Fisica 1, Notas de estudo de Física

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Volume 01

FÍSICA

Coleção Estudo

Sumário - Física

Frente A

01

3 Introdução à Cinemática escalar e Movimento Uniforme Autor: Francisco Pazzini Couto

02

15 Movimento Uniformemente Variado e Movimento Vertical Autor: Francisco Pazzini Couto

Frente B

01

25 Termometria e dilatometria Autor: Luiz Machado

02

39 Propagação de calor Autor: Luiz Machado

Frente C

01

49 Fundamentos da óptica geométrica Autor: Lívio Ribeiro Canto

02

61 Reflexão da luz e espelhos planos Autor: Lívio Ribeiro Canto

Frente D

01

69 Eletrização Autores: Luiz Machado Lívio Ribeiro Canto

02

81 Força elétrica Autores: Luiz Machado Lívio Ribeiro Canto

03

91 Campo elétrico Autores: Luiz Machado Lívio Ribeiro Canto

Coleção Estudo

Denominamos de trajetória o conjunto de posições

sucessivas ocupadas por um móvel. Para que possamos localizar a posição de um móvel no espaço, podemos utilizar

vários métodos. Por exemplo, para localizar a posição de um avião no espaço, podemos utilizar, na torre de comando do

aeroporto, um sistema de coordenadas cartesianas, com eixos x, y e z perpendiculares entre si, que nos auxiliarão

a localizar as posições ocupadas pelo avião em momentos diferentes de seu movimento. Iremos considerar um ponto

da base da torre de comando como a origem de nosso sistema de coordenadas, usualmente representada pela

letra O, e iremos escolher uma unidade de comprimento para a escala dos eixos x, y, z. Utilizando tais convenções,

podemos localizar a posição do avião no espaço, em qualquer posição que ele esteja. Observe que, no exemplo

apresentado, os valores das posições do avião em relação

aos eixos x, y e z podem ser positivos ou negativos.

Aeroporto de Denver / Divulgação

O

z

y

x

Um operador de radar que estivesse na base da torre

de comando, se preparando para ir trabalhar, ocuparia a

posição representada pela letra s, cujas coordenadas seriam

x = 0, y = 0 e z = 0, isto é, s = (0, 0, 0). Já um colega de

trabalho que está prestes a ser substituído ocuparia a posição

s’ = (0, 0, 60 m), considerando que a sala de comando

esteja a 60 m de altura em relação à base da torre (origem

do sistema de coordenadas).

PARA REFLETIR

Um caminhão ocupa a posição s = 450 km da BR 101, que liga o Rio Grande do Norte ao Rio Grande do Sul. Isso indica que o caminhão percorreu 450 km? Podemos dizer que ele está indo para o Rio Grande do Sul?

REFERENCIAL E A FoRMA DA

TRAjETóRIA

Responda rápido: você está em repouso ou em movimento no momento em que está lendo este trecho do texto?

Caso você tenha pensado bem, provavelmente respondeu... depende. A noção de movimento ou de repouso é sempre relativa a outro objeto. Estamos em repouso em relação à cadeira em que estamos sentados, mas estamos em movimento em relação a alguém que se encontra na Lua, em uma estação orbital ou em um carro que passa na rua. O corpo em relação ao qual identificamos se um objeto encontra-se ou não em movimento é denominado referencial ou sistema de referência. Na maioria dos exemplos citados em nosso curso, e em nosso cotidiano, utilizamos o solo (Terra) como nosso sistema de referência. De tão utilizado como sistema de referência, muitos o consideram condesado como um sistema absoluto, mas isso não é correto. Movimento e repouso são sempre conceitos relativos. Se a posição de um objeto variar em relação a um determinado referencial, à medida que o tempo passa, então esse objeto encontra-se em movimento em relação a esse referencial.

Assim como o movimento e o repouso são conceitos relativos, a trajetória observada de um objeto em movimento também o é. O movimento de um corpo, visto por um determinado observador, depende do referencial em que se encontra esse observador. Por exemplo, considere um trem que está passando em uma estação, conforme representado na figura a seguir. Para Alberto, um passageiro do trem, a lâmpada L, fixa no teto do vagão, está parada. Entretanto, essa mesma lâmpada está em movimento para Leopoldo, o guarda que se acha na plataforma.

Alberto Interior do trem

Estação de trem

Leopoldo

Para o passageiro, a lâmpada está em repouso, mas, para o guarda, ela está em movimento.

O mesmo raciocínio pode ser usado para o estudo da trajetória de um corpo. Por exemplo, na situação anterior, imagine que a lâmpada se desprenda do teto e caia em direção ao piso do trem. Em relação ao referencial da estação, a lâmpada continuará se movendo para a direita, com a mesma velocidade do trem. Na direção vertical, a velocidade da lâmpada aumentará durante a queda.

Frente A Módulo 01

FíSICA

Editora Bernoulli

O resultado dessa composição de movimentos é que Leopoldo enxerga a lâmpada caindo e se deslocando para a direita, segundo uma trajetória curvilínea. Como Alberto, dentro do trem, se movimenta para a direita com a mesma velocidade horizontal da lâmpada e do trem, ele vê a lâmpada caindo verticalmente. Exploraremos situações como essa, de forma mais detalhada, quando abordarmos o estudo da composição de movimentos.

