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Fun¸c˜oes racionais
Allan Kenedy
22 de abril de 2016
Resumo Este texto objetiva apresentar de forma introdut´oria o estudo, do ponto de vista do C´alculo Diferencial e Integral, das fun¸c˜oes racionais, que s˜ao fun¸c˜oes r : U ⊂ R → R em que r(x) = P (x)/Q(x), onde P (x) e Q(x) s˜ao polinˆomios de coeficientes reais. Provaremos um teorema devido a Laplace que afirma que o integral
∫ P (x)/Q(x)dx pode ser escrito por uma soma finita de fun¸c˜oes elementares, e estas podem ser efetivamente calculadas. Palavras-chave: Fun¸c˜ao racional. Fra¸c˜ao elementar. Integra¸c˜ao.
Sum´ario
1 Introdu¸c˜ao 1
2 Fra¸c˜oes elementares 3 2.1 Integra¸c˜ao de fra¸c˜oes elementares....................... 3 2.1.1 Tipo 1.................................. 4 2.1.2 Tipo 2.................................. 4 2.1.3 Tipo 3.................................. 4 2.1.4 Tipo 4.................................. 5
3 Decomposi¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais em fra¸c˜oes elementares 6
4 Integra¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais 10 4.1 Exemplo..................................... 10
5 M´etodo de Ostrogradsky 12 5.1 Exemplo..................................... 14 5.2 Vantagens e desvantagens........................... 16
1 Introdu¸c˜ao
O Teorema Fundamental do C´alculo afirma que dada uma fun¸c˜ao f : [a, b] → R cont´ınua ´e integr´avel e a fun¸c˜ao F : [a, b] → R definida por
F (x) =
∫ (^) x
a
f (t)dt (1)
´e deriv´avel em [a, b] e F ′(x) = f (x). A fun¸c˜ao F ´e chamada integral (primitiva ou antiderivada) de f. Os livros de C´alculo enfatizam o processo de achar as primitivas de v´arios tipos de fun¸c˜oes e express´a-las como combina¸c˜ao finita de fun¸c˜oes elementares. Uma fun¸c˜ao ´e dita elementar se puder se escrita por uma quantidade finita de adi¸c˜oes, subtra¸c˜oes, multiplica¸c˜oes, divis˜oes, potencia¸c˜oes, radicia¸c˜oes e composi¸c˜oes das fun¸c˜oes polinomiais, trigonom´etricas (todas as 24), exponenciais e logar´ıtmicas. Por exemplo, ∫ √ x + 4 x dx = 2
x + 4 + 2 ln
x + 4 − 2 √ x + 4 + 2
∣∣ + C
O problema ´e que para alguns tipos de fun¸c˜oes simplesmente n˜ao conseguimos achar as primitivas; sempre que tentamos usar as t´ecnicas de integra¸c˜ao, continuamos obtendo fun¸c˜oes para integrar. Por exemplo:
e−x 2 , ex x
sin x x
ln x x^2 + 1
As primitivas destas fun¸c˜oes s´o podem ser expressas por somas infinitas (s´eries), mas, como saber se uma primitiva pode ser efetivamente calculada e se pode ser expressa usando uma quantidade limitada de opera¸c˜oes e fun¸c˜oes? O matem´atico francˆes Joseph Liouville (1809-1892), numa s´erie de artigos publicados entre 1833 e 1841 respondeu `a pergunta acima, criando uma nova ´area de pesquisa em Matem´atica. Seus resultados podem ser enunciados no seguinte teorema:
Teorema 1 (Liouville, 1834) Se y ´e uma fun¸c˜ao alg´ebrica na vari´avel x e
ydx ´e elementar, ent˜ao existem constantes k 1 , k 2 ,... , kn e fun¸c˜oes alg´ebricas t(x), u 1 (x),... , un(x) tais que (^) ∫
ydx = t(x) +
∑^ n
i=
ki ln ui(x) (2)
A demonstra¸c˜ao de uma vers˜ao mais geral pode ser vista em [5]. Mas o que s˜ao “Fun¸c˜oes alg´ebricas”?
