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Este documento aborda o estudo de sequências numéricas, com ênfase em progressões aritméticas (pa) e geométricas (pg). Apresenta a definição, exemplos, fórmulas do termo geral e da soma dos termos para cada tipo de progressão. Além disso, fornece exercícios para aplicação dos conceitos aprendidos.
Tipologia: Notas de aula
Compartilhado em 07/11/2022
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Plano de trabalho : Regularidades Numéricas: sequências e matemática financeira
Matemática 2o^ ano – 2 o^ bimestre / 2013
Conteúdo: Progressões aritmética, progressões geométricas e matemática financeira.
Cursista: Sheila de Oliveira Freitas
Tutor: Paulo Alexandre Alves de Carvalho
Grupo: 04
Atividade 1
Duração prevista: 150 minutos
Iniciar o estudo das regularidades numéricas apresentando as sequências mais
presentes no cotidiano do aluno.
Sequências
Em muitas situações da vida diária aparece a ideia de sequência ou sucessão. Assim,
por exemplo, temos:
A sequência dos dias da semana (domingo, segunda, ..., sábado ); A sequência dos meses do ano ( janeiro, fevereiro, ..., dezembro ); A sequência dos números naturais (0, 1, 2, 3, 4, ...); A sequência dos anos, a partir de 1990, nos quais a Copa do Mundo de Futebol é realizada ( 1990, 1994, 1998, 2002, 2006, 2010, 2014, ...).
Em todas essas situações observamos uma certa ordem nos elementos da sequência.
Esses elementos são também chamados termos da sequência. Na sequência dos meses
do ano, temos:
1 o^ termo: janeiro, 2o^ termo: fevereiro, ..., 12o^ termo: dezembro.
Se representarmos o 1o^ termo por a 1 (lê-se a índice um, ou a um), o 2o^ termo por a 2 , 0
3 o^ por a 3 , e assim por diante, até o termo de ordem n , ou enésimo termo , essa
sequência pode ser representada por:
(a 1 , a 2 , a 3 , ..., )
Neste exemplo, temos:
= janeiro a 7 = julho a 10 = outubro a 12 = dezembro
Determinação de uma sequência
Algumas sequências são dadas por regras ou leis matemáticas chamadas leis de
formação, que possibilitam explicitar todos os seus termos.
A sequência = 2n – 1, n N*, é dada por:
Para n = 1 => a 1 = 2. 1 – 1 = 1;
Para n = 2 => a 2 = 2. 2 – 1 = 3;
Para n = 3 => a 3 = 2. 3 – 1 = 5;
Para n = 4 => a 4 = 2. 4 – 1 = 7; etc.
Portanto, a sequência é ( 1, 3, 5, 7, ...), ou seja, a dos números naturais ímpares.
Exemplos:
1 – Escreva as sequências definidas pelos termos gerais a seguir ( nos casos em que
não aparecem o conjunto de variação de n, considera-se n N*):
a) = 5n b) =
2 - Escreva o termo geral das sequências:
a) (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...) b) (3, 6, 9, 12, 15, 18, ...)
3 – Complete cada uma das sequências até o 7o^ termo:
a) -1, -4, -7, - 10, ... b) , 2, 2 , 4, ...
4 – Determine:
a) O 10o^ termo da sequência dos números naturais pares; b) 0 7o^ termo da sequência cujo termo geral é na (^) = 2 (n-1).
Correção do exercício e entrega de uma folha xerocada para os alunos fazerem em dupla com o acompanhamento do professor.
Folha de atividades
Os membros da Escola Pitagórica, também chamados de Pitagóricos, tinham como forte crença que todas as coisas seriam expressas por números. Nesse pensamento, todos os
4) Como poderia ser representado o número que estivesse na posição? Tente escrever uma fórmula que o represente.
5) Descreva as sequências definidas abaixo pelos seus respectivos termos gerais, explicitando os seus quatro primeiros termos.
a) = n^3
b) =2n
c) = 4n-
Investiguemos outra importante sequência de números figurados, também estudada pelos Pitagóricos, os números triangulares.
6) Explicite os termos da sequência dos números triangulares de acordo com a figura.
7) Observe os números da sequência e, tentando encontrar algum padrão que possibilite descobrir o próximo termo da sequência, complete a tabela abaixo.