Alberto Interior do trem

Estação de trem

Leopoldo Trajetória vista por Leopoldo

Trajetória vista por Alberto

VELoCIDADE ESCALAR MÉDIA

Agora, vamos definir a velocidade escalar média de um corpo em movimento. Esse conceito é muito importante, e iremos utilizá-lo em várias situações. Para entender a ideia de velocidade média, imagine a seguinte situação: em uma manhã, um homem sai de carro para o trabalho e decide registrar o tempo que gasta para chegar a seu destino e também a distância percorrida nesse trajeto. Para isso, ele anota a quilometragem do carro quando sai de casa e também quando chega ao trabalho, bem como os respectivos instantes de tempo (a hora do dia). Para esse fim, utilizou o hodômetro e o relógio do painel do carro, obtendo os valores indicados nas figuras seguintes:

De acordo com as leituras da quilometragem e da hora feitas no painel do carro nos dois momentos, o carro percorreu uma distância de 30 km em um intervalo de tempo igual a 0,5 hora. Isso signifi ca que, nesse mesmo ritmo, em uma hora, ele percorreria 60 km, isto é, sua velocidade escalar média é de 60 km/h. Definimos a velocidade escalar média da seguinte forma:

v distância total percorrida m (^) tempo total gasto

Observe que, se você substituir, nessa equação, a distância percorrida pelo carro e o tempo gasto para percorrê-la, você obterá exatamente o valor da velocidade escalar média que nós havíamos intuído: v (^) m = 30/0,5 = 60 km/h. Esse valor não indica que o carro tenha percorrido o trajeto de casa ao trabalho sempre com a velocidade de 60 km/h. Em alguns momentos, o motorista deve ter parado o carro em alguns cruzamentos, em outros, o motorista deve ter aumentado a velocidade de seu carro a um valor acima de 60 km/h para, por exemplo, ultrapassar outro veículo. A interpretação do valor da velocidade média é a seguinte: se o carro se movesse sempre a 60 km/h (situação teórica), ele percorreria a distância em questão no mesmo intervalo de tempo da situação real. De modo geral, defi ne-se a velocidade escalar média de um ponto material como a razão entre a variação de posição (Δs) e o intervalo de tempo gasto (Δt), como representado na figura a seguir:

s 0

s 1

t (^1)

s 2

t (^2)

∆s

v s^ s t t

ou v s m m t

2 1

VELoCIDADE ESCALAR

INSTANTÂNEA

A figura seguinte representa um dispositivo para medir a velocidade de automóveis instalado nas ruas de algumas cidades do Brasil.

Velocidade limite

s (^2)

s 1

Central de controle

Envio de sinal para a máquina fotográfica

60 km/h

Representação do esquema de um sensor de velocidade utilizado em vias urbanas. Simplifi cadamente, os “radares” funcionam da seguinte maneira: dois sensores são instalados na pista, um a poucos metros de distância do outro. Esses sensores detectam a presença de objetos que tenham metal e disparam quando um objeto metálico passa por eles.

Introdução à Cinemática escalar e Movimento Uniforme

Fí

SICA

Editora Bernoulli

v

t

v constante (v > 0) v

t

v constante (v < 0)

Veja, na figura seguinte, o diagrama que relaciona a velocidade v com o tempo t, para um automóvel que se move com velocidade constante de +60 km/h e que viaja durante 2 horas.

60 Área^ =^ distância

tempo (h)

velocidade (km/h)

d = vt d = 60 km/h.2h d = 120 km

Observe que a área marcada de amarelo é numericamente igual à variação da posição (distância percorrida) do automóvel no intervalo de tempo de 2 h, ou seja, 120 km. Em qualquer gráfico velocidade versus tempo, a área sob a curva do gráfico, para um determinado intervalo de tempo, é numericamente igual à distância percorrida pelo móvel, nesse intervalo de tempo. Lembre-se de que, como a área calculada está na região do gráfico cartesiano em que as ordenadas são positivas, temos que o carro percorreu 120 km no sentido crescente das posições.

GRáFICo PoSIção VERSUS

TEMPo No MU

A função horária da posição no MU é uma função do 1.º grau (y = ax + b). Isso implica que a relação posição versus tempo será representada por uma reta. Uma importante característica dessa reta é a sua inclinação ou declividade , representada pela letra a. Veja as duas imagens de uma escada que se encontra apoiada em uma tela e cujas distâncias horizontais e verticais ao chão estão indicadas nas imagens.

1,0 m

1,5 m

2,5 m

2,0 m (1) (2)

Editoria de Arte

Observe que a imagem (1) mostra a escada muito inclinada, em relação à horizontal, enquanto que a imagem (2) mostra a escada pouco inclinada. Podemos utilizar os números mostrados nas imagens (1) e (2) para definir a inclinação da escada, da seguinte maneira:

Inclinação 1 = distância vertical distância horizontal

m

m

Inclinação 2 = distância vertical distância horizontal

m m

Para se encontrar a inclinação a de uma reta, utiliza-se o seguinte procedimento:

• Marcam-se dois pontos na reta;
• Determina-se a diferença entre os valores das ordenadas e entre os valores das abscissas desses pontos (y 2 – y 1 = Δy e x 2 – x 1 = Δx);
• Calcula-se a razão entre Δy e Δx;
• Inclinação: a =

y x

A inclinação de uma reta é um conceito extremamente útil que poderá ser utilizado quando uma reta se fizer presente nas representações gráficas.