Defini¸c˜ao 1 Uma fun¸c˜ao y = f (x) diz-se alg´ebrica se satisfaz uma equa¸c˜ao da forma
pn(x)yn(x) + pn− 1 (x)yn−^1 (x) + · · · + p 1 (x)y(x) + p 0 (x) = 0 (3)
para certos polinˆomios p 0 (x),... , pn(x) n˜ao todos nulos, e para todo x no dom´ınio de f. Uma fun¸c˜ao que n˜ao ´e alg´ebrica ´e dita transcendente.
Toda fun¸c˜ao racional r(x) = p(x) q(x) ´e alg´ebrica, pois
q(x)r(x) − p(x) = 0
A fun¸c˜ao f (x) = |x| ´e alg´ebrica, pois y^2 − x^2 = 0. J´a as fun¸c˜oes trigonom´etricas (todas as 24), exponenciais e logar´ıtmicas s˜ao transcen- dentes (demonstra¸c˜ao em [3]). O problema de como achar as constantes k 1 , k 2 ,... , kn e as fun¸c˜oes t(x), u 1 (x),... , un(x) foi resolvido em 1968 pelo matem´atico estadunidense Robert Risch (1939-) em sua tese de doutorado The problem of integration in finite terms.
2.1.1 Tipo 1
Decorre mediatamente da regra da substitui¸c˜ao, fazendo u = x − a, du = dx: ∫ A x − a dx = A ln |x − a| + C (8)
2.1.2 Tipo 2
Fazendo u = x − a, du = dx:
∫ A (x − a)k^ dx = A
du uk
= A u−k+ −k + 1
+ C
A
(x − a)k^ dx =
A
(1 − k)(x − a)k−^1
+ C (9)
2.1.3 Tipo 3
Seja calcular (^) ∫ Ax + B x^2 + px + q dx
Note que x^2 + px + q =
x + p 2
q − p^2 4
Fazendo a mudan¸ca de vari´aveis u = x + p/2, du = dx e notando que x = u − p/ 2 temos: ∫ Ax + B x^2 + px + q dx =
∫ A
u − p 2
+ B
u^2 +
q − p^2 4
) (^) du
Como q^2 − 4 p < 0 ⇔ q − p^2 / 4 > 0, fazendo k^2 = q − p^2 /4 obtemos ∫ Ax + B x^2 + px + q
dx = A
udu u^2 + k^2
B −
Ap 2
du u^2 + k^2
Fazendo v = u^2 + k^2 no 1o^ integral, temos: ∫ udu u^2 + k^2
dv v =
ln |v| + C 1
=
ln |u^2 + k^2 | + C 1 ∫ udu u^2 + k^2
ln(x^2 + px + q) + C 1 (12)
uma vez que x^2 + px + q = u^2 + k^2 > 0, omitimos as barras de valor absoluto.
No 2o^ integral: ∫ du u^2 + k^2
k^2
du (u k
k
arctan u k
+ C 2
√^1
q − p^2 4
arctan
x + p √^2 q − p^2 4
+ C 2
du u^2 + k^2
√^2
4 q − p^2
arctan √^2 x^ +^ p 4 q − p^2
+ C 2 (13)
Substituindo (13) e (12) em (11) obtemos ∫ Ax + B x^2 + px + q dx =
A
ln(x^2 + px + q) + √^2 B^ −^ Ap 4 q − p^2
arctan √^2 x^ +^ p 4 q − p^2
+ C (14)
onde C = AC 1 +
B −
Ap 2
C 2.
2.1.4 Tipo 4
∫ Ax + B (x^2 + px + q)k^ dx =
∫ A
u − p 2
+ B
(u^2 + m^2 )k^ du
= A
udu (u^2 + m^2 )k^
B −
Ap 2
du (u^2 + m^2 )k^
onde u = x + p 2 e m^2 = q − p^2 4
Fazendo v = u^2 + m^2 , dv = 2udu no 1o^ integral: ∫ udu (u^2 + m^2 )k^
dv vk
=
v−k+ −k + 1
+ C′
udu (u^2 + m^2 )k^
2(1 − k)(x^2 + px + q)k−^1
+ C′^ (16)
Pra calcular o 2o^ integral fazemos o seguinte:
Ik =
du (u^2 + m^2 )k =
m^2
u^2 + m^2 − u^2 (u^2 + m^2 )k^
du
m^2
du (u^2 + m^2 )k−^1
m^2
u^2 du (u^2 + m^2 )k
Ik =
m^2
[
Ik− 1 −
u^2 du (u^2 + m^2 )k
]
Corol´ario 1 (teorema de D’Alembert) Um polinˆomio P (x) ´e divis´ıvel por x − a se, e somente se P (a) = 0.
De fato, fazendo a divis˜ao entre P (x) e x − a obtemos
P (x) = (x − a)q(x) + r(x)
e P (x) ´e divis´ıvel por x − a se, e somente se r(x) = 0. Como r(x) = P (a), P (x) ´e divis´ıvel por x − a se, e somente se P (a) = 0.
Teorema 3 (Teorema da decomposi¸c˜ao) Todo polinˆomio P (x) com ∂(P (x)) = n ≥ 1 pode ser decomposto em n fatores do 1o^ grau, isto ´e,
P (x) = an(x − x 1 )(x − x 2 ) · · · (x − xn)
onde x 1 , x 2 ,... , xn ∈ C s˜ao as ra´ızes da equa¸c˜ao P (x) = 0. A menos da ordem dos fatores a decomposi¸c˜ao ´e ´unica.
Demonstra¸c˜ao: Veja [2].
Teorema 4 (ra´ızes complexas) Se z = α + βi ´e raiz de P (x) de coeficientes reais, ent˜ao z = α − βi ´e raiz de P (x).
Demonstra¸c˜ao: Veja [2]. Dos teoremas anteriores decorre o seguinte: se α + βi ´e raiz de P (x), ent˜ao α − βi tamb´em ´e; logo x−(α+βi) e x−(α−βi) dividem P (x); portanto [x−(α+βi)][x−(α−βi)] divide P (x). Como
[x − (α + βi)][x − (α − βi)] = x^2 − 2 αx + (α^2 + β^2 )
com ∆ = (− 2 α)^2 − 4 · 1 · (α^2 + β^2 ) = −β^2 < 0, P (x) pode ser decomposto da seguinte forma:
P (x) = an(x − x 1 )m^1 · · · (x − xk)mk^ (x^2 + p 1 x + q 1 )n^1 · · · (x^2 + plx + ql)nl^ (20)
onde x 1 ,... , xk s˜ao as ra´ızes reais de P (x) de multiplicidades m 1 ,... , mk, respectivamente, e α 1 ± β 1 i,... , αl ± βli s˜ao as ra´ızes complexas de P (x), com pi = − 2 αi e qi = α^2 i + β i^2 , i = 1,... , l, de multiplicidades n 1 ,... , nl, respectivamente.^1 Polinˆomios do tipo x−a, a ∈ R e x^2 +px+q, com p^2 − 4 q < 0 s˜ao chamados polinˆomios irredut´ıveis e R, isto ´e, n˜ao podem ser decompostos como produto de dois polinˆomios de grau ≥ 1. A igualdade (20) ´e a decomposi¸c˜ao de P (x) em polinˆomios irredut´ıveis.
