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Funções
Rafael Massato Kawamura
Função
Pode-se entender função como uma relação matemática de dois conjuntos, da seguinte forma: f: A→B, onde os elementos xΕA e yΕB. Irá sempre existir uma lei formadora que associará para cada elemento de A apenas um elemento de B, ou seja cada elemento x só poderá se relacionar com um y do conjunto B, caso contrário não será função.
Imagem e Contradomínio
Domínio é um sinônimo para conjunto de saída , ou seja, para esta função o domínio é o próprio conjunto A = {1, 4, 7}.
Como, em uma função, o conjunto de saída (domínio) deve ter todos os seus elementos relacionados (regra 2 das funções), não precisamos ter subdivisões para o domínio.
O domínio de uma função também é chamado de campo de definição ou campo de existência da função, e é representado pela letra "D".
O conjunto de chegada "B", também possui um sinônimo, é chamado de contradomínio.
Note que podemos fazer uma subdivisão dentro do contradomínio (conjunto azul da figura acima). Podemos ter elementos do contradomínio que não são relacionados com algum elemento do Domínio e outros que são. Por isso, devemos levar em consideração esta subdivisão (esta é até mais importante do que o próprio contradomínio).
Este subconjunto é chamado de conjunto imagem , e é composto por todos os elementos em que as flechas de relacionamento chegam.
O conjunto Imagem é representado por "Im", e cada ponto que a flecha chega é chamado de imagem.
*Obs.: Note que existe uma diferença entre imagem e conjunto imagem, o primeiro é um ponto em que a flecha de relacionamento toca, e o segundo é o conjunto de todos elementos que as flechas tocam.
No nosso exemplo, o domínio é D = {1, 4, 7} , o contra-domínio é = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e o conjunto imagem é Im = {6, 9, 12} e:
- a imagem do ponto x = 1 é y = 6, indicado por f(1) = 6 ;
- a imagem do ponto x = 4 é y = 9, indicado por f(4) = 9 ;
- a imagem do ponto x = 7 é y = 12, indicado por f(7) = 12.
Funções
Rafael Massato Kawamura
Exemplo 1 Dada a função h: {-3, 0, 3, 8} —>{-2, 0, 15, 18, 27, 40} definida pela lei. Indique o Domínio, Contra- Domínio e Imagem desta função. Resolução : Domínio é o conjunto de saída: {-3, 0, 3, 8} Contradomínio é o conjunto de chegada: {-2, 0, 15, 18, 27, 40} Agora devemos ver a imagem de cada um dos elementos do domínio. Para x=-3 temos Para x=0 temos Para x=3 temos Para x=8 temos Como encontramos todas as imagens, podemos agora formar o conjunto Imagem da função. Im = {0, 18, 40} *Note que, no enunciado, foi pedido apenas a imagem da função , ou seja, não foi dito conjunto imagem. Como não está se referindo a algum ponto (por exemplo, imagem de x=3), consideramos que foi pedido todo o conjunto imagem.
Exemplo 2 A função agora é definida por y = 2x + B. Temos que calcular o valor de B, sabendo que f(1) = 3. Resolução: Agora o exercício muda um pouco de figura. Ele dá uma imagem, no caso f(1)=3 , e pede pra acharmos o termo "B" da lei de formação. Vamos ver...
sabendo que y=f(x) , então f(x) = 2x + B e f(1) = 2.(1) + B, e também f(1) = 3 então: 3 = 2.(1) + B agora aplicando as propriedades das operações, 3 = 2 + B 3 - 2 = B 1 = B Portanto, a lei de formação da função é y=2x+1 ou f(x)=2x+.
Funções Injetora, Sobrejetora e Bijetora
Função Sobrejetora
Funções
Rafael Massato Kawamura
Na explicação do último tipo de função vamos analisar este outro diagrama de flechas : Do explicado até aqui concluímos que este é o diagrama de uma função sobrejetora , pois não há elementos em B que não foram flechados. Concluímos também que esta é uma função injetora , já que todos os elementos de B recebem uma única flechada. Esta função tem: Domínio: D(f) = { -1, 0, 1, 2 } Contradomínio: CD(f) = { 4, 0, -4, -8 } Conjunto Imagem: Im(f) = { 4, 0, -4, -8 } Esta função é definida por:
Ao substituirmos x em -4x , por cada um dos elementos de A , iremos encontrar os respectivos elementos de B , sem que sobrem elementos em CD(f) e sem que haja mais de um elemento do D(f) com a mesma Im(f). Funções que como esta possuem particularidades da sobrejetora e injetora , são classificadas como funções bijetoras.