Dessa forma, após apresentarmos o conceito de inclinação de uma reta, podemos realizar a seguinte analogia, entre a equação geral de uma reta (y = b + ax) e a equação da posição em função do tempo para um objeto em MU (s = s 0 + vt):

Geral Para o MU

Equações y = b + ax s = s 0 + vt

Eixo das ordenadas y s

Eixo das abscissas x t

Ponto em que a reta “corta” o eixo das ordenadas b^ s^0

Declividade ou inclinação a v

Graficamente, a analogia está representada na figura seguinte:

b

∆x

∆y

a = ∆y/∆x

(^0) x

y

s 0

∆t

∆s

v = ∆s/∆t

(^0) t

s

Introdução à Cinemática escalar e Movimento Uniforme

Coleção Estudo

Assim como o valor da inclinação a na equação y = ax + b é constante, o valor da velocidade v no movimento uniforme também o é, e pode ser determinado pela inclinação da reta no gráfico de posição versus tempo v = Δs/Δt.

OBSERVAÇÕES

1. N o m o v i m e n t o r e t i l í n e o u n i f o r m e , c o m o o movimento ocorre somente em um sentido, o valor da variação das posições será a distância percorrida (Δs = d).
2. Enquanto Δx e Δy podem assumir tanto valores positivos quanto valores negativos no gráfico de y em função de x, no gráfico posição versus tempo, somente os valores de Δs podem ser negativos, pois não há sentido físico para os valores de Δt negativos (o tempo sempre flui para o futuro).

EXERCíCIoS RESoLVIDoS

01. Tiago e Paula, estudantes de Engenharia – Tiago estudante do IME (Rio de Janeiro - RJ) e Paula do ITA (São José dos Campos - SP) – partem de carro, simultaneamente, cada um da cidade onde estuda, para se encontrarem. As cidades em questão distam 340 km uma da outra. Considere a velocidade do carro de Tiago constante e igual a 80 km/h e a velocidade do carro de Paula constante e igual a 90 km/h. Considere a posição 0 km (origem do sistema de referência) em São José dos Campos. Determinar A) o intervalo de tempo gasto para que os dois estudantes se encontrem; B) a posição da estrada em que os estudantes se encontrarão.

Resolução:

1.º modo A) As informações do texto podem ser representadas da seguinte forma:

vP = 90 km/h vT = –80 km/h^ Paula Tiago

km 0 km 340

A partir da figura, temos: Carro da Paula: s 0 = 0 e vP = 90 km/h Carro do Tiago: s 0 = 340 km e vT = –80 km/h (veja o sentido crescente das posições na trajetória). A função horária da posição de cada carro é s = s 0 + vt, movimento uniforme; logo: s (^) Paula = 0 + 90t e sTiago = 340 – 80t No instante em que eles se encontrarem, suas posições serão iguais; logo: sPaula = sTiago ⇒ 0 + 90t = 340 – 80t ⇒ 170t = 340 ⇒ t = 2 h (instante do encontro)

B) Para determinarmos a posição do encontro, basta substituirmos o valor do instante de encontro, 2 h, na função horária de qualquer um dos dois automóveis: s (^) Paula = 0 + 90t = 90(2) = 180 km sTiago = 340 – 80t = 340 – 80(2) = 340 – 160 = 180 km Logo, os automóveis se encontram 2 h após a partida, a 180 km da cidade de São José dos Campos (perto de Resende - RJ).

2.º modo

Como os dois automóveis apresentam velocidades constantes, os respectivos gráficos de posição versus tempo devem ser representados por retas; o carro de Paula sai da origem das posições (km 0) e percorre 90 km a cada hora, e o carro de Tiago sai do km 340 e retrocede 80 km a cada hora. Podemos representar as posições nas quais cada carro se encontra, construindo uma tabela, como mostrado a seguir: v (^) Paula = +90 km/h (sentido crescente das posições) vTiago = –80 km/h (sentido decrescente das posições)

Tempo Posição (^) Paula Posição (^) Tiago

0 h km 0 km 340

1 h km 90 km 260

2 h km 180 km 180

3 h km 270 km 100

4 h km 360 km 20

Utilizando os dados dessa tabela, podemos representar graficamente a situação.

Tempo (h)

Gráfico posição versus tempo

Posição (km)

Carro da Paula Carro do Tiago

O gráfico em questão mostra que Paula e Tiago se encontram na posição 180 km, após 2 h de viagem.

OBSERVAÇÃO

Não importa o modo de resolução (analítico, tabela ou gráfico), desde que a resolução seja coerente e que utilize os princípios físicos corretos.

Frente A Módulo 01

Coleção Estudo

04. (FUVEST-SP) João está parado em um posto de gasolina

quando vê o carro de seu amigo passando por um ponto P, na estrada, a 60 km/h. Pretendendo alcançá-lo, João parte com seu carro e passa pelo mesmo ponto P, depois de 4 minutos, já a 80 km/h. Considere que ambos dirigem com velocidades constantes. Medindo o tempo, a partir de sua passagem pelo ponto P, João deverá alcançar seu amigo, aproximadamente, em A) 4 minutos. B) 10 minutos. C) 12 minutos. D) 15 minutos. E) 20 minutos.

