Função de Bessel, Notas de estudo de Engenharia Química

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Cálculo IV

Marcilene Rocha dos Santos

 A Equação de Bessel de índice “p” é uma

Equação Diferencial Ordinária na forma:

Onde “p” é um número real

 Para a equação de Bessel com índice “ 0 ” onde

p=0 teremos a equação na forma:

 O ponto x 0 =0 é um ponto singular regular para a

equação de Bessel.

No segundo somatório acima, fazendo k=n+2 e fatorando o coeficiente do primeiro somatório, temos

No 2º somatório, substituindo o índice k por n, separando os 2 primeiros termos do 1º somatório, obtemos:

Como , segue que:

A equação indicial r²=0 tem raiz dupla r 1 =r 2 =

1ª Solução : para r 1 =0, a equação nos diz que a 1 =

A fómula de recorrência se torna:

Desenvolvendo, obtemos finalmente a solução:

Essa função é chamada de Função de Bessel de 1ª espécie de índice “ 0 ” e denotada por J 0 (x)

Aproveitando os cálculos feitos acima, podemos afirma que:

Impondo que a 1 (r)=0 e a fórmula de recorrência

Teremos

No 2º caso no método de Frobenius podemos continuar coma escolha a o (r)=1, dando

Derivando em relação a r , tem-se:

fazendo r =0, segue finalmente que:

Portanto a 2ª solução é:

Reescrevendo na formula de recorrência

Finalmente:

Onde:

Encontramos uma 2ª solução para e Equação de Bessel, LI da 1ª, na forma

Aplicações

 Solução das equações de Laplace e

Helmholtz, em coordenadas cilíndricas ou esféricas; Ondas eletromagnéticas; Condução de calor;

Vibração; Difusão Processamento de sinais (filtro Bessel).

Referência Bibliográfica

 www.mat.ufpb.br/milton/disciplinas/.../planodecursomata p.pdf

 www.mat.ufrgs.br/~brietzke/frob1/frob1.html

 www.mat.uel.br/matessencial/superior/pdfs/ edo .pdf

 www.cin.ufpe.br/~jds/metodoscomputacionais/ EDO 1(06. 2).ppt

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