Fundamentos de Matematica - UFMG, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

Universidade Federal de Minas Gerais Reitor: Ronaldo Clélio Campolina Diniz Vice-Reitora: Rocksane de Carvalho Norton

Pró-reitoria de Graduação Pró-Reitora: Antônia Vitória Soares Aranha Pró-Reitor Adjunto: André Luiz dos Santos Cabral Coordenador do Centro de Apoio à Educação a Distância: Fernando Fidalgo Coordenador da Universidade Aberta do Brasil: Wagner José Corradi Barbosa

editora UFMG Diretor: Wander Melo Miranda Vice-Diretor: Roberto Alexandre do Carmo Said Conselho editorial Wander Melo Miranda (presidente) Flavio de Lemos Carsalade Heloisa Maria Murgel Starling Márcio Gomes Soares Maria das Graças Santa Bárbara Maria Helena Damasceno e Silva Megale Paulo Sérgio Lacerda Beirão Roberto Alexandre do Carmo Said

COORDENAÇÃO EDITORIAL Danivia Wolff ASSISTÊNCIA EDITORIAL Eliane Sousa e Euclídia Macedo EDITORAÇÃO DE TEXTOS Maria do Carmo Leite Ribeiro REVISÃO DE TEXTO E NORMALIZAÇÃO Alexandre Vasconcelos de Melo REVISÃO DE PROVAS Juliana Santos, Nathalia Campos e Simone Ferreira PRODUÇÃO GRÁFICA Warren Marilac PROJETO GRÁFICO E CAPA Eduardo Ferreira FORMATAÇÃO Sérgio Luz

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© 2011, Márcia Maria Fusaro Pinto © 2011, Editora UFMG Este livro ou parte dele não pode ser reproduzido por qualquer meio sem autorização escrita do Editor.

Pinto, Márcia Maria Fusaro Fundamentos de matemática / Márcia Maria Fusaro Pinto. – Belo Horizonte : Editora UFMG, 2011. 141 p. : il. -- (Educação a Distância) Inclui bibliografia. ISBN: 978-85-7041-887-

1. Funções (Matemática). 2. Análise matemática. I. Título. II. Série.

CDD: 515. CDU: 517.

P659f

Elaborada pela DITTI – Setor de Tratamento da Informação Biblioteca Universitária da UFMG

PrÓ-reitoria de GradUaÇÃo Av. Antônio Carlos, 6.627 - Reitoria - 6º andar Campus Pampulha - CEP 31270-901 - Belo Horizonte - MG Tel.: + 55 31 3409-4054 - Fax: + 55 31 3409- www.ufmg.br - [email protected] - [email protected]

Este livro recebeu apoio financeiro da Secretaria de Educação a Distância do MEC.

A Educação a Distância (EAD) é uma modalidade de ensino que busca promover inserção social pela disseminação de meios e processos de democratização do conhecimento. A meta é elevar os índices de escolaridade e oferecer uma educação de qualidade, disponibilizando uma formação inicial e/ou continuada, em particular a professores que não tiveram acesso a esse ensino.

Não se pode ignorar que é fundamental haver, sempre, plena conexão entre educação e aprendizagem. A modalidade a distância é um tipo de aprendizagem que, em especial na Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), já está concretizada como um ensino de qualidade. Hoje, a aprendizagem tornou-se, para todos os profissionais dessa universidade envolvidos no programa de Educação a Distância, sinônimo de esforço e dedicação de cada um.

Este livro visa desenvolver no curso a distância os mesmos conhecimentos proporcionados num curso presencial. Os alunos estudarão o material nele contido e muitos outros que lhes serão sugeridos em bibliografia complementar. É importante terem em vista que essas leituras são de extrema importância para, com muita dedicação, avançarem em seus estudos.

Cada volume da coletânea está dividido em aulas e cada uma delas trata de determinado tema, que é explorado de diferentes formas – textos, apresentações, reflexões e indagações teóricas, experimentações ou orientações para atividades a serem realizadas pelos alunos. Os objetivos propostos nas aulas indicam as competências e habilidades que os alunos, ao final da disciplina, devem ter adquirido.