05. (Mackenzie-SP) Correndo com uma bicicleta, ao longo de um trecho retilíneo de uma ciclovia, uma criança mantém a velocidade constante de módulo igual a 2,50 m/s. O diagrama horário da posição para esse movimento está ilustrado na figura.

x (m)

0 30,00 t (s)

Segundo o referencial adotado, no instante t = 15,00 s, a posição x da criança é igual a A) –37,50 m. B) –12,50 m. C) 12,50 m. D) 37,50 m. E) 62,50 m.

EXERCíCIoS PRoPoSToS

01. (UFMG) Júlia está andando de bicicleta, com velocidade

constante, quando deixa cair uma moeda. Tomás está parado na rua e vê a moeda cair. Considere desprezível a resistência do ar. Assinale a alternativa em que MELhoR estão representadas as trajetórias da moeda, como observadas por Júlia e por Tomás.

A) Júlia Tomás

B) Júlia Tomás

C) Júlia^ Tomás

D) Júlia Tomás

02. (PUC Minas) Durante uma tempestade, uma pessoa viu um relâmpago e, após 3 segundos, escutou o barulho do trovão. Sendo a velocidade do som igual a 340,0 m/s, a que distância a pessoa estava do local onde caiu o relâmpago? A) 113,0 m B) 1 130 m C) 1 020 m D) 102 m 03. (FUVEST-SP–2010) Astrônomos observaram que a nossa galáxia, a Via Láctea, está a 2,5 x 10 6 anos-luz de Andrômeda, a galáxia mais próxima da nossa. Com base nessa informação, estudantes em uma sala de aula afirmaram o seguinte: I. A distância entre a Via Láctea e Andrômeda é de 2,5 milhões de km. II. A distância entre a Via Láctea e Andrômeda é maior que 2 x 10^19 km. III. A luz proveniente de Andrômeda leva 2,5 milhões de anos para chegar à Via Láctea.

observação: 1 ano tem aproximadamente 3 x 10^7 s. Está CoRRETo apenas o que se afirma em A) I. B) II. C) III. D) I e III. E) II e III.

Frente A Módulo 01

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04. (UFSCar-SP) Três amigos, Antônio, Bernardo e Carlos,

saíram de suas casas para se encontrarem numa lanchonete. Antônio realizou metade do percurso com velocidade média de 4 km/h e a outra metade com velocidade média de 6 km/h. Bernardo percorreu o trajeto com velocidade média de 4 km/h durante a metade do tempo que levou para chegar à lanchonete e a outra metade do tempo fez com velocidade média de 6 km/h. Carlos fez todo o percurso com velocidade média de 5 km/h. Sabendo que os três saíram no mesmo instante de suas casas e percorreram exatamente as mesmas distâncias, pode-se concluir que

A) Bernardo chegou primeiro, Carlos, em segundo e Antônio, em terceiro.

B) Carlos chegou primeiro, Antônio, em segundo e Bernardo, em terceiro.

C) Antônio chegou primeiro, Bernardo, em segundo e Carlos, em terceiro.

D) Bernardo e Carlos chegaram juntos e Antônio chegou em terceiro.

E) os três chegaram juntos à lanchonete.

05. (FUVEST-SP–2007) Um passageiro, viajando de metrô, fez o registro de tempo entre duas estações e obteve os valores indicados na tabela. Supondo que a velocidade média entre duas estações consecutivas seja sempre a mesma e que o trem pare o mesmo tempo em qualquer estação da linha, de 15 km de extensão, é possível estimar que um trem, desde a partida da Estação Bosque até a chegada à Estação Terminal, leva, aproximadamente,

Chegada Partida

Vila Maria 0:00 min 1:00 min

Felicidade 5:00 min 6:00 min

São José

Bosque

Arcoverde Central Vila Maria

Felicidade

Terminal 2 km

A) 20 min. B) 25 min. C) 30 min. D) 35 min.

E) 40 min.

06. (FUVEST-SP–2006) Um automóvel e um ônibus trafegam em uma estrada plana, mantendo velocidades constantes em torno de 100 km/h e 75 km/h, respectivamente. Os dois veículos passam lado a lado em um posto de pedágio. Quarenta minutos (2/3 de hora) depois, nessa mesma estrada, o motorista do ônibus vê o automóvel ultrapassá-lo. Ele supõe, então, que o automóvel deve ter realizado, nesse período, uma parada com duração aproximada de

A) 4 minutos. B) 7 minutos. C) 10 minutos.

D) 15 minutos. E) 25 minutos.

07. (CEFET-MG–2006) As figuras a seguir representam as posições sucessivas, em intervalos de tempo iguais e fixos, dos objetos I, II, III e IV em movimento.

I II III IV

Sentido do movimento

O objeto que descreveu um movimento retilíneo uniforme foi

A) I.

B) II.

C) III.

D) IV.

08. (UFTM-MG–2006) Na entrada do porto, todos os navios devem cruzar um estreito canal de 300 m de extensão. Como medida de segurança, essa travessia deve ser realizada com velocidade máxima de 6 m/s. Um navio de 120 m de comprimento, movendo-se com a máxima velocidade permitida, ao realizar a travessia completa desse canal, demorará um tempo, em s, de

A) 20.

