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Versão preliminar 7 de setembro de 2002
Notas de Aula de Física
06. FORÇA DE ATRITO ..................................................................................................... 2
A TRITO .............................................................................................................................. 2
E NTRE TAPAS E BEIJOS ....................................................................................................... 3
O ATRITO AO MICROSCÓPIO ................................................................................................. 4
UMA FÓRMULA PARA A FORÇA DE ATRITO .............................................................................. 5
S I NO E XISTIERA R OZAMIENTO ............................................................................................. 5
MOVIMENTO CIRCULAR E UNIFORME - FORÇA CENTRÍPETA ..................................................... 6
S OLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 8
06. Força de atrito
Sempre que a superfície de um corpo escorrega sobre outro, cada corpo exerce sobre o outro uma força paralela às superfícies. Essa força é inerente ao contato entre as superfícies e chamamos de força de atrito. A força de atrito sobre cada corpo tem sentido oposto ao seu movimento em relação ao outro corpo.
As forças de atrito que atuam entre superfícies em repouso relativo são chamadas de forças de atrito estático, em contraposição às forças de atrito cinético que acontece entre superfícies que têm movimento relativo. Existe atrito entre superfícies em repouso quando acontece uma tendência ao movimento. Para um tijolo em parado numa ladeira, há uma tendência ao movimento, mas a força de atrito entre as superfícies em contato mantém o tijolo em repouso.
A força de atrito estático máxima entre duas superfícies será igual à força mínima necessária para iniciar o movimento relativo. Iniciado o movimento, as forças de atrito que atuam entre as superfícies usualmente decrescem, passando a atuar a força de atrito ci- nético, de modo que uma força menor será suficiente para manter o movimento.
Atrito
Algumas leis empíricas para o atrito estático máximo entre superfícies foram pro- postas por Leonardo da Vinci (≈ 1500) tais como:
i. Sempre que a superfície de um corpo escorrega sobre outro, cada corpo exerce sobre o outro uma força paralela às superfícies. Essa força é inerente ao contato entre as superfícies e chamamos de força de atrito. A força de atrito sobre cada corpo tem sentido oposto ao seu movimento em relação ao outro corpo.
ii. A força de atrito estático máxima entre duas superfícies será igual à força mínima necessária para iniciar o movimento relativo.
iii. Iniciado o movimento, as forças de atrito que atuam entre as superfícies usual- mente decrescem, pois entra em ação a força de atrito cinético, de modo que uma força menor será suficiente para manter o movimento.
iv. A força de atrito independe da área de contato entre o corpo e a superfície que o suporta. Quanto maior a área de contato menor a pressão que o corpo exerce so- bre a superfície. Esse fato significa que a força necessária para arrastar um tijolo metálico sobre uma mesa metálica é a mesma, não importando qual a face do tijolo esteja em contato com a mesa. Podemos entender esse resultado considerando que a área microscópica de contato será a mesma em ambas as situações.
v. A força de atrito é proporcional à força normal que a superfície exerce sobre o cor- po considerado. A normal é proporcional a quantidade de microsoldas que existirão entre as superfícies.
Nem sempre é fácil dizer o que é ou não é elástico. Na realidade, não há um objeto que seja totalmente elástico ou inelástico. Algumas bolas sofrem deformações perma- nentes depois de muitas pisadas, perdendo sua forma. Por outro lado, mesmo um tomate tem sua elasticidade: uma apertadinha bem leve lhe provoca uma pequena deformação, que desaparece assim que o soltamos.
O atrito ao microscópio
O atrito está presente em diversas situações do nosso dia-a-dia. Ele surge sempre que tentamos deslizar uma superfície sobre outra. Ao passar a mão na cabeça de um ca- chorro, ao apagar uma bobagem escrita na prova ou ao lixar uma parede, a força de atrito é a personagem principal. Quanto mais ásperas as superfícies, maior o atrito entre elas: arrastar um móvel sobre um carpete é bem diferente do que sobre um piso de cerâmica.
