seja w = √ 2 k e i^

34 / , k ∈R. Determina o valor de k para o qual o afixo de w é equidistante do afixo de z 1 e do afixo de z 2.

1. Na figura estão representados, no plano complexo, os afixos de cinco números complexos.

O

Z

C

D

A

B Re( z )

Im( z )

Sabe-se que:

• os pontos A e C pertencem, respetivamente, ao 2 .o^ e 3.o^ quadrantes;
• o ponto B pertence ao semieixo real negativo;
• o ponto D pertence ao semieixo real positivo;
• o ponto Z pertence ao 1 o.^ quadrante e é o afixo de um número complexo z tal que Im( z ) = √ 3 Re( z ). Qual dos pontos seguintes pode ser o afixo do número complexo z ȅ? (A) A (B) B (C) C (D) D

8 Ficha de Preparação para o Exame de Matemática A, 2026

Ficha de Preparação para o Exame de Matemática A, 2026

13 Domínio 12 , volume 2 , página 75

14 Domínio 12 , volume 2 , página 179

8 Seja f uma função, de domínio R, definida por f ( x ) = ex^ + 12 e – x^ – 1 e seja g uma função, de domínio R{ 0 }, definida por g ( x ) = 2 – log 2 ( x Ȅ).

Dominio 12_Tema 3_001_215_50.indd 75

c) Determina, sem recorrer à calculadora, o conjunto dos números reais que são solução da equação f ( x ) = g hij– 14 hij.

Dominio 12_Tema 3_001_215_50.indd 75

115 Considera, num referencial o.n. Oxy :

• a curva C , que representa graficamente a função f , de domínio [ 0 , 1 ], definida por f ( x ) = 5 x^ + 5 x ;
• a reta r de equação y = 5. a) Sem recorrer à calculadora, justifica que a reta r interseta a curva C em pelo menos um ponto.

15 Domínio 12 , volume 2 , página 201

13 Seja f uma função, de domínio R, diferenciável e contínua, tal que:

• (^) x limAɍʤʳ ( f ( x ) + x ) = 4 ;
• (^) x lim A – 2 ( f ( x )) x ȄȄɍʤɍȆ (^) – 4 f ( x )× (^) x limAɍʤʳ^ f ( xx )= – 2 ;
• o ponto de coordenadas (– 2 , –4) pertence ao gráfico da função. Considera as proposições. I. A reta de equação y = 4 é assíntota ao gráfico de f quando x "ɍʤʳɒ II. A reta de equação y = – 2 x – 8 é tangente ao gráfico de f em x = – 2. Justifica que as proposições I e II são falsas. Na tua resposta, apresenta, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

Dominio 12_Tema 3_001_215_50.indd 201

10 Ficha de Preparação para o Exame de Matemática A, 2026

29 Considera um quadrado [ ABCD ], em que A – B = 2. Unindo os pontos médios dos lados desse quadrado, obtém-se um segundo quadrado; unindo os pontos médios dos lados do segundo quadrado, obtém-se um terceiro quadrado. Continuando a proceder deste modo, obtém-se uma sequência de n quadrados, sendo n > 4. Na figura representam-se os primeiros quatro quadrados da sequência. D C

A B Mostra que a soma das áreas dos n quadrados da sequência é menor do que oito unidades de área, qualquer que seja o valor de n.

Vídeo • Como resolve

• Como resolve• Como resolve

CADERN

Dominio 11_Tema 4_054_111_22.indd 93 08/03/25 19

Domínio 11 , volume 2 , página 9 3 16

Exercício 35 A reta de equação y = mx + b interseta a parábola de equação y = ax^2 + c , com a , b , c e m constantes reais em apenas um ponto. Mostra que m^2 = 4 ac – 4 ab.

