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Universidade Estadual de Santa Cruz Departamento de CiÍncias Exatas e TecnolÛgicas EspecializaÁ„o em Matem·tica - Estruturas AlgÈbricas Profa.: Elisangela Farias e SÈrgio Motta
FUN«’ES
Sejam X e Y conjuntos. Uma funÁ„o de X em Y È um terno (f; X; Y ), f : X! Y , sendo f uma relaÁ„o de X para Y satisfazendo: (a) Dom(f ) = X, (b) Se (x; y) 2 f e (x; z) 2 f ent„o y = z:
[Dizemos que funÁ„o È uma regra que a cada elemento x 2 X, associa um ˙nico elemento y 2 Y. ]
Em notaÁ„o, f : X ! Y x 7 ! f (x) = y
Dizemos que y È a imagem de x sob f e que x È a imagem inversa de y sob f. O conjunto Y È dito contra-domÌnio da funÁ„o e n„o necessariamente coincide com o conjunto das imagens da funÁ„o.
Quando È dada uma lei x 7 ! f (x) = y que associa aos elementos de X elementos de Y; para termos certeza que esta lei deÖne uma funÁ„o f : X ! Y; devemos veriÖcar que efetivamente a cada elemento de X È associado um ˙nico elemento de Y: Deve-se mostrar que se a = b; ent„o f (a) = f (b): AlÈm disso, deve-se garantir ainda que D(f ) = fx 2 X; 9 y 2 Y : f (x) = yg = X:
Exemplos e Contraexemplos Exemplo 0.1. A funÁ„o f : X ! X, que ao elemento x associa o prÛprio x; recebe o nome de funÁ„o identidade de X, e È denotada por IdX :
Exemplo 0.2. Seja f : X ! Y uma funÁ„o tal que 9 b 2 Y com f (x) = b para todo x 2 X. Esta aplicaÁ„o È a funÁ„o constante.
Exemplo 0.3. Toda funÁ„o s : N ! A È chamada sequÍncia em A: Costuma-se escrever sn ao invÈs de s(n):
Exemplo 0.4. Seja A um conjunto. Uma funÁ„o qualquer f : A A ! A
È chamada de operaÁ„o em A.
Dizemos que a operaÁ„o È comutativa se f (a; b) = f (b; a); 8 (a; b) 2 A A: A operaÁ„o È dita associativa se para todos os elementos a; b; c 2 A se tem f (a; f (b; c)) = f (f (a; b); c):
Um elemento e 2 A È dito elemento neutro para a operaÁ„o f se para todo elemento a 2 A se tem f (a; e) = f (e; a) = a:
Se f possui um elemento neutro e; ent„o um elemento a 2 A È dito simetriz·vel se existe b 2 A tal que f (a; b) = f (b; a) = e:
Exemplo 0.5. Seja g : R ! R dada por x 7 ! px: Esta regra n„o È uma funÁ„o pois D(g) = R+ 6 = R
Exemplo 0.6. Seja g : R ! R dada por x 7 ! p 1 x^2 : Esta regra n„o È uma funÁ„o pois D(g) = [ 1 ; 1] 6 = R e existem dois correspondentes para um mesmo valor de x:
Exemplo 0.7. Seja f : R! R deÖnida por f (x) = [x] para todo x 2 R em que [x] denota o maior inteiro menor ou igual a x: Esta È chamada funÁ„o maior inteiro.
Exemplo 0.8. Seja A um subconjunto de um conjunto n„o vazio X: Ent„o a relaÁ„o f(x; y) 2 X f 0 ; 1 g; y = 1 se x 2 A e y = 0 se x 2 X Ag
d· origem a uma funÁ„o de X em f 0 ; 1 g, conhecida como funÁ„o caracterÌstica de A :
A : X ! f 0 ; 1 g
A(x) =
1 se x 2 A; ; 0 se x 2 X A;.
Se B X e C Y ent„o toda aplicaÁ„o g : B ! C tal que g(x) = f (x); 8 x 2 X; È chamada prolongamento de f ao conjunto B.
Exemplo 0.10. Consideremos a funÁ„o f : R^ ! R dada por f (x) = (^1) x ; 8 x 2 R: Se A = f 2 ; 4 ; 6 ; :::g; ent„o f jA = f(2; 12 ); (4; 14 ); :::g È a restriÁ„o de f ao conjunto dos n˙meros pares maiores que zero.
A funÁ„o g : R ! R dada por g(x) =
0 ; se x = 0 ; f (x); se x 2 R^.
È um prolongamento
(ou extens„o) de f ao conjunto R:
Exemplo 0.11. Seja f : C ! R+ dada por f (x + yi) = px^2 + y^2 : Seja R(R C) e seja g : R ! R+ dada por g(x) = jxj: Neste caso, g = f jR pois f (x) = f (x + 0i) = px^2 + 0^2 = jxj = g(x); 8 x 2 R:
Exemplo 0.12. Seja f : Q ! Q dada por x 7 ! x^2 : Seja agora g : R ! R dada
por g(x) =
f (x) se sex 2 Q; ; x se x 2 R Q;.
