Sequˆencias (Resultados e Teoremas)
(1) Se limx→+∞f(x) = Lef(n) = an, quando n∈Z+
∗, ent˜ao limn→+∞an=L.
(2) (Confronto) Se an≤bn≤cn, para n≥noe limn→+∞an= limn→+∞cn=L⇒
limn→+∞bn=L.
(3) Se limn→+∞|an|= 0 ⇒limn→+∞an= 0.
(4) Se limn→+∞an=Le se a fun¸c˜ao ffor cont´ınua em L⇒limn→+∞f(an) = f(L).
(5) A sequˆencia {rn}´e convergente se −1< r ≤1 e diverge caso contr´ario.
(6) Toda sequˆencia mon´otona e limitada ´e convergente.
S´eries (Resultados e Teoremas)
(1) A s´erie geom´etrica P∞
n=1 arn−1,a= 0, converge para a
1−rse |r|<1, e diverge caso
contr´ario.
(2) Se a s´erie P∞
n=1 anfor convergente ⇒limn→∞ an= 0.
(3) (Teste da divergˆencia) Se limn→∞ an= 0 ou n˜ao existe ⇒P∞
n=1 an´e divergente.
(4) (Teste da Integral) Seja fcont´ınua, positiva e decrescente em [1,∞) e seja an=f(n).
Ent˜ao a s´erie P∞
n=1 an´e convergente ⇔a integral impr´opria R∞
1f(x)dx for convergente.
(5) Ap- s´erie P∞
n=1
1
np´e convergente, se p > 1; e divergente, se p≤1.
(6) (Teste de compara¸c˜ao) Suponha que PanePbnsejam s´eries com termos positivos.
(i) Se Pbnfor convergente e an≤bn,∀n⇒Pan´e convergente.
(ii) Se Pbnfor divergente e an≥bn,∀n⇒Pan´e divergente.
(7) (Teste de compara¸c˜ao no limite) Suponha que PanePbnsejam s´eries com termos
positivos. Se limn→∞
an
bn
=c, um n´umero positivo. Ent˜ao ambas as s´eries convergem ou
ambas divergem.
(8) (Teste da s´erie alternada) Se a s´erie P∞
n=1(−1)n−1bn=b1−b2+b3−b4+b5−b6+...,
com bn>0, satisfazer bn+1 ≤bn,∀n, e limn→∞ bn= 0, ent˜ao a s´erie ´e convergente.
(9) Se uma s´erie Panfor absolutamente convergente ent˜ao ela ´e convergente.
(10) (Teste da raz˜ao) Seja limn→∞
an+1
an
=Lou
(11) (Teste da raiz) Seja limn→∞
n
p|an|=L
(i) Se L < 1⇒P∞
n=1 an´e absolutamente convergente (´e portanto convergente).
(ii) Se L > 1 ou limn→∞ ... =∞ ⇒ P∞
n=1 an´e divergente.
(iii) Se L= 1, o teste n˜ao ´e conclusivo.
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