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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
2019/
A
PROVA 1 de Álgebra Linear( 4 0 pontos)
Nome/Matricula:
Instruções:
- Esta atividade individual, SEM consulta e tem duração de 90 minutos.
- Seus celulares devem estar desligados.
- RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NÃO SERÃO CONSIDERADAS: lembre-se que vocês serão avaliados pelo que
tiver escrito e não pelo que tiverem pensado.
- As questões devem ser respondidas na folha de respostas que deve estar devidamente identificadas.
Questão 1 (8 ptos)
As Leis de Kirchhoff representam uma importante ferramenta na resolução de circuitos elétricos de
natureza não simples, tais leis facilitam o equacionamento das tensões, juntamente com as correntes
envolvidas.
Dado o circuito elétrico:
Ao aplicar as leis de Kirchhoff nas malhas do circuito temos
a construção de um sistema linear e sua resolução permite
a obtenção das correntes no circuito.
"
$
&
$
&
"
$
Use o método de GAUSS para determinar as correntes indicadas.
"
$
&
$
&
&
𝟏
𝟐
𝟑
Questão 2. (8 ptos)
Sejam
Determine os valores de α e β, ambos não-nulos, tais que αA + βB + 2C tem a PRIMEIRA coluna nula.
Questão 3. (8 ptos)
A matriz abaixo é invertível? Se não, justifique. Se sim, encontre a matriz inversa.
Como o determinante da matriz é 𝐷𝑒𝑡
= − 2 ≠ 0 , podemos afirmar que a matriz é
invertível. E sua inversa dada por:
A matriz inversa é
Questão 4. (8 ptos)
Determine a posição relativa (Paralelas, coincidentes, reversas ou Concorrentes) do par de retas abaixo:
r 1
: (2,3,1) + t(-1,2,1), t ∈ R, e r 2
: (5,2,1) + s(−2, 4,2), s ∈ R.
i) Vetores diretores: v1=(-1,2,1) e v2=(-2,4,2) são paralelos pois v2 = 4v1.
Logos as retas são paralelas ou coincidentes.
ii) Ponto de interseção:
→ 3 = 2 ×
sistema impossível, logo as retas não se interceptam.
Conclusão: As retas são Paralelas.
Questão 5. (8 ptos)
Sejam o ponto A(-1, - 2, 1), a reta r de equação 𝑟 ∶
. Determine a equação do plano γ que
contém o ponto A e a reta r.
Plano ⟶ ponto A(-1,-2,1)=( 𝑥 O
O
O
) e vetor normal 𝑛 = 𝑃 O
𝐴 × 𝑣
T
= (a, b, c).
Tem Equação 𝑎 𝑥 − 𝑥 O
O
O
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
2019/
B
PROVA 1 de Álgebra Linear (40 pontos)
Nome/Matricula:
Instruções:
- Esta atividade individual, SEM consulta e tem duração de 90 minutos.
- Seus celulares devem estar desligados.
- RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NÃO SERÃO CONSIDERADAS: lembre-se que vocês serão avaliados pelo que
tiver escrito e não pelo que tiverem pensado.
- As questões devem ser respondidas na folha de respostas que deve estar devidamente identificada.
Questão 1 (8 ptos)
As Leis de Kirchhoff representam uma importante ferramenta na resolução de circuitos elétricos de
natureza não simples, tais leis facilitam o equacionamento das tensões, juntamente com as correntes
envolvidas.
Dado o circuito elétrico:
Ao aplicar as leis de Kirchhoff nas malhas do circuito temos
a construção de um sistema linear e sua resolução permite
a obtenção das correntes no circuito.
"
$
$
&
"
$
&
Use o método de GAUSS para determinar as correntes indicadas.
"
$
$
&
&
𝟏
𝟐
𝟑
Questão 2. (8 ptos)
Sejam
Determine os valores de α e β, ambos não-nulos, tais que αA + βB + C tem a SEGUNDA coluna nula.
Questão 3. (8 ptos)
A matriz abaixo é invertível? Se não, justifique. Se sim, encontre a matriz inversa.
Como o determinante da matriz é 𝐷𝑒𝑡
= 4 ≠ 0 , podemos afirmar que a matriz é
invertível. E sua inversa dada por:
A matriz inversa é
Questão 4. (8 ptos)
Determine a posição relativa (Paralelas, coincidentes, reversas ou concorrentes) do par de retas abaixo:
r 1
: (1,-3,0) + t(2,-1,1), t ∈ R, e r 2
: (1,- 2 ,0) + s(3, 2,1), s ∈ R.
i) Vetores diretores: v1=(2,-1,1) e v2=(3,2,1) não são paralelos pois v1 ≠ Kv2.
Logos as retas são concorrentes ou reversas.
ii) Ponto de interseção:
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
2019 /
C
PROVA 1 de Álgebra Linear (40 pontos)
Nome/Matricula:
Instruções:
- Esta atividade individual, SEM consulta e tem duração de 90 minutos.
