formulário de derivadas e integrais | Exercícios Matemática

I – TRIGONOMETRIA

1. Identidades Fundamentais:

1.1. cotg x = ; sec x = ; cossec x =

1.2. tg x = ; cotg x =

1.3. sen2x + cos2x = 1

1+ tg2x = sec2x

1+ cotg2x = cossec2x

2. Fórmulas de Redução:

2.1. sen( /2 x) = cos x

cos( /2 x) = sen x

tg( /2 x) = cotg x

2.2. sen( x) = sen x

cos( x) =

tg( x) = tg x

2.3. sen(2 x) = sen x

cos(2 x) = cos x

tg(2 x) = tg x

3. Função da Soma e Diferença de 2 Ângulos:

3.1. sen(x y) = sen x . cos y sen y . cos x

3.2. cos(x y) = cos x . cos y sen x . sen y

3.3 tg(x y) =

4. Fórmulas de Fatoração:

4.1. sen x + sen y = 2 . sen . cos

4.2. sen x – sen y = 2 . cos . sen

4.3. cos x + cos y = 2 . cos . cos

4.4. cos x – cos y = sen . sen

4.5. tg y =

5. Relação entre as funções de x e 2x

5.1. sen 2x = 2 . sen x . cos x

5.2. cos 2x = cos2x – sen2x = 2.cos2x – 1= 1 – 2.sen2x

5.3. sen2x = ½ . (1 – cos 2x)

5.4. cos2x = ½ . (1 + cos 2x)

5.5. tg 2x =

6. Expressões para qualquer Triângulo

6.1. Lei do cosseno: a2 = b2 + c2 – 2bc.cos Â

6.2. Lei do seno:

6.3. Área: ½ bc . sen Â

Rad 0

Grau 0o30o45o60o90o180o270o

Sen 0 1 0 -1

Cos 1 0 -1 0

Tg 0 1 0

Cotg 1 0 0

Sec 1 2 -1

Cosec 2 1 -1

II – ÁLGEBRA

1. Fórmula Binomial:

(x + y)n = xn + n . xn – 1. y + +

+ + +

onde n é um nº positivo e n! (n fatorial) é

n! = n . (n – 1) . (n – 2) . . . 2 . 1

2. Produtos Especiais:

2.1 (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

2.2 (x – y)2 = x2 – 2xy + y2

2.3 (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

2.4 (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3

2.5 x2 – y2 = (x – y) (x + y)

2.6 x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)

2.7 x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)

2.8.

3. Equação do 2º Grau:

As raízes da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0,

são determinadas por:

onde

Se < 0 raízes imaginárias

Se = 0 raízes iguais

Se > 0 raízes reais e diferentes

Se x1 e x2 são raízes então: x1+x2 = e x1.x2 =

Abscissa do vértice da parábola: ou

4. Propriedades da Potenciação e Radiciação:

4.1. ap.aq = ap + q 4.2. = ap – q

4.3. (ap)q = ap . q 4.4. a0 = 1, a  0

4.5. a – p = 4.6. (a . b)p = ap . bp

4.7. 4.8.

4.9. 4.10.

4.11. 4.12.

5. Logarítmo:

Se N = ax, onde a é um número positivo diferente

de 1, então x = logaN, é chamado logarítmo de N

na base a, onde N > 0.

6. Propriedades dos Logarítmos:

6.1. logaM.N = logaM + logaN

6.2. loga= logaM – logaN

6.3. logaa = 1

6.4. logaNn = n . logaN

6.5. loga= – logaN

6.6. loga1 = 0

6.7.

6.8. logba =

6.9. logbN = logaN . logba =

6.10. logaaN = N . logaa = N

6.11. ln eN = eln N = N

Organizado por: Profº Maria Helena S. Xavier e Sara Regina de Oliveira. Bibliografia: Cálculo: Anton, Boyce, Leithold,, Stewart, Swokowski

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I – TRIGONOMETRIA

1. Identidades Fundamentais: 1.1. cotg x = ; sec x = ; cossec x = 1.2. tg x = ; cotg x = 1.3. sen^2 x + cos^2 x = 1 1+ tg^2 x = sec^2 x 1+ cotg^2 x = cossec^2 x 2. Fórmulas de Redução: 2.1. sen( /2 x) = cos x cos( /2 x) = sen x tg( /2 x) = cotg x 2.2. sen( x) = sen x cos( x) = tg( x) = tg x 2.3. sen(2 x) = sen x cos(2 x) = cos x tg(2 x) = tg x 3. Função da Soma e Diferença de 2 Ângulos: 3.1. sen(x y) = sen x. cos y sen y. cos x 3.2. cos(x y) = cos x. cos y sen x. sen y 3.3 tg(x y) = 4. Fórmulas de Fatoração: 4.1. sen x + sen y = 2. sen. cos 4.2. sen x – sen y = 2. cos. sen 4.3. cos x + cos y = 2. cos. cos 4.4. cos x – cos y = sen. sen 4.5. tg y = 5. Relação entre as funções de x e 2x 5.1. sen 2x = 2. sen x. cos x 5.2. cos 2x = cos^2 x – sen^2 x = 2.cos^2 x – 1= 1 – 2.sen^2 x 5.3. sen^2 x = ½. (1 – cos 2x) 5.4. cos^2 x = ½. (1 + cos 2x) 5.5. tg 2x = 6. Expressões para qualquer Triângulo 6.1. Lei do cosseno: a^2 = b^2 + c^2 – 2bc.cos Â 6.2. Lei do seno: 6.3. Área: ½ bc. sen Â Rad 0 Grau 0 o^30 o^45 o^60 o^90 o^180 o^270 o Sen 0 1 0 - Cos 1 0 -1 0 Tg 0 1 0 Cotg 1 0 0 Sec 1 2 - Cosec 2 1 -

