Fisica Geral e Moderna, Notas de estudo de Engenharia de Produção

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TÓPICOS

DE

FÍSICA

1 a^ Edição - 2.

Sumário

Caro aluno ,

Este material foi elaborado para servir como referência aos estudos da disciplina Física do curso de Matemática da FTC-EAD.

No Bloco Temático 1, Tema 1, veremos a primeira parte da Mecânica Clássica, em especial a cin- emática e a dinâmica, tão essencial ao estudo da Física, retratando os fatos históricos relevantes ao caminhar desta magnífica ciência. No Tema 2, estudaremos a segunda parte da Mecânica Clássica, nos detendo ao estudo do Movimento Harmônico Simples, Ondas, estudo dos Fluidos em repouso e em movimento. Já no Bloco Temático 2, Tema 3, estudaremos a terceira e última parte da Mecânica Clássica estudando a Termodinâmica e, logo após, o Eletromagnetismo Clássico. Por fim, no Tema 4, estudaremos a Física Moderna, focalizando o estudo na Introdução à Quântica. Encontram-se disponíveis neste material, além de exercícios resolvidos, questões propostas, ao término de cada seção.

Este trabalho foi preparado com bastante carinho, cada exemplo, cada exercício, bem como a distribuição da teoria, foram cuidadosamente pensados com o objetivo de maximizar o seu apren- dizado. Erros são possíveis de serem encontrados e, para que possamos melhorar este material, a sua contribuição nestas correções são imprescindível.

Deleitem-se por estas páginas, sabendo que muito há ainda por descobrir e um excelente apren- dizado! “Aprender é a única coisa de que a mente nunca se cansa, não tem medo e nunca se arrepende.” ( Leonardo Da Vinci )

Prof. Eliano Soares da Silva

APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA

BLOCO 01

Conceitos e Aplicações da

Matemática na Mecânica Clássica

TEMA 01

Estudo dos Movimentos e suas

Causas

1.1 Física, uma Ciência da Natureza

Antes de abordamos alguns fatos históricos desta ciência da natureza, definamos o conceito do que seja ciência. A palavra ciência tem inúmeros significados, estaremos adotando, aqui, o filosófico: ciência é o processo pelo qual o homem se relaciona com a natureza, visando a dominação dela em seu próprio benefício. ( Dicionário Aurélio Eletrônico )

A ciência é uma construção humana e qualquer passo adiante só pode ser dado por quem já conhece ou percorreu os anteriores. Todos os grandes cientistas, em qualquer época, só foram capazes de dar con- tribuições novas e relevantes porque conheciam a fundo a ciência com que trabalhavam e a ela se dedicaram intensamente. Newton, em seu discurso de posse na Royal Society, afirmou, em alto e bom tom: Se longe enx- erguei é porque estive apoiado em ombros de gigantes. Quem são estes homens a quem Sir. Isaac Newton se referiu com tamanha admiração? Sem dúvida, são muitos e formam uma alta pirâmide de conhecimentos que o sábio inglês teve o privilégio e a competência de galgar até chegar ao topo. Descartes, Galileu, Da Vinci, Kepler, Copérnico, Giordono Bruno, Bacon, Tomás de Aquino, Maimonides, Averois, Ptolomeu, Arquimedes, Aristarco de Samos, Demócrito, Leucipo, Apolônio, Parmêdes, Heráclito, Empédocles, Eudóxio, Eratóstenes, Euclides, Aristóteles, Platão, Sócrates, Pitágoras, Thales, Anaximandro e Anaximenes são apenas alguns destes gi- gantes que emprestaram os seus ombros para que Newton pudesse tão longe enxergar.