Em determinadas situações é fundamental que o atrito seja o menor possível, como no caso da patinação no gelo, onde os movimentos ocorrem graças ao reduzido atrito entre as lâminas dos patins e a superfície do gelo. O peso do patinador, concentra- do todo nas lâminas, exerce uma pressão sobre o gelo derretendo-o e formando uma pe- quena camada de água entre as lâminas e a superfície do gelo. Dessa forma o atrito tor- na-se muito pequeno, facilitando o movimento do patinador.
Mas se em muitos casos o atrito atrapalha, em outras situações pode ser total- mente indispensável. É ele que garante que ao empurrarmos o chão para trás seremos impulsionados para frente. Sem atrito, ficaríamos deslizando sobre o mesmo lugar. A tiri- nha abaixo ilustra bem uma situação onde o atrito faz falta.
Mesmo objetos aparentemente lisos, como um vidro, uma mesa envernizada ou a superfície de um automóvel, possuem muitas saliências e "buracos" no nível microscópi- co. Quando um objeto é colocado sobre uma superfície (um tijolo sobre a mesa, por exemplo), ele tem na verdade, somente alguns pontos de contato com ela, devido a essas saliências.
Uma teoria que explica a existência do atrito afirma que nos pontos onde as saliên- cias se justapõem, ocorrem fortes adesões superficiais, semelhante a uma espécie de solda entre os dois materiais. Desse modo a força de atrito está associada à dificuldade em romper essas soldas quando um corpo é arrastado sobre o outro. Durante o movi- mento, as soldas se refazem continuamente, em novos pontos de contato, de forma que durante o arrastamento existe sempre uma força de resistência ao movimento: é a força de atrito. Para ter uma idéia de como essas soldas ocorrem imagine o que acontece quando você senta no banco de um ônibus. O atrito entre sua calça e o banco, poderia ser representado, a nível microscópico, da seguinte forma: Essa teoria das soldas nos permite entender o efeito dos lubrificantes que têm a função de diminuir o atrito, ao preen- cher as reentrâncias existentes entre as superfícies e dificultar a formação das soldas. Vistas de perto, as superfícies mais lisas são cheias de imperfeições O atrito ao micros- cópio
Uma fórmula para a força de atrito
Na última festa junina ocorrida na sua escola, o professor de Física, meio alterado após o árduo trabalho na barraquinha do quentão, decide comprovar algumas teorias físi- cas para uma platéia estarrecida. Sua façanha: subir no pau-de-sebo. Para diminuir o ve- xame, que sugestões você daria para aumentar a força de atrito e facilitar a escalada do mestre?
Em primeiro lugar, provavelmente você irá sugerir ao professor que agarre bem forte no pau de sebo. Com isso você estará garantindo que a força normal seja grande, o que irá causar maior atrito. Mas também é possível tentar alterar um pouco os materiais em interação, talvez passando areia na roupa e na mão. Ou seja, estamos sugerindo um coeficiente de atrito maior.
Uma maneira matemática de expressar essas possibilidades é através da seguinte fór- mula: Fatrito = μ Fnormal
A letra grega μ indica o coeficiente de atrito entre as superfícies (aquela história da areia) e Fnormal indica o valor da força normal entre as duas superfícies, quer dizer, a agarrada forte que o professor deve dar. Pela fórmula, você pode ver que quanto maior forem esses maior será o atrito.
Leituras de Física - MECÂNICA - Capítulo 16 GREF - Grupo de Reelaboração do Ensino de Física Instituto de Física da USP - junho de 1998
Si no Existiera Rozamiento
Ya hemos visto lo diversas e inesperadas que son las formas en que se manifiesta el rozamiento anuestro alrededor. El rozamiento toma parte muy importante incluso allí donde nosotros ni lo sospechamos. Si el rozamiento desapareciera repentinamente, muchos de los fenómenos ordinarios se desarrollarían de formas completamente distintas.
