Baixe Física Moderna Apresentação e outras Notas de estudo em PDF para Mecânica Quântica, somente na Docsity!
Universidade Aberta do Brasil
Universidade Federal do Espírito Santo
Física
Licenciatura
Física Moderna
Humberto Belich Junior
E
screvo este fascículo com o objetivo de ensinar os conceitos básicos de Física Moderna, e Introdução à Mecânica Quântica. A quantização de radiação eletromagnética, a existência de níveis de energia discretos em átomos, e a natureza dual onda- partícula de partículas e radiação eletromagnética são conceitos básicos que levaram um longo caminho para uma compreensão de uma ampla variedade de fenômenos intrigantes. Nossa intuição dos processos da natureza precisa ser reconfigurada sob as bases destes novos conceitos. A revolução tecnológica que gerou toda uma gama de equipamentos sofisticados, desde um aparelho de DVD até um supercomputador só foi possível graças a aplicação destes conceitos. Não podemos prescindir deste conhecimento, sob pena de ficarmos isolados, e nosso país preso a uma condição de fornecedor de matérias primas. Vamos à luta e bom trabalho!
Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP) (Biblioteca Central da Universidade Federal do Espírito Santo, ES, Brasil)
Belich Junior, Humberto. Física moderna / Humberto Belich Junior. - Vitória : UFES, Núcleo de Educação Aberta e a Distância, 2012. 94 p. : il. Inclui bibliografia. ISBN:
- Física. I. Título. CDU: 53
Presidente da República Dilma Rousseff
Ministro da Educação Aloizio Mercadante
Diretor de Educação a Distância DED/CAPES/MEC João Carlos Teatini de Souza Clímaco
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Reitor Reinaldo Centoducatte Pró-Reitora de Ensino de Graduação Maria Auxiliadora Corassa Diretor Geral do ne@ad Reinaldo Centoducatte Coordenadora UAB da UFES Maria José Campos Rodrigues Diretora Administrativa do ne@ad Maria José Campos Rodrigues Diretor Pedagógico do ne@ad Julio Francelino Ferreira Filho
Diretor de Centro de Ciências Exatas Armando Biondo Filho Coordenador do Curso de Física - EaD Marcos Tadeu D’Azeredo Orlando Revisor de Conteúdo Carlos Augusto Cardoso Passos Design Gráfico LDI - Laboratório de Design Instrucional ne@ad Av. Fernando Ferrari, 514 CEP 29075-910, Goiabeiras, Vitória - ES (27) 4009-
Laboratório de Design Instrucional
LDI coordenação Heliana Pacheco José Otavio Lobo Name Ricardo Esteves
Gerência Samira Bolonha Gomes
Editoração e Capa Breno Serafini Barboza
Ilustração Leonardo Amaral Breno Serafini Barboza
Impressão Gráfica e Editora GSA
B431f
A reprodução de imagens nesta obra tem caráter pedagógico e científico, amparada pelos limites do direito de autor, de acordo com a lei nº 9.610/1998, art. 46, III (citação em livros, jornais, revistas ou qualquer outro meiode comunicação, de passagens de qualquer obra, para fins de estudo, crítica ou polêmica, na medida justificada para o fim a atingir, indicando-se o nome do autor e a origem da obra). Toda reprodução foi realizada com amparolegal do regime geral de direito de autor no Brasil.
Esta licença permite que outros remixem, adaptem e criem a partir deste trabalho,mesmo para fins comerciais, desde que atribuam ao autor o devido crédito e que licenciem as novas criações sob termos idênticos.
Apresentação
Prezado aluno,
Escrevo este fascículo com o objetivo de ensinar os conceitos bá- sicos de Física Moderna, e Introdução à Mecânica Quântica. A quantização de radiação eletromagnética, a existência de níveis de energia discretos em átomos, e a natureza dual onda-partícula de partículas e radiação eletromagnética são conceitos básicos que levaram um longo caminho para uma compreensão de uma ampla variedade de fenômenos intrigantes, incluindo o efeito fotoelétrico (emissão de elétrons de uma superfície quando a luz incide sobre ele), o espectro de linhas emitidos por gases, e produção e disper- são de raios X. A análise desses fenômenos e sua relação com a estrutura atômica nos leva ao limite da mecânica quântica, que envolve algumas mudanças radicais em nossa visão da natureza da radiação e da própria matéria. A revolução tecnológica que gerou toda uma gama de equipamentos sofisticados, desde um aparelho de DVD até um supercomputador só foi possível graças a aplicação destes conceitos. Não podemos prescindir deste conhecimento, sob pena de ficarmos isolados, e nosso país preso a uma condição de fornecedor de matérias primas. O curso de Licenciatura deve fornecer instrumentos para fazer com que ensinar Física implique em situar o aluno nesta incessante busca do conhecimento. Desta forma, além de se evitar que se for- mem pessoas alienadas do conhecimento científico, podemos atrair alunos para o exercício de ensinar e fazer ciência. Somente a leitura deste fascículo não é suficiente para um aprendizado satisfatório. Ele deve ser usado como um guia para se aprender os conceitos, e deve ser complementado por listas de exer- cícios que serão fornecidos, à medida que o curso de vocês avance. Vamos à luta e bom trabalho!