Cada ciência é a totalidade dos conhecimentos, relacionado uns com os outros, pressupondo regularidades da Natureza, isto é, relações recíprocas e invariáveis dos elementos que participam dos fenômenos. Sendo assim, toda ciência é composta de conhecimentos fundamentados. Mas isto não que dizer que ela é imutável. A Física é, em muitos sentidos, a mais fundamental das ciências naturais, e é também aquela cuja formulação atingiu o maior grau de refinamento. A Física deve grande parte de seu sucesso como modelo de ciência natural ao fato de que sua formulação utiliza uma linguagem que é ao mesmo tempo uma ferramenta muito poderosa, a matemática. A Física é, muitas vezes, classificada como “ciência exata”, para ressaltar seus aspectos quantitativos. Já no século V I a.C ., a descoberta pela Escola Pitagórica de algumas leis das cordas vibrantes, estabelecendo uma relação entre sons musicais harmoniosos e números inteiros (proporção entre comprimentos de cordas que emitem tons musicais) levou à convicção de que “Todas as coisas são números.”

Embora a formulação em termos quantitativos seja muito importante, a Física também lida com muitos problemas interessantes de natureza qualitativa. Isto não significa que não requerem tratamento matemático, algumas das teorias mais difíceis e elaboradas da matemática moderna dizem respeito a métodos qualitativos. Neste curso, a ênfase não será no tratamento matemático e, sim, nos conceitos físicos, alguns dos conceitos matemáticos básicos que teremos de empregar serão introduzidos à medida que se tornarem necessários. O trabalho de muitas gerações demonstrou a existência de ordem e regularidade nos fenômenos naturais, daquilo que chamamos de leis da Natureza. O estudo que ora iniciamos pode ser empreendido pelos mais diversos motivos, mas uma de suas maiores recompensas é uma melhor apreciação da simplicidade, beleza e harmonia dessas leis, é uma espécie de milagre: como disse Einstein, “ O que a natureza tem de mais incompreensível é o fato de ser compreensível. ”

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longo movimento de rupturas e continuidades que se precipitam bruscamente na Renascença até a síntese de Newton.

Surgiram tentativas de descrever o movimento do Sol, da Lua, das estrelas, sendo os filósofos ligados a Pitágoras os que tentaram mostrar que os movimentos desses corpos celestes eram circulares. No século 4 a.C ., Eudoxus elaborou um sistema de esferas concêntricas, cujo centro era a Terra, para explicar esses movimentos, cujo as estrelas estariam fixas na esfera mais externa, que girava em torno da Terra uma vez por dia, explicando assim sua elevação e seu movimento através do céu até desaparecerem no horizonte, outras três esferas foram adicionadas, explicando o movimento do Sol e da Lua. Cada um dos planetas precisava de quatro esferas em movimento para descrever seu comportamento, eram necessárias duas últimas esferas para explicar os movimentos planetários, nos quais os planetas parecem traçar alças a intervalos regulares ou se mover de forma bastante desconcertante. Notamos uma complexidade na descrição do céu, para que possa melhor compreender lei o capítulo 10 Gravitação, Nussezveing.

Essas idéias foram ampliadas por Aristóteles ( 384 − 322 a.C .), cuja influência ao longo da história ocidental seria notável. Para Aristóteles, a Terra estaria imóvel, era esférica e localizada no centro do universo, os movimentos celestiais dependiam de 55 esferas móveis. O fato de a Terra ser esférica foi deduzido por ele em fatos como o desaparecimento dos navios no horizonte ou a alteração das estrelas quando alguém se movia para o norte ou para o sul. Sem conhecer a experimentação sistemática, Aristóteles fez várias experiências e observações que aperfeiçoaram enormemente o conhecimento disponível na Antigüidade, cuja visão de mundo foi assimilada em grande parte pelo Ocidente até o século X V I I.

No Universo, o Céu era separado e diferente da Terra. Sobre essa última, os elementos se corrompiam, com um começo, um desenvolvimento e um fim. No céu, diferentemente, nada mudava, razão pela qual os corpos celestes tinham de ser feitos de um quinto elemento puro e incorruptível: o éter. Por ser o único corpo celeste que mostrava uma aparência variável, a Lua demarcava a fronteira entre o mundo mutável da Terra e o firmamento incorruptível, acima da Lua tudo era perfeição abaixo, a imperfeição. Seguindo com essas idéias, o movimento natural dos corpos celestes perfeitos é o círculo, que era a figura perfeita, enquanto que os movimentos forçados nas imediações da Terra se dão ao longo de linhas retas e não curvas.

Além da mecânica celeste, também a transformação e a constituição da matéria foram objeto de estudo dos gregos. O problema inicial era explicar a razão da transformação contínua da matéria, visto que as coisas mudam, envelhecem e se transformam. Uma forma de se contornar esse problema era buscar algo que não se transforma, uma essência primeira. Entre os filósofos pré-socráticos que seguiram esse raciocínio, destacam- se Tales de Mileto , século V I a.C ., que elegeu a água como substância primeira e Anaximandro , discípulo de Tales, do século V I a.C ., que defendeu a idéia de uma substância indestrutível, o apeiron , algo indefinido, infinito e sem qualidades, uma substância fixa e imutável que preencheria todo o universo.

A Física do final da Antigüidade passou a ser discutida nesse novo ambiente por filósofos como o francês Nicolas de Oresne ( 1320 − 1382 ) e pelo cardeal alemão Nicolau de Cusa ( 1401 − 1462 ), que puseram em dúvida pontos como a imobilidade da Terra e a finitude do Universo com o seu centro imóvel. Como se sabe, o maior desses filósofos foi o polonês Nicolau Copérnico ( 1473 − 1543 ), que inicia a chamada “ revolução copernicana ” que iria abalar toda a estrutura antiga. O sistema de Copérnico tinha centro no Sol, isto é, era heliocêntrico. A Terra girava, nele, sobre seu próprio eixo, o que fazia inútil o movimento das esferas das estrelas e o dos corpos celestes. Ao mesmo tempo, explicava o movimento anual do Sol ao redor da esfera celeste e os movimentos irregulares nos planetas, que tanto trabalho haviam dado a Ptolomeu. Entretanto, Copérnico manteve o movimento circular uniforme para os corpos celestes, o que fazia difícil descrever com simplicidade o movimento apropriado dos mesmos. A oposição a Copérnico e às suas idéias foi grande, em boa parte, por razões religiosas, por exemplo Lutero invocou a autoridade da Bíblia para atacar as novas idéias, no entanto não puderam impedir a difusão da concepção de um Universo heliocêntrico e de uma Terra em movimento. Outros autores, como Thomas Digges ( 1545 − 1595 ) e Giordano Bruno , fizeram deles próprios a idéia de um Universo infinito cheio de estrelas. Em grande parte pelas atividades de Bruno, este foi condenado

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pela Inquisição e o livro de Copérnico De revolutionibus foi colocado no índice dos livros proibidos. Estamos seguindo aqui a História Ilustrada da Ciência de Colin Ronan e o livro Iain Nicolson, além dos trabalhos sobre a Idade Média de Jacques Le Goff, citados nas referências bibliográficas [3]. O trabalho de Copérnico encontrou oposição mesmo entre grandes astrônomos da época, como o dina- marqüês Tycho Brahe ( 1546 − 1601 ), cuja visão de Universo mantinha a Terra no seu centro, fixa, com uma esfera de estrelas fixas que girava ao redor da Terra uma vez por dia e os planetas girariam ao redor do Sol em órbitas circulares, mas o Sol se moveria em torno da Terra. Apesar desse ponto de vista antigo, Brahe era um excelente observador do céu, podendo por isso examinar o aparecimento de uma supernova em 1572 na Con- stelação de Cassiopéia e a partir daí concluir que aquele objeto situava-se por seus movimentos muito além da esfera da Lua e dos planetas, devendo situar-se na esfera das estrelas, esta portanto não era imutável. Mais tarde, observando um cometa, percebeu que ele se movia em uma órbita ao redor do Sol e se achava mais longe do que Vênus, contrariando a visão tradicional de que os cometas eram fenômenos atmosféricos, como sustentava Aristóteles. As idéias de Copérnico foram retomadas pelo italiano Galileu Galilei ( 1564 − 1642 ), que era um astrônomo notável, tanto pelo uso que fez do telescópio como por contribuições para a Mecânica, de grande importância futura para uma teoria da gravidade. O alemão Johannes Kepler ( 1571 − 1630 ), personagem central de um livro recente do físico Marcelo Gleiser e, segundo este, mais copernicano que o próprio Copérnico, foi o pesquisador mais importante para o descrédito do sistema geocêntrico e do movimento circular uniforme no firmamento. Após alguns trabalhos iniciais, na Alemanha, Kepler foi convidado por Tycho Brahe a trabalhar com ele, em Praga, para ajudá-lo a observar os movimentos dos planetas. Inicialmente, Kepler começou a trabalhar sobre o movimento de Marte, chegando após 70 tentativas à conclusão de que a órbita de Marte era uma elipse, o que punha um fim na tradição do movimento circular perfeito. Todo o seu trabalho pode ser apreciado pelas três leis que ele inferiu no movimento dos planetas, graças ao excepcional trabalho empírico deixado por Brahe, logo:

1. A órbita de cada planeta ao redor do Sol é uma elipse, localizando-se o Sol em um dos focos;
2. O raio vetor, ou a linha que liga o planeta ao Sol, percorre áreas de espaços iguais em tempos iguais de tal forma que em suas órbitas elípticas, os planetas se movem mais depressa quando próximos ao Sol do que quando afastados;
3. O quadrado do tempo periódico de um planeta, ou seja, o tempo necessário para ele completar uma órbita em torno do Sol, é diretamente proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol, entendendo-se por distância média o eixo maior da elipse.

Essas idéias estavam adiante das idéias do próprio Galileu e pôde por um fim na crença da perfeição do céu e de que o movimento circular perfeito era o único possível para os mundos celestiais. A Terra também fora destronada de sua posição central no universo e a Física, a Astronomia e a Filosofia jamais poderiam ser as mesmas. Até aqui percebemos uma nova maneira de conceber o movimento dos planetas, em órbitas elípticas, aumentando e diminuindo suas velocidades como Kepler observou. Galileu, por sua vez, mostrou que a dis- tância percorrida por um corpo em queda livre é proporcional ao quadrado do tempo e este é o exemplo mais simples de aceleração, a aceleração uniforme. Demonstrou também que todos os corpos, independentemente de seus pesos, sofrem uma aceleração idêntica em direção ao solo. Ou seja, um corpo pesado e um corpo leve cairão na mesma velocidade se deixados cair no mesmo instante, desprezando-se a resistência atmos- férica, do alto de uma torre. Galileu descobriu, também, o princípio da inércia , pelo qual um corpo continuaria a mover-se na direção em que fosse impelido num plano horizontal, a menos que fosse obrigado a deter ou mudar esse movimento. Essa lei contradizia a noção de força de Aristóteles , e chegou próxima da primeira Lei do movimento de Newton. Como indica Iain Nicolson: "Galileu derrubou muitos dos pilares fundamentais da mecânica aristotélica: demonstrou que a força não é necessária para o movimento; que os corpos podem executar diferentes espécies de movimento ao mesmo

10 FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

das partículas aumentou, foram necessárias outras abordagens redimensionando problemas antigos e mesmo conceitos aparentemente simples como os do tempo e espaço, que para Newton eram dados e absolutos. Sabe-se que a Física clássica foi a primeira ciência moderna no sentido de dispensar apoios metafísicos ou religiosos, construindo-se através da experimentação sistemática e de um rigoroso e novo instrumental matemático. Ela logo se tornou um modelo a ser buscado em outras áreas, inclusive naquelas relativas a então chamada filosofia moral. O primeiro pensador a construir conceitos sólidos inter-relacionados numa visão de homem e do seu mundo material, de produção e consumo e logo de satisfação de seu interesse próprio, foi Adam Smith, com a Riqueza das Nações, de 1776. Nesse livro, Smith traça a idéia de um mercado onde os produtores individuais satisfazem seus interesses próprios e alcançam uma harmonia econômica e social através da concorrência, há muito semelhança dos astros no céu movendo-se com a gravidade. Essa visão já estava implícita na Teoria dos Sentimentos Morais, obra de filosofia que antecede o livro fundador da Economia. A idéia de harmonia econômica vai chegar há muitos autores, dando conta de um mundo em que a produção material se convertia em seu foco principal, distanciando-se dos duros anos da Idade Média e mesmo da Renascença. Como fica claro em Marx, a visão desses economistas é a de relações entre coisas que gravitam com seus proprietários em uma ordem harmoniosa, que minimiza, inclusive, o papel do Estado.

