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Problema
Resolvido
Manual de Fórmulas e
Tabelas Matemáticas
Terceira edição
Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz e John Liu
Mais de 2400 fórmulas e tabelas
Abrange desde a matemática elementar até tópicos avançados
Organizado de forma a facilitar a consulta
ÚTIL EM TODAS AS DISCIPLINAS!
S755m Spiegel, Murray R. Manual de fórmulas e tabelas matemáticas [recurso eletrônico] / Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu ; tradução técnica: Claus Ivo Doering. – 3. ed. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : Bookman, 2012. (Coleção Schaum)
Editado também como livro impresso em 2011. ISBN 978-85-407-0056-
- Matemática. 2. Manual. 3. Tabelas. I. Lipschutz, Seymour. II. Liu, John. III. Título.
CDU 51(035)(083)
Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/
Reservados todos os direitos de publicação, em língua portuguesa, à ARTMED ®^ EDITORA S.A. Av. Jerônimo de Ornelas, 670 – Santana 90040-340 – Porto Alegre – RS Fone: (51) 3027-7000 Fax: (51) 3027-
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IMPRESSO NO BRASIL PRINTED IN BRAZIL
Obra originalmente publicada sob o título Schaum’s Outline: Mathematical Handbook of Formulas and Tables,3/Ed.
ISBN: 007-154855-
Copyright © 2009, 1999, 1986 by the McGraw-Hill Companies,Inc.,New York, New York, United States of America. All rights reserved.
Portuguese-language translation copyright ©2010 by Bookman Companhia Editora Ltda., a Division of Artmed Editora S.A. All rights reserved.
Capa: Rogério Grilho (arte sobre capa original)
Editora Sênior: Denise Weber Nowaczyk
Projeto e editoração: Techbooks
MURRAY R. SPIEGEL , já falecido, recebeu o grau de Mestre em Física e Doutor em Matemática da Cornell Univer- sity. Trabalhou nas universidades de Harvard, Columbia, Oak Ridge e no Rensselaer Polytechnic Institute, e também atuou como consultor matemático junto a diversas empresas importantes. Sua última posição foi como professor e Chefe do Departamento de Matemática no Rensselaer Polytechnic Institute do Hartford Graduate Center. Dedicou-se a vários ramos da Matemática, especialmente aqueles que envolvem aplicações a problemas de Física e Engenharia. É autor de muitos artigos publicados em revistas científicas e de 14 livros sobre vários tópicos em Matemática.
SEYMOUR LIPSCHUTZ faz parte do corpo docente da Temple University, tendo lecionado, anteriormente, no Insti- tuto Politécnico do Brooklin. Recebeu o grau de Doutor da New York University e é um dos autores mais produtivos da Coleção Schaum. Escreveu, dentre outros, os livros de Álgebra Linear, Probabilidade, Matemática Discreta, Teoria de Conjuntos, Matemática Finita e Topologia Geral.
JOHN LIU atualmente é professor de Matemática na University of Maryland, tendo lecionado, anteriormente, na Tem- ple University. Recebeu o grau de Doutor da University of California e foi professor visitante das universidades de New York, Princeton e Berkeley. Publicou diversos trabalhos sobre Matemática Aplicada, incluindo as áreas de Equações Diferenciais Parciais e Análise Numérica.
Este manual reúne uma coleção de fórmulas e tabelas matemáticas que será valiosa para estudantes e pesquisadores nas áreas de Matemática, Física, Engenharia e outras ciências. Tivemos o cuidado de in- cluir somente aquelas fórmulas e tabelas que provavelmente serão mais utilizadas, ignorando resultados altamente especializados que raramente serão necessários. O material apresentado neste manual de fácil utilização provém de assuntos profundamente enraizados em cursos matemáticos e científicos universitá- rios. Na verdade, a primeira edição ainda pode ser encontrada em muitas bibliotecas e escritórios e, mui- to provavelmente, tem acompanhado seus donos de emprego em emprego, desde sua época de faculdade. Assim, este manual sobreviveu ao teste do tempo (enquanto a maioria dos outros livros da faculdade já foi jogada fora). Esta nova edição mantém o mesmo espírito da segunda, com as seguintes alterações. Em primeiro lugar, retiramos algumas tabelas desatualizadas que, hoje em dia, podem ser facilmente obtidas com cal- culadoras simples e omitimos fórmulas raramente utilizadas. A principal mudança foi a expansão das se- ções sobre Probabilidade e Variáveis Aleatórias, com a inclusão material novo. Esses dois assuntos apare- cem tanto nas ciências físicas quanto sociais, inclusive na Educação. Os tópicos abordados variam do básico ao avançado. Os tópicos básicos incluem os de Álgebra, Geo- metria, Trigonometria, Geometria Analítica, Probabilidade e Estatística e Cálculo. Os tópicos avançados incluem os de Equações Diferenciais, Análise Numérica e de Análise Vetorial, como séries de Fourier, funções beta e gama, funções de Bessel e Legendre, transformadas de Fourier e Laplace e funções elípticas e outras funções especiais importantes. Esta ampla cobertura de tópicos foi adotada para fornecer, em apenas um volume, a maioria dos resultados matemáticos importantes que o estudante e o pesquisador necessita, independentemente de seu campo de interesse ou nível de conhecimento. Este livro está dividido em duas partes. A Parte A apresenta fórmulas matemáticas junto com algum outro material, essencial para o devido entendimento e aplicação das fórmulas, como definições, teoremas, gráficos, diagramas, etc. A Parte B apresenta as tabelas numéricas, que incluem as distribuições estatísti- cas básicas (normal, t de Student, qui-quadrada, etc.), funções especiais (Bessel, Legendre, elípticas, etc.) e funções financeiras (montante composto e valor presente de uma quantidade e anuidade). A McGraw-Hill deseja agradecer aos diversos autores e editoras (por exemplo, o agente literário do falecido Sir Ronald A. Fischer, F.R.S., o Dr. Frank Yates, F.R.S. e Oliver and Boyd Ltd., de Edinburgh, pela Tabela III de seu livro Statistical Tables for Biological, Agricultural and Medical Research ) que de- ram sua permissão para adaptar dados de seus livros para utilização em várias tabelas deste manual. As referências apropriadas a tais fontes são dadas junto às tabelas correspondentes. Finalmente, gostaria de agradecer à equipe da Coleção Schaum na McGraw-Hill, especialmente Char- les Wall, por sua cooperação dedicada.