- Seus celulares devem estar desligados.
- RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NÃO SERÃO CONSIDERADAS: lembre-se que vocês serão avaliados pelo que
tiver escrito e não pelo que tiverem pensado.
- As questões devem ser respondidas na folha de respostas que deve estar devidamente identificadas.
Questão 1. (8 ptos)
Sejam
Determine os valores de α e β, ambos não-nulos, tais que αA + 30B +βC tem a TERCEIRA coluna nula.
Questão 2. (8 ptos)
A matriz abaixo é invertível? Se não, justifique. Se sim, encontre a matriz inversa.
Como o determinante da matriz é 𝐷𝑒𝑡
= − 2 ≠ 0 , podemos afirmar que a matriz é
invertível. E sua inversa dada por:
A matriz inversa é
Questão 3. (8 ptos)
Determine a posição relativa (Paralelas, coincidentes, reversas ou concorrentes) do par de retas abaixo:
r 1
: (2,4,1) + t(1,-2,3), t ∈ R, e r 2
: (-1,3,2) + s(4, - 1,2), s ∈ R.
i) Vetores diretores: v1=(1,-2,3) e v2=(4,-1,2) não são paralelos, pois v1 ≠ Kv2.
Logos as retas são concorrentes ou reversas.
ii) Ponto de interseção:
sistema possível, logo as retas se interceptam em (3,2,4).
Conclusão: As retas são Concorrentes.
Questão 4. (8 ptos)
Sejam o ponto A(2,4,−2), a reta r de equação 𝑟 ∶
. Determine a equação do plano
γ que contém o ponto A e a reta r.
Plano ⟶ ponto A(2,4,-2)=( 𝑥 O
O
O
) e vetor normal 𝑛 = 𝑃 O
𝐴 × 𝑣
T
= (a, b, c).
Tem Equação 𝑎 𝑥 − 𝑥 O
O
O
Da reta sabemos que 𝑃 O
3 , 0 , 1 e 𝑣 T
Assim, tem-se que
O
O
= (-1,4,- 3 ) e 𝑛 = 𝑃 O
𝐴 × 𝑣
T
Logo, a equação do plano é definida por:
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
2019 /
D
PROVA 1 de Álgebra Linear (40 pontos)
Nome/Matricula:
Instruções:
- Esta atividade individual, SEM consulta e tem duração de 90 minutos.
- Seus celulares devem estar desligados.
- RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NÃO SERÃO CONSIDERADAS: lembre-se que vocês serão avaliados pelo que
tiver escrito e não pelo que tiverem pensado.
- As questões devem ser respondidas na folha de respostas que deve estar devidamente identificadas.
Questão 1. (8 ptos)
Sejam
Determine os valores de α e β, ambos não-nulos, tais que αA + βC + B tem a SEGUNDA coluna nula.
Questão 2. (8 ptos)
A matriz abaixo é invertível? Se não, justifique. Se sim, encontre a matriz inversa.
Como o determinante da matriz é 𝐷𝑒𝑡
= 4 ≠ 0 , podemos afirmar que a matriz é invertível. E
sua inversa dada por:
A matriz inversa é
Questão 3. (8 ptos)
Determine a posição relativa (Paralelas, coincidentes, reversas ou concorrentes) do par de retas abaixo:
r 1
: (1,0,-1) + t(2,4,6), t ∈ R, e r 2
: (0,1,-2) + s(1,2,3), s ∈ R.
i) Vetores diretores: v1=(2,4,6) e v2=(1,2,3) são paralelos pois v1 = 2v2.
Logos as retas são paralelas ou coincidentes.
ii) Ponto de interseção:
→ (^0) = 3 × sistema impossível, logo as retas não se interceptam.
Conclusão: As retas são Paralelas.
Questão 4. (8 ptos)
Sejam o ponto A(3,6,−3), a reta r de equação 𝑟 ∶
. Determine a equação do plano γ
que contém o ponto A e a reta r.
Plano ⟶ ponto A(3,6,-3)=( 𝑥 O
O
O
) e vetor normal 𝑛 = 𝑃 O
𝐴 × 𝑣
T
= (a, b, c).
Tem Equação 𝑎 𝑥 − 𝑥 O
O
O
Da reta sabemos que 𝑃 O
1 , − 1 , 0 e 𝑣 T
Assim, tem-se que
O
O
= (2,7,-3) e 𝑛 = 𝑃 O
𝐴 × 𝑣
T
Logo, a equação do plano é definida por:
Questão 5 (8 ptos)
As Leis de Kirchhoff representam uma importante ferramenta na resolução de circuitos elétricos de
natureza não simples, tais leis facilitam o equacionamento das tensões, juntamente com as correntes
envolvidas.
Dado o circuito elétrico:
