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Nome da Escola Ano letivo 20 /20 MACS | 10 .º ano Nome do Aluno Turma N.º Data Professor / /
1. Num grupo de 80 jovens foi realizada uma votação para determinar a profissão que gostariam de ter. Obtiveram-se os resultados que se seguem: Futebolista: 12 Professor: 14 Médico: 8 Engenheiro informático: 20 Jornalista: 20%
1.1. Quantos jovens escolheram Jornalista como profissão?
1.2. Quantos jovens não manifestaram qualquer preferência?
1.3. Qual a profissão que venceu a votação? Determine a respetiva percentagem.
1.4. Atendendo ao resultado obtido na alínea anterior, podemos afirmar que a profissão vencedora obteve maioria absoluta? Fundamente a sua resposta.
2. Considere a tabela seguinte, que resulta da eleição para a presidência do clube de natação “Mariposa”. 1.ª preferência Almeida Bento Damião 2.ª preferência Castro Castro Castro 3.ª preferência Damião Almeida Almeida 4.ª preferência Bento Damião Bento N.º de votos 130 100 85
2.1. Considerando apenas a primeira preferência, quem vence a eleição? Determine, com aproximação às décimas, a respetiva percentagem.
2.2. Determine o vencedor da eleição aplicando o método de eliminação run-off standard.
Nome da Escola Ano letivo 20 /20 MACS | 10 .º ano Nome do Aluno Turma N.º Data Professor / /
1. Considere a tabela seguinte, que resulta da eleição para a presidência do clube de natação “Mariposa”. 1.ª preferência Almeida Bento Damião 2.ª preferência Castro Castro Castro 3.ª preferência Damião Almeida Almeida 4.ª preferência Bento Damião Bento N.º de votos 130 100 85
1.1. Determine o vencedor da eleição aplicando:
a) o método de eliminação run-off sequencial; b) o método de Borda; c) o método de Condorcet.
1.2. O que podemos concluir a partir dos resultados obtidos nas alíneas anteriores?
2. Observe os resultados obtidos na votação que se segue.
1.º – Vermelho 2.º – Amarelo 3.º – Azul (10 votos) 1.º – Amarelo 2.º – Azul 3.º – Vermelho (12 votos) 1.º – Azul 2.º – Vermelho 3.º – Amarelo (10 votos)
2.1. Quem vence nos “confrontos”:
a) Vermelho vs. Amarelo? b) Amarelo vs. Azul?
2.2. Tendo em conta os resultados obtidos na alínea anterior, hipoteticamente qual seria o vencedor do confronto Vermelho vs. Azul? É isso que acontece na realidade? Fundamente a sua resposta.
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Considere os resultados obtidos nas eleições para a Direção da Associação Nacional dos Clubes de Pesca Desportiva. Vão ser distribuídos oito mandatos por quatro associações regionais: Robalos, Marmotas, Trutas e Sardinhas (de acordo com o número de votos obtido).
Associação N.º de votos Robalos 245 Marmotas 852 Trutas 207 Sardinhas 624 Total 1928
Nas questões que se seguem, se proceder a arredondamentos conserve quatro casas decimais.
1. Calcule o divisor-padrão e diga qual é o seu significado. 2. Determine a quota-padrão de cada uma das associações. 3. Efetue a distribuição dos mandatos recorrendo ao método de Hamilton. 4. Supondo que foi admitida a votação uma outra associação, Fanecas, com 120 votos, efetue novamente a distribuição dos oito mandatos pelo método de Hamilton. O que se pode concluir?
No Agrupamento de Escolas de Algures, pretende-se formar uma comissão para organizar ações de sensibilização sobre os perigos da Internet e segurança de conteúdos digitais.
Entre os alunos de três níveis de ensino, 2.º Ciclo, 3.º Ciclo e Secundário, serão escolhidos 30 representantes de acordo com o número de alunos que frequentam cada um desses níveis.