El papel del rozamiento fue descrito de una manera muy pintoresca por el físico francés Guillaume: "Todos hemos tenido ocasión de salir a la calle cuando ha helado. !Cuánto trabajo nos ha costado evitar las caídas! ¡Cuántos movimientos cómicos tuvimos que hacer para poder seguir en pie! Esto nos obliga a reconocer que, de ordinario, la tierra por que andamos posee una propiedad muy estimable, gracias a la cual podemos conservar el equilibrio sin gran esfuerzo. Esta misma idea se nos ocurre cuando vamos en bicicleta por un pavimento resbaladizo o cuando un caballo se escurre en el asfalto y se cae. Estudiando estos fenómenos llegamos a descubrir las consecuencias a que nos conduce el rozamiento. Los ingenieros procuran evitar el rozamiento en las máquinas, y hacen bien.
En la Mecánica aplicada se habla del rozamiento como de un fenómeno muy pernicioso, y esto es cierto, pero solamente dentro de los límites de un estrecho campo especial. En todos los demás casos debemos estar agradecidos al rozamiento. El nos da la posibilidad de andar, de estar sentados y de trabajar sin temor a que los libros o el
r
v a (^) c
2
e a força associada à essa aceleração terá a forma:
r
v F (^) C mac m
2 = =
A força centrípeta não tem origem física, mas é uma característica dos corpos que se movimentam em trajetórias curvas.
Se a força de interação gravitacional mantiver um corpo de massa m 1 girando em torno de um outro corpo de massa m 2 com velocidade v em um círculo de raio r , tere- mos:
2
1 2 r
mm FG =G
e a força centrípeta
r
v Fc m
2 = 1
Mas como a força gravitacional é quem mantém o movimento circular e uniforme, temos que:
2
1 2
2 (^1) r
mm G r
v FG =Fc ⇒ m =
O mesmo poderia ser dito para o movimento de uma partícula de massa mA e carga Q (^) A que gira em torno de outra partícula de massa mB e carga Q (^) B , com veloci- dade V em um círculo de raio R sob a ação da força elétrica de interação entre essas cargas, ou força de Coulomb:
R^2
Q Q
F (^) E =k A B
e a força centrípeta
R
V
F (^) c mA
2
Mas como a força elétrica é quem mantém o movimento circular e uniforme, temos que:
2
2
R
Q Q
k R
V
F (^) E =Fc ⇒ mA = A B
Solução de alguns problemas
Capítulo 6 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
(^11) Uma força horizontal F = 12N comprime um bloco pesando P = 5N contra uma pa-
rede vertical. O coeficiente de atrito estático entre a parede e o bloco é μe = 0,60 e o coeficiente de atrito cinético é μc = 0,40. Suponha que inicialmente o bloco esteja em repouso.
a) O bloco se moverá?
O bloco está em repouso na direção horizontal, logo:
N = F = 12Newtons
A força de atrito estático má- xima é dada por:
y
F
x
y
F a
N
F
x
P
Fa = μe N = 0,60. 12 ∴ Fa = 7,2N
Como o peso do bloco é P = 5N , menor que a força de atrito estático máxima , o bloco não se moverá.
b) Qual a força exercida pela parede sobre o bloco, em notação de vetores unitári- os? A força resultante exercida pela parede sobre o bloco será a soma da força nor- mal com a força de atrito. Mas F = 12 iˆ
, logo teremos que N =− 12 iˆ
. Como o bloco não se move a força de atrito é igual, em módulo, ao peso do bloco, ou seja: FR =− 12 i ˆ+ 5 jˆ
Capítulo 6 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
(^16) Um aluno deseja determinar os coeficientes de atrito estático e cinético entre uma
caixa e uma prancha. Ele coloca a caixa sobre a prancha e lentamente vai levantan- do uma das extremidades da prancha. Quando o ângulo de inclinação faz 30 0 com a horizontal, a caixa começa a deslizar, descendo pela prancha cerca de 2,5m em 4s. Quais são os coeficientes de atrito determinados?
