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Funções de Variáveis Complexas
Samuel da Silva^1 , Centro de Engenharias e Ciências Exatas, Universidade Estadual do Oeste do Paraná, UNIOESTE, Campus de Foz do Iguaçu.
1 Objetivos
O uso da Transformada de Laplace na análise de sistemas dinâmicos permite a transformação de uma equação diferencial em uma equação algébrica envolvendo a variável complexa s. Algo similar é obtido para o caso discreto no tempo, porém, envolvendo a Transformada Z aplicada em equações a diferenças finitas. Para aproveitar melhor o uso destas técnicas é desejável como pré-requisito uma boa base matemática em funções de variáveis complexas. Neste sentido, esta curta nota procura apresentar de forma sucinta alguns conceitos, definições e equações básicas envolvidas no uso de funções de va- riáveis complexas que serão úteis durante o nosso curso. Os estudantes interessados poderão encontrar maior detalhe e rigor matemático nos tópicos apresentados aqui nas seguintes referências [1], [2], [3] ou, ainda, no recente livro [4].
2 Números Complexos
A seguinte equação intrigou muitos matemáticos:
x^2 + 1 = 0 ⇔ x^2 = − 1 (1) uma vez que não existe um número x = r ∈ R que satisfaça esta equação. A ideia para se resolver este tipo de equação foi então criar um novo conjunto de números chamados complexos, denotados por C que assumem uma forma genérica:
z = x + jy = (x, y) (2) sendo x e y números reais e j =
− 1 a chamada unidade imaginária. Gauss mostrou em sua tese de doutorado que os números complexos não tem nada de irreal ou imaginário a partir de representações geométricas. Porém, mesmo com isto, os números complexos demoraram um bom tempo para serem aceitos. A própria palavra complexo cria um certo bloqueio e preconceito de ser uma coisa muito complicada^2. Obviamente que o conjunto de números reais R é um subconjunto de C uma vez que se y = 0 na eq. (2) é pertencente a R. Pode-se definir também a parte real de um número complexo:
Re (z) = x (3) a parte imaginária:
Im (z) = y (4) seu módulo:
|z| =
x^2 + z^2 (5) (^1) Sugestões, comentários e correções são bem-vindos e podem ser feitos pelo email [email protected]. (^2) O que não deixa de ser verdade, se tratando de funções de variáveis complexas.
e argumento:
φ(z) = atan
( (^) y x
A partir de uma representação do plano complexo^3 é simples verificar as relações:
Re(z) = |z| cos (φ(z)) (7) Im(z) = |z| sen (φ(z)) (8)
Com isto uma forma alternativa de se escrever um número complexo é a partir de:
z = x + jy = Re(z) + jIm(z) = |z| cos (φ(z)) + j |z| sen (φ(z)) (9) Todas as operações comuns de soma, subtração, multiplicação e divisão são realizadas de forma convencional. O conjugado de um número complexo é denotado por z∗^ e definido, como:
z∗^ = x − jy = Re(z) − jIm(z) = |z| [cos (φ(z)) − jsen (φ(z))] (10) o que leva a zz∗^ = |z|^2. Já o inverso de um número complexo, z−^1 é dado por:
z−^1 =
|z|
(cos (φ(z)) − jsen (φ(z)) (11)
que para ser satisfeita devemos ter que |z| 6 = 0. Note que zz−^1 = 1. A multiplicação de dois números complexos, por exemplo z 1 e z 2 resulta por:
z 1 z 2 = |z 1 ||z 2 | [cos(φ 1 + φ 2 ) + jsen(φ 1 + φ 2 )] (12) Assim para n ∈ N sucessivas multiplicações, pode-se escrever:
zn^ = |z|n^ (cos(nφ) + jsen(nφ)) (13) se o módulo de z na eq. (13) for unitário, chega-se ao conhecido Teorema de De Moivre:
[cos(φ) + jsen(φ)]n^ = cos(nφ) + jsen(nφ) (14) Um dos fatores mais importantes dos números complexos com grande aplicação em funções de variáveis complexas é que dado z 0 = x 0 + jy 0 e z = x + jy. Dizer que z → z 0 , significa dizer que x → x 0 e y → y 0 , de maneira simultânea e independente. Com isto, no plano de Argand não se especifica uma trajetória particular, mas sim todas as trajetórias que partem de z e chegam até z 0.