B) 30.

C) 40.

D) 60.

E) 70.

Introdução à Cinemática escalar e Movimento Uniforme

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15. (UFMG–2010) Ângela e Tânia iniciam, juntas, um passeio

de bicicleta em torno de uma lagoa. Neste gráfico, está registrada a distância que cada uma delas percorre, em função do tempo:

Tânia

Ângela

tempo (minutos)

distância (km)

Após 30 minutos do início do percurso, Tânia avisa a Ângela, por telefone, que acaba de passar pela igreja.

Com base nessas informações, são feitas duas observações:

I. Ângela passa pela igreja 10 minutos após o telefonema de Tânia.

II. Quando Ângela passa pela igreja, Tânia está 4 km à sua frente.

Considerando-se a situação descrita, é CoRRETo afirmar que

A) apenas a observação I está certa. B) apenas a observação II está certa. C) ambas as observações estão certas.

D) nenhuma das duas observações está certa.

16. (Unicamp-SP) A figura a seguir mostra o esquema

simplificado de um dispositivo colocado em uma rua para controle de velocidade de automóveis (dispositivo popularmente chamado de radar).

câmera

S 1 S 2

d = 2 m

computador

Os sensores S 1 e S 2 e a câmera estão ligados a um computador. Os sensores enviam um sinal ao computador sempre que são pressionados pelas rodas de um veículo. Se a velocidade do veículo está acima da permitida, o computador envia um sinal para que a câmera fotografe sua placa traseira no momento em que esta estiver sobre a linha tracejada. Para certo veículo, os sinais dos sensores foram os seguintes:

S 1

S 2

t (s)

t (s) 0 0,1 0,2 0, A) DETERMINE a velocidade do veículo em km/h. B) CALCULE a distância entre os eixos do veículo. (distância entre as rodas dianteira e traseira)

17. (UFPE) A figura mostra um gráfico da velocidade em função do tempo para um veículo que realiza um movimento composto de movimentos retilíneos uniformes. Sabendo-se que em t = 0 a posição do veículo é x 0 = +50 km, CALCULE a posição do veículo no instante t = 4,0 h, em km.

v (km/h) 20 15 10

0

1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 t (h)

18. (UFRJ) Dois trens, um de carga e outro de passageiros, m ove m - s e n o s m e s m o s t r i l h o s r e t i l í n e o s , e m sentidos opostos, um aproximando-se do outro, ambos com movimentos uniformes. O trem de carga, de 50 m de comprimento, tem uma velocidade de módulo igual a 10 m/s e o de passageiros, uma velocidade de módulo igual a v. O trem de carga deve entrar num desvio para que o de passageiros possa prosseguir viagem nos mesmos trilhos, como ilustra a figura a seguir. No instante focalizado, as distâncias das dianteiras dos trens ao desvio valem 200 m e 400 m, respectivamente.

400 m 200 m

Desvio Trem de passageiros Trem de carga 10 m/s

50 m

v

CALCULE o valor máximo de v para que não haja colisão.

Introdução à Cinemática escalar e Movimento Uniforme

Coleção Estudo

SEção ENEM

01. (Enem) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à Linha do Equador e em pontos diametralmente opostos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6 370 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800 km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente A) 16 horas. C) 25 horas. E) 36 horas. B) 20 horas. D) 32 horas. 02. (Enem) Um sistema de radar é programado para registrar automaticamente a velocidade de todos os veículos que trafegam por uma avenida, onde passam, em média, 300 veículos por hora, sendo 55 km/h a máxima velocidade permitida. Um levantamento estatístico dos registros do radar permitiu a elaboração da distribuição percentual de veículos de acordo com a sua velocidade aproximada.

Veículos (%) 0

Velocidade (km/h)

A velocidade média dos veículos que trafegam nessa avenida é de A) 35 km/h. C) 55 km/h. E) 85 km/h. B) 44 km/h. D) 76 km/h.

03. (Enem) O tempo que um ônibus gasta para ir do ponto inicial ao ponto final de uma linha varia, durante o dia, conforme as condições do trânsito, demorando mais nos horários de maior movimento. A empresa que opera essa linha forneceu, no gráfico a seguir, o tempo médio de duração da viagem conforme o horário de saída do ponto inicial, no período da manhã.

Horário de saída

6:006:106:206:306:406:507:007:107:207:307:407:508:008:108:208:308:408:509:009:109:209:309:409:5010:0010:1010:2010:3010:4010:5011:

120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 Tempo do percurso (minutos) 0

De acordo com as informações do gráfico, um passageiro que necessita chegar até as 10h30min ao ponto final dessa linha, deve tomar o ônibus no ponto inicial, no máximo, até as A) 9h20min. C) 9h00min. E) 8h50min. B) 9h30min. D) 8h30min.

GABARITo

Fixação

1. D
2. E
3. A
4. C
5. E

Propostos

1. C
2. C
3. E
4. D
5. D
6. C
7. C
8. E
9. A
10. D
11. C
12. E
13. C
14. B
15. C
16. A) 72 km/h

B) 3 m

1. 25 km
2. 16 m/s

Seção Enem

1. C
2. B
3. E

Frente A Módulo 01

Coleção Estudo

No exemplo apresentado, o valor da aceleração seria de

5 km/h por segundo ou 5 km/h s

. O Sistema Internacional

de Unidades (SI) não utiliza a unidade anterior, e sim o

m/s (^) m/s s

= 2 (lê-se metro por segundo ao quadrado).