Nível N.º de alunos 2.º Ciclo (^) 80 3.º Ciclo (^) 242 Secundário (^) 180
Determine como deverá ser formada esta comissão, aplicando o:
1. Método de Jefferson (caso seja necessário, utilize o divisor modificado 16,1); 2. Método de Webster; 3. Método de Hill-Huntington.
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Questão-aula 5
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1. Considere a tabela que se segue com os resultados de uma votação envolvendo três candidatos, A, B e C.
1.ª escolha A A B C C 2.ª escolha B C A A B 3.ª escolha C B C B A N.º de votos 10 8 12 6 14
1.1. Determine o vencedor pela aplicação do método de Borda.
1.2. Determine o vencedor aplicando o método de Condorcet.
2. As Ilhas Ursidae são um arquipélago fictício que engloba três ilhas: Melursus , Tremarctos e Arctodus. De quatro em quatro anos são eleitos 12 representantes para o Parlamento Regional do Arquipélago em função do número de habitantes de cada uma das três ilhas. Suponhamos que a distribuição da população do arquipélago é a seguinte: Melursus Tremarctos Arctodus População^1840 1090
Complete a tabela que se segue com a distribuição dos lugares no Parlamento das Ilhas Ursidae. Ilha Hamilton Adams^ Webster^ Hill-Huntington Melursus Tremarctos Arctodus
Sugestão: Divisores modificados – Adams (370), Webster (330) e Hill-Huntington (330).
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A Constança, o Tiago e o Vasco herdaram um conjunto de bens: um automóvel, uma casa, um apartamento, um conjunto de joias e 200 000 euros em dinheiro. Para efetuar a partilha vão utilizar o método das licitações secretas.
Na tabela que se segue encontram-se as licitações efetuadas por cada um dos intervenientes.
Bens Constança^ Tiago^ Vasco Dinheiro 200 000^ €^ 200 000^ €^ 200 000^ € Automóvel 25 000^ €^ 30 000^ €^ 32 000^ € Casa 180 000^ €^ 210 000^ €^ 190 000^ € Apartamento 80 000^ €^ 100 000^ €^ 110 000^ € Joias 50 000^ €^ 30 000^ €^ 40 000^ €
Descreva como será efetuada a partilha equilibrada dos bens.
Analise os gráficos e responda às questões que são colocadas.
1. Em dez anos, qual foi a percentagem de aumento de mulheres possuidoras de um nível superior de educação? Apresente o resultado com uma casa decimal. 2. Em termos de pontos percentuais, de quanto foi o aumento da percentagem de mulheres possuidoras de um nível superior de educação? 3. Qual o género sexual que, durante este período, manteve sempre a liderança em termos de assistência a menores? 4. Neste século, em que ano se verificou o menor número de dias de duração da licença para assistência a menores? E o maior? 5. A maior percentagem de aumento (de 1999 para 2008) verificou-se nos homens ou nas mulheres? Indique, com aproximação às décimas, as respetivas percentagens.
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Questão-aula 10
População residente com 15 e mais anos de idade (Série 1998) por sexo, grupo etário e nível de educação, Portugal, 1998 e 2008
Duração da licença especial para assistência a menores (dias) por sexo, Portugal, 1999- 2008
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O Henrique fez um inquérito aos 82 alunos das turmas do 10.º ano da sua escola sobre o tipo/género de canal preferido. Cada aluno apenas escolheu uma opção entre “Animação”, “Generalista”, “Desporto”, “Informação” e “Música”. Com a informação que recolheu, construiu o gráfico seguinte.
1. Que percentagem dos alunos inquiridos prefere os canais de Informação? 2. Quantos alunos a mais dizem preferir canais de Desporto em relação aos que dizem preferir canais de Animação? 3. Elabore uma tabela de frequências absolutas, absolutas acumuladas, relativas (dízima e percentagem) e relativas acumuladas. Apresente as dízimas com quatro casas decimais e as percentagens com aproximação às centésimas. 4. Construa um gráfico de barras que represente os dados recolhidos pelo Henrique.
Os tempos (em minutos) que os 26 alunos de uma turma do 10.º ano demoraram na resolução de uma ficha de trabalho foram os seguintes:
61 75 70 73 77 68 55 50 68 71 50 64 65 70 75 69 57 60 66 79 77 51 60 58 66 78
1. Construa um diagrama de caule-e-folhas. 2. Agrupando os dados em classes, elabore uma tabela de frequências absolutas e relativas, simples e acumuladas. Se tiver de proceder a arredondamentos conserve duas casas decimais. 3. Construa um histograma de frequências absolutas para os tempos que os alunos da turma do 10.º ano demoraram na resolução da ficha de trabalho.
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Questão-aula 12
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1. Foi realizado um inquérito acerca do número de livros que cada um dos alunos de uma turma tinha lido nas férias. Os resultados do inquérito estão representados no gráfico que se segue.
1.1. Determine, em média, quantos livros leu cada aluno.
1.2. Se cada aluno tivesse lido mais dois livros nas férias, qual seria o valor da média?
1.3. Determine a mediana do número de livros lidos por aluno.
2. Escreva dois conjuntos de cinco números com:
2.1. a mesma média e as medianas diferentes;
2.2. a mesma mediana e as médias diferentes.
1. A média de cinco números, x x 1 , 2 (^) , x 3 (^) , x (^) 4 e x 5 , é 12. Se juntarmos um sexto número, x 6 , a média
passa a ser 13. Determine x 6.
2. Os alunos de uma turma participaram numa corrida de 60 metros nos campeonatos interescolares de atletismo. Obtiveram-se os tempos, em segundos, registados a seguir. 14,9 14,2 15,1 15,5 14,7 15,6 15, 15,7 13,5 15,9 15,8 14,5 13,4 14, 15,1 14,0 16,3 14,2 15,7 14,9 15, 16,3 14,6 15,2 15,7 14,4 15,4 15,
2.1. Agrupe os dados numa tabela de frequências absolutas, considerando seis classes com a mesma amplitude e o menor tempo observado como limite inferior da primeira classe.
2.2. Determine o tempo médio dos alunos da turma (utilize a tabela de frequências da alínea anterior).
2.3. Represente os dados através de um histograma.
2.4. Determine a mediana e o percentil de ordem 80. Comente os resultados obtidos.
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Questão-aula 16
Nome da Escola Ano letivo 20 /20 MACS | 10 .º ano Nome do Aluno Turma N.º Data Professor / /
1. Relativamente à idade em que três grupos de mulheres, A , B e C , tiveram o seu primeiro filho, sabe-se que: 26 2
A A
x s
B B
x s
c c
x s
Em qual dos conjuntos há uma maior homogeneidade de idades?
2. No final do primeiro período, o Martinho e o Diogo obtiveram as seguintes classificações a nove disciplinas: Martinho 17 11 14 14 14 12 16 16 12
Diogo 11 13 17 13 11 15 14 15 17
2.1. Verifique que a média das classificações do Martinho é igual à média das classificações do Diogo.
2.2. Determine, para as classificações do Martinho e do Diogo, a amplitude amostral e o desvio- -padrão.
2.3. Justifique que, entre as medidas de dispersão calculadas na alínea anterior, o desvio-padrão é a medida que melhor caracteriza a dispersão das classificações.
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O Flávio, praticante de atletismo, depois de terminada uma prova, registou as suas pulsações por minuto.
Os dados recolhidos foram os seguintes:
Tempo decorrido após a prova ter terminado (min) x^0 0,5^1 1,5^2 2,5^3 3, N.º de pulsações y 150 140 128 114 110 90 82 78
1. Construa um diagrama de dispersão e assinale o ponto (^) x , y . 2. Recorrendo às potencialidades da sua calculadora gráfica, obtenha a equação da reta de regressão e desenhe-a no diagrama da alínea anterior. Se proceder a arredondamentos, conserve três casas decimais. 3. Utilize a equação da reta de regressão para determinar:
3.1. quantas pulsações teria o Flávio 1,8 min depois de a prova ter terminado;
3.2. quantas pulsações teria 30 min depois de a prova ter terminado. Comente o resultado obtido.
3.3. quanto tempo terá passado após a prova ter terminado sabendo que o Flávio estava com 100 pulsações por minuto.
Considere os seguintes dados que representam as notas obtidas por 12 alunos nas disciplinas de Português e Educação Física.
1. Determine o coeficiente de correlação e comente o resultado obtido. 2. Complete a tabela de contingência que se segue.
Considere que em termos qualitativos se segue a seguinte escala: Suficiente (10-13), Bom (14-16) e Muito Bom (17-20). Ed. Física Português Suficiente Bom Muito Bom Total Suficiente Bom Muito Bom Total 12
Nota a Português ( x )
Nota a Educação Física ( y ) 12 14 10 16 13 18 18 15 16 12 18 15 19 16 11 14 17 15 13 13 10 17 15 14
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Questão-aula 20
Nome da Escola Ano letivo 20 /20 MACS | 10 .º ano Nome do Aluno Turma N.º Data Professor / /
1. Dê dois exemplos de variáveis estatísticas cujos diagramas possam ser:
(A) (B)
Classifique as duas correlações.
2. Considere os dados seguintes que relacionam a altura dos alunos de uma turma de 10.º ano com o respetivo peso.
2.1. Recorde que um dos pontos que pertence sempre à reta de regressão, denominado por centro de gravidade, pode ser facilmente calculado, porque tem como coordenadas as médias das variáveis em análise (^) x , y . Use a calculadora gráfica para determinar o centro de gravidade da nuvem de pontos e trace a reta de regressão no diagrama de dispersão.
2.2. No dia em que foram registados os dados faltaram dois alunos.
a) Sabe-se que um deles tem 1,53 m de altura. Faça uma estimativa do seu peso (com aproximação às décimas). b) Sabe-se que o outro pesa 71 kg. Que altura, com aproximação às décimas, se pode esperar que tenha?
2.3. Indique o coeficiente de correlação e classifique o tipo de correlação existente.
Altura (em cm)
Peso (em kg) 168 64 156 58 166 68 163 70 154 55 146 47 159 61 148 48 160 58 172 70 168 72 162 64
Nome da Escola Ano letivo 20 /20 MACS | 10 .º ano Nome do Aluno Turma N.º Data Professor / /
Os clientes portadores de bilhetes de ida e volta ou um de ida e outro de volta, para Alfa Pendular ou Intercidades, usufruem de tarifas preferenciais de estacionamento nas estações de Lisboa Oriente (Parque da Estação do Oriente), Porto Campanhã, Braga e Pragal.
Nota: Oferta limitada aos lugares existentes. Para além das 72 h será praticado o preço previsto para aquele período, acrescido do tarifário geral em vigor no respetivo parque. Fonte: CP (Comboios de Portugal)
O António, residente em Lisboa, e a Conceição, residente em Braga, combinaram encontrar-se em Coimbra, viajando de comboio a partir das respetivas cidades. No dia 2 de junho, o António deixou o seu carro no parque de estacionamento da Estação do Oriente às 14:00 e a Conceição no parque da estação de Braga às 13:30.
O António regressou no dia 3 de junho, tendo chegado a Lisboa às 14:30.
A Conceição, como ainda visitou a amiga conimbricense Joana, chegou a Braga no dia 4 de junho às 17:45.
Determine quanto irá pagar cada um deles pelo respetivo estacionamento.
Nome da Escola Ano letivo 20 /20 Matemática A | 10 .º ano Nome do Aluno Turma N.º Data Professor / /
Teste de avaliação 1 ( 9 0 min)
1. Realizou-se uma assembleia-geral de uma associação desportiva e recreativa, com o objetivo de eleger um associado para representar a associação em sessões oficiais. Apresentaram a sua candidatura quatro associados, o Alvim (A), o Cardoso (C), o Pereira (P) e o Ramos (R). Ficou estabelecido que cada associado votaria nos quatro candidatos, por ordem de preferência. Ordem de preferência Candidatos 1.ª A R P C 2.ª C P A R 3.ª P C C A 4.ª R A R P N.º de votos 25 50 30 45 Tendo em conta os resultados da votação expressos na tabela responda às questões que se seguem.