F
F a
θ P
y F
F a
θ x P
Capítulo 6 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
(^21) Um bloco desliza para baixo com velocidade constante sobre um plano com inclina-
ção^ θ^. Em seguida, é lançado para cima sobre o mesmo plano com uma velocidade escalar inicial v.
a) Que altura do plano alcançará antes de parar?
Bloco descendo
y N
F a
x θ θ P
Bloco subindo
y N
F a
x θ θ P
Quando está descendo o bloco tem velocidade constante, logo aceleração nula, portanto: N + P+Fa = 0
Decompondo segundo os eixos carte- sianos:
cos 0
sen 0
θ
θ
N P
P Fa
Mas Fa = μC N = = μC P cos θ , logo
P sen θ = μC P cos θ logo μC = tan θ
Quando está subindo o bloco tem velo- cidade variável, logo aceleração não nula, portanto: N P Fa m a
Decompondo segundo os eixos carte- sianos:
cos 0
sen
θ
θ
N P
P Fa ma
ma = P sen θ + μC P cos θ
ma = P sen θ + tan θ P cos θ
a = 2g sen θ
Como a desaceleração do bloco na subida será a = 2g sen θ :
2 4 sen θ
2 0
2 2 0 0
2 g
v d a
v v =v − ad ∴ d= ⇒ =
g
v h d h 4
sen
2 = θ ∴ =^0
b) Ele deslizará para baixo novamente? Justifique a sua resposta.
Não! Como ele estava deslizando com velocidade constante na descida, a incli- nação do plano era suficiente apenas para "compensar" o atrito cinético. Mas o atrito estático máximo é maior que o atrito cinético, logo ao parar (na subida) ele permanecerá parado.
Capítulo 6 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
(^22) Uma caixa de 68kg é puxada pelo chão por uma corda que faz um ângulo de 150
acima da horizontal.
a) (^) Se o coeficiente de atrito estático for μe = 0,50 , qual a tensão mínima necessária para iniciar o movimento da caixa?
F
θ
Vamos considerar que a força de atrito estático atingiu o seu máximo, a resultante das forças que atuam no corpo ainda é nula. Nesse caso:
F + N+Fa+P= 0
N
F
F a
θ
P
Considerando o eixo y: N + F sen θ - P = 0 ou seja: N = P - F sen θ
Considerando o eixo x: F cos θ - Fa = 0 ou seja: Fa = μe N = F cos θ logo:
y
N
F a
F
θ x
P
θ μ
θ sen
cos P F
F
N
e
e finalmente
θ μ θ
μ cos (^) e sen
F e^ P
= = 304,19N
b) (^) Se o coeficiente de atrito cinético for μc = 0,35 , qual a sua aceleração inicial? Usando a segunda Lei de Newton:
F N Fa P m a
Considerando o eixo y: N + F sen θ - P = 0 ou seja: N = P - F sen θ Considerando o eixo x: F cos θ - Fa = ma onde Fa = μc N = μc P - μc F sen θ logo: ma = F cos θ + μc F sen θ - μc P
( ) g m
F
a = cos θ +μcsenθ − μc = 1,29m/s 2
b) Se o bloco C for repentinamente retirado, qual será a aceleração do bloco A, sa- bendo-se que μC entre A e a mesa é 0,15?
[
P T m a P T m a
T F m a
N P
N T P F ma
B B B B
a A
A A a A
Como a corda que liga os blocos A e B é inextensível, a = a´, e desse modo:
P T m a
T P m a
B B
μC A A
Somando essas duas equações, encontramos:
P (^) B - μC P (^) A = ( m (^) A + mB ) a
g P P
P P
a B A
B C A
μ = 2,28m/s 2
Capítulo 6 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
(^26) Na figura a seguir um trabalhador cuidadoso aplica uma força F
ao longo do cabo de um esfregão. O cabo faz um ângulo θ com a vertical, sendo μE e μC os respec- tivos coeficientes de atrito estático e cinético entre o esfregão e o chão. Despreze a massa do cabo e suponha que toda a massa m esteja no esfregão.
a) Qual o valor de F , se o esfregão se move pelo chão com velocidade constante?