1.2 O Que Significa Mecânica e Suas Áreas de Atuação

Desde o tempo dos filósofos gregos até o século X V I I , a física fazia parte das chamadas ciências naturais, cujo objetivo era o estudo de toda a natureza. A partir dessa época, a física passou a se restringir a matéria inanimada e mais tarde, com o desenvolvimento da química, definiu o seu universo de atuação. Atualmente, a física se divide em grandes áreas de estudo e pesquisa. Das áreas relacionadas a seguir, as três primeiras compõem a física clássica , que reúne todo o conhecimento físico cujas bases foram formadas até o final do século X I X. As três últimas constituem a física moderna , uma nova física surgida no início do século X X como resposta às indagações não respondidas e às previsões não confirmadas pela física clássica:

⋄ Mecânica clássica : estudo do movimento das partículas e dos fluidos. A mecânica clássica pode ser subdividida ainda, didaticamente, em: cinemática , estudo descritivo dos corpos em movimento; estática , estudo dos sólidos em equilíbrio; dinâmica , estudo das leis de Newton e dos princípios de conservação; fluidodinâmica , estudo dos fluidos; e it mecânica ondulatória, estudo do movimento ondulatório em meios materiais. ⋄ Termodinâmica : estudo da temperatura, do calor e seus efeitos e das propriedades de agregação dos sistemas de múltiplas partículas. ⋄ Eletromagnetismo : estudo da eletricidade, do magnetismo, das ondas eletromagnéticas e da óptica. ⋄ Relatividade especial : reformulação dos conceitos de espaço, tempo e energia com o estudo do compor- tamento de partículas em alta velocidade. ⋄ Mecânica quântica : estudo do mundo microscópico do átomo e das partículas elementares.

⋄ Relatividade geral : estudo das relações entre a força gravitacional e as propriedades geométricas do espaço.

O primeiro passo para uma investigação histórica sobre qualquer assunto é saber bem o seu significado, bem como a etimologia do termo. Consultando alguns dicionários, obtivemos algumas definições:

X Etimologia: mecânica vem do grego mechaniké , “arte de construir uma máquina” que, traduzido para o latim, fica mechanica.

12 FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

X Mecânica é a ciência que investiga os movimentos e as forças que os produzem.

X O conjunto das leis de movimento.

X Obra, atividade ou teoria que trata de tal ciência.

X Atividade relacionada com máquinas, motores e mecanismos.

X Estudo das forças e de seus efeitos.

X Ciência que estuda as forças, as leis de equilíbrio e do movimento e a teoria da ação das máquinas.

X Mecânica clássica é a que se baseia nas leis de Newton, Mecânica newtoniana.

X A Mecânica Clássica (também conhecida como Mecânica de Newton, assim chamada em honra a Isaac Newton , que fez contribuições fundamentais para a teoria) é a parte da Física que analisa o movimento , as variações de energia e as forças que atuam sobre um corpo. No ensino de física, a mecânica clássica, geralmente, é a primeira área da física a ser lecionada.

X Ciência que investiga os movimentos e as forças que os provocam.

Dessas varias definições, podemos concluir que o termo originalmente significava técnica e teoria de con- strução e descrição das máquinas, sofrendo uma evolução conceitual, passando a significar teoria do movi- mento dos corpos e das forças que o produzem. Mecânica clássica significa a teoria ou conjunto de leis do movimento proposta por Isaac Newton que, curiosamente, preferiu chamá-la de Filosofia Natural, pois que não gostava do termo. A obra capital que edifica os fundamentos da Mecânica foi por ele denominada Princípios Matemáticos da Filosofia Natural. Já Galileu, em uma de suas obras mais importantes, Duas Novas Ciên- cias , utiliza o termo mecânica no nome completo da obra: Discursos Referentes a Duas Novas Ciências a Respeito da Mecânica e dos Movimentos Locais. Após Galileu e, principalmente, Newton, o termo, pois, deve ser entendido como o estudo do movimento e de suas causas, através de relações matemáticas precisas.