II – ÁLGEBRA

1. Fórmula Binomial: (x + y)n^ = xn^ + n. xn – 1. y + + + + + onde n é um nº positivo e n! (n fatorial) é n! = n. (n – 1). (n – 2)... 2. 1 2. Produtos Especiais: 2.1 (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 2.2 (x – y)^2 = x^2 – 2xy + y^2 2.3 (x + y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3 2.4 (x – y)^3 = x^3 – 3x^2 y + 3xy^2 – y^3 2.5 x^2 – y^2 = (x – y) (x + y) 2.6 x^3 – y^3 = (x – y) (x^2 + xy + y^2 ) 2.7 x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 – xy + y^2 ) 2.8. 3. Equação do 2º Grau: As raízes da equação do 2º grau ax^2 + bx + c = 0, são determinadas por: onde Se < 0 raízes imaginárias Se = 0 raízes iguais Se > 0 raízes reais e diferentes Se x 1 e x 2 são raízes então: x 1 +x 2 = e x 1 .x 2 = Abscissa do vértice da parábola: ou 4. Propriedades da Potenciação e Radiciação: 4.1. ap.aq^ = ap + q^ 4.2. = ap – q 4.3. (ap)q^ = ap. q^ 4.4. a^0 = 1, a  0 4.5. a – p^ = 4.6. (a. b)p^ = ap^. bp 4.7. 4.8. 4.9. 4.10. 4.11. 4.12. 5. Logarítmo: Se N = ax, onde a é um número positivo diferente de 1, então x = logaN, é chamado logarítmo de N na base a, onde N > 0. 6. Propriedades dos Logarítmos: 6.1. logaM.N = logaM + logaN 6.2. loga = logaM – logaN 6.3. logaa = 1 6.4. logaNn^ = n. logaN 6.5. loga = – logaN 6.6. loga1 = 0 6.7. 6.8. logba = 6.9. logbN = logaN. logba = 6.10. logaaN^ = N. logaa = N 6.11. ln eN^ = eln N^ = N 1 Organizado por: Profº Maria Helena S. Xavier e Sara Regina de Oliveira. Bibliografia: Cálculo: Anton, Boyce, Leithold,, Stewart, Swokowski

III – DERIVADAS

Seja u, v, w funções de uma variável x. Seja a, k, m, n constantes. As derivadas de u, v, w em relação a x serão:

D(u v w) = Du Dv Dw
D(k) = 0
D(x) = 1
D(kx) = k
D(k.xn) = n.k.xn-
D(k.u) = k.Du
D(u.v) = u.Dv + v.Du
D(u.v.w) = v.w.Du + u.w.Dv + u.v.Dw
D
D
D
D(um) = m.um-1.Du
D
D(au) = au.ln a. Du
D(eu) = eu. Du
D(vu) = vu. ln v. Du + u.vu-1. Dv (exponencial geral)
D(logau) =
D(ln u) =
(Regra da Cadeia)
(Derivada da Função Inversa)
D(sen u) = (cos u). Du
D(cos u) = ( – sen u). Du
D(tg u) = (sec^2 u). Du
D(cotg u) = ( – cossec^2 u). Du
D(sec u) = (sec u. tg u). Du
D(cossec u) = ( – cossec u. cotg u). Du
D(arc sen u ) = ou D(sen– 1^ u)
D(arc cos u) = ou D(cos– 1^ u)
D(arc tg u) = ou D(tg– 1^ u)
D(arc cotg u) = ou D(cotg– 1^ u)
D(arc sec u) = ou D(sec– 1^ u)
D(arc cossec u) = ou D(cossec– 1^ u)
D(senh u) = (cosh u). Du
D(cosh u) = (senh u). Du
D(tgh u) = (sech² u). Du
D(cotgh u) = ( – cosech² u). Du
D(sech u) = ( – sech u. tgh u). Du
D(cosech u) = ( – cosech u. cotgh u). Du IV – DIFERENCIAIS As regras para diferenciais são análogas às das derivadas, já que “diferencial de uma função y = f(x) é igual à derivada da função multiplicada pela diferencial da variável independente”, e obtemos: dy = Df(x).dx ou dy = f ’(x).dx

V – INTEGRAIS IMEDIATAS

ou =
ou =
ou =

25. Integração por partes 2 Organizado por: Profº Maria Helena S. Xavier e Sara Regina de Oliveira. Bibliografia: Cálculo: Anton, Boyce, Leithold,, Stewart, Swokowski

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I – TRIGONOMETRIA

II – ÁLGEBRA

III – DERIVADAS

V – INTEGRAIS IMEDIATAS