θ
y θ N
x F a
P
F
Como o esfregão se move com aceleração nula:
μ θ
θ
θ
θ
sen
cos
sen 0
cos 0 0 F N F
N P F
F F
N P F
F P F N
a a C
a
μC ( P + F cos θ ) = F sen θ logo:
F P C
C
θ μ θ
μ sen cos
b) (^) Mostre que se θ é menor que um determinado valor θ 0 então F
(ainda aplica- da ao longo do cabo) é incapaz de mover o esfregão. Determine θ 0.
Suponhamos que ao aplicar uma força F no cabo do esfregão, passemos a va- riar (aumentar) o ângulo θ até que a força de atrito impeça o movimento. Este ângulo será chamado θ 0. Por maior que seja a força externa F se θ < θ 0 não existirá movimento. As equações serão equivalentes às anteriores, considerando agora o coeficiente de atrito estático:
0
0
0
0
sen
cos
sen 0
cos 0 0 μ θ
θ
θ
θ
F N F
N P F
F F
N P F
F P F N
a a E
a
F P
E
E
senθ 0 μ cos θ 0
μ
Esse ângulo θ 0 será aquele tal que o denominador acima será nulo, de modo que mesmo com uma força externa F muito grande o esfregão ainda permane- cerá em repouso. Temos então que:
sen θ 0 −μE cosθ 0 = 0 ⇒ tanθ 0 =μE ∴ θ 0 =arctan μ E
Capítulo 6 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
(^31) O corpo B na figura pesa 102N e o corpo A pesa 32N. Os coeficientes de atrito
entre o bloco e o plano inclinado são μe = 0,56 e μc = 0,.
a) Determine a aceleração do sistema se B estiver inicialmente em repouso. θ = 40 0 P (^) B = 102N P (^) A = 32N μe = 0, μc = 0,
mB
m (^) A
θ
T A
F a
T B
N
P A
P B
θ
y X Y T A
F a
T B
N
P A
θ P B
a (^) A = aB = a
Como a corda tem massa desprezível, podemos mostrar que as tensões são iguais, ou seja: TA = TB = T
Vamos supor que o primeiro bloco irá descer. Caso essa suposição não seja ver- dadeira a aceleração terá o sinal negativo. Para o primeiro bloco, temos as se- guintes equações: N - P (^) B cos θ = 0
T - P (^) B sen θ - Fa = mB a
onde Fa = μc N = μc P (^) B cos θ , e para o segundo corpo:
P (^) A - T = mA a
Somando as duas últimas equações, encontramos:
P (^) A - PB sen θ - μc PB cos θ = (mA + mB ) a ou seja: ( ) g m m
m m a A B
A B c
sen θ μ cosθ = - 3,88m/s 2
O resultado do cálculo da aceleração ser negativo indica que a suposição do cor- po B subir é inconsistente, em outras palavras: ele não subirá.
c) Determine a aceleração do sistema se B estiver movendo-se para baixo no pla- no inclinado.
T A
F a
T B
N
P A
P B
θ
y X Y T A
F a
T B
N
P A
θ
P B
Esse problema é basicamente igual ao do item anterior, com a diferença que a força de atrito aponta no sentido contrário. As equações vetoriais são as mesmas
A A A A
B B a B B
T P ma
T P N F ma
!!!
As componentes são: N - P (^) B cos θ = 0
P (^) B sen θ - Fa - T = mB a
onde Fa = μc N = μc P (^) B cos θ , e para o segundo corpo:
T - P (^) A = mA a
Somando as duas últimas equações, encontramos:
P (^) B sen θ - μc PB cos θ - P (^) A = (mA + mB ) a ou seja: ( ) g m m
m m a B A
B c A
sen θ μ cosθ = +1,02m/s 2
Capítulo 6 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
(^35) Dois blocos de massas m 1 = 1,65kg e m 2 = 3,30kg , deslizam para baixo sobre um
plano inclinado, conectadas por um bastão de massa desprezível com m 1 seguindo m 2. O ângulo de inclinação é θ = 30 0. O coeficiente de atrito entre m 1 e o plano é μ 1 = 0,226 e entre m 2 e o plano é μ 2 = 0,113. Calcule:
a) A aceleração conjunta das duas massas.