Dizer que o valor da aceleração de um avião ao arrancar é de 5 m/s^2 signifi ca que, a cada segundo que passa, a velocidade do avião aumenta em 5 m/s.

Quando o valor do intervalo de tempo Δt for muito pequeno (Δt se aproxima de zero), o cálculo do valor da aceleração escalar média nós dá o valor da aceleração escalar instantânea , definida por:

Aceleração escalar instantânea (a):

a

v v t t

v t

= quan t

2 1

, do ∆ tende a zero.

A relação matemática anterior mostra que se o valor da velocidade aumenta, isto é, v 2 > v 1 , então a variação da velocidade é positiva e a aceleração também é positiva; caso contrário, se o valor da velocidade diminui, isto é, v 2 < v 1 , então a variação da velocidade é negativa e a aceleração também é negativa. No movimento uniforme, no qual o valor da velocidade não se altera, a aceleração escalar é nula (v 2 = v 1 ⇒ Δv = 0 ⇒ a = 0). A ideia de que a aceleração é positiva em um movimento acelerado, e negativa em um movimento retardado, é correta apenas quando a velocidade é positiva. Quando o móvel apresenta uma velocidade negativa, essa regra é invertida, ou seja, a < 0 no movimento acelerado e a > 0 no movimento retardado. Em outras palavras, no movimento acelerado, aceleração e velocidade apresentam sinais idênticos, enquanto, no movimento retardado, os sinais são opostos. A seguir, apresentamos um quadro resumindo essas convenções de sinais.

Comportamento do módulo da velocidade

Sinal da velocidade

Sinal da aceleração

Crescente

Decrescente

MoVIMENTo UNIFoRMEMENTE

VARIADo (MUV)

Uma classe especial de movimentos é aquela cujo valor da velocidade varia sempre no mesmo ritmo, isto é, apresenta variações iguais em intervalos de tempo iguais. Veja a tabela seguinte, que apresenta as variações das velocidades instantâneas de dois carros.

TABELA: Variação da velocidade de 2 veículos

Instante Velocidadedo carro I Velocidadedo carro II

0 s 15 m/s 15 m/s 1 s 17 m/s 17 m/s 2 s 18 m/s 19 m/s 3 s 22 m/s 21 m/s 4 s 25 m/s 23 m/s

O primeiro automóvel aumentou o módulo de sua velocidade, e, portanto, dizemos que o seu movimento é um movimento acelerado. O segundo automóvel também aumentou o valor de sua velocidade, logo esse também possui um movimento acelerado. Porém, o aumento da velocidade do segundo veículo ocorreu sempre no mesmo ritmo, ou seja, o valor de sua velocidade aumentou de forma regular. Seu movimento é, então, denominado movimento uniformemente variado ( MUV ). A cada segundo que passa, o valor da velocidade do carro II aumenta em 2 m/s. Logo, o segundo automóvel apresenta uma aceleração constante de 2 m/s 2. A constância da aceleração (que, no entanto, não pode ser nula) caracteriza o MUV.

Os movimentos uniformemente variados têm uma enorme importância histórica, uma vez que Galileu “inaugura” a Ciência Moderna com o estudo de questões relativas ao movimento, entre elas o estudo do movimento dos corpos sob a ação da gravidade. O tipo de movimento que ele encontra para o deslocamento dos corpos sob ação da gravidade é o MUV.

Como em um MUV o valor da aceleração é constante, podemos escrever que a v t

v v t t

2 1 2 1

Desenvolvendo a igualdade, teremos:

a

v v t t

= v v a t t v v a t t

2 1

2 1 (^2 1 )^2 1 (^2 1 )

Assumindo que t 1 = 0, temos que v 2 = v 1 + at 2 , ou simplesmente:

v = v 0 + at (função horária da velocidade)

Nessa função v = velocidade final no instante t v 0 = velocidade inicial a = aceleração t = instante final

Esse resultado pode ser corroborado facilmente pelos dados apresentados na tabela anterior, para o carro II. Nela, temos: v 0 = 15 m/s (velocidade no instante inicial) a = 2 m/s^2

Dessa maneira, a equação horária da velocidade para o carro II é v = v 0 + at ⇒ v = 15 + 2t (v em m/s, a em m/s^2 e t em s).

Frente A Módulo 02

FíSICA

Editora Bernoulli

Uma vez obtida a equação horária para a velocidade, podemos calcular o valor dessa em qualquer instante desejado, desde que o valor da aceleração permaneça constante. Substitua, mentalmente, o valor de t = 3 s na equação horária do carro II, e você obterá um valor igual a 21 m/s, como mostra a tabela.

Observe que a função horária da velocidade é uma função do 1.º grau. Podemos facilmente estabelecer uma analogia entre a função horária da velocidade e a equação geral da reta, como mostrado a seguir:

v

(aceleração positiva)

v = v 0 + at

y = b + ax

v 0

0

t

∆t

∆v

v

(aceleração negativa)

v 0

t

∆t

∆v

OBSERVAÇÕES

1. O valor da inclinação da reta do gráfico v x t nos mostra o ritmo de mudança no valor da velocidade, isto é, a inclinação da reta no gráfi co v x t nos fornece o valor da aceleração. Desse modo, a inclinação é numericamente igual ao valor da aceleração apresentada pelo móvel.
2. No módulo anterior, vimos que a área sob a reta do gráfico v x t representa a variação da posição (distância percorrida) do móvel em um determinado intervalo de tempo. O mesmo ocorre para o MUV.