S EYMOUR L IPSCHUTZ TEMPLE U NIVERSITY
Prefácio
Parte A Fórmulas
Alfabeto Grego e
Constantes Especiais
Alfabeto grego
Nome Grego
Letras Gregas Minúsculas Maiúsculas Alfa Α Beta Β Gama Γ Delta Δ Epsílon Ε Zeta Ζ Eta Η Teta Θ Iota Ι Capa Κ Lambda Λ Mi Μ
Nome Grego
Letras Gregas Minúsculas Maiúsculas Ni Ν Xi Ξ Ômicron Ο Pi Π Rô Ρ Sigma Σ Tau Τ Ipsílon Fi Φ Qui Χ Psi Ψ Ômega Ω
Constantes especiais
Seção I: Constantes, Produtos e Fórmulas Elementares
Algumas generalizações das fórmulas acima são dadas pelos seguintes resultados, onde n é um inteiro
- Parte A Fórmulas
- Seção I Constantes, Produtos e Fórmulas Elementares - 1. Alfabeto grego e constantes especiais - 2. Produtos e fatores especiais - 3. Fórmula binomial e coeficientes binomiais - 4. Números complexos - 5. Soluções de equações algébricas - 6. Fatores de conversão
- Seção II Geometria - 7. Fórmulas geométricas - 8. Fórmulas da geometria analítica plana - 9. Curvas planas especiais
- Fórmulas da geometria analítica espacial
- Momentos de inércia especiais
- Seção III Funções Transcendentes Elementares
- Funções trigonométricas
- Funções exponenciais e logarítmicas
- Funções hiperbólicas
- Seção IV Cálculo
- Derivadas
- Integrais indefinidas
- Tabelas de integrais indefinidas especiais
- Integrais definidas
- Seção V Equações Diferenciais e Análise Vetorial
- Equações diferenciais básicas e suas soluções
- Fórmulas da análise vetorial
- Seção VI Séries 8 SUMÁRIO
- Séries de termos constantes
- Séries de Taylor
- Números de Bernoulli e de Euler
- Séries de Fourier
- Seção VII Polinômios e Funções Especiais
- A função gama
- A função beta
- Funções de Bessel
- Funções de Legendre e de Legendre associadas
- Polinômios de Hermite
- Polinômios de Laguerre e de Laguerre Associados
- Polinômios de Chebyshev
- Funções hipergeométricas
- Seção VIII Transformadas de Laplace e de Fourier
- Transformadas de Laplace
- Transformadas de Fourier
- Seção IX Funções Elípticas e Outras Funções Especiais
- Funções elípticas
- Outras funções especiais
- Seção X Desigualdades e Produtos Infinitos
- Desigualdades
- Produtos infinitos
- Seção XI Probabilidade e Estatística
- Estatística descritiva
- Probabilidade
- Variáveis aleatórias
- Seção XII Métodos Numéricos
- Interpolação
- Quadratura
- Solução de equações não lineares
- Métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias
- Métodos numéricos para equações diferenciais parciais
- Métodos iterativos para sistemas lineares
- Parte B Tabelas
- Seção I Funções Logarítmicas, Trigonométricas e Exponenciais - 1. Logaritmos comuns - 2. sen x ( x em graus e minutos) - 3. cos x ( x em graus e minutos) - 4. tg x ( x em graus e minutos) - 5. Conversão de radianos para graus, minutos e segundos ou frações de graus - 6. Conversão de graus, minutos e segundos para radianos - 7. Logaritmos naturais ou neperianos - 8. Função exponencial crescente ex - 9. Função exponencial decrescente e – x
- Integrais exponencial, seno e cosseno
- Seção II Fatorial, Função Gama e Coeficientes Binomiais
- Fatorial de n
- Função gama
- Coeficientes binomiais
- Seção III Funções de Bessel
- Funções de Bessel J 0 ( x )
- Funções de Bessel J 1 ( x )
- Funções de Bessel Y 0 ( x )
- Funções de Bessel Y 1 ( x )
- Funções de Bessel I 0 ( x )
- Funções de Bessel I 1 ( x )
- Funções de Bessel K 0 ( x )
- Funções de Bessel K 1 ( x )
- Funções de Bessel Ber ( x )
- Funções de Bessel Bei ( x )
- Funções de Bessel Ker ( x )
- Funções de Bessel Kei ( x )
- Valores aproximados de zeros de funções de Bessel
- Seção IV Polinômios de Legendre
- Polinômios de Legendre P n ( x )