Posição (n) Termo da sequência (Tn) 1 1 2 3 3 6 4 10 5 6 7
Você deve ter observado que o primeiro número triangular T 1 é 1 , o segundo número triangular T 2 é 1 + 2 = 3, já o terceiro termo da sequência dos números triangulares é T3 = 1 + 2 + 3 = 6 e, assim por diante. Sendo assim:
8) Generalize esse raciocínio, escrevendo uma sentença matemática para descobrir o número que ocupa a posição da sequência dos números triangulares. Tn = ________________________________ Portanto, podemos identificar o n-ésimo número triangular como a soma dos n primeiros números naturais. Assim,
T 1 = 1
T 2 = 1 + 2
T 3 = 1 + 2 + 3
T 4 = 1 + 2 + 3 + 4
. ..
Tn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... +( n-2) + ( n-1 ) + n
Vamos, então, descobrir uma expressão mais simples para o termo geral de. Já sabemos que Tn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... +( n-2) + ( n-1 ) + n
9) Qual é o valor da soma dos termos equidistantes ao termo central, ou seja, qual é o resultado da soma do primeiro termo com o último, do segundo termo com o penúltimo, do terceiro termo com o antepenúltimo e assim sucessivamente?
Ao fazermos essas somas, note que podemos reescrever Tn como: Tn = [1 + n] + [ 2 + ( n – 1 )] + [ 3 + ( n – 2)]+ ... +[p +(n – p+1)]
10) Quantas são as parcelas da soma acima?
11) Agora que você já sabe quantas são as parcelas da soma acima e o valor de cada soma, escreva uma nova expressão para.
Agora já sabemos que o termo geral da sequência dos números triangulares é
Tn =
Assim, a P.A. será ( 1, 3, 5, 7, ...).
2 – Sendo a 1 = 7 e r = -4, então:
= a 1 + r => a 2 = 7 – 4 = 3
= a 2 + r => a 3 = 3 – 4 = - 1
= a 3 + r => a 4 = - 1 – 4 = - 5
...
= + r (um termo qualquer é igual ao seu anterior mais a razão)
Assim, a P.A. será ( 7, 3, -1, -5, ...).
É importante notar que, dados os termos de uma P.A., determinamos a razão r dessa P.A. efetuando a diferença entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o seu termo anterior.
Exemplos:
1 – Na P.A. (1,4,7,10,13): r = 4 – 1 = 3 ou r = 7 – 4 = 3
2 – Na P.A. (8, 5, 2, -1, -4): r = 5 – 8 = -3 ou r = -4 – (-1) = -
3 – Na P.A. ( 1, , ) r = - 1 = ou r =
Exercício:
Em cada item, aparecem dados relativos a uma P.A. Ache, em cada uma, os quatro primeiros termos. a) = 3 e r = 4 b) = 8 e r = -3 c ) = 2 e r =
O número de peças produzidas por uma fabrica tem um aumento constante, de um mês para o seguinte. A tabela a seguir mostra o total de peças produzidas de janeiro a maio. Mês Jan Fev Mar Abr Mai peças 150 230
a) As produções mensais formam uma P.A.? Por quê? b) Complete a tabela.
Fórmula do termo geral da P.A.
Pela definição de P.A., temos: = a 1 + r
= a 2 + r = ( a 1 + r) = a 1 + 2r = a 3 + r = ( a 1 + 2r) + r = a 1 + 3r = a 4 + r = ( a 1 + 3r) + r = a 1 + 4r = a 5 + r = ( a 1 + 4r) + r = a 1 + 5r = a 6 + r = ( a 1 + 5r) + r = a 1 + 6 e de um modo geral = a 1 + (n-1). r onde n é o número de termos da P.A.
4)O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33.000 passagens;
em fevereiro, 34.500; em março, 36.000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em
julho do ano passado?
A) 38.
Agora complete a tabela com o número de palitos necessários para formar os triângulos:
Número de triângulos
Número de palitos 1 3 2 5 3 4 5
x
1 + 100 = 101 primeiro com último
2 + 99 = 101, segundo com penúltimo
E assim por diante.
Como a soma pedida tem 100 números, o total de duplas é 50, metade de 100. Ele concluiu, então, que a resposta podia ser obtida por uma simples multiplicação 50 x 101 = 5050
As parcelas da soma de Gauss formam a P.A. ( 1, 2, 3, 4, ..., 100). Nela, o primeiro termo é a 1 = 1, o centésimo é a 100 = 100 e a razão, r = 1.