Lema 1 Seja x = a uma raiz de multiplicidade k do denominador da fra¸c˜ao regular irredut´ıvel P (x)/Q(x), isto ´e, Q(x) = (x − a)kQ 1 (x), onde Q 1 (a) 6 = 0. Ent˜ao existe A ∈ R − { 0 } tal que P (x) Q(x)
A
(x − a)k^
P 1 (x) (x − a)k−^1 Q 1 (x)
onde ∂(P (x)) < ∂((x − a)k−^1 Q 1 (x)).
(^1) Lembre-se: m 1 + · · · + mk + n 1 + · · · + nl = n.
Demonstra¸c˜ao: Escrevamos a identidade P (x) Q(x)
A
(x − a)k^
P (x) − AQ 1 (x) (x − a)k−^1 Q 1 (x)
e determinemos A de modo que P (x) − AQ 1 (x) ´e divis´ıvel por x − a. Para isto basta, pelo teorema de D’Alembert, que
P (a) − AQ 1 (a) = 0 ⇒ A = P (a) Q 1 (a) Para este valor de A temos P (x) − AQ 1 (x) = (x − a)P 1 (x) (23)
Como ∂(P (x)) < ∂(Q(x)) e ∂(Q 1 (x)) = ∂(Q(x)) − k < ∂(Q(x)), ent˜ao ∂((x − a)P 1 (x)) < ∂(Q(x)), isto ´e, ∂(P 1 (x)) < ∂(Q(x)) − 1 = ∂((x − a)k−^1 Q 1 (x). Substi- tuindo (23) na igualdade (22) obtemos (21).
Lema 2 Se Q(x) = (x^2 + px + q)lQ 1 (x) em que Q 1 (x) n˜ao ´e divis´ıvel por x^2 + px + q, p^2 − 4 q < 0 , a fra¸c˜ao regular P (x)/Q(x) pode ser escrita na forma
P (x) Q(x)
M x + N (x^2 + px + q)l^
P 1 (x) (x^2 + px + q)l−^1 Q 1 (x)
onde ∂(P 1 (x)) < ∂((x^2 + px + q)l−^1 Q 1 (x)).
Demonstra¸c˜ao: Escrevamos a identidade P (x) Q(x)
M x + N (x^2 + px + q)l^
P (x) − (M x + N )Q 1 (x) (x^2 + px + q)l−^1 Q 1 (x)
Determinemos M e N de modo que P (x)−(M x+N )Q 1 (x) seja divis´ıvel por x^2 +px+q. Para isto basta que a equa¸c˜ao
P (x) − (M x + N )Q 1 (x) = 0
tenha as mesmas ra´ızes α ± βi do polinˆomio x^2 + px + q (teorema de D’Alembert).
P (α + βi) − [M (α + βi) + N ]Q 1 (α + βi) = 0
M (α + βi) + N = P (α + βi) Q 1 (α + βi)
Como P (α + βi) Q 1 (α + βi)
´e um n´umero complexo bem determinado (pode ser calculado):
P (α + βi) Q 1 (α + βi) = K + Li
Obtemos desta forma o sistema { M α + N = K M β = L
onde Q∗(x) = (x^2 + p 1 x + q 1 )n^1 · · · (x^2 + plx + ql)nl De modo an´alogo, aplicando o lema 2 `a fra¸c˜ao r∗(x)/Q∗(x) obtemos
P (x) Q(x) = q(x) +
A(1) 0
(x − x 1 )m^1
A(1) 1
(x − x 1 )m^1 −^1
A(1) m 1 − 1 x − x 1
A( 0 k) (x − xk)mk
A( mk)k − 1 x − xk
M 0 (1) x + N 0 (1) (x^2 + p 1 x + q 1 )n^1
M (^) n(1) 1 − 1 x + N (^) n(1) 1 − 1 x^2 + p 1 x + q 1
M 0 (l )x + N 0 (l) (x^2 + plx + ql)nl
M (^) n(ll)− 1 x + N (^) n(ll)− 1 x^2 + plx + ql
Em nota¸c˜ao de somat´orio:
P (x) Q(x)
= q(x) +
∑^ k
j=
m ∑j − 1
i=
A( ij) (x − xj )mj^ −i^
∑^ l
j=
n∑l− 1
i=
M (^) i( j)x + N (^) i(j) (x^2 + pj x + qj )nj^ −i^
4 Integra¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais
Corol´ario 2 (do teorema 5) Toda fra¸c˜ao P (x)/Q(x) possui primitiva elementar e esta pode ser escrita como soma finita de fun¸c˜oes elementares.