3 Função de Variável Complexa
A definição genérica de função de variável complexa é dada por:
f (z) : D ⊂ C → F ⊂ C (15) sendo D um subconjunto de C é o domínio e F é sua imagem. (^3) Também conhecido como plano de Argand e sendo simplesmente uma representação geométrica dada por Re(z) no eixo abcissa e Im(z) no eixo ordenado.
Interpretando a eq. (22) em termos da derivada direcional das funções u(x, y) e v(x, y), observa-se que estas funções devem ter certas características para que f (z) seja diferenciavel. Para comprovar isto, será reescrito a eq. (22) em termos de u(x, y) e v(x, y) e sabendo que z = x + jy e z 0 = x 0 + jy 0 , assim:
f ′(z 0 ) = lim x→x 0 ,y→y 0
(u(x, y) + jv(x, y)) − (u(x 0 , y 0 ) + jv(x 0 , y 0 )) (x + jy) − (x 0 + jy 0 )
= lim x→x 0 ,y→y 0
∆u∆x + ∆v∆y ∆x^2 + ∆y^2
∆u∆x − ∆v∆y ∆x^2 + ∆y^2
sendo ∆u e ∆v dadas por:
∆u =
∂u ∂x
∆x +
∂u ∂y
∆y (26)
∆v =
∂v ∂x
∆x +
∂v ∂y
∆y (27)
Calculando as derivadas parciais da eqs. (26) e (27) em x = x 0 e y = y 0. Substituindo estas equações na eq. (25) e após manipulações obtém-se:
f ′(z 0 ) =
∂u ∂x
∂v ∂x
∂v ∂y
− j
∂u ∂y
A eq. (28) permite verificar duas condições que devem ser satisfeitas simultaneamente para ser possível calcular f ′(z 0 ):
∂u ∂x
∂v ∂y
∂u ∂y
∂v ∂x
Estas duas condições são chamadas de condições de Cauchy-Riemann e garantem que f (z) seja diferenciavel e contínua em z = z 0. Devemos notar que as condições de Cauchy-Riemann acoplam as funções u e v de tal forma que se for conhecida uma a outra é completamente determinada a menos de uma constante. Uma equação, de grande interesse físico e matemático pode ser obtida derivando-se as condições de Cauchy-Riemann em relação a x e y. Observa-se que u e v devem satisfazer:
∂^2 u ∂x^2
∂^2 u ∂y^2
= ∇^2 u = 0 (31)
∂^2 v ∂x^2
∂^2 v ∂y^2
= ∇^2 v = 0 (32)
sendo ∇^2 o operador Laplaciano. Estas duas expressões são as equações de Laplace, também conhecidas como Funções Harmônicas. Problemas de campo de temperatura, distribuição de tensões em placas, entre outros, podem ser descritos por funções deste tipo.