Os exercícios indicados ao final das aulas possibilitam aos alunos avaliarem sua aprendizagem e seu progresso em cada passo do curso. Espera-se, assim, que eles se tornem autônomos, responsáveis, críticos e decisivos, capazes, sobretudo, de desenvolver a própria capacidade intelectual. Os alunos não podem se esquecer de que toda a equipe de professores e tutores responsáveis pelo curso estará, a distância ou presente nos polos, pronta a ajudá-los. Além disso, o estudo em grupo, a discussão e a troca de conhecimentos com os colegas serão, nessa modalidade de ensino, de grande importância ao longo do curso.

Agradeço aos autores e à equipe de produção pela competência e pelo empenho e tempo dedicados à preparação deste e dos demais livros dos cursos de EAD. Espero que cada um deles possa ser valioso para os alunos, pois tenho certeza de que vão contribuir muito para o sucesso profissional de todos eles, em seus respectivos cursos, e na educação em todo o país.

Ione Maria Ferreira de Oliveira Coordenadora do Sistema Universidade Aberta do Brasil (UAB/UFMG - jan. 2006 a abr. de 2010 / CAED - set. 2009 a abr. 2010)

Sumário

• Apresentação
• 1 Introdução Aula 1 | Funções Reais
• 2 Exemplos
• 3 Funções
• 4 Formas de representação
• 5 Variação de uma função
• Exercícios
• Referências
• 1 Introdução Aula 2 | Taxa Média de Variação e Funções Lineares
• 2 Taxa Média de Variação
• 3 Funções Lineares
• 4 O significado gráfico de taxas de variação constantes
• 5 Gráficos de Funções Lineares
• 6 Determinando a equação de uma reta
• Exercícios
• Referências
• 1 Introdução Aula 3 | Proporcionalidade e Funções Potência Inteira
• 2 Relacionando grandezas
• 3 Relacionando propriedades gráficas e algébricas: simetrias
• 4 Funções Potência y = x^2 , onde p é número inteiro
• 5 Comentário final: ainda sobre simetrias
• Exercícios
• Referências
• 1 Introdução Aula 4 | Funções novas, a partir das já conhecidas
• 2 Obtendo novas funções algebricamente
• 3 Composição de funções
• 4 Obtendo novas funções por translações
• 5 Definindo funções por partes
• Exercícios
• Referências
• 1 Introdução Aula 5 | Funções Inversas
• 2 Exemplo: encontrando a inversa de y = 2 x +
• 3 Desfazendo a ação de funções: restrições
• 4 Definição de função inversa
• 5 Propriedades da função inversa
• 6 Exemplo: potências racionais como funções inversas
• Exercícios
• Referência
• 1 Introdução Aula 6 | Funções Exponenciais
• 2 Exemplo: crescimento populacional
• 3 Exemplo: eliminação da nicotina no sangue
• 4 A função exponencial y = ka x , onde a > 0 , a ¹^1
• 5 Classes de funções e regularidades em tabelas de dados
• 6 O número e
• Exercícios
• Referências
• 1 Introdução Aula 7 | Funções Logarítmica
• 2 Exemplo: resolvendo a equação ex =
• 3 A inversa da exponencial y = ex
• 4 A inversa da exponencial geral y = a x ( a >^0 , a ≠^1 )
• 5 Propriedades da função y = log ax
• 6 Exemplos
• 7 Relações entre as funções logarítmicas
• 8 Um comentário final
• Exercícios
• Referências
• 1 Introdução Aula 8 | Funções Trigonométricas
• 2 Estendendo as noções da trigonometria no triângulo
• 3 Medidas de ângulo
• 4 O círculo trigonométrico
• 5 Construindo gráficos
• 6 Funções trigonométricas inversas
• Exercícios
• Referências
• Apêndice 1 - Semelhança de Triângulos Apêndices
• Apêndice 2 - Retomando Noções da Trigonometria no Triângulo
• Apêndice 3 - Funções Periódicas
• Apêndice 4 - Identidades Tr igonométricas
• Sobre a autora