De fato, aplicando os resultados da se¸c˜ao 2.1: ∫ P (x) Q(x) dx = p(x) +
∑ A
(x − a)k^
∑ (^) M x + N (x^2 + px + q)l^
B ln |x − a|
D ln(x^2 + px + q) +
E arctan(mx + n) + C (31)
onde os somat´orios possuem finitas parcelas. Observa¸c˜ao: Para calcular a primitiva de uma fun¸c˜ao racional ´e necess´ario saber a decomposi¸c˜ao do denominador em polinˆomios irredut´ıveis.
4.1 Exemplo
Calcule (^) ∫ x^4 + 4x^3 + 11x^2 + 12x + 8 (x^2 + 2x + 3)^2 (x + 1) dx
Solu¸c˜ao: Primeiramente o grau do numerador ´e 4 e o do denominador ´e 2 · 2 + 1 = 5 > 4, logo n˜ao ´e necess´ario fazer a divis˜ao eucidiana. Pelo teorema 5: x^4 + 4x^3 + 11x^2 + 12x + 8 (x^2 + 2x + 3)^2 (x + 1)
Ax + B (x^2 + 2x + 3)^2
Cx + D x^2 + 2x + 3
E
x + 1
Multiplicando ambos os membros por (x^2 + 2x + 3)^2 (x + 1):
x^4 + 4x^3 + 11x^2 + 12x + 8 ≡ (Ax + B)(x + 1) + (Cx + D)(x^2 + 2x + 3)(x + 1) +E(x^2 + 2x + 3)^2
Fazendo x = −1 (uma das ra´ızes do denominador) temos:
(−1)^4 + 4(−1)^3 + 11(−1)^2 + 12(−1) + 8 = 0 + 0 + E((−1)^2 + 2(−1) + 3)^2
4 = 4E ⇒ E = 1 Para determinar os outros coeficientes desenvolvemos os produtos acima e simplifica- mos, obtendo:
x^4 + 4x^3 + 11x^2 + 12x + 8 ≡ (C + 1)x^4 + (3C + D + 4)x^3 + (A + 5C + 3D + 10)x^2 +(A + B + 3C + 5D + 12)x + (B + 3D + 9)
obtendo o sistema (^)
C + 1 = 1
3 C + D + 4 = 4
A + 5C + 3D + 10 = 11
A + B + 3C + 5D + 12 = 12
B + 3D + 9 = 8
Resolvendo encontramos
A = 1 B = − 1 C = D = 0
Portanto x^4 + 4x^3 + 11x^2 + 12x + 8 (x^2 + 2x + 3)^2 (x + 1)
x − 1 (x^2 + 2x + 3)^2
x + 1
Assim ∫ x^4 + 4x^3 + 11x^2 + 12x + 8 (x^2 + 2x + 3)^2 (x + 1) dx =
x − 1 (x^2 + 2x + 3)^2 dx +
dx x + 1
O 2o^ integral ´e do tipo 1, logo: ∫ dx x + 1
= ln |x + 1| + C′
O 1o^ integral ´e do tipo 4. Escrevendo ∫ x − 1 (x^2 + 2x + 3)^2 dx =
x − 1 [(x + 1)^2 + 2]^2 dx
e fazendo u = x + 1, obtemos ∫ x − 1 (x^2 + 2x + 3)^2 dx =
u − 2 (u^2 + 2)^2 du =
udu (u^2 + 2)^2
du (u^2 + 2)^2 O 1o^ integral ´e ∫ udu (u^2 + 2)^2
u^2 + 2
+ C′′^ =
2(x^2 + 2x + 3)
+ C′′
