funções modulares, Exercícios de Matemática

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Funções Modulares

Prof.: Thiers Santana Sene

Definição de Módulo

 O módulo de um número real x que é escrito como |x| é definido por:  X se x> 

• x se x<  Exemplo: 

1. |-3|=  2)|9|=  3)|-6|=

Função Modular

 Chama-se função modular à função f(x)=|x| definida por: f(x) = x , se x> 0 e – x se x<0 para todo x real.  Exemplos:  A) f(x)=|x-3|  B)g(x)=|2x+9|  C) f(x)= |x|+|x+1|  D) g(x)=|x^2 - 9|

Exercício 1:

Considere a função f(x)=|10x – 5|.

Calcule:

A) f(0,1)=

B) f(-1) + f(1)=

C) f(0,01)=

D) f(1/2)/f(2)=

Resposta : a)4 , b)20, c)4,5 , d) 0

Observe:

• -4 |-4+3|=|-1|= x F(x)=|x +3|
• -3 |-3+3|=|0|=
• -2 |-2+3|=|1|=
• -1 |-1+3|=|2|=
  • 0 |0+3|=|3|=
  • 1 |1+3|=|4|=
  • 2 |2+3|=|5|=
  • 3 |3+3|=|6|=

Observe o gráfico abaixo:

Veja: y 0 1 2 3 4 5 6 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 y

Observe:

x G(x)=|x 2 -4| -3 |(-3) 2 -4|=|5|= -2 |(-2) 2 -4|=|0|= -1 |(-1) 2 -4|=|-3|= 0 | 2 -4|=|4|= 1 | 2 -4|=|-3|= 2 | 2 -4|=|-2|= 3 | 2 -4|=|5|=

Graficamente teremos:

• 0 5 10 15 20 25 30 35 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y

 Resolvendo (I)  X^2 – 5x = 6  X^2 – 5x – 6 = 0. Portanto:  x’ = 6 ou x” = -  Resolvendo (II) 

• X^2 + 5x – 6 = 0  X’ = 3 ou x” = 2  Logo S={-1,2,3,6}

Vejamos esse exemplo!

Exemplo 2: Resolva a equação

|3x – 2| = x – 1

Solução:

Como x – 1 não pode ser negativo

pela definição então teremos que

encontrar uma solução tal que x >

1. Desta forma teremos:

Exemplo 3: Resolva a seguinte

equação:

|x|

2

+ 2|x| - 15 = 0

Solução:

Vamos trocar de variável,ou seja:

Chamaremos |x|=y. Então:

 Y^2 + 2y - 15 = 0  Resolvendo esta equação:  Y’ = 3 ou y” = - 5  Voltando a variável original:  |x|=3 ou |x|= - 5. Como não existe um número x tal que |x|= - 5 então:  |x| = 3 x = 3 ou x = -3.  Portanto S={-3,3}

Exercício 5 (UERJ)

O volume de água em um tanque varia de acordo com o tempo com a seguinte equação: V = 10 - |4 – 2t| - |2t – 6|, t IR Nela, V é o volume medido, em m^3 , após t horas, contadas a partir de 8h de uma manhã. Determine os horários inicial e final dessa manhã em que o volume permanece constante. Resposta: 10h e 11h

Em Geral...



Para resolvermos equações

modulares devemos verificar duas

condições, a saber:



|x|=a se x = a ou x= - a