Então Sn =
Atividade para fazer em dupla, com o acompanhamento do professor.
1 – Calcule a soma:
a) Dos trinta primeiros termos da P.A. ( 4, 10, ...); b) Dos vinte primeiros termos de uma P.A. em que o 1o^ termo é a 1 = 17 e r = 4 c) Dos 200 primeiros números pares positivos; d) Dos 50 primeiros múltiplos positivos de 5;
2 – Insira 7 meios aritméticos entre 20 e 68.
Como reforço indico o video aula Matemática - Aula 10 - Progressão Aritmética- Parte 3 – Final.Disponível em:< http://www.youtube.com/watch?v=1C2-PtD8vLc>
Atividade 4
Duração prevista: 150 minutos
Progressão geométrica- A expressão do termo geral de uma P.G. é obtida de maneira semelhante à da P.A. Lembre-se: na P.A., a razão é somada a cada termo; na P.G., a razão é multiplicada por cada termo.
Exemplos:
Sendo a 1 = 3 e a razão q = 2, então
= a 1. q => a 2 = 3. 2 = 6
= a 2. q => a 3 = 6. 2 = 12
= a 3. q => a 4 = 12. 2 = 24
= a 4. q => a 5 = 24. 2 = 48
Assim, a P.G. será ( 3, 6, 12, 24, 48, ...).
Logo, =. q ( é o enésimo termo, n é a posição do termo e q é a razão) e
para calcular a razão de uma P.G. basta fazer a operação inversa da formação , ou seja, dividir um termo ( a partir do segundo) pelo seu anterior.
Exercício
1 – Determine os 4 primeiros termos de uma P.G. de razão 4 e primeiro termo igual a
2 – Calcule os 5 primeiros termos de uma P.G., dados a 1 = -5 e q = -2.
3 – Determine a razão das seguintes P.G.
a) ( 3, 9, 27, 81) b) ( 2, -6, 18, -58, ... ) c) (20, 10, 5, , ... )
d) (3, 3, 3, 3, 3, ... )
Explicando a fórmula do termo geral da P.G.
Pela definição de P.G., temos:
= a 1. q
= a 2. q = (a 1. q). q = a 1. q^2
= a 3. q = (a 1. q^2 ). q = a 1. q^3
= a 4. q = (a 1. q^3 ). q = a 1. q^4
= a 5. q = (a 1. q^4 ). q = a 1. q^5
Podemos obter, também a soma dos n termos de uma P.G. finita, de forma bem simples. Não precisamos, para isso, conhecer os valores de todos os termos a serem somados.
Soma finita na P.G. constante (q=1)
Os termos de uma P.G. constante (q=1) são todos iguais. Por isso, é extremamente simples calcular a soma de seus n primeiros termos.
Na P.G. infinita e constante ( 3, 3, 3, 3, ...), a soma dos 8 primeiros termos é 8. 3 = 24; a soma dos 20 primeiros é 20. 3 = 60.
Soma finita na P.G. não constente ( q 1)
Vamos mostrar um jeito diferente de se obter a soma das potências de 2, com expoentes naturais de um até dez: 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^9 + 2^10.
Temos a soma dos 10 termos de uma P.G. O primeiro termo é a 1 = 2 e a razão, q = 2. Chamando de S aquela soma, temos
S = 21 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^9 + 2^10 (A)
Vamos, agora, multiplicar os dois membros da igualdade (A) pela razão q = 2 da P.G.
2S =2. 2^1 +2. 2^2 +2. 2^3 + ... +2. 2^9 +2. 2^10
2S = 22 + 2^3 + ... + 2^9 + 2^10 + 2^11 (B)
Compare as igualdades (A) e (B).^ As parcelas em destaque são exatamente iguais. Vamos subtrair, membro a membro, (B) – (A). Com isso, todas as parcelas e destaque vão desaparecer.
2S – S = 2^11 – 21 => S = 2048 – 2 => S = 2046
Vamos utilizar esse mesmo raciocínio para obter uma fórmula geral, válida para qualquer P.G. não constante (q 1).
Se Sn é a soma de seus n primeiros termos.