- O integral duma fra¸c˜ao do tipo
A
(x − a)k^ ´e uma fra¸c˜ao do tipo
A′
(x − a)k−^1
- O integral duma fra¸c˜ao do tipo M x + N (x^2 + px + q)l^
´e uma soma de fra¸c˜oes do tipo M ′x + N ′ (x^2 + px + q)l′^
, onde l′^ ≤ l − 1, e de um integral do tipo
∫ A′′ x^2 + px + q
dx
Focamos nas integra¸c˜oes das fra¸c˜oes dos tipos 2 e 4. Somando esses integrais obtemos uma fra¸c˜ao do tipo Y (x)/R(x), onde
R(x) = (x − x 1 )m^1 −^1 · · · (x − xk)mk^ −^1 (x^2 + p 1 x + q 1 )n^1 −^1 · · · (x^2 + plx + ql)nl−^1
e ∂(Y (x)) ≤ ∂(R(x)) − 1. Somando os integrais de todas as fra¸c˜oes dos tipos 1 e 3 (aquelas que deixamos de lado) obtemos um integral de uma fra¸c˜ao X(x)/S(x), onde
S(x) = (x − x 1 ) · · · (x − xk)(x^2 + p 1 x + q 1 ) · · · (x^2 + plx + ql)
e ∂(X(x)) ≤ ∂(S(x)) − 1. Obtemos assim uma express˜ao da forma ∫ P (x) Q(x) dx = Y (x) R(x)
X(x) S(x) dx (35)
Derivando ambos os membros de (35) teremos: P Q
RY ′^ − Y R′
R^2
X
S
ou
P =
QY ′
R
QY R′
R^2
QX
S
Mostremos que o 2o^ membro de (36) ´e um polinˆomio. Como Q = RS: P = SY ′^ −
SY R′
R
+ RX
Mostremos que SY ′R/R^2 ´e um polinˆomio. Vamos mostrar que SR′^ ´e divis´ıvel por R. Notemos que R′ R
d dx
(ln R) = d dx
[(m 1 − 1) ln(x − x 1 ) + · · · + (mk − 1) ln(x − xk) +(n 1 − 1) ln(x^2 + p 1 x + q 1 ) + · · · + (nl − 1) ln(x^2 + plx + ql)] = m 1 − 1 x − x 1
mk − 1 x − xk
(n 1 − 1)(2x + p 1 ) x^2 + p 1 x + q 1
(nl − 1)(2x + pl) x^2 + plx + ql
O polinˆomio S ´e o denominador comum de todas as fra¸c˜oes acima. O numerador tem grau inferior ao de S. Designemo-lo por T. Assim,
R′ R
T
S
e ent˜ao SR′ R
= T
Desta forma SY R′ R
= Y T
Substituindo em (36): P = SY ′^ − Y T + RX (37) Igualando os coeficientes de ambos os membros de (37) obtemos um sistema de equa¸c˜oes de onde determinamos os polinˆomios X(x) e Y (x). Roteiro:
- Encontramos os polinˆomios R e S e escrevemos o integral como em (35);
- Em seguida derivamos ambos os membros dessa express˜ao e calculamos os po- linˆomios X e Y ;
- Por fim integramos a fra¸c˜ao X/S.
