Fisica 2, Notas de estudo de Física

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Volume 02

FÍSICA

Coleção Estudo

Sumário - Física

Frente A

03

3 Introdução à Cinemática vetorial Autor: Francisco Pazzini Couto

04

15 Lançamento horizontal e lançamento oblíquo Autor: Francisco Pazzini Couto

Frente B

03

25 Calorimetria Autor: Luiz Machado

04

37 Gases Autor: Luiz Machado

Frente C

03

47 Espelhos esféricos Autor: Lívio Ribeiro Canto

04

57 Refração da luz Autor: Lívio Ribeiro Canto

Frente D

04

69 Trabalho e potencial elétrico Autores: Luiz Machado Lívio Ribeiro Canto

05

81 Condutores Autores: Luiz Machado Lívio Ribeiro Canto

06

91 Corrente elétrica Autores: Luiz Machado Lívio Ribeiro Canto

Coleção Estudo

Frente A Módulo 03

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01. A figura a seguir representa os vetores velocidade

de quatro automóveis em uma esquina. Marcar a(s) alternativa(s) que contém apenas afirmativas corretas.

A

vA

vB vC

vD

B

C

D

A) vB e vD têm mesma direção.

B) vB e vC têm mesma direção.

C) vB e vD têm mesma direção e sentidos opostos.

D) vA e vD têm mesmo sentido.

E) vC e vD têm direção e sentidos opostos.

F) vA e vC têm módulos diferentes.

G) vB e vD são iguais.

Resolução :

Dois ou mais vetores possuem a mesma direção quando são paralelos. Logo, apenas os vetores velocidade dos carros B, C e D possuem a mesma direção. Para que dois ou mais vetores tenham o mesmo sentido, esses devem estar na mesma direção e devem estar orientados para o mesmo lado. Assim, temos que apenas os vetores vB e vD possuem o mesmo sentido. Sabemos, também, que dois vetores possuem módulos diferentes quando os segmentos de reta que os representam possuem comprimentos diferentes. Como os vetores vA, vB e vC possuem o mesmo comprimento, as velocidades de vA, vB e vC possuem também o mesmo módulo. Já o vetor vD possui módulo menor que os demais. Dois vetores são iguais quando possuem mesmo módulo, direção e sentido. Tendo em vista os comentários anteriores, temos que as afirmativas corretas são A e B.

Adição vetorial

Assim como as grandezas escalares, as grandezas vetoriais

também estão submetidas a regras de operações matemáticas,

como adição, subtração, multiplicação, etc. Estudaremos

dois processos para a realização de adições vetoriais:

o método da poligonal ou o método do paralelogramo.

Consideremos dois vetores deslocamento, d 1 e d 2 , mostrados

na figura a seguir.

d 1

d 2

Vejamos, então, os dois processos pelos quais pode ser realizada a soma vetorial dos vetores d 1 e d 2.

1º método: Poligonal

Para realizarmos a soma vetorial d = d 1 + d 2 , pelo método da poligonal, devemos desenhar a origem do vetor d 2 na extremidade do vetor d 1. O vetor soma d dos deslocamentos d 1 e d 2 é o segmento de reta cuja origem é a origem de d 1 e cuja extremidade é a extremidade de d 2 , como representado na figura a seguir. Ao mover os vetores d 1 e d 2 , não podemos alterar seus módulos, suas direções, nem seus sentidos.

d

d 2 d 2 d 1 d 1

Para determinarmos o módulo de d, devemos utilizar uma escala anteriormente fornecida para os módulos dos vetores d 1 e d 2 ou aplicar a Lei dos Cossenos. O vetor d é denominado vetor resultante ou vetor soma. Posteriormente, serão dados alguns exemplos numéricos.

Esse método de soma vetorial nos permite somar mais de dois vetores ao mesmo tempo. Se tivéssemos quatro vetores, como os representados na figura seguinte, para realizarmos a soma vetorial R = a + b + c + d, bastaria procedermos de forma análoga, isto é, sempre desenhar a origem do vetor seguinte na extremidade do vetor anterior, tomando o cuidado de não alterar os módulos, as direções e os sentidos dos vetores. O vetor resultante dessa operação seria um vetor, cuja origem seria a origem de a e cuja extremidade seria a extremidade de d, conforme a figura a seguir.

a (^) a

d

d

b

c

c

b

R

2º método: Paralelogramo

A soma vetorial d = d 1 + d 2 realizada, pelo método do paralelogramo, é feita desenhando os vetores d 1 e d 2 com a mesma origem e traçando um paralelogramo a partir desses vetores. O vetor soma d terá como origem a origem dos vetores d 1 e d 2 e, como extremidade, a interseção dos dois segmentos paralelos aos vetores d 1 e d 2. Veja a figura a seguir:

d

d 2 d 2

d 1 d 1

Introdução à Cinemática vetorial

Editora Bernoulli

FÍSICA

Obviamente, os dois métodos de soma vetorial apresentados

devem conduzir ao mesmo resultado, isto é, o vetor d obtido

pelos dois métodos deve ter o mesmo módulo, a mesma

direção e o mesmo sentido. Quando desejarmos somar mais

de 2 vetores, o método da poligonal deverá ser utilizado,

pois o método do paralelogramo somente permite somar 2

vetores de cada vez. Vejamos agora três exemplos numéricos

associados à soma de vetores. Sejam os vetores s 1 e s 2

mostrados a seguir, que representam o deslocamento de uma

pessoa, com módulos iguais a 4 u e 3 u, respectivamente.