Área = variação da posição

v

t

v 0

v 1

t 0 t 1 t 0 t (^1)

v 0

v 1

Podemos determinar a área sob a reta do gráfico calculando a área do trapézio, cujos vértices apresentam valores numéricos iguais a v 0 , v 1 , t 0 e t 1. Ao calcular essa área, substituindo v 1 por v 0 + aΔt, encontramos a função:

∆ ∆

s v t

a t = +

( ) 0

2

2 Fazendo t 0 = 0 e t 1 = t, temos:

∆s = v t 0 +at

2 2

(função horária da posição)

1. Um aluno de Galileu, Evangelista Torricelli, desenvolveu uma equação para o MUV que independe do tempo. Essa relação, denominada Equação de Torricelli, foi desenvolvida tendo como base as duas equações anteriormente apresentadas.

v = v 0 + at ∆s = v 0 t + ½at 2

v^2 = v 02 + 2a∆s (Equação de Torricelli)



⇒

1. Imagine um carro que se move com velocidade constante. Em um determinado momento, o motorista pisa no freio, reduzindo a velocidade sempre no mesmo ritmo e, assim que o carro para, engata rapidamente a marcha-à-ré e passa a mover-se para trás, aumentando o módulo da velocidade sempre no mesmo ritmo. Podemos sintetizar essas informações por meio de um gráfico, em que as mesmas informações estarão presentes. Veja a imagem a seguir.

v

t 0

v = 0 (nesse momento, o motorista inverte o sentido do movimento)

O módulo da velocidade aumenta, e o carro passa a se mover no sentido decrescente das posições

O módulo da velocidade diminui, e o carro continua a se mover no sentido crescente das posições

O carro se move com velocidade constante no sentido crescente das posições

GRáFICo PoSIçãoVERSUS TEMPo

A função horária da posição, para o MUV, é uma função do segundo grau, uma vez que:

Δs= v 0 t + 1 2

at^2 ou s – s 0 = v 0 t + 1 2

at^2

⇒ s = s 0 + v 0 t + 1 2

at^2

(equação do 2.º grau em função do tempo)

Dessa forma, a posição de um móvel, em MUV, é descrita por uma curva denominada parábola, em um gráfico de posição versus tempo. A seguir, apresentamos um gráfico da posição em função do tempo para um móvel em movimento uniformemente retardado, que passou pela posição s = 0 no instante t = 0. Também representamos alguns instantes após o móvel ter atingido o repouso. Naturalmente, nesse intervalo, a posição é constante, e o gráfico é uma reta paralela ao eixo do tempo.

Movimento Uniformemente Variado e Movimento Vertical

Fí

SICA

Editora Bernoulli

As sucessivas imagens da maçã e da pena, na fotografia

anterior, foram realizadas em intervalos de tempo iguais. Ao analisar a imagem (realizando medidas, o que não faremos),

é possível inferir que

1. o movimento de queda é uniformemente acelerado, e a aceleração, devido à gravidade ( g ), na superfície da Terra, é aproximadamente 9,8 m/s^2 , muitas vezes arredondada para 10 m/s^2.
2. se, ao cair, o movimento é uniformemente acelerado, ao subir (sem resistência do ar), o movimento é uniformemente retardado, sendo o módulo da aceleração também igual a 9,8 m/s^2.
3. é muito comum adotarmos um eixo, com o sentido positivo voltado para cima, para definirmos as grandezas cinemáticas de um corpo, a fim de estudarmos os movimentos verticais. Isso implica que a velocidade de um corpo que cai apresenta sinal negativo (–v), bem como o valor da aceleração devido à gravidade (g = –9,8 m/s^2 ), conforme ilustra a figura seguinte. Mas isso é uma convenção, e você pode alterá-la no momento que desejar. -

g < 0 g < 0

v < 0 v > 0

s

Queda Corpo acelerado

Subida Corpo desacelerado

FUNçÕES Do MoVIMENTo

VERTICAL

O movimento vertical livre é um movimento uniformemente

variado (acelerado ou retardado) e, portanto, as funções que o representam são as funções estudadas para o MUV. Alguns

textos de Física fazem uma pequena adaptação, substituindo a por g e Δs por h:

v = v 0 + at ⇒ v = v 0 + gt

∆s = v t 0 + at^ ⇒ h = v t +gt

2 0

2 2 2

v 2 = v 02 + 2 a s ∆ ⇒ v 2 = v 02 + 2 gh

EXERCíCIo RESoLVIDo

01. Da janela de seu apartamento, Elaine joga uma bola verticalmente para cima (v 0 = 5 m/s), como mostrado na figura. Despreze a resistência do ar e faça o que se pede.