Humberto Belich Junior Fevereiro de 2012
capítulo 5 •
- Teoria Clássica e a Hipótese de Planck
- A natureza da Luz
- Equação de Rayleigh-Jeans
- Lei de Planck
- Propriedades Corpusculares da Luz
- O Efeito Fotoelétrico
- Frequência de corte e Potencial de corte
- Explicação de Einstein para o Fóton
- A Dualidade Onda-Partícula
- Difração e Interferência
- Postulados de Broglie e Modelo de Bohr
- Dualidade Onda-Partícula
- Postulado de De Broglie
- O Modelo de Bohr e Ondas de De Broglie
- Difração de Elétrons
- A Natureza Ondulatória do Elétron
- Probabilidade e Incerteza
- O Princípio da Incerteza
- Incerteza na Energia
- Função de onda e sua interpretação, Átomo de um elétron
- A Função de Onda e a Equação de Schrodinger
- Interpretação da Função de Onda
- Estado Estacionário
- A Equação de Schrodinger
- Equação de Onda para a Partícula Livre
- Probabilidade e Normalização
- Poço de Potencial
- Estados Ligados de um Poço de Potencial Quadrado
- Comparando o Poço QuadradoFinito com o Poço Infinito
- Átomo de um Elétron, Átomos Multieletrônicos e Excitações de Raio X
- Estrutura Atômica
- O Átomo de Hidrogênio
- A equação de Schrodinger para o Átomo de Hidrogênio
- Quantização de momento angular orbital
- Notação dos Números Quânticos
- Distribuições de Probabilidade do Elétron
- O spin do Elétron
- O experimento de Stern-Gerlach
- Uma analogia para o spin do Elétron
- Números Quânticos de Spin
- Átomos com Muitos Elétrons e o Princípio da Exclusão
- A aproximação de Campo Central
- O Princípio de Exclusão
- Sólidos: Condutores, Semicondutores e Supercondutores
- Bandas de Energia
- Isolantes, semicondutores e condutores
- O Elétron em Metais
- Densidade de Estados
- Distribuição de Fermi-Dirac
- Concentração de Elétrons e Energia de Fermi
- Energia média de elétrons livres
- Supercondutividade
- Efeito Meissner
- Referências Bibliográficas
Teoria Clássica e a Hipótese de Planck
capítulo 1
8 • f í s i c a m o d e r n a
átomos emitem radiação eletromagnética, o que reduz a energia cinética das oscilações e tende a reduzir a temperatura. Quando a taxa de absorção é igual à taxa de emissão, a temperatura é constante, e dizemos que o corpo está em equilíbrio térmico com o seu entorno. Um bom absorvedor de radiação é, portanto, também um bom emissor. A radiação eletromagnética emitida sob essas circunstâncias é chamada radiação térmica. Em temperaturas ordinárias (abaixo de cerca de 600ºC) a radiação térmica emitida por um corpo não é visível a olho nú; maior parte da energia está concentrada em com- primentos de onda muito maiores do que os da luz visível. Quando um corpo é aquecido, a quantidade de radiação térmica emitida aumenta, e a energia irradiada se eleva, tornando seus comprimen- tos de onda mais curtos. Para o intervalo de 600-700ºC, há energia suficiente no espectro visível para que o corpo brilhe e se torna um vermelho rubro, e em temperaturas mais altas torna-se vermelho brilhante ou mesmo um “branco quente”. Um corpo que absorve toda a radiação incidente sobre ele é chamado de um corpo negro ideal. Em 1879, Josef Stefan encon- trou uma relação empírica entre a potência radiada por um corpo negro ideal e a temperatura:
Sendo R a potência radiada por unidade de área, T é a tempera- tura absoluta, e σ = 5,6703×10 -8^ W/m 2 K^4 é uma constante chamada constante de Stefan. Este resultado foi também derivado com base em termodinâmica clássica por Ludwig Boltzmann cerca de cinco anos depois, e a Equação 1.1 é agora chamada a Lei de Stefan- -Boltzmann. Note que a potência por unidade de área irradiada por um corpo negro depende apenas da temperatura e não de qualquer outra característica do objeto, tais como sua cor ou de que mate- rial ele é composto. Note, também, que R nos diz a taxa com que a energia é emitida pelo objeto. Por exemplo, dobrando a temperatura absoluta de um objeto, por exemplo, uma estrela aumenta o fluxo de energia para fora do objeto por um fator de 2^4 =16. Um objeto a temperatura ambiente (300k) terá o dobro da taxa em que irradia energia como resultado de um aumento da temperatura de apenas