1.1. Calcule, com aproximação às décimas, a percentagem de primeiras preferências que cada candidato obteve.
1.2. Indique o número mínimo de votos que um candidato deveria ter obtido, na primeira preferência, para ser eleito vencedor por maioria absoluta.
1.3. Recorrendo ao método de eliminação run-off standard , determine qual é o candidato vencedor. Na sua resposta deve incluir, obrigatoriamente, o número de votos obtidos, na primeira preferência, por cada candidato, em cada uma das contagens que efetuar para determinar o vencedor.
1.4. Determine qual o candidato vencedor utilizando o método de Borda.
Considere a atribuição de 4 pontos para as primeiras preferências, 3 pontos para as segundas, 2 pontos para as terceiras e 1 ponto para a quarta preferência.
2. Num concurso para eleger o super-herói mais heroico de sempre, concorrem três personagens de banda desenhada: Homem-Aranha, Capitão América e Super-Homem. Os resultados da votação foram os seguintes: 120 votaram: Homem-Aranha e Capitão América 204 votaram: Super-Homem 88 votaram: Capitão América 150 votaram: Homem-Aranha
2.1. Quantos votos recebeu cada um dos super-heróis?
2.2. Usando o sistema de aprovação, determine quem venceu o concurso e qual a percentagem de votos obtida por cada um dos concorrentes. Apresente os resultados com aproximação às unidades.
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Teste de avaliação 2 ( 9 0 min)
1. O Amílcar e o Constantino, diretores de dois museus, receberam uma generosa oferta de quatro valiosas pinturas: uma de Van Gogh, uma de Picasso, uma de Rembrandt e uma de Salvador Dalí. Para decidir qual dos museus vai ficar com cada uma das pinturas durante o primeiro ano de exposição vão utilizar o método das licitações secretas. Na tabela que se segue encontram-se as licitações, em milhares de euros, efetuadas pelos dois intervenientes na partilha. Pinturas Amílcar Constantino Van Gogh^90 Picasso^75 Rembrandt^200 Salvador Dalí^100 Recorrendo ao método das licitações secretas, efetue a distribuição das pinturas. 2. A Marisa e o Renato querem dividir uma tarte entre si utilizando o método do divisor- selecionador. A tarte é coberta metade com mirtilos, metade com framboesas. A Marisa gosta muito de framboesas mas não gosta de mirtilos. O Renato gosta de framboesa mas gosta muito mais de mirtilos. Considere as seguintes opções de corte da tarte. (A) (B)
(C) (D)
Supondo que ambos desconhecem as preferências um do outro, qual das opções representa uma partilha equilibrada: 2.1. para a Marisa se for ela a dividir; 2.2. para o Renato se for ele a dividir?
Teste de avaliação 2 (90 min)
3. Numa empresa multinacional de cosméticos, os trabalhadores decidiram criar uma comissão com representantes de todas as filiais da empresa para negociar com a administração propostas para melhorar as condições de trabalho. A distribuição dos trabalhadores pelas diferentes filiais é a seguinte:
Filial (^) trabalhadoresN.º^ de Portugal 22 Espanha 32 França 36 Reino Unido 28 Itália 25
Sabe-se que a comissão deverá ter 10 representantes.
3.1. Efetue a distribuição dos representantes recorrendo aos métodos de Hondt e de Hill- -Huntington.
3.2. Compare os resultados obtidos e elabore um pequeno comentário.
4. Uma empresa algarvia de aluguer de automóveis tem 80 veículos disponíveis.
Na tabela seguinte está representada a distribuição dos automóveis pela respetiva marca.
Marca N.º de automóveis Seat 12 Kia 16 Hyundai 20 Fiat (^) 14 Opel 18 Pretende-se que 16 destes automóveis estejam disponíveis para alugar a uma comitiva que acompanha um chefe de Estado que está de visita à região. Utilize o método de Hamilton para determinar a constituição, por marca, desse grupo de 16 automóveis.