A) Esboçar o gráfico de velocidade versus tempo para o movimento da bola, do instante em que a bola sai da mão de Elaine até o instante em que ela retorna à sua mão. B) Esboçar o gráfico de posição versus tempo para o movimento da bola, do instante em que ela sai da mão de Elaine até o instante em que ela retorna à sua mão. C) Esboçar o gráfico de aceleração versus tempo para o movimento da bola, do instante em que a bola sai da mão de Elaine até o instante em que ela retorna à sua mão. D) Calcular a distância percorrida pela bola enquanto esta esteve no ar. E) Qual o intervalo de tempo em que a bola fica no ar?

Resolução:

A) Como a bola é jogada para cima, sua velocidade inicial é positiva, considerando que o sentido positivo do eixo vertical é para cima. Logo, as grandezas direcionadas na vertical com sentido para baixo serão consideradas negativas. Sendo o movimento de subida e descida da bola um movimento uniformemente variado, temos que o gráfico de velocidade versus tempo desse movimento é representado por uma reta inclinada. O valor da velocidade inicial da bola é de 5,0 m/s^2 , e, no ponto mais alto de sua trajetória, a velocidade é nula, momentaneamente. Após esse instante, a bola começa a cair e sua velocidade aumenta, em módulo, mas possui sinal negativo, pois a bola move-se no sentido oposto ao convencionado como positivo, até retornar à mão de Elaine com velocidade de mesmo módulo com que foi lançada (essa é uma informação importante e deve ser memorizada).

Movimento Uniformemente Variado e Movimento Vertical

Coleção Estudo

Sendo assim, o gráfico de velocidade versus tempo para esse movimento é mostrado na figura a seguir:

–5 m/s

+5 m/s (^) O objeto está subindo. v = 0 (Neste momento, a bola atinge o ponto mais alto da trajetória.)

v

t

O objeto está descendo.

0

B) Para estudarmos a variação da posição da bola em função do tempo, precisamos utilizar a função

s = s 0 + v t 0 +at

2 2

Considerando que a bola esteja na origem de nosso sistema de coordenadas no instante inicial, temos que sua posição inicial é s 0 = 0. Logo, sua equação de posição em função do tempo será representada por:

s = 5t – 5t^2 (equação horária da posição)

(Lembre-se de que v 0 = 5 m/s e a = g ≈ –10 m/s^2 ). Deve-se trabalhar com uma função do segundo grau. Consequentemente, a representação das posições da bola no gráfico posição versus tempo será uma parábola. Como o sentido positivo é para cima e como a bola foi lançada para cima, temos que as posições ocupadas pela bola estão na parte positiva do eixo das posições. Logo, o gráfico de posição em função do tempo, para o movimento da bola, possui a forma mostrada na figura a seguir. s

Neste momento, a bola atinge o ponto mais alto da trajetória.

t

C) O valor da aceleração não mudou em instante algum, pois permanece constante e igual a –9,8 m/s^2 , durante todo o movimento. Tanto durante a subida quanto durante a descida, a aceleração, devido à gravidade, sempre aponta para baixo. Logo, o gráfico de aceleração versus tempo para esse movimento é uma reta paralela ao eixo do tempo, como representado a seguir: a

0

–9,8 m/s^2

O objeto está subindo. O objeto está descendo.

t

D) Utilizando a relação v 2 = v 02 + 2 a s∆ , durante o movimento de subida (v 0 = 5 m/s e vfinal = 0 m/s), e atentando para os sinais a serem utilizados para v 0 e g, temos: v 2 = v 02 + 2 a s ∆ ⇒ ( ) 0 2 = ( ) 5 2 + 2 (− 10 )∆s

0 = 25 – 20Δs ⇒ Δs = 1,25 m (subiu 1,25 m) Se a bola subiu 1,25 m, ela deverá descer 1,25 m. Logo, a distância percorrida pela bola foi de 2,5 m. E) Considerando novamente somente o intervalo de tempo de subida, teremos: v = v 0 + at ⇒ 0 = 5 – 10t ⇒ t = 0,5 s Logo, o intervalo de tempo total em que a bola fica no ar é de 1 s.

EXERCíCIoS DE FIXAção

01. (PUC Rio–2007) Um corredor velocista corre a prova dos 100 m rasos em, aproximadamente, 10 s. Considerando-se que o corredor parte do repouso, tendo aceleração constante, e atinge sua velocidade máxima no final dos 100 m, a aceleração do corredor durante a prova, em m/s^2 , é A) 1,0. D) 4,0. B) 2,0. E) 5,0. C) 3,0. 02. (CEFET-MG) Um carro corre a uma velocidade de 20 m/s quando o motorista vê um obstáculo 50 m à sua frente. A desaceleração mínima constante que deve ser dada ao carro para que não haja choque, em m/s^2 , é de A) 4,0. C) 1,0. B) 2,0. D) 0,5. 03. (UFSM) O gráfico a seguir representa a velocidade de um objeto lançado verticalmente para cima, desprezando-se a ação da atmosfera.

t (s)

v (m/s)

1 2 3 4

20

10 0

Assinale a afirmativa INCoRRETA. A) O objeto atinge, 2 segundos após o lançamento, o ponto mais alto da trajetória. B) A altura máxima atingida pelo objeto é 20 metros. C) O deslocamento do objeto, 4 segundos após o lançamento, é zero. D) A aceleração do objeto permanece constante durante o tempo observado e é igual a 10 m/s^2. E) A velocidade inicial do objeto é igual a 20 m/s.

Frente A Módulo 02