10_038_149_Tema 4.indd 113

Domínio 10 , volume 2 , página 113 17

Ficha de Preparação para o Exame de Matemática A, 2026 11

Prova 635/1.ª F. x Página 1 / 8

Exame Final Nacional de Matemática A Prova 635 | 1.ª Fase | Ensino Secundário | 2025 12.º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 55/2018, de 6 de julho | Decreto-Lei n.º 62/2023, de 25 de julho

Duração da Prova: 150 minutos. | Tolerância: 30 minutos. 8 Páginas

$ SURYD LQFOXL  LWHQV GHYLGDPHQWH LGHQWL¿FDGRV QR HQXQFLDGR FXMDV UHVSRVWDV FRQWULEXHP REULJDWRULDPHQWHSDUDDFODVVL¿FDomR¿QDO'RVUHVWDQWHVLWHQVGDSURYDDSHQDVFRQWULEXHPSDUDD FODVVL¿FDomR¿QDORVLWHQVFXMDVUHVSRVWDVREWHQKDPPHOKRUSRQWXDomR

3DUDFDGDUHVSRVWDLGHQWLILTXHRLWHP 8WLOL]HDSHQDVFDQHWDRXHVIHURJUiILFDGHWLQWDD]XORXSUHWD 1mRpSHUPLWLGRRXVRGHFRUUHWRU5LVTXHDTXLORTXHSUHWHQGHTXHQmRVHMDFODVVL¿FDGR eSHUPLWLGRRXVRGHUpJXDFRPSDVVRHVTXDGURWUDQVIHULGRUHFDOFXODGRUDJUiILFD $SUHVHQWHDSHQDVXPDUHVSRVWDSDUDFDGDLWHP $VFRWDo}HVGRVLWHQVHQFRQWUDPVHQR¿QDOGRHQXQFLDGRGDSURYD

$SURYDLQFOXLXPIRUPXOiULR 1DVUHVSRVWDVDRVLWHQVGHHVFROKDP~OWLSODVHOHFLRQHDRSomRFRUUHWD(VFUHYDQDIROKDGHUHVSRVWDVR Q~PHURGRLWHPHDOHWUDTXHLGHQWLILFDDRSomRHVFROKLGD 1DVUHVSRVWDVDRVUHVWDQWHVLWHQVDSUHVHQWHWRGRVRVFiOFXORVTXHWLYHUGHHIHWXDUHWRGDVDVMXVWLILFDo}HV QHFHVViULDV4XDQGRSDUDXPUHVXOWDGRQmRpSHGLGDDDSUR[LPDomRDSUHVHQWHVHPSUHRYDORUH[DWR

13

Prova 635/1.ª F. x Página 2 / 8

Formulário

Geometria Comprimento de um arco de circunferência: ar (^) ^ a (^) - amplitude em radianos do , , ângulo ao centro; r - raioh Área de um polígono regular: Semiper metroí (^) # Ap temaó Área de um sector circular: a 2 r (^)^2 ^ a (^) - amplitude em radianos do , , ângulo ao centro; r - raioh

Área lateral de um cone: r r g r ^ (^) - raio da base; g - geratrizh Área de uma superfície esférica: 4 rr^2^ ^ r - raioh Volume de uma pirâmide:^13 # Área da base # Altura Volume de um cone: (^) 31 # Área da base (^) # Altura Volume de uma esfera:^43 r r^3 ^ r - raioh

Progressões Soma dos n primeiros termos de uma progressão _ u (^) n i: Progressão aritmética: u^1^^ + 2 u^ n # n Progressão geométrica: u 1 (^) # 11 - - rrn

Trigonometria sen (^) ] a (^) + b (^) g= sen a cos b (^) +sen b cos a cos (^) ] a (^) + b (^) g= cos a cos b (^) - sen a sen b

Complexos ^ t e i^ i^ h n^ = tn^ eini n (^) t e ii (^) = n (^) te i^ i^ + n^2 kr ^ k!! 0 , f, n (^) - 1 + e n !Nh

Regras de derivação

u u u u u u

sen cos cos sen tg (^) cos

ln ln log (^) ln

u v u v u v u v u v v u v

u v u v u n u u n u u u u u u (^) u e e a a a a u (^) u u (^) u a a

1

1

R

R

R

n n

u u u u

a

2 1

2

!