A escala utilizada para representar os vetores é de 1 cm

para cada 2 u (u = unidade arbitrária).

1º exemplo: vetores de mesma direção e de mesmo

sentido

s 2

s s 1

s 1 s 2

Operação: s = s 1 + s 2

Módulo de s = |s| = s = s 1 + s 2 = 4 u + 3 u = 7 u

Esse exemplo pode ser aplicado em várias situações físicas.

Quando um boxeador aplica um soco em seu oponente, ele

não move apenas o seu braço, mas também o seu tronco,

ou seja, a velocidade do soco aplicado é resultado da soma

vetorial da velocidade do tronco com a velocidade do braço.

O resultado é... muita dor!

vTronco

vTronco

vTotal

vBraço

vBraço

O mesmo processo ocorre quando andamos em uma

escada rolante no mesmo sentido do movimento da escada,

ou quando um barco desce um rio a favor da correnteza.

Nesses casos, devemos somar os módulos das velocidades

para encontrar o módulo da velocidade resultante.

2º exemplo: vetores de mesma direção e de sentidos

opostos

s

s 1

s 1

s 2

s 2

Operação: s = s 1 + s 2

Módulo de s = |s| = s = s 1 – s 2 = 4 u – 3 u = 1 u

Várias são as situações físicas nas quais encontramos uma operação vetorial como a mencionada nesse segundo exemplo. Um barco subindo um rio contra a correnteza, um avião movendo-se no sentido oposto ao do vento ou uma pessoa andando na “contramão” de uma escada rolante são exemplos de situações cotidianas em que a velocidade resultante é obtida por meio da soma de dois vetores velocidade com mesma direção e sentidos opostos.

Suponha que a velocidade de um barco imprimida pelo seu motor seja de 25 km/h, e que o barco se encontra subindo o rio, cuja correnteza apresenta uma velocidade de valor igual a 5 km/h. Uma pessoa na margem do rio observará o barco mover-se a uma velocidade de 20 km/h, uma vez que os vetores velocidade do barco e da correnteza apresentam mesma direção e sentidos opostos. É por isso que em uma viagem de barco entre Manaus e Belém gasta-se, aproximadamente, 4 dias na ida, enquanto que, na volta, gasta-se, aproximadamente, 5 dias de viagem.

3º exemplo: vetores perpendiculares entre si

Considere agora duas pessoas arrastando um objeto por meio de duas cordas que formam um ângulo de 90º entre si, sendo que uma pessoa exerce uma força de 4 N e outra, uma força de 3 N. Qual o valor da força resultante? O diagrama a seguir representa a situação descrita. Utilizando os dois métodos de soma de vetores anteriormente apresentados, temos:

s

s

s 1

s 1

s 1

s 2

s 2

s 2

Método do paralelogramo

Método da poligonal

Operação: s = s 1 + s 2

Módulo de s = |s| = s = s^12 +^ s 22 = 4 3

(^2) + 2 = 5 N

Observe que os dois métodos de soma vetorial conduzem à mesma resposta: o vetor resultante possui o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido, qualquer que seja o processo utilizado para realizar a soma. A soma de dois vetores perpendiculares entre si é um processo muito útil, por exemplo, quando desejamos determinar a velocidade resultante de um barco em relação à margem de um rio, quando o barco pretende atravessar o rio de uma margem a outra.

Considere um barco atravessando um rio, cuja velocidade da correnteza é vc = 6 km/h. O barco possui um motor que o impulsiona em uma direção perpendicular às margens do rio, com velocidade de módulo vb = 8 km/h, em relação à água, como mostra a figura a seguir.

Introdução à Cinemática vetorial

Editora Bernoulli

FÍSICA

DESLOCAMENTO VETORIAL

Os conceitos de distância percorrida e de deslocamento

são diferentes. Por exemplo, ao realizarmos uma volta

completa ao mundo, tendo como ponto de partida e de

chegada a mesma posição, nosso deslocamento será nulo,

em contrapartida à distância percorrida, que não será nula.

Denominamos de deslocamento vetorial s o vetor cuja

origem coincide com o ponto de partida do movimento de um

corpo, e cuja extremidade coincide com o ponto de chegada

do movimento desse. Considere um carro viajando de uma

cidade A para outra cidade B, como representado na figura

a seguir, em que s representa o deslocamento vetorial e

d representa a distância percorrida.

Rodovia

A B

d

s

Observe que, nessa situação, o módulo do vetor

deslocamento s é menor que a distância percorrida. Isso

evidencia um fato importante: o módulo do deslocamento

vetorial nem sempre coincide com o valor da distância

percorrida d. Esses só serão coincidentes quando a trajetória

for retilínea.

VELOCIDADE VETORIAL

A imagem seguinte mostra um esmeril lançando

fagulhas metálicas que se encontram a altas temperaturas.

Essas fagulhas são pedacinhos incandescentes que se

desprendem tanto do metal lixado quanto do esmeril.

U.S. Navy / Creative Commons

v

P

Esmeril

Observe que o esmeril está girando, e a trajetória das

fagulhas é tangente à trajetória dos pontos do esmeril, que

estão em contato com o metal. Uma fagulha que se solta

do esmeril no ponto P apresenta um vetor velocidade com

as seguintes características:

Módulo: igual ao módulo da velocidade escalar instantânea do ponto P.