m (^1)
m 2
θ
N 1
Fa 1
Fa 2
θ T
N 2
P 1
T ′
θ P 2
Corpo 1
T P 1 Fa 1 N 1 m 1 a 1
Corpo 2
T P 2 Fa 2 N 2 m 2 a 2
Como o bastão é inextensível as acelerações dos blocos são iguais, e como esse bastão tem massa desprezível as forças T e T´ têm mesmo módulo. desse modo: T + P 1 sen θ - Fa1 = m 1 a
N 1 - P 1 cos θ = 0
-T + P 2 sen θ - Fa2 = m 2 a
N 2 - P 2 cos θ = 0
T + P 1 sen θ - μ 1 P 1 cos θ = m 1 a -T + P 2 sen θ - μ 2 P 2 cos θ = m 2 a
Somando essas duas equações, encontramos ( P 1 + P 2 ) sen θ - ( μ 1 P 1 + μ 2 P 2 ) cos θ = ( m 1 + m 2 ) a ou seja:
Os dois blocos interagem através da força de atrito, de modo que essa é a única força horizontal que atua no bloco de cima, e portanto:
Fa = m 2 a ∴ m 2
F
a = a
logo:
T m
m m F m
m m F (^) a (^)
2
1 2 2
1 2 = 27N
b) A aceleração resultante dos blocos.
m 2
F
a = a = 3m/s^2
Capítulo 6 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
(^37) Uma tábua de 40kg está em repouso sobre um assoalho sem atrito, e um bloco de
10kg está colocado em cima da tábua. O coeficiente de atrito estático μE entre o bloco e a tábua é 0,60 , enquanto o de atrito cinético μC é 0,40. O bloco de 10kg é puxado por uma força horizontal de 100N.
a) Qual a aceleração resultante do bloco?
F
N b
F
F a
F a
P b
A força de atrito estático máxima é: FaE = μE N = μE P (^) b = 58,8N
Como a força externa F = 100N a força de atrito estático não será suficiente para manter o bloco e a tábua sem movimento relativo. À medida que o bloco começa a se mover, o atrito enter ele e a tábua passa a ser cinético:
FaC =^ μC N =^ μC P (^) b = 39,
A resultante das forças que atuam no bloco é:
b b^0
aC b b b a b b b N P
F F ma F P F N ma
b
C b b m
F P
a
− μ = = 6,08m/s 2
b) Qual a aceleração resultante da tábua?
A única força horizontal que atua na tábua é F (^) a´ que é a reação à força de atrito que atua no bloco, logo:
t
C b a t t t m
P
F ma a
μ ′ (^) = ∴ = = 0,98m/s 2
Capítulo 6 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
(^39) Uma caixa desliza para baixo através de uma calha de perfil de 90 0 , que está incli-
nada de um ângulo^ θ^ em relação à horizontal, conforme mostra a figura. O coefici- ente de atrito cinético entre elas é μC. Qual a aceleração da caixa em função de μC , θ e g?
N e
N d
! N
N Ne N d
N
F a
θ
θ P
Como é de 900 o ângulo entre os vetores Ne
e Nd
, e como eles têm o mesmo módulo: N = Ne^2 +Nd^2 =N e 2 Por outro lado:
( )
N
F F F N N N
F N
F N
a ae ad C e d C e C ad C d
ae C e μ μ μ μ
μ
F (^) a = 2 μC N
Com essa última equação, temos um problema em três dimensões transformado em um outro problema equivalente em duas dimensões. Usando a figura acima da direi- ta:
P F ma
N P
N P F ma a
a θ
θ
sen
cos 0 !!!!
ma =mgsenθ −Fa =mgsenθ− 2 μCN=mgsenθ− 2 μCmgcos θ
a =g(sen θ − 2 μCcosθ)