!

!

• = + = + = - = = = - = = = = =

l l l l (^) l l l l l l (^) l l l l l l l l (^) l l (^) l l l l l

^ ^ ` ^ (^) ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

h h j h (^) h h h h h h h h h h

"

"

,

,

Limites notáveis

3

lim lim sen lim lim ln lim

n e^ n x x

x e

x

x

x

e (^) p

1 1 1 (^1 ) 0

N

R

n

x x

x

x x p

x

0 0

!

!

• = =

• (^) =

= +

" " " "

3 3

b ^

^

l h

h

14

Prova 635/1.ª F. x Página 4 / 8

5. Na tabela seguinte, apresentam-se os dados relativos ao diâmetro biparietal, x , em centímetros, medido

na trigésima quarta semana de gravidez, e ao correspondente perímetro cefálico, y , em centímetros,

medido à nascença, de uma amostra de oito recém-nascidos numa maternidade. Diâmetro biparietal

em cm

( x )

Perímetro cefálico

em cm

( y )

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela. Escreva, na folha de respostas, apenas cada um dos números, I , II , III e IV , seguido da opção, a) , b) ou c) , selecionada. A cada espaço corresponde uma só opção. A mediana dos diâmetros biparietais apresentados excede a respetiva média, arredondada às centésimas, em I^ cm. A amplitude da amostra dos perímetros cefálicos apresentados é II^ cm. O coeficiente de correlação linear entre as variáveis x e y , apresentadas na tabela, arredondado às centésimas, é III^. Admitindo a validade do modelo de regressão linear de y em função de x , e com base nas estimativas dos parâmetros, arredondadas às milésimas, para um recém-nascido, nesta maternidade, cujo diâmetro biparietal na trigésima quarta semana de gravidez tenha sido 8,50 cm , estima-se que o perímetro cefálico à nascença seja, aproximadamente, IV^ cm.

I II III IV

a) 0,

b) 0,

c) 1,

a) 2,

b) 3,

c) 7,

a) 0,

b) 0,

c) 3,

a) 34,

b) 36,

c) 41,

16

Prova 635/1.ª F. x Página 5 / 8

6. O código de um cartão multibanco é uma sequência de quatro algarismos, como, por exemplo, 1526 e

Admita que o código de qualquer cartão multibanco é atribuído ao acaso, com algarismos de 0 a 9.

Determine a probabilidade de o código atribuído a um cartão multibanco ter todos os algarismos diferentes, um dos algarismos ser o zero e a soma dos quatro algarismos ser um número ímpar. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

7. Na Figura 1, estão representados, em referencial o.n. Oxy ,

a circunferência de centro CC , definida pela equação

^ x  11 h 22 ^ yyy 11 h^2  4 , o triângulo [[[ A^ BC ]^ e o ângulo BACC ,

de amplitude a , em radianos, com a !D^0 ,^2 r^ :.

Sabe-se que:

- os pontos A e B pertencem à circunferência; - AB AC 6. Determine, sem recorrer à calculadora, o valor exato do comprimento

do arco AB.

8. Na Figura 2, estão representados, no plano complexo, os afixos de cinco números complexos. Sabe-se que:

- os pontos A e CC pertencem, respetivamente, ao 2.º e ao 3.º quadrantes; - o ponto B pertence ao semieixo real negativo; - o ponto D pertence ao semieixo imaginário negativo; - o ponto WW   SHUWHQFH DR ž TXDGUDQWH H p R D¿[R GH XP Q~PHUR

complexo w tal que Im( w ) = Re( w ).

4 XDOGRVSRQWRVVHJXLQWHVSRGHVHURD¿[RGRQ~PHURFRPSOH[R L࣠ Z^3?

(A) Ponto A (B) Ponto B

(C) Ponto C (D) Ponto D

9. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Considere, em C , conjunto dos números complexos, os números zz 1 2 iiii^19 eeee zzzz 2 2 ^  1 33 ^  i^ i.