Equação 1.1 R =σ T 4
Lei de Stefan-Boltzmann
c a p í t u l o 1 • t e o r i a c l á s s i c a e a h i p ó t e s e d e p l a n c k • 9
57 o^ C. Assim, a lei de Stefan-Boltzmann tem um enorme efeito sobre o estabelecimento do equilíbrio térmico em sistemas físicos. Objetos, que não são corpos negros, irradiam energia ideal por unidade de área a uma taxa menor do que a de um corpo negro à mesma temperatura. Para os objetos essa taxa independe das propriedades intrínsecas além da temperatura, tais como a cor e composição da superfície. Os efeitos dessas dependências são combinados em um fator chamado pemissividade ϵ, que multiplica o lado direito da Equação 1.1. Os valores de ϵ dependem da tempe- ratura, e são sempre menores que a unidade. Como a potência total irradiada R , a distribuição espectral da radiação emitida por um corpo negro encontrado empiricamente, depende apenas da temperatura absoluta T. A distribuição espectral é determinada experimentalmente como ilustrada na Figura 1.1.
Com R( λ )d λ sendo a potência emitida por unidade de área, com comprimento de onda entre λ e λ+ d λ a figura abaixo mede a função de distribuição espectral R( λ ) versus λ para valores de T no inter- valo de 1000K à 6000K. A curva R( λ ) na Figura 1.2 ressalta importante comportamento em diversos aspectos. Por exemplo, o comprimento de onda em que a função tem o seu máximo valor, varia inversamente com a temperatura:
Isto é conhecido como a Lei de Deslocamento de Wien , desco- berto em 1893 por Wien.
T
ou mT constante , x m K.. Equação 1.
Lei de Deslocamento de Wien
Figura 1.
c a p í t u l o 1 • t e o r i a c l á s s i c a e a h i p ó t e s e d e p l a n c k • 11
ela fica constante ao longo do tempo, então de alguma forma este corpo também emite de volta esta radiação absorvida! A melhor realização prática de um corpo negro ideal é um pequeno buraco ligado a uma cavidade (como um buraco de fe- chadura em uma porta de armário (Figura 1.3). Radiação incidente sobre o buraco tem pouca chance de ser refletido de volta para fora do buraco antes que ela seja absorvida pelas paredes da cavidade. A potência irradiada para fora do buraco (R) é proporcional à densi- dade total de energia (U) (a energia por unidade volume da radiação no interior da cavidade). Apresentamos a equação que relaciona as duas grandezas:
Para estabelecer a função de distribuição espectral R( λ ) , segui- mos o mesmo raciocínio. Se a porção u( λ )d λ é a fração da energia por unidade de volume no interior da cavidade entre λ e λ+ d λ , a relação entre R( λ ) e u( λ ) fica:
A expressão de u( λ ) pode ser calculada determinando os modos de oscilação do campo eletromagnético na cavidade com compri- mento de onda no intervalo entre λ e λ+ d λ e multiplicar o resultado pela energia média por modo. Apresentamos o resultado mostrando que o número de modos de oscilação por unidade de volume, n( λ ) , não depende da forma da cavidade, ou seja,
a energia média por modo de oscilação é igual a KT , sendo K a constante de Boltzmann. Então a distribuição espectral de densi- dade de energia é:
Esta é a chamada Lei de Rayleigh-Jeans e está expressa na curva pontilhada do gráfico a seguir.
Figura 1.