fundamentos de matemática

das discussões conceituais que achamos importantes e que queremos proporcionar aos alunos. Seguindo a organização dos textos anteriores, procurei também desenvolver as aulas a partir de exemplos, seguidos da sistematização dos resultados, num movimento de teori- zação a partir de experiências que esperamos ter proporcio- nado aos alunos. Busquei, sempre que possível, representar as noções por meios visuais, propondo ao leitor explorar gráficos e figuras, para diversificar as representações dos conceitos. Apresentei também exemplos de situações do nosso dia a dia e de outras ciências, modelando-os matema- ticamente como uma dentre as possíveis perspectivas para estudá-los. Partindo desses exemplos e de diferentes repre- sentações, busquei estabelecer relações e, assim, construir os conceitos matemáticos, enfatizando no texto o estudo destes últimos. Em síntese, como nos outros livros que escrevemos espe- cialmente para a Educação a Distância, elaborei um texto buscando uma forma mais ampla de abordar os conceitos matemáticos e ainda um diálogo com os leitores, que não terão um professor ao seu lado para “explicar a matéria”. A expectativa é a de que, estudando exemplos e conhecendo as diversas representações de um mesmo conceito, o aluno compreenda melhor do que se trata o conteúdo e familia- rize-se com ele. Os momentos de síntese teórica buscam estabelecer relações e generalizar situações, contribuindo para que o entendimento do aluno não fique restrito a experiências constituídas por inúmeros exemplos particu- lares e a técnicas algébricas que ele não consegue relacionar. Esse movimento, a partir de experiências e de modelagem de fenômenos em direção a uma maior teorização, é o fio condutor também da estrutura deste livro. O texto se organiza em oito aulas, correspondentes às oito semanas de aula da disciplina. Ele está complementado por um Apêndice, em que particularmente discuto algumas questões sobre a Trigonometria. Em nossa experiência como professores na universidade, este tema tem se mostrado difícil para os alunos. A aula inicial discute o conceito de Funções e o seu uso na leitura matemática de fenômenos da natureza ou do cotidiano. Introduzo aí a noção de Variação de uma função, buscando realçar as informações adicionais que obtemos a partir dela. O conceito de Taxa de Variação Média é introduzido na Aula 2. Ele é utilizado para cons- truir modelos matemáticos para estudar alguns fenômenos específicos, definindo uma primeira categoria de funções: a Função Linear. Esta mesma noção de Taxa Média de Variação

apresentação

é revisitada na Aula 3, para estudar outras relações de dependência entre variáveis, que definem funções.

A Aula 4 retoma operações algébricas e procedimentos para produzir novas funções a partir das já definidas. As noções ali apre- sentadas são importantes principalmente para o esboço de gráficos de um número maior de funções, a partir de gráficos já conhe- cidos. Funções Inversas é o tópico apresentado na Aula 5. Buscamos definir tal conceito de diversos modos. A intenção é a de enriquecer as representações disponíveis aos alunos e contribuir para melhor compreensão do conceito. A Aula 6 utiliza e define a Função Loga rítmica como inversa da Função Exponencial , apresentada na Aula 3. Finalizamos o texto com a introdução às Funções Trigonométricas e suas Inversas. Iniciamos com a definição de medida de ângulo em radiano e com a extensão da trigonometria no triângulo para o círculo trigonométrico.

Espero que deste livro surjam ideias e propostas que possam ser levadas por você, leitor, para a sala de aula no Ensino Médio e Fundamental, consolidando ao mesmo tempo o seu próprio conhe- cimento sobre o tema.

A Autora

AULA 1

Funções Reais

Objetivos:

• Trabalhar o conceito de Função e as diversas formas de representá-la mate- maticamente, relacionando-as
• Relacionar o conceito de Função a outras áreas do conhecimento
• Definir a noção de Variação

1. INTRODUÇÃO

Esta aula é dedicada a conceitos básicos de Funções. Como funções serão utilizadas durante todo o curso, noções relacionadas serão apresentadas em várias outras aulas.