Direção: tangente à trajetória do ponto P.

Sentido: o mesmo sentido do movimento do ponto P.

Tendo em vista as características anteriores, conclui-se um importante fato: o vetor velocidade de um corpo em movimento é sempre tangente à trajetória do corpo.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

03. (UFMG) B

C

D

A

Essa figura mostra um carro que, fazendo uma curva, perde a calota da roda traseira direita. A figura indica essa situação, vista de cima, no instante em que a calota se desprende.

Desprezando-se a resistência do ar, pode-se afirmar que, imediatamente após a calota se soltar, ela se moverá, aproximadamente, em direção ao ponto

A) A. C) C.

B) B. D) D.

Resolução :

Observe que o movimento do carro é um movimento curvilíneo, como aquele mostrado na figura do esmeril. O vetor velocidade do carro é corretamente representado por um vetor que seja tangente à trajetória desse e no mesmo sentido de seu movimento, conforme ilustra a figura a seguir:

B

C

D

A

v

Estando a calota, inicialmente, presa ao carro, temos que o vetor velocidade dela será idêntico ao vetor velocidade do carro, até o momento em que essa se desprenda do carro. Logo, quando a calota se desprender, seu vetor velocidade estará orientado na direção mostrada na figura anterior. Assim, a calota se moverá em direção ao ponto A.

Coleção Estudo

Frente A Módulo 03

MUDANÇAS DE REFERENCIAL

Durante um longo tempo da história da humanidade,

pensou-se que a Terra fosse o centro do Universo. Era natural

tomá-la como referência para classificar os objetos como

estando em movimento ou em repouso. Hoje sabemos que

a Terra gira ao redor do Sol e que este, por sua vez, arrasta

todos os planetas do sistema solar em seu movimento

ao redor do centro de nossa galáxia. A nossa galáxia,

a Via-Láctea, por sua vez, está em movimento em relação

a outras galáxias. Enfim, não existe um local, um sistema

de referência absoluto, como imaginaram Newton e outros

cientistas. No entanto, como usualmente trabalhamos com

situações que envolvem pequenos intervalos de tempo

(segundos, dias, meses), podemos considerar as estrelas

como um sistema de referência inercial.

Ao mudarmos de um sistema de referência para outro,

devemos tomar alguns cuidados para que não incorramos

em erros. Faremos uma descrição simplificada de alguns

aspectos dessa mudança, utilizando situações cotidianas:

uma pessoa nas margens de um rio e outra pessoa dentro

de um barco medindo a velocidade desse barco; uma pessoa

no piso de um shopping e outra pessoa na escada rolante

observando o deslocamento de uma terceira pessoa que

sobe correndo a escada rolante; o piloto de um avião e a

torre de comando comunicando-se em um voo, diante de

uma forte corrente de ar, etc.

Situações envolvendo mudanças de referencial, de uma

forma geral, podem ser descritas da seguinte maneira:

Considere um sistema de referência R 1 e outro sistema de

referência R 2 , que se move com velocidade v’ em relação a R 1 ,

e um corpo qualquer, que se desloca com velocidade v’’

em relação ao referencial R 2. Qual será a velocidade v do

corpo em relação a um observador que se encontra em R 1?

A figura a seguir representa um exemplo de situações

como essa.

v’

v’’

R 2

R 1

Nessa figura, o solo representa o referencial R 1 , o ônibus

representa o referencial R 2 , e a pessoa dentro do ônibus é

o corpo que se move em relação ao ônibus. A velocidade

da pessoa em relação ao solo, v, pode ser obtida por

meio da soma vetorial do vetor velocidade da pessoa

em relação ao ônibus, v’’, com o vetor velocidade do

ônibus em relação ao solo, v’. Como esses dois vetores velocidade estão na mesma direção e no mesmo sentido, o módulo dessa soma vetorial é igual à soma dos módulos dos vetores, ou seja:

|v| = |v”| + |v’| ⇒ v = v” + v’

As situações anteriormente descritas podem ser associadas ao desenho da seguinte maneira:

Observador (em R 1 ) R 2 Objeto

Pessoa na margem de um rio

Rio com correnteza

Barco

Pessoa no solo Corrente de ar Avião

Pessoa no piso de um shopping

Escada rolante

Pessoa correndo na escada

No próximo tópico, apresentaremos alguns exemplos numéricos de situações que envolvem uma mudança de referencial.

COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS

Existem várias situações cotidianas nas quais um objeto possui uma velocidade resultante, que é a soma vetorial de duas velocidades componentes, como um barco se movendo em um rio, uma pessoa se movendo no interior de um ônibus em movimento, uma pessoa caminhando em uma escada rolante, etc. Vejamos um exemplo numérico de um barco atravessando um rio.

O barco da figura a seguir, orientado perpendicularmente às margens de um rio, é impulsionado pelos motores, que imprimem ao barco uma velocidade vb = 4 km/h (velocidade própria do barco). Simultaneamente, as águas arrastam o barco rio abaixo, com velocidade vc = 3 km/h, em relação às margens (velocidade de arrastamento). O movimento do barco é resultado da superposição de dois movimentos independentes: um, na direção perpendicular às margens (direção de vb ) e outro, na direção da correnteza (direção de vc).

