UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS DE SINOP
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Funções Logarítmicas
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
CÁLCULO I
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A função logaritmo natural, representada por ln x, se define como ln x = b se e somente se eb = x. ln x se lê como “ele-ene de x” ou como “log natural de.
Tipologia: Notas de aula
2022
1 / 17
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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS DE SINOP
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Funções Logarítmicas
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
CÁLCULO I
Funções Logarítmicas
1.Função logarítmica natural2.Propriedades das funções logarítmicas3.Resolução de equações exponenciais e logarítmicas4.Aplicações
Esta definição implica que a função logaritmo natural e a função exponencial natural são inversasuma da outra. Assim, toda equação logarítmica podeescrever-se em uma forma exponencial, e vice-versa.Forma logarítmica
ln 1 = 0
ln
e = 1
ln 2
≈^ 0,
Forma exponencial
e
(^1) e= e
0,693e
≈^2
1. Função logaritmo natural
Como as funções
f(x) = e
x^ e
g(x) = ln
x são
inversas uma da outra, seus gráficos são reflexões umdo outro em relação à reta
y = x. A figura acima
1. Função logaritmo natural ilustra esta propriedade reflexiva.
1. Função logaritmo natural
Domínio: (0,
∞)^
ln x
quando x
Imagem: (-
∞,^ ∞
)^
ln x
→^
- ∞^ quando x
→^
Intercepto: (1, 0)
Contínua
Sempre crescente
Um a um
8
Exemplo 1
: Esboce os gráficos das seguintes funções
1. Função logaritmo natural
1, 0, 0, 0,405 0 -0, ln (x+1)
1, 1 0, 0 -0, X
(^ )^
ln(^
f x^
x =^
Domínio:
x + 1
>^0
x^ >^
Propriedades
inversas
dos
logaritmos
e
dos
expoentes 1. ln
x^ e=
x
2.e
lnx^ =
x
2.^ Propriedades
das^
funções
logarítmicas
Exemplo 2
: Simplifique as expressões seguintes 2
2
ln 3^
ln^
ln 3
ln^
Como ln
, decorre que ln
2
Como
, decorre que
3
x
x^
x^
x
e^
e^
x^
e
e^
e^
x^
e^
x
=^
=
=^
=
Propriedades dos logaritmos
2.^ Propriedades
das^
funções
logarítmicas
ln(^
)^ ln
ln
ln^
ln^
ln
ln^
ln xy^ n
x^
y
x^
x^
y
y x
n^
x =^
⎛^
⎞ =^
−
⎜^
⎟ ⎝^
⎠ =
Exemplo 4
: Aplique as propriedades dos logaritmos
para escrever cada expressão como o logaritmo deuma grandeza única. (Suponha
x^ >^
0 e
y^ >^
2.^ Propriedades
das^
funções
logarítmicas
2
2 3
2
3
. ln^
2ln^
ln^
ln^
ln(^
)
. ln(^
1)^ ln(
3ln
ln[(^
1)(^
2)]^
ln 3
2 ln a^
x^
y^
x^
y^
xy
b^
x^
x^
x
x^
x^
x
x^
x x +^
=^
+^
=
+^ +
+^
−
=^
+^
+^
− +^
=
Exemplo 5
: Resolva as equações seguintes
3.^ Resolução
de^
equações
exponenciais e logarítmicas
5 ln^
ln5ln xe^ = xe = x =
0, 10 3 0,1 0,1 0,
14
3
4 4 3 4 ln^
ln^34 0,^
t e t t t ln (^34) 10ln 3 +^ e e e t t
= = = = = =
Exemplo
Uma
pessoa
deposita
P^ reais
em
uma
conta
cuja
taxa
anual
de
juro
é
r,^
composto
continuamente. Em quanto tempo a quantia depositadaduplicará?O montante na conta após
t anos é
Assim, o montante terá duplicado quando
A = 2P. Para
achar o “tempo de duplicação”, devemos resolver estaequação em relação a
t.
4. Aplicações
rt A^
Pe =
4. Aplicações
2
rt A^
Pe = P^ P =^2 ln^
rt ln2ln2 1 ln rt rt
e e^ = e rt t^ r