- Polinômios de Legendre Pn (cos )
- Seção V Integrais Elípticas
- Integrais elípticas completas de 1 a e 2 a espécies
- Integrais elípticas incompletas de 1 a espécie
- Integrais elípticas incompletas de 2 a espécie
- Seção VI Tabelas Financeiras 10 SUMÁRIO
- Montante composto
- Valor presente de um montante
- Montante de uma anuidade
- Valor presente de uma anuidade
- Seção VII Probabilidade e Estatística
- Áreas sob a curva normal padrão
- Ordenadas da curva normal padrão
- Valores percentis tp da distribuição t de student
- Valores percentis ^2 p da distribuição ^2 (qui-quadrado)
- Valores do 95 o percentil da distribuição F
- Valores do 99 o percentil da distribuição F
- Números aleatórios
- Índice de Símbolos e Notações Especiais
- Índice
- Os resultados de 2.1 a 2.10 são casos especiais da fórmula binomial [ver 3.3].
- positivo.
- Especiais Produtos e Fatores
16 M^ ANUAL^ DE^ F^ ÓRMULAS^ E^ T^ ABELAS^ M^ ATEMÁTICAS
18 M^ ANUAL^ DE^ F^ ÓRMULAS^ E^ T^ ABELAS^ M^ ATEMÁTICAS
Exemplo
Observe que tem exatamente r fatores tanto no numerador quanto no denominador.
Os coeficientes binomiais podem ser arranjados numa disposição triangular de números chamada tri- ângulo de Pascal, como mostrado na Fig. 3-1( b ). O triângulo possui as duas seguintes propriedades. (1) O primeiro e o último número em cada linha é 1. (2) Todos os outros números no triângulo podem ser obtidos adicionando os dois números que aparecem diretamente acima do número. Por exemplo,
A propriedade (2) pode ser enunciada como segue.
3.
Fig. 3-
Propriedades de coeficientes binomiais
A lista a seguir dá propriedades adicionais dos coeficientes binomiais.
3.
CAPÍTULO 3 • FÓRMULA B INOMIAL E COEFICIENTES BINOMIAIS 19
Fórmula multinomial
Sejam n 1 , n 2 ,…, n (^) r inteiros não negativos tais que n 1 n 2 …^ n (^) r n. Então a seguinte expressão, de- nominada coeficiente multinomial , é definida por
3.
Exemplo
O nome coeficiente multinomial vem da seguinte fórmula
3.
onde a soma, denotada por Σ, é tomada sobre todos os coeficientes multinomiais possíveis.
CAPÍTULO 4 • NÚMEROS COMPLEXOS 21
Plano complexo
Os números reais podem ser representados por pontos em uma reta, chamada de reta real. Analogamente, os números complexos podem ser representados por pontos em um plano, chamado diagrama de Argand ou plano gaussiano ou, simplesmente, de plano complexo. Mais especificamente, deixamos o ponto ( a, b ) no plano representar o número complexo z a bi. Por exemplo, o ponto P , na Fig. 4-1, representa o número complexo z 3 4 i. O número complexo pode ser também interpretado como um vetor da origem O ao ponto P. O valor absoluto de um número complexo z a bi , denotado por , é definido por 4.
Observamos que é a distância da origem O ao ponto z no plano complexo.
Fig. 4-1 Fig. 4-
Forma polar de números complexos
O ponto P , na Fig. 4-2, com coordenadas ( x, y ), representa o número complexo z x yi. O ponto P também pode ser representado pelas coordenadas polares ( r , ). Como x r cos e y r sen , temos
4.
chamada de forma polar do número complexo. Frequentemente, chamamos de módulo e a amplitude de z x yi.
Multiplicação e divisão de números complexos na forma polar
Teorema de De Moivre
Para qualquer número real p , o Teorema de De Moivre afirma que
4.
22 M^ ANUAL^ DE^ F^ ÓRMULAS^ E^ T^ ABELAS^ M^ ATEMÁTICAS
Raízes de números complexos
Seja p 1/ n, onde n é qualquer número inteiro positivo. Então 4.10 pode ser escrito como
4.
onde k é qualquer número inteiro. A partir desta fórmula podemos obter todas as n raízes enésimas de um número complexo, tomando k 0, 1, 2, …, n 1.