A noção de Função em Matemática não é uma novidade deste texto. Em um livro do Ensino Básico, você provavelmente encontrará uma definição semelhante à que transcrevo a seguir:

Definição:

Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma relação que a cada elemento x de A faz corresponder um único elemento y de B.^1

Interessante é que o autor do livro consultado, após dedicar-se a preparar os conceitos necessários para formular a definição acima, apresenta também uma alternativa:

Noção Intuitiva

Quando duas grandezas x e y estão relacionadas de tal modo que para cada valor de x fica determinado um único valor de y, dizemos que y é uma função de x.

(^1) MACHADO. Matemática. Temas e metas. 1– conjuntos numéricos e funções, p. 69.

fundamentos de matemática

Deste modo, o autor deixa explícita a tensão entre o rigor e a intuição com que temos que conviver – ambos são necessários para o desenvolvimento do conhecimento matemático. Embora reconhecendo este fato, fazemos duas ressalvas. Primeiro, a definição de Função apresentada acima é bastante recente, se considerarmos o desenvolvimento do conhecimento matemático ou até mesmo do Cálculo. O instrumento que ela representa não é potencializado de fato, nem no desenvolvimento do conteúdo de funções na escola básica, nem no estudo do Cálculo. Normalmente, quase imediatamente após sua apresentação, a definição é abando- nada e passamos a representar funções por expressões algébricas ou por seu gráfico. Segundo, a noção intuitiva como foi apresentada parece-nos apenas reescrever a ideia da primeira definição, não realçando noções que predominam e referenciam demonstrações e discussões quando trabalhamos o Cálculo: as noções de variação e de dependência entre variações.

Por este motivo, optamos iniciar o estudo de Funções destacando a possibilidade de relacionar elementos ou grandezas segundo alguma relação de dependência, em suas várias representações. A noção de variação complementa o estudo e indica a direção das próximas aulas. Iniciamos a discussão com exemplos.

2. EXEMPLOS

2.1 Exemplo: altura de André em função da idade

A Tabela 1, a seguir, contém o registro da altura de um menino – André – dada em centímetros, em cada mês após seu nascimento, num período de 12 meses. Esses dados foram obtidos em arquivos de seu pediatra. Tabela 1 Altura (em cm) de André em função de sua idade (em meses)

I d a d e (meses) 0,0 1,0 2,0 2,5 3,5 4,5 6,0 7,0 8,0 9,0 12,

A ltura (cm) 46,0 46,0 49,5 51,5 54,5 57,0 60,0 62,7 65,5 67,5 73,

Como interpretar as informações contidas no registro do pediatra? O que você pode concluir sobre o desenvolvimento da criança nesse período? Se você fosse a mãe ou o pai de André, que leitura faria das informações contidas nessa tabela?

fundamentos de matemática

De acordo com esta fórmula, o espaço percorrido pelo objeto no terceiro segundo é s^^3 g^ g

( ) =^.^3 2 =4 5,^. A multiplicação da unidade de medida de g ( m/s^2 ) pela unidade de medida de t^2 ( s^2 ) resulta na medida de s ( m ), da mesma forma que

a multiplicação de

g por t^2 resulta em s. No caso deste exemplo,

dizemos que o espaço percorrido s é uma função do tempo t.

3. FUNÇÕES

Os três exemplos acima têm em comum o fato de representarem uma relação de dependência entre grandezas (medida da altura depende do tempo; preço a ser pago depende do quilômetro rodado e a distância percorrida depende do tempo). Além disso: a cada mês registrado na tabela corresponde a uma única medida de altura; a cada quilômetro rodado corresponde a um único preço a ser pago (na “bandeira 1”); a cada instante corresponde a uma única medida do espaço percorrido. Essas são as características que definem uma Função em termos matemáticos. Sintetizamos, a seguir, a definição de Função com que vamos traba- lhar:

3.1 Definição

Uma função é uma relação de dependência entre duas grandezas de tal forma que, para cada valor x de uma, está associado um único valor y da outra.