Sendo o movimento do barco o resultado da combinação de dois movimentos retilíneos uniformes perpendiculares entre si, temos que a trajetória resultante é retilínea, já que não há aceleração atuando sobre o barco em nenhuma direção, e oblíqua em relação às velocidades componentes.

Coleção Estudo

Frente A Módulo 03

02. (UNITAU-SP) Uma grandeza física vetorial fica

perfeitamente definida quando dela se conhecem A) valor numérico, desvio e unidade.

B) valor numérico, desvio, unidade e sentido.

C) desvio, direção, sentido e unidade.

D) valor numérico, unidade, direção e sentido.

03. (UFC) A figura adiante mostra o mapa de uma cidade em

que as ruas retilíneas se cruzam perpendicularmente, e cada quarteirão mede 100 m. Você caminha pelas ruas a partir de sua casa, na esquina A, até a casa de sua avó, na esquina B. Dali, segue até sua escola, situada na esquina C. A menor distância que você caminha e a distância em linha reta entre sua casa e a escola são, respectivamente,

C

100 m B

A D

A) 1 800 m e 1 400 m. D) 1 200 m e 800 m. B) 1 600 m e 1 200 m. E) 1 000 m e 600 m.

C) 1 400 m e 1 000 m.

04. (Mackenzie-SP) Num mesmo plano vertical, perpendicular

à rua, temos os segmentos de reta AB e CD, paralelos entre si. Um ônibus se desloca com velocidade constante de módulo v 1 , em relação à rua, ao longo de AB, no sentido de A para B, enquanto um passageiro se desloca no interior do ônibus, com velocidade constante de módulo v 2 , em relação ao veículo, ao longo de CD, no sentido de C para D. Sendo v 1 > v 2 , o módulo da velocidade do passageiro em relação ao ponto B da rua é

A B

D C

A) v 1 + v 2. C) v 2 – v 1. E) v 2.

B) v 1 – v 2. D) v 1.

05. ( FEI-SP) Um barco movido por motor desce 120 km de um

rio em 2 h. No sentido contrário, demora 3 h para chegar ao ponto de partida. Qual é a velocidade da água do rio? Sabe-se que, na ida e na volta, a potência desenvolvida pelo motor é a mesma.

A) 15 km/h C) 30 km/h E) 48 km/h

B) 20 km/h D) 10 km/h

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01. (UNESP-SP) Nas provas dos 200 m rasos, no atletismo, os atletas partem de marcas localizadas em posições diferentes na parte curva da pista e não podem sair de suas raias até a linha de chegada. Dessa forma, podemos afirmar que, durante a prova, para todos os atletas, o

A) espaço percorrido é o mesmo, mas o deslocamento e a velocidade vetorial média são diferentes.

B) espaço percorrido e o deslocamento são os mesmos, mas a velocidade vetorial média é diferente.

C) deslocamento é o mesmo, mas o espaço percorrido e a velocidade vetorial média são diferentes.

D) deslocamento e a velocidade vetorial média são iguais, mas o espaço percorrido é diferente.

E) espaço percorrido, o deslocamento e a velocidade vetorial média são iguais.

02. (UFJF-MG–2007) Um homem parado numa escada rolante leva 10 s para descê-la em sua totalidade. O mesmo homem leva 15 s para subir toda a escada rolante de volta, caminhando contra o movimento dela. Quanto tempo o homem levará para descer a mesma escada rolante, caminhando com a mesma velocidade com que subiu?

A) 5,00 s C) 10,00 s E) 7,50 s

B) 3,75 s D) 15,00 s

03. (UFMG) Um menino flutua em uma boia que está se movimentando, levada pela correnteza de um rio. Uma outra boia, que flutua no mesmo rio a uma certa distância do menino, também está descendo com a correnteza. A posição das duas boias e o sentido da correnteza estão indicados nesta figura.

K L^ M

Correnteza

K L^ M N

Correnteza

N

Considere que a velocidade da correnteza é a mesma em todos os pontos do rio. Nesse caso, para alcançar a segunda boia, o menino deve nadar na direção indicada pela linha

A) K.

B) L.

C) M.

D) N.

Introdução à Cinemática vetorial

Editora Bernoulli

FÍSICA

04. ( UNESP-SP) Um caminhoneiro efetuou duas entregas

de mercadorias e, para isso, seguiu o itinerário indicado pelos vetores deslocamento d 1 e d 2 ilustrados na figura.

d 1 = 10 km

d 2 = 6 km

Para a primeira entrega, ele deslocou-se 10 km e para a segunda entrega, percorreu uma distância de 6 km. Ao final da segunda entrega, a distância a que o caminhoneiro se encontra do ponto de partida é

A) 4 km. C) 2 ¹19 km. E) 16 km.

B) 8 km. D) 8 ¹3 km.

05. (PUC Minas) Você e um amigo resolvem ir ao último

andar de um edifício. Vocês partem juntos do primeiro andar. Entretanto, você vai pelas escadas e seu amigo, pelo elevador. Depois de se encontrarem na porta do elevador, descem juntos pelo elevador até o primeiro andar. É CORRETO afirmar que

A) o seu deslocamento foi maior que o de seu amigo. B) o deslocamento foi igual para você e seu amigo.

C) o deslocamento de seu amigo foi maior que o seu.

D) a distância que seu amigo percorreu foi maior que a sua.

