Gentil Lopes - ALGEBRA LINEAR (COMENTADO), Notas de estudo de Engenharia Elétrica

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Gentil, o iconoclasta

Pelo que temos constatado não é difícil encontrar

alunos que tenham cursado a disciplina álgebra linear e que,

ao término, não sabem o que é um vetor.

Dentre algumas possíveis explicações para este

paradoxo gostaria de destacar uma em especial: o

condicionamento. Com efeito, muitos alunos chegam nesta

disciplina condicionados, por seus estudos anteriores, a

imaginar que um vetor é um ente que possui módulo, direção e

sentido. Se isto é verdade na física na matemática é

integralmente falso.

Insistimos: na matemática um vetor não possui módulo, não possui direção, não possui sentido.

Isto se deve a que as definições deste ente (vetor) são distintas

nestas duas disciplinas. Embora, através de um malabarismo os

vetores da física possam ser incluídos entre os vetores da

matemática (como um caso especial), os vetores desta última vão

muito mais além. A princípio são “pontos” em um espaço abstrato; e

pontos não possuem nem módulo (comprimento), nem direção e

nem sentido.

Alguns vetores da matemática:

Para estes vetores não existe módulo, direção e sentido.

Gentil, o iconoclasta

Contracapa

Copyright ©c 2016 Gentil Lopes da Silva

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email → [email protected]

Editora¸c˜ao eletrˆonica e Diagrama¸c˜ao: Gentil Lopes da Silva Capa: Adriano J. P. Nascimento

Ficha Catalogr´afica

S586a Silva, Gentil Lopes da ´Algebra linear: Comentado/Gentil Lopes da Silva. -Manaus; Boa Vista-RR: Editora Uirapuru, 2016 x, 443 p. il. 16x23 cm [Formato e-book] [Pseud^onimo: Gentil, o iconoclasta] ISBN 978-85-63979-09-

1. Matem´atica. 2. Vetores
2. C´odigos 4. N´umeros complexos
3. Gentil, o iconoclasta. I. T´ıtulo.

CDU:512.

(Ficha catalogr´afica elaborada por Bibliotec´aria Zina Pinheiro CRB 11/611)

Pref´acio Via de regra o que se faz em um pref´acio ´e discorrer sobre o conte´udo da obra. Nos dispensamos deste of´ıcio em raz˜ao de que o leitor, se assim o desejar, pode apreciar o conte´udo deste livro a partir do (extenso) sum´ario, dado logo a seguir. Aproveito este pref´acio para fazer algumas elucubra¸c˜oes incluindo a Matem´atica em si, as quais julgo de alguma relevˆancia. Este livro n˜ao nasceu de notas de sala de aula; ´e um livro de “fundo de quintal”, escrito em minha pr´opria casa (a “uma m˜aos”, isto ´e, “eu e eu”), confesso que uma das motiva¸c˜oes para escrevˆe-lo foi meu v´ıcio em rela¸c˜ao ao processador de texto LATEX 2ε e, em especial, pelo ambiente de figuras pspicture o qual utilizo como uma verdadeira terapia − em raz˜ao disto existe neste livro um n´umero excessivo de figuras. Resumindo: pode-se dizer que tomei a decis˜ao de escrever este livro como um pretexto para desenhar figuras no LATEX 2ε. Por outro lado, existem dezenas e dezenas de livros de Algebra Linear´ em portuguˆes (sem falar nos estrangeiros) dispon´ıveis para alunos e inte- ressados nesse importante ramo da matem´atica, sendo assim uma pergunta pertinente seria: por que mais um?

Respondo invocando uma analogia com a impress˜ao digital. Assim como a impress˜ao digital ´e ´unica os in- div´ıduos s˜ao ´unicos, em particular os autores s˜ao ´unicos, o que implica dizer que suas obras s˜ao ´unicas; isto ´e, den- tre as centenas de livros de Algebra Linear n˜´ ao existem dois iguais − ou ainda: todos os livros s˜ao distintos dois a dois; portanto o presente livro ´e ´unico no sentido em que reflete minha individualidade.

Ademais, acreditamos − por v´arias raz˜oes − que o aluno de matem´atica deva ter `a sua disposi¸c˜ao mais que um livro da disciplina que esteja apren- dendo. E dentro deste contexto que situa-se esta obra, ou seja: nela o aluno´ ter´a mais uma op¸c˜ao para auxili´a-lo no seu aprendizado.