1.3 Movimento Unidimensional e Bidimensional

1.3.1 Introdução

Iniciaremos nosso estudo pela Cinemática, um ramo muito importante da Mecânica Clássica, onde estu- daremos os movimentos de corpos sem nos preocupar com as causas que levaram ao movimento destes. Entenda-se, de agora por diante, que “corpo”, será qualquer objeto material ou uma partícula sub-atômica por exemplo, o importante é que suas dimensões e sua massa serão desconsideradas por nós enquanto estiver- mos trabalhando com a Cinemática.

O movimento tridimensional é o estudo do movimento no espaço, devemos, então, utilizar o sistema de coordenadas cartesiano para localizar o corpo no espaço. Os casos particulares do movimento tridimensional são o movimento unidimensional e o bidimensional; você estudou estes movimentos na escola secundária sobre a nomenclatura de Movimento Uniforme (M.U.) e Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.) para o caso unidimensional. Para o bidimensional, foram os lançamentos de projéteis ou lançamento oblíquo. Devemos ressaltar aqui a diferença do formalismo matemático que utilizaremos em nosso estudo, de agora por diante; devemos, então, começar a nos familiarizar com alguns conceitos físicos importantes para o nosso estudo.

TÓPICOS DE FÍSICA GERAL E MODERNA 13

em que x(t) é a abscissa e y (t) a ordenada da partícula no instante t. Podemos dizer que, à medida que o ponto P se move, descrevendo a trajetória da partícula no plano, suas projeções sobre os eixos Ox e Oy se movem correspondentemente, descrevendo movimentos unidimen- sionais, ver Figura 1 , ao lado.

P(x, y )

x

y

x(t)

y(t)

x

y

z

b^ P(x,^ y^ ,^ z)

x(t) y(t)

z(t)

Caso a partícula estivesse em movimento no espaço, teríamos mais uma coordenada cartesiana a cota z(t) descrevendo, assim, seu movi- mento em um instante t qualquer, ver figura ao lado. Podemos, então, reduzir a descrição de um movimento tridimensional à três movimentos unidimensionais simultâneos, cuja a composição leva o movimento no espaço.

Em muitos casos, os movimentos ao longo de dois eixos ortogonais são independentes um do outro (embora isto nem sempre aconteça!). Este fato foi reconhecido por Galileu e permitiu-lhe descrever, corretamente, pela primeira vez, o movimento dos projéteis. Já em seu “Diálogo sobre os Dois Principais Sistemas do Mundo”, Galileu havia empregado a independência dos movimentos para refutar um dos principais argumentos usados pelos partidários de Ptolomeu para provar a imobilidade da Terra.

1.3.4 Velocidade e Aceleração

Tanto a velocidade quanto a aceleração são grandezas vetoriais, pois são derivadas de primeira e de se- gunda ordem da função deslocamento, que é uma grandeza vetorial. Lembremos que distância é diferente de deslocamento. Distância é uma grandeza escalar.

Consideremos uma partícula em movimento num plano que descreve uma trajetória APB em relação a um sistema de referência xOy (ver figura a seguir).

Sendo −→r (t) = − OP→ o deslocamento da particular em relação à origem O no instante t, em que P é a posição ocupada pela partícula no instante t; sendo −→r (t + ∆t) =

OP′, o deslocamento no instante t + ∆t é o vetor

PP′^ = ∆−→r = −→r (t + ∆t) − −→r (t) ( 1.2)

Define-se a velocidade média entre os instantes t e t + ∆t por

−→v (^) t→t+∆t =^ −→r^ (t^ +^ ∆t)^ − −→r^ (t) ∆t =^

∆−→r (t) ∆t (^ 1.3) TÓPICOS DE FÍSICA GERAL E MODERNA 15

Como a diferença entre dois vetores e o produto de um vetor por um escalar são vetores, a equação ( 1.3) mostra que a velocidade média é um vetor, cuja direção e sentido são os da corda