06. (PUC Rio) Um veleiro deixa o porto navegando 70 km

em direção leste. Em seguida, para atingir seu destino, navega mais 100 km na direção nordeste. Desprezando a curvatura da Terra e admitindo que todos os deslocamentos são coplanares, determine o deslocamento total do veleiro em relação ao porto de origem.

(Considere ¹ 2 = 1,40 e ¹ 5 = 2,20)

A) 106 km C) 154 km E) 217 km

B) 34 km D) 284 km

07. (UERJ–2010) Dois automóveis, M e N, inicialmente a

50 km de distância um do outro, deslocam-se com velocidades constantes na mesma direção e em sentidos opostos. O valor da velocidade de M, em relação a um ponto fixo da estrada, é igual a 60 km/h. Após 30 minutos, os automóveis cruzam uma mesma linha da estrada.

Em relação a um ponto fixo da estrada, a velocidade de N tem o seguinte valor, em quilômetros por hora:

A) 40 km/h

B) 50 km/h

C) 60 km/h D) 70 km/h

08. (UFC) M e N são vetores de módulos iguais (|M| = |N| = M). O vetor M é fixo, e o vetor N pode girar em torno do ponto O (veja figura) no plano formado por M e N. Sendo R = M + N, indique, entre os gráficos a seguir, aquele que pode representar a variação de |R| como função do ângulo θ entre M e N.

D) 2M

–2M

π 2 π

A) 2M

(^0) π 2 π

B) 2M

(^0) π 2 π

C) 2M 0 –2M 2 π

π

O M

N

θ

E) 2M

(^0) π 2 π

09. (UFMG) Tomás está parado sobre a plataforma de um brinquedo, que gira com velocidade angular constante. Ele segura um barbante, que tem uma pedra presa na outra extremidade, como mostrado nesta figura:

P

Quando Tomás passa pelo ponto P, indicado na figura, a pedra se solta do barbante. Assinale a alternativa em que MELHOR se representa a trajetória descrita pela pedra, logo após se soltar, quando vista de cima.

P

P

P

A)

C)

P

B)

D)

Introdução à Cinemática vetorial

Editora Bernoulli

FÍSICA

15. (UFSC) Descendo um rio em sua canoa, sem remar, dois

pescadores levam 300 segundos para atingir o seu ponto de pesca, na mesma margem do rio e em trajetória retilínea. Partindo da mesma posição e remando, sendo a velocidade da canoa, em relação ao rio, igual a 2,0 m/s, eles atingem o seu ponto de pesca em 100 segundos. Após a pescaria, remando contra a correnteza do rio, eles gastam 600 segundos para retornar ao ponto de partida.

Ponto de partida

Ponto de pesca

v(CR)

d

Considerando que a velocidade da correnteza v(CR) é constante, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

1. Quando os pescadores remaram rio acima, a velocidade da canoa, em relação à margem, foi igual a 4,00 m/s.
2. Não é possível calcular a velocidade com que os pescadores retornaram ao ponto de partida, porque a velocidade da correnteza não é conhecida.
3. Quando os pescadores remaram rio acima, a velocidade da canoa, em relação ao rio, foi de 1,50 m/s.
4. A velocidade da correnteza do rio é 1,00 m/s.
5. Como a velocidade da canoa foi de 2,0 m/s, quando os pescadores remaram rio abaixo, então, a distância do ponto de partida ao ponto de pesca é 200 m.
6. Não é possível determinar a distância do ponto de partida até o ponto de pesca.
7. O ponto de pesca fica a 300 metros do ponto de partida.

Soma ( )

16. (Mackenzie-SP) Um passageiro em um trem, que se move

para sua direita em movimento retilíneo e uniforme, observa a chuva através da janela. Não há ventos e as gotas de chuva já atingiram sua velocidade limite. O aspecto da chuva observado pelo passageiro é

B)

Janela

Janela

A)

C)

Janela

D)

Janela E)

Janela

17. (UEL-PR–2010) Observe as figuras a seguir:

Ponto de fuga

LH

Disponível em: <http://www.amopintar.com/perspectiva.com- um.ponto-de.fuga>. Acesso em: 20 ago. 2009.

Considere que você esteja assistindo a um filme no qual um caminhão percorre uma estrada, como a da foto, em direção ao ponto de fuga. Sabe-se que a traseira desse caminhão mede 2 m de largura. Fazendo uma análise quadro a quadro do filme, chega-se às seguintes conclusões:

• Uma boa aproximação para o ângulo formado pelas linhas que partem dos extremos superiores da traseira do caminhão até o ponto de fuga é de 5,2º.
• Após um segundo de movimento, o tamanho aparente da traseira do caminhão reduziu-se à metade.

Sabendo que tg (2,6°)≈0,045, a velocidade média do caminhão, nesse intervalo de tempo, é de, aproximadamente,

A) 12 km/h.

B) 25 km/h.

C) 40 km/h.

D) 59 km/h.

E) 80 km/h.

Coleção Estudo

Frente A Módulo 03

03. Durante uma aula de Educação Física, uma bola é chutada obliquamente em relação ao solo. Uma estudante representa vetorialmente a velocidade inicial (v 0 ) da bola e suas componentes ortogonais. A representação feita por ela é mostrada na figura a seguir.

v0y

v0x

v 0

θ

Ela distribui seu diagrama a 5 colegas de grupo e cada uma das colegas elabora um comentário sobre o esquema.

Carolina: Os módulos dos vetores v0x e v0y podem se tornar maiores que o módulo do vetor v 0 , caso o valor de θ varie.