Por outro lado, acontece com as v´arias obras (livros) sobre um mesmo assunto o mesmo que acontece no universo da m´usica; para uma mesma can¸c˜ao podem existir dezenas de interpreta¸c˜oes diferentes executadas por m´usicos distintos, n˜ao vejo nenhum mal nisto, pelo contr´ario ´e at´e salutar no sentido de nos disponibilizar um maior n´umero de op¸c˜oes.

Um aspecto relevante a ser ressaltado ´e quanto as demonstra¸c˜oes matem´a- ticas. Existem autores que preferem as demonstra¸c˜oes mais curtas e ele- gantes; n˜ao ´e o meu caso, explico: para minha aprecia¸c˜ao particular prefiro as mais curtas e elegantes, n˜ao obstante, como autor, digo, quando estou transmitindo uma ideia ao estudante a´ı ´e diferente no sentido de que a demonstra¸c˜ao mais curta nem sempre ´e a mais did´atica e compreens´ıvel ao aluno.

Sum´ario

Livros Publicados (Enderˆe¸cos de acesso)

1- Novas Seq¨u^encias Aritm´eticas e Geom´etricas Bras´ılia-DF: Thesaurus, 2000; 448 p. ISBN: 85-7062-200-X Nota: N˜ao temos o arquivo eletrˆonico deste livro, apenas impresso. Visite nosso site: www.profgentil.com.br

2- O TAO DA MATEM´ATICA (Uma Constru¸c~ao Matem´atica de Deus) Rio de Janeiro: LetraCapital, 2011; 500 p. ISBN: 978-85-7785-096- ebah https://goo.gl/2nRS8x

slideshare https://goo.gl/FbuJHV

scribd https://goo.gl/0HDswb

3- Exuma¸c~ao e Julgamento de Deus Taguatinga-DF: Editora Kiron, 2012; 197 p. ISBN: 978-85-8113-054- ebah https://goo.gl/sTLFvv

slideshare https://goo.gl/ppNBaE

scribd https://goo.gl/JbUw6h

4- Espa¸cos M´etricos (com aplica¸c~oes) Taguatinga-DF: Editora Kiron, 2013; 628 p. ISBN: 978-85-8113-125- ebah https://goo.gl/OOaBBk

slideshare https://goo.gl/R6MfVj

scribd https://goo.gl/yfqclG

5- O DEUS QU^ANTICO (Um Deus pra homem nenhum botar defeito, mesmo que esse homem seja um ateu) Manaus-AM: Grafisa, 2014; 235 p. ISBN: 978-85-99122-40- ebah https://goo.gl/Gj36Wj

slideshare https://goo.gl/JoPzzX

scribd https://goo.gl/A0Pnbc

6- Programando a HP 50 g (Com Programa¸c~ao Simb´olica) 2 .a^ Edi¸c˜ao Manaus-AM: Grafisa, 2015; 364 p. ISBN: 978-85-99122-41- ebah https://goo.gl/M9zz9u

slideshare https://goo.gl/lr8k0a

scribd https://goo.gl/nUCVW

7- Fundamentos dos N´umeros (Tudo o que voc^e gostaria de saber sobre os n´umeros mas n~ao tinha a quem perguntar) Publica¸c˜ao Eletrˆonica, 2016; 514 p. ISBN: 978-85-63979-08- ebah https://goo.gl/8YVCPB

slideshare https://goo.gl/Ah5m0g

scribd https://goo.gl/mkl0PG

Cap´ıtulo 1

ESPAC¸ OS VETORIAIS

Quando o esp´ırito se apresenta a cul- tura cient´ıfica, nunca ´e jovem. Ali´as ´e bem velho, porque tem a idade de seus preconceitos. Acedera ciˆencia ´e reju- venescer espiritualmente, ´e aceitar uma brusca muta¸c˜ao que contradiz o passado. (Gaston Bachelard)