PP′^ que liga as posições nos instantes t e t + ∆t sobre a trajetória. As componentes da velocidade média são: −→v (^) x(t→t+∆t) = ∆x ∆t

−→ı

−→v (^) y(t→t+∆t) = ∆y ∆t

>; (^ 1.4)

A Pb

P b ′

B

O

y

x

−→r (t)

∆−→r

→ −r (t+∆t)

∆y

∆x ou seja, são, exatamente, as velocidades médias dos movimentos unidimensionais descritos pelas projeções x(t) e y (t) do deslocamento instantâneo −→r (t) sobre os eixos. Quando ∆t → 0 , a equação ( 1.4) levam em módulo a vx (t) = (^) ∆tlim→ 0

 ∆x

∆t

= dx dt

vy (t) = (^) ∆tlim→ 0

 ∆y

∆t

= dy dt

>; ,^ (^ 1.5)

que representam as velocidades instantâneas dos movimentos unidimensionais descritos pelas projeções. Isto sugere definir a velocidade instantânea no instante t por,

−→v (t) = lim ∆t→ 0

 ∆−→r (t)

∆t

= d

−→r (t) dt =^

dx (t) dt

−→ı + dy^ (t) dt

−→ = vx (t) −→ı + vy (t) −→ ( 1.6)

o que define, ao mesmo tempo, o conceito de derivada de um vetor depende de uma parâmetro (t) em relação a este parâmetro. A Figura (4), ao lado, mostra o comportamento de ∆−→r à medida que ∆t → 0 , observamos que direção da velocidade instantânea −→v (t) é a da tangente à trajetória em P(t), e o sentido é o sen- tido de percurso da trajetória para t crescente. Obtemos, assim, a direção e o sentido de −→v (t), mas como sabemos que é um vetor?

b

P′′

P′

P(t)

∆−→r ′ ∆−→r ′′ −→v (t)

A definição na equação ( 1.6) satisfaz a todas as leis de composição que caracterizam um vetor. Podemos concluir, de forma mais geral, que a derivada de um vetor é um vetor. Faça uma revisão da disciplina cálculo diferencial I V ou álgebra linear, caso tenha dúvida. Para definir a aceleração média de forma análoga, consideraremos um intervalo [t, t + ∆t], sendo −→v (t) e −→v (t + ∆t) os vetores velocidade instantâneas nos extremos do intervalo, que são tangentes à trajetória nos pontos correspondentes P(t) e P(t + ∆t) (veja a Figura a seguir).

b (^) b P(t)

P(t+∆t)

−→v (t)

−→v (t+∆t)

−→v (t)

−→v (t+∆t)

∆→−v (t)

Por definição, −→a (t → t + ∆t) =^ −→v^ (t^ +^ ∆t)^ − −→v^ (t) ∆t =

−→v (t) ∆t (^ 1.7) é o vetor aceleração média no intervalo t → t + ∆t. A aceleração instantânea no intervalo t é o vetor,

16 FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

na vertical. Como o eixo Oy está orientado para cima, temos a aceleração da gravidade agindo no sentido contrário e, por convenção, temos, −→a = −g −→ ( 1.10)

Observando a figura anterior, temos que

v 0 = v 0 x −→ı + v (^0) y −→ −→r 0 = x 0 −→ı + y 0 −→ (^ 1.11)

isto, supondo que −→v 0 não é paralelo a −→a , de forma que as direções de −→v 0 e −→a definem um plano, ou melhor, uma família de planos paralelos. As equações,

∆−→v = −→a ∆t ∆−→r = −→v 0 ∆t

mostram, então, que o movimento estará contido no plano dessa família que passa pela posição inicial −→r 0 , ou seja, o movimento bidimensional. As projeções do movimento sobre os eixos x e y obedecerão então a,

ay = a = constante 6 = 0; vy (t 0 ) = v 0 y ; y (t 0 ) = y 0

ax = 0; vx (t 0 ) = v 0 x ; x(t 0 ) = x 0

que correspondem aos movimentos unidimensionais; sendo acelerado na vertical e constante na horizontal. Iremos, a partir de agora, separar os movimentos. Na direção vertical, sabemos que a aceleração −→a (^) y é uma constante, considerando o movimento durante um intervalo de tempo [t 0 , t], em que t 0 é o “instante inicial”, freqüentemente, toma-se t 0 = 0. A equação ( 1.7) nos fornece,

v (t) − v (t 0 ) =

Z^ t

t 0

a dt = a (t − t 0 ) ( 1.14)

que é a área do retângulo destacado na figura a seguir.