R = 1 cU
. Equação 1.
R
cu
Equação 1.
n ( λ ) = 8 π n ( λ) −^4 , Equação 1.
u ( λ ) = KTn ( λ). Equação 1.
12 • f í s i c a m o d e r n a
Para grandes comprimentos de onda, a Lei de Rayleigh-Jeans está de acordo com os resultados experimentais, mas para pequenos λ a lei determina que u( λ ) deveria divergir quando λ→0, enquan- to que os resultados experimentais mostram que u (λ ) →0 quando λ→0. Esta discrepância entre o valor teórico e experimental ficou conhecida como catástrofe do ultravioleta. Veja que se calcularmos a integral abaixo usando a lei clássica, isto é, a densidade de energia de qualquer corpo negro deveria ser infinita.
Lei de Planck
O físico alemão Max Planck, em 1900, anunciou que, fazendo su- posições estranhas para a época, ele poderia derivar uma função que concordava com os dados experimentais. Ele achou primeiro uma função empírica que se encaixam nos dados e, em seguida, procurou uma maneira de modificar o cálculo usual, de modo a prever a sua fórmula para o fenômeno. Podemos ver o tipo de mo- dificação necessária se levar em conta que, para qualquer cavidade, quanto menor o comprimento de onda, mais ondas estacionárias cabem na cavidade (modos). Portanto, como o número de modos de oscilação se aproxima do infinito, como evidenciado na Equação 1.5. Para que a função de distribuição de densidade de energia se
u ( λ ) du ( λ → ∞).
∞ ∫ 0
Figura 1.
14 • f í s i c a m o d e r n a
Podemos reescrever a distribuição de Boltzmann como
Podemos determinar a constante A impondo normalização da distribuição, ou seja,
A energia média de um oscilador é então dada por um somatório discreto análogo a integral da Equação 1.9:
Calculando a somatória na equação acima:
Com isto podemos multiplicar este resultado pela Equação 1.5, o número de osciladores por unidade volume no intervalo entre λ e λ +d λ, e obter a distribuição de densidade de energia na cavidade,
Chegamos então à famosa Lei de Planck , cuja curva contínua que aparece representado na Figura 1.4. Naquela figura podemos ver diretamente a concordância com os dados experimentais. Para valores muito grandes de λ usamos a seguinte aproxi- mação: e x^ ≈1+x com x=(hc)/ λ KT , então o termo da exponencial na equação acima fica:
e u( λ ) → 8πhc λ-4 KT , e chegamos à fórmula de Rayleigh-Jeans. Para valores muito pequenos de λ podemos desprezar o 1 no denominador da Equação 1.14, o que acarreta: u hc e
hc (^) KT ( λ) → π λ −^ (^ λ )→
− 8 5 0 , quando λ→0. A lei de Planck também fornece a constante que aparece na lei de deslocamento de Wein.
f E ( ) = A e −E^ n/(KT^ )^ =A e−n^ ε/(KT^ ).
E
e
hf
e
h c
e
= KT − = hf KT − = hc KT
u hc
e
hc KT
( )
λ π^ λ
λ
5
e hc
KT
hc (^) ( λ KT )
Equação 1.
Equação 1.
Equação 1.
Equação 1.
Equação 1.
Equação 1.
f n A en^ KT
0 0
∞ ∞ − ∑ =^ ∑ ε^ /(^ )^ =.
E E n f n E A en
E = (^) ∑∞^ =∑∞ − KTn 0 0
c a p í t u l o 1 • t e o r i a c l á s s i c a e a h i p ó t e s e d e p l a n c k • 15
O valor da constante de Planck h , pode ser determinado ajus- tando a função gerada pela Equação 1.14 aos valores experimentais. O valor é h=6,626×10 -34^ J.s = 4,136×10 -15^ eV.s. A partir de 1905 é que a ideia contida na Equação 1.9 começou a ganhar atenção da comunidade, e Einstein nesse mesmo ano pro- põe usar esta ideia para explicar o efeito fotoelétrico. Sugeriu que não apenas os osciladores nas paredes da cavidade oscilavam com níveis de excitação discretos, mas a própria radiação eletromagné- tica era formada por pacotes de energia, ou seja, era quantizada.