Neste ponto, é bom definir formalmente o termo função analítica. Uma função de variável f (z) é dita analítica se sua derivada f ′(z) existir e for contínua em todo z ∈ D. Verificar se uma função é ou não é analítica é feito rapidamente com a verificação das condições de Cauchy-Riemann. Um exemplo, considerando a função:
f (z) = z^2 (33) se f (z) for analítica, implica que as condições de Cauchy-Riemann sejam satisfeitas. As funções u(x, y) e v(x, y):
u(x, y) = x^2 − y^2 , v(x, y) = 2xy (34) satisfazem claramente as condições de Cauchy-Riemann em todo z ∈ C:
∂u ∂x
∂v ∂y
= 2x (35)
∂u ∂y
∂v ∂x
= − 2 y (36)
e ainda tem-se que:
f ′(z) =
∂u ∂x
∂v ∂x
∂v ∂y
− j
∂u ∂y
= 2z (37)
lembrando que z = x + yj. Outro exemplo: considere uma função de variável complexa s, G(s) dada por:
G(s) =
s + 1
sendo s = σ + jω, onde σ é parte real e ω a parte imaginária, assim:
G(σ + jω) =
σ + jω + 1
= u + jv (39)
sendo:
u(σ, ω) =
σ + 1 (σ + 1)^2 + ω^2
v(σ, ω) =
−ω (σ + 1)^2 + ω^2
observa-se que as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas para todos os pontos, para exceto s = − 1 , ou seja quando σ = 1 e ω = 0:
∂u ∂σ
∂v ∂ω
ω^2 − (σ + 1)^2 [(σ + 1)^2 + ω^2 ]^2
∂u ∂ω
∂v ∂σ
2 ω(σ + 1) [(σ + 1)^2 + ω^2 ]^2
pode ser encontrada em [1]. Este teorema é base para o estudo de estabilidade de sistemas dinâmicos lineares no domínio da frequência (critério de Nyquist). O que nós interessa neste momento é que este teorema leva a obtenção da chamada formula integral de Cauchy definida para qualquer ponto z 0 pertencente a curva C:
f (z 0 ) =
2 πj
C
f (z) z − z 0
dz (47)
6 Descrição de funções de variáveis complexas usando as séries de
Taylor e Laurent
Uma função analítica f (z) pode ser desenvolvida em série de Taylor, i. e., para z 0 ∈ D então o valor da função em qualquer z pertencente à região circular |z − z 0 | < R cujo interior está contido em D ∈ C:
f (z) =
∑^ ∞
i=
ci(z − z 0 )i^ (48)
onde os coeficientes ci são dados por:
ci =
2 πj
C
f (z) (z − z 0 )i+^
dz (49)
A prova da expressão anterior é encontrada em detalhes em [1]. Uma generalização da série de Taylor é a série de Laurent usada quando a meta é escrever f (z) como uma série de potências em um ponto onde ela não é analítica. A transformada Z que não faz parte do escopo deste curso é um exemplo de série de Laurent. Assuma uma função f (z) que é analítica no interior de um anel r < |z − z 0 | < R então para todo z nesta região, a série de Laurent é dada por:
f (z) =
∑^ ∞
i=−∞
ci(z − z 0 )i^ (50)
onde os coeficientes ci são dados por:
ci =
2 πj
C
f (z) (z − z 0 )i+^
dz (51)
7 Resíduo
Um tipo muito comum de funções de variáveis complexas que é encontrado em sistemas dinâmicos lineares, envolve fuções racionais do tipo:
H(z) =
N (z) D(z)
A função H(z) é analítica em todos os pontos, exceto quando D(z) = 0, quando seu pólos carac- terizam singularidade. Exemplo:
f (z) =
z z − 1
pode ser representada por série de Taylor em qualquer ponto diferente do pólo em z = 1. Já para representar entre 0 < |z − 1 | < ∞ exige uma série de Laurent. O resíduo de uma função analítica f (z) em z 0 , denotado por R(f, z 0 ) é o coeficiente c− 1 da expansão em série de Laurent de f (z) em z = z 0.
8 Considerações Finais
Esta nota apresentou de forma rápida alguns pontos que são necessários para o estudo da trans- formada de Laplace durante o curso de análise de sistemas dinâmicos lineares, entre eles a definição de números complexos, funções de variáveis complexas, derivação e os conceitos de pólos, zeros e resíduos.
Referências
[1] J. C. Geromel and A. G. B. Palhares. Análise Linear de Sistemas Dinâmicos - Teoria, Ensaios Práticos e Exercícios. Editora Edgar Blücher Ltda., 1.o^ edition, 2004.
[2] K. Ogata. Engenharia de Controle Moderno. Prentice Hall, 4.o^ edition, 2005.
[3] R. V. Churchill. Variáveis Complexas e suas Aplicações. Makron Books, 1.o^ edition, 1975.
[4] D. Mcmahon. Variáveis Complexas Desmistificadas - Um guia para autoaprendizado. Ciência Moderna, 1.o^ edition, 2009.