3.2 Exemplos

1- No exemplo 2.1, as grandezas envolvidas são o tempo e a altura de André. A cada valor da idade t , em meses , está associado um único valor h (em cm ) da altura de André. 2- No exemplo 2.2, as duas grandezas são o quilômetro rodado d e o preço P. A cada valor do quilômetro rodado d está associado um único preço P a ser pago. 3- No caso do exemplo 2.3, as duas grandezas são o tempo t e a distância percorrida s. A cada valor do tempo t corresponde a uma medida da distância percorrida s. A seguir, definiremos alguns conceitos relacionados ao conceito de função.

auLa 1

3.3 Definição

Considere uma função , relacionando duas grandezas.

a) O conjunto de valores que a primeira grandeza pode assumir é denominado domínio da função. b) O conjunto dos valores assumidos pela segunda grandeza é denominado imagem da função. c) Um elemento genérico do domínio é denominado variável inde pendente , enquanto um elemento genérico da imagem é denomi- nado variável dependente.

3.4 Exemplos

1- No exemplo 2.1, o domínio D é o conjunto de valores assumidos por t , ou seja,

D = { 0 0 1 0 2 0 2 5 3 5 4 5 6 0 7 0 8 0 9 0 12 0, ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , }

A imagem I é o conjunto de valores assumidos por h , ou seja,

I = { 46 0 46 0 49 5 51 5 54 5 57 0 60 0 62 7 65 5 67 5 73 0, ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , }.

A variável independente é t e a variável dependente é h.

2- No exemplo 3.3, o domínio e a imagem correspondem ao conjunto dos reais positivos se supusermos que o corpo cai (idealmente) de uma altura infinita.

3.5 Notações e linguagem

É comum (e útil) darmos nomes às funções. Esses nomes, normal- mente, são letras do nosso alfabeto. E como a palavra função começa com a letra f , esse é o nome mais usado. Se f é uma função que associa valores x de uma grandeza a valores y de outra grandeza, dizemos que y = f ( x ). (Lemos assim: y é igual a f de x ).

Muitas vezes, damos às variáveis nomes que nos fazem lembrar as grandezas que elas representam.

3.6 Exemplos

1. No exemplo 2.1, estamos representando a altura por h e o tempo por t. Podemos dizer que h = f ( t ), ou seja, a altura h representada pela Tabela 1 é uma função do tempo t (se escolhermos o nome f para a função).

auLa 1

4.1.1 Alguns esclarecimentos sobre a função preço da corrida de táxi

Em P = f (^) ( d (^) ) = 3 30, +2 04, d , como d é uma distância percorrida, podemos pensar em d como um número real positivo. Assim, o domínio de P é o intervalo [ 0,^ +∞).

E qual será a imagem de P?

Da nossa experiência, sabemos que se o táxi percorrer uma distância que não seja um número inteiro, o cálculo do preço não será reali- zado pela fórmula acima. Ou seja, se o táxi percorrer 6,5 km , o preço a ser pago não será f (^) (6 5 , (^) ) = 3 30, + 2 04 6 5,. , = 16 56,.

Para calcular o preço, é como se o taxímetro aplicasse a fórmula acima ao maior inteiro menor que a distância percor- rida. No caso do percurso de 6,5 km , o preço a ser pago será P = f ( 6 ) = 3 30, + 2 04 6,. =15 54, , já que^6 é o maior inteiro menor que 6,5. Em outras palavras, o valor a ser pago é alterado apenas nos momentos em que um percurso de um quilômetro é concluído.

Há uma expressão matemática para representar associações como

esta, que é g^ ( x^ ) =  x . Essa função tem até um nome especial –

função maior inteiro que não supera x. Assim, a expressão da função preço da corrida de táxi seria, de fato, P = f (^) ( d (^) ) = 3 30, + 2 04,  d .