Sn = a 1 + a 2 + a 3 + ... + + (1)
Vamos multiplicar os dois membros da igualdade (1) pela razão q. Lembre-se: o produto de um termo pela razão é o temo seguinte.
qSn = a 1 q+ a 2 q+ a 3 q+ ... + q + q ou
qSn = a 2 + a 3 + ... + + (2)
Vamos subtrair, membro a membro, (2) – (1), os termos em destaque serão cancelados. Lembrando que = a 1 qn, obtemos
qSn – Sn = a 1 qn^ – a 1 => Sn (q – 1 ) = a 1 (qn^ – 1 )
Conclusão: Sn = (q 1)
Para obter a soma dos n primeiros termos de uma P.G., só precisamos conhecer o primeiro termo, a razão e o total a serem somados.
Ex.: Calcular a soma dos oito primeiros termos da P.G. ( 2, 6, 18, ...), sem adicioná-los um a um.
Temos a 1 = 2 e q = 3.
1 – Em janeiro, uma empresa fabricou 20 000 unidades de um certo produto. Nos meses seguintes, a produção cresceu 10% ao mês. Qual será a produção acumulada de janeiro a abril?
A produção de cada mês é 110% da produção do mês anterior, ou seja, a produção do mês anterior, multiplicada por 1,1 (equivalente a 110%).
As produções mensais formam, portanto, uma P.G. em que a 1 = 20 000 e q = 1,1. Devemos calcular S 4 , soma das produções nos 4 primeiros meses.
S 4 =?
2 -Comprei um automóvel e vou pagá-lo em 7 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação seja de 100 reais e cada uma das seguintes seja o dobro da anterior. Qual é o preço do automóvel?
3 -Trafegando por uma estrada, um motorista avista, de repente, um caminhão parado, impedindo totalmente a pista. Ele aciona os freios a 90 m do caminhão. A partir desse momento, ele percorre 16 m no primeiro segundo e, a cada segundo subsequente, 80% da distância percorrida no segundo anterior. Conseguirá o motorista evitar o acidente? Explique porquê.
Atividade 6
Duração prevista: 100 minutos
Desenvolver com a turma o roteiro de ação 5 – Resolvendo problemas com
matemática financeira.
A atividade será realizada em duplas com o acompanhamento do professor, após o termino das atividades o professor vai trocar as folhas entre as duplas e fazer a
correção no quadro, explicando cada tópico e tirando as dúvidas.
Nessa atividade será avaliado o interesse do aluno, através da participação,
comportamento e execução das tarefas.
Avaliação
Durante todo o processo o professor vai observar as dificuldades dos alunos através da execução das atividades e acompanhar o aluno na execução da atividade procurando
sanar as dúvidas e passar atividades extra caso seja necessário.
A 1o^ avaliação que será pontuada é a folha de atividades de P.A. e P.G. , que deverá ser
feita em dupla, podendo o aluno pesquisar o seu material. ( valendo 8 pontos)
A 2o^ avaliação que também será feita em dupla é a aplicação do roteiro 5. (valendo 2
pontos.)
Através da correção das atividades será avaliado a necessidade de atividades de recuperação.
O somatório destas avaliações será somado à avaliação de prisma e cilindros, mais a
avaliação bimestral e a prova do saerjinho, para tirar a média final do aluno.
Referências Bibliográficas
DANTE,Luiz Roberto. matemática – Contexto Aplicações. São Paulo:editora Ática,2011.3 vols.
FREITAS,Luciana Maria Tenuta;RUBIÓ,Angel Panadés. MATEMÁTICA e suas tecnologias. IBEP,2005.3 vols.
CECIERJ.Roteiros.Disponível em:http://projetoseeduc.cecierj.edu.br/ava22/Acesso em:27.04.2013.
G1 educação. Disponível em:http://g1.globo.com/educacao/noticia/2011/10/saiba- como-usar-o-fator-multiplicativo-para-calcular-porcentagem.htmlAcesso em:07.05.2013.
Geometria fractal – Arte e Matemática em formas naturais.Disponível em:<https://www.youtube.com/watch?v=YDhtL566M3U >Acesso em :02.05.2013.
Matemática - Aula 10 - Progressão Aritmética- Parte 1.Disponível em:http://www.youtube.com/watch?v=Bv8vRXpvp88Acesso em:02.05.2013.
Matemática - Aula 10 - Progressão Aritmética- Parte 3 – Final.Disponível em:< http://www.youtube.com/watch?v=1C2-PtD8vLc>Acesso em:02.05.2013.