5.1 Exemplo
Retomemos o integral anterior. ∫ x^4 + 4x^3 + 11x^2 + 12x + 8 (x^2 + 2x + 3)^2 (x + 1) dx
que vamos designar por I. Temos: R(x) = (x^2 + 2x + 3)^2 −^1 (x + 1)^1 −^1 = x^2 + 2x + 3 S(x) = (x^2 + 2x + 3)(x + 1) Aplicando (35):
I =
Ax + B x^2 + 2x + 3
Cx^2 + Dx + E (x^2 + 2x + 3)(x + 1)
dx
Derivando ambos os membros temos: x^4 + 4x^3 + 11x^2 + 12x + 8 (x^2 + 2x + 3)^2 (x + 1)
(x^2 + 2x + 3) · A − (Ax + B)(2x + 2) (x^2 + 2x + 3)^2
Cx^2 + Dx + E (x^2 + 2x + 3)(x + 1)
= −Ax^2 − 2 Bx + 3A − 2 B (x^2 + 2x + 3)^2
Cx^2 + Dx + E (x^2 + 2x + 3)(x + 1)
x^4 + 4x^3 + 11x^2 + 12x + 8 ≡ (−Ax^2 − 2 Bx + 3A − 2 B)(x + 1) +(Cx^2 + Dx + E)(x^2 + 2x + 3) = Cx^4 + (−A + 2C + D)x^3 + (−A − 2 B + 3C + 2D + E)x^2 +(3A − 4 B + 3D + 2E)x + (3A − 2 B + 3E)
5.2 Vantagens e desvantagens
Vantagens:
- N˜ao necessita decompor a fra¸c˜ao em fra¸c˜oes elementares;
- Facilita o c´alculo de integrais quando os denominadores possuem ra´ızes m´ultiplas (experimente).
Desvantagens:
- E necess´´ ario resolver 2 sistemas de equa¸c˜oes: um para calcular os polinˆomios X e Y – que ´e um c´alculo tedioso – e o outro (se houver) para decompor X(x)/S(x) em fra¸c˜oes elementares – que ´e um c´alculo relativamente f´acil;
- S´o pode ser aplicado em fra¸c˜oes cujo denominador possui ra´ızes m´ultiplas.
Referˆencias
[1] FILHO, Daniel C. de Morais. O problema da integra¸c˜ao em termos finitos. Matem´atica Universit´aria, Rio de Janeiro, n. 31, p. 143-161, dez. 2001. Dispon´ıvel em: http://rmu.sbm.org.br/Conteudo/n31/n31_Artigo05.pdf. Acesso em: 15 abr. 2016.
[2] IEZZI, Gelson. Fundamentos de matem´atica elementar: complexos, polinˆomios, equa¸c˜oes. 2 ed. S˜ao Paulo, Atual, 1977. v. 6. [3] MAMEDE, Ricardo. Fun¸c˜oes sem primitiva elementar. Dispon´ıvel em: http://www.mat.uc.pt/~mamede/Artigos/integracao.pdf. Acesso em: 15 abr.
[4] PISKOUNOV, N. C´alculo diferencial e integral. Tradu¸c˜ao de Antˆonio Eduardo Pereira Teixeira e Maria Jos´e Pereira Teixeira. 18 ed. Porto: Edi¸c˜oes Lopes da Silva, 2000. v. 1. [5] RAMPANELLI, D´ebora. O Teorema de Liouville sobre Integrais Elementares. 2009. 16f. Disserta¸c˜ao (Mestrado em Matem´atica) – Instituto Nacional de Matem´atica Pura e Aplicada. Rio de Janeiro, 2009. Dispon´ıvel em: http://preprint.impa.br/FullText/Rampanelli__Tue_Dec_15_15_27_56_ BRDT_2009/tese10.pdf. Acesso em: 16 abr. 2016. [6] WIKIPEDIA.´ Joseph Liouville. Dispon´ıvel em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph_Liouville. Acesso em: 15 abr. 2016. [7] WIKIPEDIA.´ Robert Risch. Dispon´ıvel em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Risch. Acesso em: 15 abr. 2016. [8] WIKIPEDIA.´ Sistema alg´ebrico computacional. Dispon´ıvel em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_alg%C3%A9brico_computacional. Acesso em: 18 abr. 2016.