E quem seria a imagem da função? Ela corresponderia aos valores f (^) ( 0 ) , f (^) ( ) (^1) , f (^) ( 2 ) e assim sucessivamente. Portanto, a imagem da

função P é { f^ (^0 )^ ,^ f^ ( )^1 ,^ f^ (^2 )^ ,^ f ( )^3 ...}^.

4.2 Identificando funções, em palavras, numa releitura de relatos

Ana Maria havia saído de casa há 10 minutos, em direção ao trabalho, quando percebeu que um pneu de seu carro estava furado. Ela parou o carro e demorou cerca de 1 hora para trocar o pneu. Ao final, ela estava completamente suja. Como já estava atrasada, telefonou para a empresa onde trabalha, relatou o ocorrido e avisou que voltaria em casa para tomar um banho, o que provocaria um atraso maior. 30 minutos depois, ela estava, finalmente, a caminho do trabalho. Assim, um trajeto que, normalmente, demoraria 20 minutos, demorou muito mais...

Apesar de haver números no texto, não foram usadas tabelas ou fórmulas para representar uma função. Há variáveis relacionadas por meio de uma função nesse relato?

Vamos reinterpretar o texto relacionando as grandezas tempo ( t , medido em minutos) e distância ( d , medida em quilômetros) de Ana Maria a sua casa:

• Ao tempo t = 0 , temos também d = 0 , pois Ana Maria estava em casa.
• Para t variando entre 0 e d 0 , o valor de d vai aumentando (ela está se afastando de casa) até um certo valor d 0 , que é

fundamentos de matemática

a distância de casa ao local em que ela se encontra quando percebe que o pneu está furado.

• Para t variando entre 10 e 70 , temos d = d 0 (constante), pois ela ficou parada por 1 hora para trocar o pneu.
• Para t variando entre 70 e 80 , o valor de d vai diminuindo até 0 , pois ela está se aproximando de casa até chegar lá. Estamos supondo que, para voltar para casa, ela gastaria o mesmo tempo que gastou para ir de casa até o ponto em que o pneu furou.
• Para t variando entre 80 e 110 , temos d = 0 , pois ela ficou em casa por 30 minutos para tomar um banho e se arrumar novamente.
• Finalmente, para t variando entre 110 e 130 , o valor de d vai aumentando até que ela chega ao trabalho, já que Ana Maria, normalmente, gasta 20 minutos para chegar lá. Com essa interpretação, percebemos que, para cada valor de t , existe um único valor de d , apesar de não sabermos exatamente quanto ele vale em cada momento. Temos aí uma função representada por palavras, ou, uma leitura de um relato com um olhar matemático.

4.3 Gráficos

Há diversas formas de representar informações numéricas por meio de gráficos. A que queremos abordar aqui, por sua importância no caso do Cálculo, é a que utiliza o plano cartesiano. 3 Nesta, o gráfico de uma função é um subconjunto do plano cartesiano.

4.3.1 Definição

Sejam y = f ( x) uma função e D seu domínio. O gráfico de f é defi- nido por

Graf ( f ) = {( x y ,^^ )∈^ IR^^2 /^ x^ ∈^ D e y^ = f^ ( ) x }.

4.3.2 Exemplos

Na Figura 1, representamos os dados da Tabela 1 por meio de um gráfico.

Para esboçar o gráfico da função preço da corrida de táxi, do exemplo 2.2, devemos nos lembrar que: 0 ≤ d < 1 ⇒ P d ( ) = P ( ) 0 =3 30, 1 ≤ d < 2 ⇒ P d ( ) = P ( ) 1 = 3 30, + 2 04 1,. =5 34, 2 ≤ d < 3 ⇒ P d ( ) = P ( ) 2 = 3 30, + 2 04 2,. =7 38, , (^) e assim por diante.

(^3) Se você tiver dúvidas sobre plano cartesiano, consulte algum livro de Matemática do Ensino Médio para fazer uma revisão.