t

a(t)

a

t 0 t O valor v (t 0 ) = v 0 , da velocidade no instante inicial chama-se velocidade inicial. A equação ( 1.14) dá, então, v (t) = v 0 + a (t − t 0 ) ( 1.15)

Mostrando que a velocidade é uma função linear do tempo no movimento uniformemente acelerado. Fazendo v (t) ≡ vy (t) e v 0 (t) ≡ v 0 y (t) estão na equação ( 1.15) ficamos com vy (t) = voy + a (t − t 0 ) ( 1.16)

Desta forma, ficamos com ¨

vy (t) = voy + a (t − t 0 ) vx (t) = v 0 x

Integrando a equação ( 1.17) de t 0 a t e fazendo vy (t) = dy dt^ (t )e vx (t) = dx dt(t )e, logo após, integrando de y 0 a y , e fazendo alguns cálculos, ficamos com

y (t) = y 0 + v 0 y (t − t 0 ) +^12 a (t − t 0 )^2

x(t) = x 0 + v 0 x (t − t 0 )

18 FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

Em forma vetorial, estes resultados se tornam, −→v (^) t = −→v 0 + a(t − t 0 ) ( 1.19)

e −→r (t) = −→r 0 + −→v 0 (t − t 0 ) +^1 2

−→a (t − t 0 ) (^2) ( 1.20)

Que dão a solução do problema de valores iniciais postos por,

−→a (t) = −→a = constante −→v (t 0 ) = −→v 0 −→r (t 0 ) = −→r 0

No caso particular em que −→a = 0, recaímos no movimento uniforme. Com efeito, neste caso, as equações ( 1.18) dão, x = x 0 + v 0 x (t − t 0 ) y = y 0 + voy (t − t 0 )

⇒ y^ v−^ y^0 0 y

= x^ − v^ x^0 0 x

que é a equação de uma reta (trajetória).

Para obter a forma da trajetória, no caso geral do movimento uniformemente acelerado, basta eliminar t − t 0 entre as E qs.(19). A condição de que −→v 0 não é paralelo a −→a dá,

v 0 x 6 = 0 ( 1.23)

Permitindo obter t − t 0 da segunda equação ( 1.18):

t − t 0 = x^ v−^ x^0 ox

Substituindo a equação ( 1.24) na ( 1.18), obtemos

Y − y 0 = v v^0 y 0 x

(x − x 0 ) +^12 v^ a 2 0 x

(x − x 0 )^2 ( 1.25)

que é a equação de uma parábola de eixo vertical, que passa por (x 0 , y 0 ), e cuja tangente neste ponto tem a direção de −→v 0 (por construção). As equações ( 1.18) mostram que o movimento ao longo da parábola equação ( 1.25) pode ser considerado como resultante da composição de um movimento uniforme na direção horizontal com um movimento uniformemente acelerado na direção vertical.

1.3.6 Movimento dos Projéteis: uma Aplicação do Movimento Bidimensional

Retornemos ao exemplo do movimento dos projéteis na vizinhança da superfície da Terra. Vamos nos limitar ao caso em que x 0 = y 0 = 0, tomando a posição inicial na origem, e iremos tomar t 0 = 0. Seja θ o ângulo entre −→v 0 e Ox, de modo que:

v 0 x = v 0 cos(θ) v 0 y = v 0 sen(θ) (^ 1.26)

As ( 1.17) e ( 1.18) ficam, ¨

vy = v 0 sen(θ) − g t vx = v 0 cos(θ)

e 8

y = v 0 sen(θ)t − 12 g t^2 x = v 0 cos(θ)t

TÓPICOS DE FÍSICA GERAL E MODERNA 19