Seja w kei^^4

3 r

, com k! R.

Determine o valor de kk SDUDRTXDORD¿[RGH w pHTXLGLVWDQWHGRD¿[RGH z 1 HGRD¿[RGH z 2.

y

A

B

C

O x

Figura 1

a

Im( z )

A

B

C D

O

W

Re( z )

Figura 2

17

Prova 635/1.ª F. x Página 7 / 8

12. Considere a função f , de domínio R , definida por

f ] g x  3 e x^  2 e  x

Resolva os itens 12.1. e 12.2. sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.

12.1. Considere, em referencial o.n. Oxy , a representação gráfica da função f e o trapézio [ OCAB ]^ ,

tais que:

- o ponto A pRSRQWRGHLQWHUVHFomRGRJUi¿FRGDIXQomR f com a reta de equação y 5 ; - o ponto B SHUWHQFHDRJUi¿FRGDIXQomR f e ao eixo Oy ; - o ponto C pertence ao eixo Ox e tem abcissa igual à abcissa do ponto A.

Determine a área do trapézio [ OCAB ]^.

Apresente o resultado na forma ln ( a ) , com a! 0.

12.2. Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico da função f intersecta a reta

de equação y 3 x  4 em, pelo menos, um ponto de abcissa pertencente ao intervalo @0 1 , 6.

13. Considere uma função, f , de domínio R , diferenciável em R \ " 1 ,.

Sabe-se que:

- a função f é crescente em (^) @ 3 , 1 6 e em (^) @ 1 ,  36 ; - a reta de equação x 1 pDVVtQWRWDDRJUi¿FRGDIXQomR f. Considere as proposições seguintes.

I. A função f é contínua em x 1.

II. A reta de equação y  x  2 é tangente ao gráfico da função f num ponto de abcissa diferente de 1.

Justifique que as proposições I e II são falsas. Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

19

Prova 635/1.ª F. x Página 8 / 8

14. Considere uma sucessão de composições geométricas, construídas a partir de um semicírculo de raio 1.

Na Figura 4, estão representadas as três primeiras composições dessa sucessão.

Figura 4 Tal como é ilustrado na Figura 4:

- a 1.ª composição foi obtida retirando-se ao semicírculo inicial um semicírculo nele contido, de raio 21 ; - a 2.ª composição foi obtida retirando-se à 1.ª composição um semicírculo nela contido, de raio 41 ; - a 3.ª composição foi obtida retirando-se à 2.ª composição um semicírculo nela contido, de raio 81 ; - e assim sucessivamente, retirando-se, em cada composição, um semicírculo contido na composição anterior, com metade do raio do semicírculo retirado nessa composição, de modo que o diâmetro de cada semicírculo retirado seja colinear com o diâmetro do semicírculo inicial. Determine o perímetro da 20.ª composição geométrica desta sucessão. Apresente o resultado arredondado às centésimas.

15. Sejam a , b e c números reais não nulos, e seja f a função, de domínio R , definida por

f ] g x  ax^3  bx  c

Seja r uma reta que intersecta o gráfico da função f no ponto de abcissa zero.

Mostre que, se a reta r intersectar o gráfico da função f noutros dois pontos distintos, então esses

pontos têm abcissas simétricas.

FIM COTAÇÕES

As pontuações obtidas nas respostas a estes 12 itens da prova contribuem obrigatoriamente para a FODVVL¿FDomR¿QDO

1. 2.1. 2.2. 3. 5. 6. 8. 10.1. 10.2. 11. 13. 15. Subtotal

Cotação (em pontos) 12 14 14 12 12 14 12 12 14 14 14 14 158 Destes 6 itens, contribuem SDUDDFODVVL¿FDomR¿QDOGD prova os 3 itens cujas respostas obtenham melhor pontuação.

4. 7. 9. 12.1. 12.2. 14. Subtotal

Cotação (em pontos) 3 × 14 pontos 42 TOTAL 200

20