1.1 Introdu¸c˜ao:

Pelo que tenho constatado n˜ao ´e dif´ıcil encontrar alunos que tenham cursado a disciplina ´algebra linear e que, ao t´ermino, n˜ao sabem o que ´e um vetor. Dentre algumas poss´ıveis explica¸c˜oes para este paradoxo gostaria de destacar uma em especial: o condicionamento∗^. Com efeito, muitos alunos chegam nesta disciplina condicionados, por seus estudos anteriores, a imagi- nar que um vetor ´e um ente que possui m´odulo, dire¸c˜ao e sentido. Se isto ´e verdade na f´ısica na matem´atica ´e integralmente falso. Reitero: na matem´atica um vetor n˜ao possui m´odulo, n˜ao possui dire¸c˜ao, n˜ao possui sentido. Isto se deve a que as defini¸c˜oes deste ente (vetor) s˜ao distintas nestas duas disciplinas. Embora, atrav´es de um malabarismo os vetores da f´ısica possam ser incluidos entre os vetores da matem´atica (como um caso especial), os vetores desta ´ultima v˜ao muito mais al´em. A princ´ıpio s˜ao “pontos” em um espa¸co abstrato; e pontos n˜ao possuem nem m´odulo (comprimento), nem dire¸c˜ao e nem sentido.

∗Ou os preconceitos, da cita¸c˜ao em ep´ıgrafe.

Processar s´ımbolos n˜ao ´e o mesmo que processar significado

Um outro aspecto relevante que o aluno deve se dar conta ´e o de que, em matem´atica, processar s´ımbolos n˜ao ´e o mesmo que processar significados. E o que se d´´ a com um n´umero significativo de estudantes: processam (manipulam) s´ımbolos, mas n˜ao os significados por tr´as dos s´ımbolos.

Uma analogia: o fato de algu´em usar (operar) um controle remoto ou um celular n˜ao significa que este algu´em compreenda como estes objetos funcionam, entre operar e compreender existe uma enorme distˆancia.

Um desafio a engenheiros e f´ısicos

Apenas para contextualizar, sinceramente creio que nenhum engenheiro, ou f´ısico, ´e capaz de resolver a seguinte equa¸c˜ao do primeiro grau:

2 x + 1 = 7 (1.1)

tomando-se como conjunto universo os naturais, isto ´e, N = { 0 , 1 , 2 , 3 ,... }. Claro, at´e por inspe¸c˜ao chega-se `a solu¸c˜ao correta: x = 3. Entretanto, quando digo resolver significa que, partindo-se da equa¸c˜ao, deve-se chegar ao resultado x = 3.

2 x + 1 = 7 ⇒ · · · ⇒ x = 3 (?)

E n˜ao apenas isto, mas tamb´em justificar (provar) todos os passos inter- medi´arios. Neste conjunto n˜ao contamos com oposto aditivo e inverso multiplicativo. Os iniciantes n˜ao est˜ao preparados para o verdadeiro rigor matem´atico; s´o veriam nisso v˜as e fastidiosas sutilezas, perder´ıamos nosso tempo se quis´essemos, cedo demais, torn´a-los mais exigentes. (Poincar´e/A Ciˆencia e a Hip´otese)

2 x+1= A calculadora HP50g resolve a equa¸c˜ao 2 x + 1 = 7 em x = 3 fra¸c˜oes de segundos − Por sinal, equa¸c˜oes muito mais com- plexas que esta. Um computador processa s´ımbolos mas n˜ao significado. O c´erebro da maioria de indiv´ıduos que lida com a matem´atica apenas processa (manusea) s´ımbolos − tal como a HP50g.

Quando, no ensino fundamental, o professor afirma, por exemplo, que “mais vezes menos d´a menos” e que “sinais diferentes, subtrai e d´a-se o sinal do maior ” ele est´a simplesmente dando um comando de programa¸c˜ao aos alunos; programando-os, tal qual um engenheiro programou a calculadora HP.

1.2 Espa¸cos Vetoriais

A abstra¸c˜ao desobstrui o esp´ırito, o torna mais leve e dinˆamico. (Gaston Bachelard)

Assim como um engenheiro, ou um arquiteto, constr´oi suas estruturas, igualmente os matem´aticos constroem as suas. Daremos in´ıcio agora ao estudo de uma das estruturas mais importantes da matem´atica: Espa¸co Vetorial. Os espa¸cos vetoriais constituem os objetos de estudo da ´algebra linear. Um espa¸co vetorial n˜ao ´e um conjunto mas sim uma estrutura (p. 19), e, para construirmos uma de tais estruturas, iremos necessitar de algumas ferramentas; mais precisamente de quatro ferramentas, quais sejam:

1 a^ ) Um conjunto V ; 2 a^ ) Um corpo K; (p. 420) 3 a^ ) Uma opera¸c˜ao sobre os elementos de V , a qual chamaremos de adi¸c˜ao e denotaremos por + ; assim:

• : V × V −→ V (u, v) 7 −→ u + v

4 a^ ) Uma opera¸c˜ao entre um n´umero de K e um elemento de V , a qual chamaremos de multiplica¸c˜ao por escalar e denotaremos por · ; assim:

· : K × V −→ V (λ, u) 7 −→ λ · u

Este ´e apenas o primeiro passo para a constru¸c˜ao da nossa estrutura. Um segundo passo ´e que estas opera¸c˜oes satisfa¸cam alguns requisitos, a saber:

− Exigˆencias (axiomas) para a adi¸c˜ao:

Para quaisquer u, v e w, elementos de V , devemos ter: A1) u + v = v + u (Comutativa) A2) (u + v) + w = u + (v + w) (Associativa) A3) Existe em V um elemento, denotado por 0 , detentor da seguinte propriedade: ∗ u + 0 = u; ∀ u ∈ V. (Elemento neutro)

(Elemento oposto)

A4) Para todo elemento u de V existe um outro elemento de V , denotado por −u, detentor da seguinte propriedade:

u + (−u) = 0

∗Importante: Escolhemos o “zero em negrito” para representar o vetor nulo (que est´a em V ), com o objetivo de distingui-lo do n´umero 0 (que est´a em K).

Observe que no axioma M4) 1 ´e o elemento neutro da multiplica¸c˜ao no corpo, a multiplica¸c˜ao de espa¸co vetorial ´e uma outra multiplica¸c˜ao − no mais das vezes n˜ao tem nada a ver com a primeira −, portanto este elemento n˜ao teria a obriga¸c˜ao de continuar sendo o elemento neutro de uma outra opera¸c˜ao, se isto acontece deve ser por decreto (axioma).

Quando K = R (resp.: K = Q, K = C), o espa¸co vetorial diz-se real (resp.: racional, complexo).

O quadro amarelo a seguir resume o essencial da defini¸c˜ao de espa¸co vetorial.

A1) u + v = v + u

A2) (u + v) + w = u + (v + w) A3) u + 0 = u; ∀ u ∈ V. A4) ∀ u ∈ V, ∃ − u ∈ V : u + (−u) = 0

M1) λ · ( μ · u ) = (λ · μ) · u M2) ( λ + μ ) · u = λ · u + μ · u M3) λ · ( u + v ) = λ · u + λ · v M4) 1 · u = u V = (V, +, ·)

Uma observa¸c˜ao importante ´e a de que n˜ao devemos colocar o “carro na frente dos bois ” e chamar os elementos de um conjunto de vetores antes de construirmos − sobre este conjunto − a estrutura de espa¸co vetorial. Oportunamente estaremos exemplificando este aspecto. Adendo: Podemos dizer que um espa¸co vetorial ´e uma obra (estrutura) de “engenharia matem´atica” cuja planta esbo¸camos assim:

V V^ ×V^ V

V K K×V V

(u, v) r ru+v

(λ, u) r · rλu

V = (V, +, ·)

Adendo: Antes de prosseguir em nossos estudos, uma observa¸c˜ao que jul- gamos de alguma relevˆancia: Em matem´atica existe uma conven¸c˜ao t´acita de que s´o devemos criar novos s´ımbolos em casos estritamente necess´arios. Em consequˆencia deste acordo ´e que em muitos contextos matem´aticos um mesmo s´ımbolo pode ter significados distintos. Por exemplo, na exigˆencia M1), isto ´e:

M1) λ · ( μ · u ) = (λ · μ) · u Estes trˆes s´ımbolos dizem respeito `a mesma multiplica¸c˜ao (escalar por vetor).

Este s´ımbolo diz respeito a uma outra multiplica¸c˜ao (entre escalares e d´a-se no corpo K) Na exigˆencia,

M2) ( λ + μ ) · u = λ · u + μ · u Estes dois s´ımbolos dizem respeito a adi¸c˜oes distintas. A primeira adi¸c˜ao se d´a entre nu- meros, a segunda se d´a entre vetores.