c a p í t u l o 2 • p r o p r i e d a d e s c o r p u s c u l a r e s d a l u z • 17
O Efeito Fotoelétrico
O efeito fotoelétrico é a emissão de elétrons quando a luz atinge uma superfície metálica. Este efeito tem numerosas aplicações prá- ticas. Para escapar da superfície, o elétron deve absorver energia suficiente a partir da radiação incidente para superar a atração de íons positivos no material da superfície. Esta atração prende o eletron numa placa metálica, ou seja, faz com que uma barreira de energia potencial confine os elétrons dentro o material. Pense nesta barreira como sendo um meio-fio que separa a rua de uma calçada. O meio-fio irá manter uma bola de futebol que se move lentamente em uma rua. Mas se a bola é chutada com força suficiente, ela pode rolar para cima da calçada. O trabalho realizado pela atração gravitacional (o ganho em energia potencial gravitacional) é igual a sua perda de energia cinética.
Frequência de Corte e Potencial de Corte
O efeito fotoelétrico foi observado pela primeira vez em 1887 por Heinrich Hertz. Ele percebeu que uma faísca saltaria mais facil- mente entre duas esferas eletricamente carregadas quando suas su- perfícies eram iluminadas pela luz de outra faísca. A luz que incide sobre as superfícies de alguma forma facilitava a fuga daquilo que hoje sabemos serem elétrons. Esta idéia em si não era revolucioná- ria. A existência de uma barreira de potencial na superfície já era conhecida. Em 1883, Thomas Edison tinha descoberto a emissão termiônica. Esta emissão de elétrons ocorre devido ao ganho de energia de escape, que é fornecida pelo aquecimento do material a uma temperatura muito alta. Os elétrons por um processo aná- logo à de ebulição de um líquido, saltam da superfície metálica. A quantidade mínima de energia que um único elétron tem que ganhar para escapar de uma superfície particular é chamado de função trabalho dessa superfície, denotado por Φ. No entanto, as superfícies que eram utilizadas por Hertz não estavam em altas temperaturas, condição necessária para a emissão termiônica. Então o que faria os elétrons saltarem?
18 • f í s i c a m o d e r n a
O efeito fotoelétrico foi investigado em detalhes pelos físicos alemães Wilhelm Hallwachs e Philipp Lenard durante o ano 1886- 1900; seus resultados foram bastante inesperados. Iremos descrever seu trabalho em termos de dispositivos mais modernos, chamados de válvula fotoelétrica (Figura 2.1). Composto de dois eletrodos, o ânodo e o cátodo, são colocados em um tubo de vidro, no qual é feito vácuo. A bateria, ou qualquer outra fonte de diferença de potencial, cria um campo elétrico na direção do anodo para o catodo na Figura 2.1. O feixe de luz incide na superficie (indicado pelas setas) do catodo, e provoca uma corrente no circuito externo, a corrente é medida pelo galvanômetro (G). Hallwachs e Lenard estudaram como esta fotocorrente varia com a tensão, frequência e intensidade da luz incidente. Depois da descoberta do elétron em 1897, tornou-se claro que a luz provocava a emissão de elétrons do cátodo. Por causa de sua carga negativa -e, os fotoelétrons emitidos são então empurrados em direção (de volta) ao ânodo pelo campo elétrico. Um alto vá- cuo com pressão residual de 0,01Pa(10 -7atm) ou menos é necessário para minimizar as colisões dos elétrons com as moléculas de gás. Hallwachs e Lenard descobriram que quando a luz monocromática cai no catodo, nenhum fotoelétron era emitido a menos que a fre- quência da luz fosse maior do que algum valor mínimo, chamado de frequência de corte. Esta mínima frequência depende do mate- rial do cátodo. Para a maioria dos metais, a frequência mínima astá na região do ultravioleta (correspondente a comprimentos de onda entre 200 e 300nm), mas para os óxidos de potássio e césio (por exemplo) está no espectro visível λ entre 400 e 700nm). Quando a frequência f é maior que a frequência mínima, alguns elétrons são emitidos pelo cátodo com altas velocidades ini- ciais. Isto pode ser demonstrado invertendo a polaridade da bateria (Figura 2.1), de modo que a força gerada pelo campo elétrico sobre os elétrons está voltada em direção ao cátodo. Se a magnitude do campo não é muito grande, os elétrons de maior energia emitida ainda alcançam o ânodo e há ainda uma corrente. Podemos deter- minar a energia cinética máxima dos elétrons emitidos invertendo os pólos da bateria, ou seja, fazendo o potencial da relação anodo- catodo, negativa o suficiente para que a corrente elétrica páre. Isso