Marina: A soma dos módulos dos vetores v0x e v0y sempre será igual ao valor do módulo do vetor v 0.

Fernanda: O vetor v0y pode ser obtido por meio da soma vetorial do vetor v 0 com o vetor v0x.

Isabela: Apesar de o diagrama mostrar três vetores, os vetores v 0 , v0x e v0y não possuem existência concomitante.

Larissa: Esse diagrama não poderia ser utilizado para representar outras grandezas vetoriais.

O comentário correto foi feito pela estudante

A) Carolina. C) Fernanda. E) Larissa.

B) Marina. D) Isabela.

GABARITO

Fixação

1. D 02. D 03. C 04. B 05. D

Propostos

1. A 06. C 11. A 16. B
2. B 07. A 12. A 17. C
3. A 08. B 13. C
4. C 09. D 14. D
5. B 10. A 15. Soma = 76

Seção Enem

1. A 02. B 03. D

SEÇÃO ENEM

01. A figura a seguir foi retirada de uma página da Internet

relacionada ao estudo de conceitos de Física.

Pode-se associar a figura com o seguinte tema:

A) Deslocamentos sucessivos

B) Intervalos de tempo

C) Somatório de volumes

D) Velocidade relativa de veículos

E) Somatório de massas

02. A utilização dos rios como via de transporte / navegação

sempre foi presente na história da humanidade. No Brasil, o transporte fluvial é muito utilizado na região Norte devido ao elevado número de rios e devido à escassez de rodovias. Uma característica positiva desse meio de transporte é o baixo custo e o baixo impacto ambiental. Um dos principais problemas desse tipo de transporte está ligado à irregularidade da superfície (topografia), que deve ser plana, além de levar em conta aspectos de caráter natural, como os períodos de cheias e de vazantes dos rios, ambas relacionadas ao volume de água que sofrem variações e que interferem na navegação. Assim como as estradas, os rios apresentam suas regras de tráfego para os barcos. Barcos que descem o rio o fazem movimentando-se sempre no meio do rio, enquanto que os barcos que sobem o rio o fazem trafegando sempre próximo às margens. A característica dos rios que melhor explica as regras do tráfego descritas é

A) a diferença do nível de água do rio entre o período de cheias e o período de seca.

B) a menor velocidade da água do rio próximo à margem em comparação à posição central.

C) o desgaste desigual das margens direita e esquerda dos rios devido à rotação da Terra.

D) o desnível das diferentes partes do rio no seu curso superior, intermediário e inferior.

E) o fato de os rios apresentarem maior profundidade do seu leito na parte central que nas margens.

Coleção Estudo

Frente A Módulo 04

A imagem anterior nos permite concluir que

1. o intervalo de tempo de queda é o mesmo para as duas esferas;
2. ambos os movimentos são acelerados, possuindo o mesmo vetor aceleração (mesmo módulo, direção e sentido);
3. uma trajetória é retilínea, enquanto a outra é parabólica.

Diante das observações anteriores, surgem os seguintes

questionamentos:

• Por que o intervalo de tempo de queda é o mesmo? Como Galileu argumentou, o tempo de queda depende somente do movimento das esferas na direção vertical. As duas esferas apresentavam a mesma velocidade inicial na direção vertical, quando o movimento iniciou, v (^0) y = 0. Portanto, como as esferas iniciam o movimento à mesma altura, no mesmo instante, no mesmo local (ou seja, submetidas ao mesmo vetor aceleração) e com a mesma velocidade inicial na direção vertical, elas devem cair ao mesmo tempo.
• Por que ambos os movimentos são acelerados? Ambas as esferas estão sujeitas à gravidade e, ao desprezarmos a influência da resistência do ar, observamos que o valor da velocidade vertical das esferas aumenta continuamente, já que a distância vertical percorrida em um mesmo intervalo de tempo é crescente. Além disso, o espaço vertical percorrido por ambas as esferas é sempre o mesmo em qualquer intervalo de tempo. Consequentemente, os valores das suas velocidades são sempre iguais e, portanto, pode-se concluir que a aceleração é a mesma para as duas esferas.
• Por que uma trajetória é retilínea, e a outra, parabólica? Para responder a essa questão, temos de decompor o movimento da esfera que foi lançada horizontalmente.

Decomposição do movimento

Sabemos que, para alterar a velocidade de um objeto,

é necessária a ação de uma aceleração. Esse é um dos

fundamentos das Leis de Newton que estudaremos

posteriormente. Portanto, somente a ação de uma força pode

alterar o módulo ou a direção da velocidade de um objeto.

Se não houvesse gravidade ou resistência do ar, uma esfera

que rolasse sobre uma mesa e a abandonasse continuaria a

se mover com velocidade constante, percorrendo distâncias

iguais em intervalos de tempos iguais, apresentando um

movimento retilíneo uniforme.

Se uma esfera é simplesmente solta, a partir de uma certa altura, seu movimento é um movimento de queda livre, como mostrado na figura a seguir. Esse movimento é um movimento acelerado, o que indica que a distância percorrida, em intervalos de tempo iguais, aumenta cada vez mais.

A trajetória parabólica descrita pela esfera, quando esta é lançada horizontalmente, é resultado da combinação do movimento horizontal (uniforme) com o movimento vertical (acelerado). Cada um dos movimentos é independente do outro, e seus efeitos, combinados, produzem a trajetória parabólica da esfera.

As equações e as características vetoriais para os movimentos mencionados já foram estudadas em módulos anteriores, devendo ser, agora, aplicadas conjuntamente. Na direção horizontal, como o movimento é uniforme, o vetor velocidade permanece constante em módulo, direção e sentido. Na direção vertical, como o movimento é uniformemente acelerado, o vetor velocidade possui direção vertical, sentido para baixo e módulo crescente, de acordo com as equações já estudadas. O quadro a seguir apresenta o vetor velocidade para cada um dos movimentos componentes do movimento da esfera e as características associadas a eles.

Direção horizontal Direção vertical

Movimento uniforme Movimento uniformemente acelerado

dx = vt dy = v 0 t + ½(at^2 )

vx = constante vy = v 0 + at

ax = 0 ay = 9,8 m/s^2

v = vx + vy e v^2 = v^2 x + v^2 y

Lançamento horizontal e lançamento oblíquo

Editora Bernoulli

FÍSICA

É importante observar que o vetor velocidade v de um

corpo é sempre tangente à trajetória deste, em qualquer

posição.

vy

v

vx

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01. (PUC Minas) A figura a seguir mostra uma esfera lançada

com velocidade horizontal de 5,0 m/s de uma plataforma de altura h = 1,8 m.

x

h

v 0

Ela deve cair dentro do pequeno frasco colocado a uma distância x do pé da plataforma. A distância x deve ser de, aproximadamente,

A) 1,0 m.

B) 2,0 m.

C) 2,5 m.

D) 3,0 m.

E) 3,5 m.

Resolução:

O intervalo de tempo de queda da esfera, desde o instante em que ela abandona a plataforma até o instante em que ela cai dentro do pote, em uma trajetória parabólica, será igual ao intervalo de tempo que a esfera gastaria para chegar ao solo em um movimento vertical, em queda livre, de uma altura de 1,8 m. Utilizando a equação da Cinemática d = v 0 t + ½(at^2 ), para essa situação, encontraremos um intervalo de tempo de queda igual a 0,6 s. Como na direção horizontal o movimento da esfera é uniforme, a distância horizontal percorrida por ela, no intervalo de tempo adequado, é dada por:

dH = vHt = 5,0.0,6 = 3,0 m

Lançamento oblíquo

Em toda prova de arremesso, seja ela de dardo, de disco,

de martelo ou de peso, os competidores sempre procuram

arremessar os objetos quando estes formam um ângulo de

45º com a horizontal. É para esse valor de ângulo que um

corpo arremessado percorre a maior distância horizontal,

comparativamente a corpos arremessados com velocidades

de mesmo módulo.

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/ Creative Commons

O lançamento oblíquo nada mais é do que uma extensão

do lançamento horizontal estudado no tópico anterior. Nessa

nova situação, o lançamento é feito com velocidade vertical

inicial diferente de zero. Dessa forma, devemos analisar o

movimento vertical na subida e na descida, mas isso não

representará grande dificuldade, já que a descrição física e

matemática dos movimentos verticais de subida e descida

são análogas.

Imagine uma bala de canhão lançada obliquamente com uma velocidade inicial v 0 , inclinada de um ângulo θ em relação à horizontal.

Lançamento horizontal e lançamento oblíquo

Editora Bernoulli

FÍSICA

Desse modo, o intervalo de tempo total de permanência

do projétil no ar será dado por:

ttotal =

2v 0. ens g

θ

Observação: Apesar do sinal negativo antes da expressão

que determina o tempo total do movimento, este obviamente

não é negativo, já que, por causa do eixo de referência

usado, o valor de g também é negativo. Essa observação

vale para as equações posteriores que apresentarem o

mesmo fenômeno.

Altura máxima (h

MÁX.

)

O valor da altura máxima (hMÁX.) atingida pelo projétil,

em relação ao solo, pode ser determinado, lembrando-se que

hMÁX. é o valor da altura vertical quando vy se anula. Na direção

vertical, durante a subida, o movimento é uniformemente

desacelerado. Utilizando a equação de Torricelli:

v^2 y = v^2 0y + 2ghMÁX. ⇒ 02 = v^20 y + 2ghMÁX. ⇒ hMÁX. =

−v

g

(^0) y

2

⇒ hMÁX. = −v^ sen g

0

2 2

2

. θ

Alcance horizontal

O alcance horizontal (A) é a distância percorrida pelo

projétil, na horizontal, desde o instante do lançamento até

o momento em que o projétil toca o solo. Seu valor é igual

ao deslocamento horizontal do projétil durante o intervalo de

tempo total do movimento. Como o movimento é uniforme,

podemos escrever que:

dH = vt ⇒ A = v (^0) x t = v 0 .cos θ −

2v 0. ens g

θ (^) = –2v 2 0

sen g

θ.cos θ

Como 2sen θ.cos θ = sen (2θ) ⇒ A

v

g

= sen

(^0) ( )

2 2 θ.

Observe que a equação anterior nos permite determinar

qual deve ser o ângulo de lançamento para que o alcance

horizontal seja máximo. Devemos procurar um ângulo no

qual o valor de sen (2 θ) seja o maior possível. A imagem

da função seno varia de –1 a +1, sendo que entre 0 e π,

apenas sen 90º = +1. Desse modo, podemos concluir que

o valor de θ para que o alcance do projétil seja máximo

deve ser igual a 45º. Por esse motivo, no início do módulo,

dissemos que os atletas de arremesso de dardo (ou outro

objeto qualquer) procuram lançar os dardos com um

ângulo igual a 45º em relação à direção horizontal.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

02. Uma bala de canhão é lançada obliquamente com velocidade v 0 , de módulo 50 m/s, sob um ângulo de lançamento θ, (sen θ = 0,6 e cos θ = 0,8), conforme a figura a seguir:

t 0 = 0 (^) θ Plano horizontal

v 0

v 1 v 2 v 3

Calcular, considerando g = 10 m/s^2 , e desprezando a influência do ar,

A) o valor da velocidade no ponto mais alto da trajetória.

B) o intervalo de tempo total do movimento.

C) o valor da altura máxima.

D) o alcance horizontal.

Resolução:

A) O valor da velocidade no ponto mais alto da trajetória é igual ao valor da componente da velocidade na direção do eixo horizontal, já que a componente vertical da velocidade é nula. O módulo da componente horizontal da velocidade, que permanece constante durante todo o movimento, pode ser encontrado por meio da seguinte relação: vx = v 0 .cos θ = 50.0,8 = 40 m/s. B) Considerando que a distância vertical percorrida no movimento de subida seja igual à distância vertical percorrida no movimento de descida, temos que o intervalo de tempo de subida é igual ao intervalo de tempo de descida. Podemos calcular o intervalo de tempo por meio dos seguintes processos:

b1. Calculando o intervalo de tempo total do movimento de subida.

v (^0) y = v 0 .sen θ

v (^0) y = 50.0,6 = 30 m/s

Substituindo os valores, teremos:

v = v 0 + gt ⇒ 0 = 30 – 10ts ⇒ ts = 3 s

Sendo o tempo de subida igual ao tempo de descida, temos que o tempo total de movimento é 6,0 s.

b2. Calculando o intervalo de tempo total.

Se considerarmos o movimento na vertical durante todo o movimento, temos que a componente vertical inicial da velocidade da bola de canhão é de +30 m/s, e a componente final será de –30 m/s. Logo, o intervalo de tempo total do movimento é dado por:

v = v 0 + gt ⇒ –30 = +30 + (–10)t ⇒ t = 6 s

(3 s para a subida e 3 s para a descida).

Coleção Estudo

Frente A Módulo 04

C) Para calcularmos o valor da altura máxima alcançada pela bola, podemos trabalhar com a equação de Torricelli: v^2 = v 02 + 2gh.

Substituindo as variáveis pelos valores conhecidos, teremos:

02 = 30^2 + 2(–10)h ⇒ h = 45 m

D) Como o objeto se deslocou durante 6 s com uma velocidade horizontal de 40 m/s (vx = v 0 .cos θ = 40m/s), temos que seu alcance é de:

dx = vxt

dx = 40 m/s.6 s = 240 m

03. Um interessante brinquedo científico consiste em um

carrinho que contém uma mola posicionada na direção vertical, como mostra a figura a seguir. Uma esfera de metal é colocada sobre a mola, e esta a lança verticalmente para cima. A esfera retorna ao ponto de lançamento após alguns instantes.

O que acontece com a esfera de aço, caso ela seja lançada enquanto o carrinho estiver em movimento retilíneo e uniforme? A esfera cairá atrás, na frente ou sobre a mola?

Resolução:

Se desprezarmos a resistência do ar, podemos considerar o movimento da esfera, na direção horizontal, como sendo retilíneo e uniforme, com a mesma velocidade do carrinho que a lançou. Portanto, em relação ao carrinho, a esfera encontra-se em repouso na direção horizontal e executa um MRUV na direção vertical. Assim, ela retorna ao mesmo ponto do carrinho em que foi lançada, ou seja, sobre a mola.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (PUC Minas–2009) Um arqueiro atira uma flecha, que percorre uma trajetória parabólica vertical até atingir o alvo. No ponto mais alto da trajetória da flecha, A) a velocidade e a aceleração são nulas.

B) a aceleração é nula. C) o vetor velocidade e o vetor aceleração são horizontais.

D) a componente vertical da velocidade é nula.

02. (UFMG) Observe a figura.

K L M

t 1 t 2

Daniel está andando de skate em uma pista horizontal. No instante t 1 , ele lança uma bola, que, do seu ponto de vista, sobe verticalmente. A bola sobe alguns metros e cai, enquanto Daniel continua a se mover em trajetória retilínea, com velocidade constante. No instante t 2 , a bola retorna à mesma altura em que foi lançada.

Despreze os efeitos da resistência do ar.

Assim, no instante t 2 , o ponto em que a bola estará, mais provavelmente, é A) K. B) L.

C) M. D) qualquer um, dependendo do módulo da velocidade de lançamento.

03. (UFV-MG–2008) A figura a seguir ilustra o movimento de um projétil após ser lançado com velocidade de módulo v 0 e com um ângulo θ relativo à horizontal definida pela superfície da Terra. Desprezando os efeitos de resistência do ar e considerando 0° < θ < 90°, é CORRETO afirmar que

v 0

θ

A) a altura máxima atingida pelo projétil é independente do ângulo de lançamento θ. B) a velocidade do projétil é nula no ponto mais alto da trajetória. C) o alcance horizontal máximo é independente do ângulo de lançamento θ. D) a aceleração resultante do projétil é constante ao longo da trajetória.