Uma das contribui¸c˜oes definitivas do s´eculo dezenove foi o recon- hecimento de que a matem´atica n˜ao ´e uma ciˆencia natural, mas uma cria¸c˜ao intelectual do homem. Bertrand Russel escreveu no Interna- tional Monthly em 1901 : ‘O s´eculo dezenove, que se orgulha da inven¸c˜ao do vapor e da evolu¸c˜ao, poderia derivar um t´ıtulo mais leg´ıtimo `a fama da descoberta da matem´atica pura.’ Pelo fim do s´eculo era geralmente reconhecido mesmo por n˜ao- matem´aticos que a matem´atica ´e pensamento postulacional, em que de premissas arbitr´arias s˜ao tiradas conclus˜oes v´alidas. Que os postulados sejam ou n˜ao verdadeiros num sentido cient´ıfico ´e indiferente. (Curso Moderno de Filosofia/Denis Huisman e Andr´e Vergez)

Nem vocˆe nem eu nem ningu´em sabemos o que faz um matem´atico vingar. N˜ao ´e uma quest˜ao de inteligˆencia. Conhe¸co matem´aticos mais h´abeis que eu, mas que n˜ao tiveram sorte. Considere dois mineiros: um talvez seja perito em geologia, mas ´e o mineiro ignorante quem acha as pepitas douradas. (Louis J. Mordell/matem´atico britˆanico)

Esta ´e a primeira etapa em nossa constru¸c˜ao. A segunda etapa con- siste em mostrar que estas opera¸c˜oes, assim definidas, satisfazem a todas as exigˆencias listadas na defini¸c˜ao de espa¸co vetorial. Sen˜ao, vejamos:

A1) u + v = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (defini¸c˜ao de adi¸c˜ao) = (c + a, d + b) (comutatividade nos reais) = (c, d) + (a, b) (defini¸c˜ao de adi¸c˜ao) = v + u

A2) (u + v) + w =

(a, b) + (c, d)

• (e, f ) =

(a + c, b + d)

• (e, f ) (defini¸c˜ao de adi¸c˜ao) =

(a + c) + e, (b + d) + f

(defini¸c˜ao de adi¸c˜ao)

a + (c + e), b + (d + f )

(associatividade nos reais) = (a, b) +

(c + e, d + f )

(defini¸c˜ao de adi¸c˜ao) = (a, b) +

(c, d) + (e, f )

(defini¸c˜ao de adi¸c˜ao) = u + (v + w)

A3) ∃ 0 = (0, 0) ∈ R^2 : ∀ u = (a, b) ∈ R^2 , se verifica, u + 0 = (a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) (adi¸c˜ao) = (a, b) (elemento neutro nos reais) = u

A4) ∀ u = (a, b) ∈ R^2 , ∃ − u = (−a, −b) ∈ R^2 : u + (−u) = (a, b) + (−a, −b) =

a + (−a), b + (−b)

(adi¸c˜ao) = (0, 0) (oposto aditivo nos reais) = 0

M1) λ ( μ u ) = λ ( μ (a, b) ) = λ

( μa, μb )

(defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao) = λ ( μa, μb ) =

λ(μa), λ(μb)

(defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao)

(λμ)a, (λμ)b

(associatividade nos reais) = (λμ) (a, b ) (defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao) = (λμ) u

M2) (λ + μ) u = (λ + μ) (a, b)

=

(λ + μ) a, (λ + μ) b

(defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao) = ( λa + μa, λb + μb ) (distributividade nos reais) = (λa, λb) + (μa, μb) (defini¸c˜ao de adi¸c˜ao) = λ (a, b) + μ (a, b) (defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao) = λ u + μ u

M3) λ(u + v) = λ

(a, b) + (c, d)

= λ

(a + c, b + d)

(defini¸c˜ao de adi¸c˜ao) = λ (a + c, b + d) =

λ(a + c), λ(b + d)

(defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao) = ( λa + λc, λb + λd ) (distributividade nos reais) = ( λa, λb ) + ( λc, λd ) (defini¸c˜ao de adi¸c˜ao) = λ(a, b) + λ(c, d) (defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao) = λu + λv

M4) 1 u = 1 (a, b)

= ( 1 a, 1 b ) (defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao) = (a, b) (elemento neutro nos reais) = u

Nota¸c˜ao: ( R^2 , +, · ) = R^2 ´e o espa¸co vetorial R^2.

Nota: Somente agora, ap´os termos provado que a adi¸c˜ao definida em (1.2) satisfaz as exigˆencias A1),... , A4), e que a multiplica¸c˜ao, definida em (1.3) satisfaz as exigˆencias M1),... , M4) ´e que podemos chamar os pontos (a, b), do plano, de vetores. De outro modo: somente agora os pontos (a, b) do plano cartesiano fazem parte de uma estrutura de espa¸co vetorial, isto ´e, deixaram de ser “meros pontos” e adquiriram o status de vetores.