: Ent„o g È uma extens„o de f ao conjunto R: Sejam agora
S = fx; x 2 Q e 0 6 x 6 1 g e h : S ! S(ouQ) dada por x 7 ! x^2 : Ent„o h È uma restriÁ„o de f a S:
FunÁıes Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
0.4 DefiniÁ„o. Uma funÁ„o f : X! Y È injetora quando satisfaz:
se x 1 ; x 2 2 X e f (x 1 ) = f (x 2 ) ent„o x 1 = x 2
0.5 DefiniÁ„o. Uma funÁ„o f : X! Y È sobrejetora se satisfaz:
se y 2 Y; ent„o existe ao menos um x 2 X tal que f (x) = y:
Em outras palavras, f : X ! Y È sobrejetora se e somente se f (X) = Y , isto È, o conjunto imagem de X sob f È igual ao contradomÌnio da funÁ„o.
Exemplo 0.13. A funÁ„o f : Z ! Z dada por x 7 ! x + 3 È injetora e sobrejetora. Exemplo 0.14. A funÁ„o f : R ! [ 1 ; 1]; dada por f (x) = sen(x) È sobrejetora mas n„o È injetora.
Exemplo 0.15. A funÁ„o f : R ! R; dada por f (x) = sen(x) n„o È sobrejetora nem injetora.
Exemplo 0.16. A funÁ„o f : R ! Q; dada por f (x) = [x] n„o È sobrejetora nem injetora.
Exemplo 0.17. A funÁ„o f : R ! Z; dada por f (x) = [x] È sobrejetora mas n„o È injetora.
Exemplo 0.18. A funÁ„o f : R ! R dada por f (x) = x^2 n„o È injetora nem sobrejetora. Mas,
Exemplo 0.19. A funÁ„o f : R ! R+ dada por f (x) = x^2 È sobrejetora.
0.6 DefiniÁ„o. Uma funÁ„o f : X! Y È chamada uma bijeÁ„o (ou correspondÍncia um-a- um) se for simultaneamente injetora e sobrejetora.
Isto signiÖca que, dado um elemento y 2 Y , existe um ˙nico elemento x 2 X tal que f (x) = y
0.7 Teorema. Seja f : X! Y uma funÁ„o injetora e seja fA g; 2 I uma famÌlia de subconjuntos de X. Ent„o f (\ (^2) I A ) = \ (^2) I f (A )
0.8 DefiniÁ„o. Sejam X; Y; W e sejam as funÁıes f : X ! Y e g : Y ! W: Podemos deÖnir uma nova funÁ„o h : X ! W com a regra h(x) = g(f (x)): A funÁ„o h È chamada de funÁ„o composta de g com f e È denotada por g f: Temos portanto, por deÖniÁ„o que
(g f )(x) = g(f (x)): Exemplo 0.20. Consideremos as funÁıes f : R ! R+ dada por f (x) = x^2 e g : R+ ! Z dada por g(x) = [x] + 1. Ent„o g f : R ! R dada por x 7 ! [x^2 ] + 1; È a funÁ„o composta de g com f.
Exemplo 0.21. Sejam f : R ! R+ tal que f (x) = 2x^ e g : R+ ! R tal que g(x) = px: A aplicaÁ„o composta de g com f È g f : R ! R È dada por (g f )(x) = g(f (x)) = pf (x) = p 2 x:
Neste caso, observando os domÌnios e contradomÌnios de f e g, percebemos que podemos tambÈm considerar a funÁ„o composta de f com g : f g : R+ ! R+ por (f g)(x) = f (g(x)) = f (px) = 2px
ExercÌcios
Sejam f : X ! Y e g : Y ! Z funÁıes. Demonstre: a) Se g f È injetora, ent„o f È injetora. b) Se g f È injetora e f È sobrejetora, ent„o g È injetora. c) Se g f È sobrejetora, ent„o g È sobrejetora. d) Se g f È sobrejetora e g È injetora, ent„o f È sobrejetora.
Apresente um contraexemplo que mostre que g f ser bijetora n„o implica que g e f tambÈm o sejam.
Demonstre que se f : X ! Y È sobrejetora, ent„o para todo conjunto Z e todas funÁıes g : Y ! Z e h : Y ! Z, g f = h f ) g = h:
Demonstre que se f : X ! Y È injetora, ent„o para todo conjunto Z e todas funÁıes g : Z ! X e h : Z ! X, f g = f h ) g = h:
A recÌproca dos resultados nos dois ˙ltimos exercÌcios acima È v·lida? Prove ou apresente contraexemplos.
OBS.: Esta apostila tÍm como objetivo orientar o decorrer da aula, onde os con- ceitos e resultados aqui descritos ser„o devidamente desenvolvidos, explicados e exempliÖcados, sendo portanto imprescindÌvel o acompanhamento da aula para que esta apostila seja, de fato, elucidativa.
ReferÍncia Bibliogr·Öca: Dean. Elementos de ¡lgebra Abstrata. Rio de Janeiro: Livros TÈcnicos e cientÌÖcos Editora S.A.,
Domingues e Iezzi. ¡lgebra Moderna. S„o Paulo: Atual, 1982. Hefez, Abramo. Curso de ¡lgebra, vol1. Rio de Janeiro:IMPA,CNPq,1993. Lang, Serge. ¡lgebra para GraduaÁ„o. Rio de Janeiro: Editora CiÍncia Moderna Ltda,
