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Funções inversas são um conceito matemático que descrevem a relação entre duas variáveis, onde a variação de uma delas depende diretamente da outra. Em outras palavras, se você tem uma função que relaciona duas grandezas, a função inversa é aquela que permite que você encontre o valor de uma das grandezas a partir do valor da outra. ex.: cos 30 = 0, , 0,866 qual é o ângulo? Arcos (0,866) = 30 graus. Por exemplo, suponha que você tenha uma função f(x)= y = 2x. Essa função relaciona um valor de x com outro valor, que é duas vezes maior que o valor de x. Se você quer descobrir qual o valor de x que corresponde a um valor de f(x) igual a 8, basta aplicar a função inversa de f(x), que é dada por g(x) = x/2. Assim, g(8) = 4, o que significa que o valor de x correspondente a f(x) = 8 é 4. y=2x → 8=2x → x=8/2 = 4
As funções inversas têm várias aplicações em diversas áreas do conhecimento. Na matemática, elas são muito usadas para resolver problemas que envolvem a inversão de uma operação matemática. Por exemplo, se você sabe que a área de um círculo é dada por A = πr², pode usar a função inversa para encontrar o valor do raio a partir do valor da área. Além disso, as funções inversas são muito usadas na física e na engenharia para modelar fenômenos que envolvem a relação entre duas grandezas. Por exemplo, a relação entre a velocidade e o tempo em um movimento uniforme pode ser descrita por uma função inversa. Se você conhece a velocidade e o tempo, pode encontrar a distância percorrida pela aplicação da função inversa correspondente.
Portanto, a função inversa de f é g(x) =
2. Função f(x) = 4x². Qual é a função inversa de f? Para encontrar a função inversa de f, é preciso isolar x em termos de y: y = 4x² => x = 4y² Troca x por y e y por x (REGRA sempre) Como a função quadrática tem dois valores possíveis para a raiz quadrada, a função inversa de f tem duas partes:
4. Função f(x) = log2(x + 1). Qual é a função inversa de f? Para encontrar a função inversa de f, é preciso isolar x em termos de y:
y = log2(x + 1) Troca x por y e y por x
x = log2(y + 1) Portanto, a função inversa de f é g(x) =
6. Função f(x) = cos(x). Qual é a função inversa de f? A função cos(x) não é invertível em todo o seu domínio , então é preciso limitá-la a um intervalo onde ela seja estritamente decrescente ou crescente. Por exemplo, podemos restringir a função ao intervalo [0, π], onde ela é decrescente. Para encontrar a função inversa de f, é preciso isolar x em termos de y: y = cos(x) essa aqui usa a definição da inversa cos(a) = b exemplo cosseno 30 = 0,5 , mas se eu tenho o valor meio e quero achar o ângulo faço pela inversa direto arcos de 0,5 = 30º x = cos(y) troca y por x e x por y logo y = arcos(x)
Portanto, a função inversa de f é g(x) = arcos(x), onde x pertence ao intervalo [-1, 1]. E as DERIVADAS Para encontrar a derivada de uma função inversa, podemos utilizar a regra da cadeia. A regra da cadeia afirma que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função externa pela derivada da função interna. Começamos considerando uma função e sua inversa. Se f(x) for invertível e diferenciável, parece razoável que a inversa de também f(x) seja diferenciável. A figura a seguir mostra a relação entre uma função f(x) e sua inversa f − (x). Veja o ponto(a,f − (a)) no gráfico de f − (x) tem uma reta tangente com uma inclinação:
Figura. Tangentes de uma função e seu inverso estão relacionadas; assim como as derivadas dessas funções. Também podemos derivar a fórmula para a derivada do inverso lembrando isso primeiro x=f(f − (x)). Então, ao diferenciar os dois lados dessa equação (usando a regra da cadeia à direita), obtemos 1=f'(f − (x))(f − )'(x))1= Resolvendo para(f−1)'(x), obtemos
(f − )'(x)=1f'(f − (x)) Resumimos esse resultado no seguinte teorema. Dessa forma, podemos usar essa fórmula para derivar cada uma das funções inversas que foram mencionadas anteriormente:
- Qual a Derivada da função inversa de f(x) = 3x - 5.?
Em seguida, derivamos ambos os lados em relação a x, utilizando a regra da cadeia: dy/dx = d/dx [3g(x) - 5] = 3 dg/dx Finalmente, isolamos dg/dx: dg/dx = 1/3(dy/dx) Substituindo dy/dx por 1 (já que g(x) é a função inversa de f(x)), temos: dg/dx = 1/ Assim, chegamos à conclusão de que a derivada da função inversa g(x) da função f(x) = 3x - 5 é igual a 1/3. Isso significa que a inclinação da reta tangente à curva g(x) em um ponto x é igual a 1/3.
- Qual é a derivada da função inversa de f(x) = 4x². f'(x) = 8x g(x) =
A derivada da função inversa g(x) da função f(x) = 4x 2 em um ponto y é dada por: g'(x) = 1/f'(g(x)) Como queremos a função inversa g(x) de f(x), com o sinal positivo: g(x) = Agora, podemos calcular a derivada da função inversa g(x) em um ponto x qualquer: g'(x) = =
- Qual é a derivada da Função inversa de f(x) = e x ? f'(x) = e x
