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CAPÍTULO I
GEOMETRIA DAS MASSAS
I. ASPECTOS GERAIS
Apesar de não estar incluida dentro dos nossos objetivos principais, vamos estudar algumas grandezas características da geometria das massas com a finalidade de conhecermos alguns valores necessários ao estudo das solicitações que provoquem a rotação, como o Momento Fletor e o Momento Torsor. Vamos nos ater ao cálculo das propriedades das seções planas.
II. MOMENTOS ESTÁTICOS E BARICENTROS DE SUPERFÍCIES PLANAS
A. CONCEITO
Admitimos uma superfície plana qualquer de área "A", referida à um sistema de eixos ortogonais x,y. Sejam: dA - elemento de área componente da superfície x e y - coordenadas deste elemento em relação ao sistema de eixos
Define-se: Momento estático de um elemento de área dA em relação a um eixo é o produto da área do elemento por sua orddenada em relação ao eixo considerado.
Notação : s Expressão analítica :
sx = y. dA sy = x. dA
Define-se: Momento estático de uma superfície é a soma dos momentos estáticos em relação a um mesmo eixo dos elementos que a constituem.
Notação : S Expressão analítica:
Sx ==== y. dA
A
Sy ==== x. dA
A
OBSERVAÇÕES:
- unidade: cm3, m3, ...
- sinal : O momento estático pode admitir sinais positivos ou negativos, dependendo do sinal da ordenada envolvida.
- O momento estático de uma superfície é nulo em relação à qualquer eixo que passe pelo centro de gravidade desta superfície.
B. DETERMINAÇÃO DO BARICENTRO DE SUPERFÍCIE
A utilização dos conceitos de momento estático se dá no cálculo da posição do centro de gravidade de figuras planas.
Seja: G - baricentro da superfície com coordenadas à determinar (xG; yG)
por definição:
Sx ==== y. dA
A se o baricentro da superfície fosse conhecido poderíamos calcular o momento estático desta superfície pela definição:
Sx = yG. A ∴∴∴∴ yG =
S
A
x ou
como A (área total) pode ser calculado pela soma dos elementos de área que a constituem:
A = dA A
então :
Define-se: "Momento de inércia de um elemento de área em relação a um eixo é o produto da área deste elemento pelo quadrado de sua distância ao eixo considerado."
Notação : j (índice com o nome do eixo) Expressão analítica:
jx = y2. dA jy = x2. dA
Unidade : cm4 , m4, ... Sinal : sempre positivo
Define-se : "Momento de inércia de uma superfície em relação a um eixo é a soma dos momentos de inércia em relação ao mesmo eixo dos elementos de área que a constituem."
Jx ==== dA
2
A
y.^ ou^ Jy^ ====^ dA
2 A
x.
OBS: Sendo o momento de inércia axial de uma superfície o somatório de valores sempre positivos, ele só admite valores positivos também.
B. MOMENTO DE INÉRCIA POLAR
Define-se: "Momento de inércia de um elemento de área em relação a um ponto é o produto da área deste elemento pelo quadrado de sua distância ao ponto considerado."
Notação: j (índice com o nome do ponto) Expressão analítica:
jo= r^2. dA
Unidade : cm^4 , m^4 , .... Sinal: sempre positivo
Define-se: "Momento de inércia de uma superfície em relação a um ponto é a soma dos momentos de inércia, em relação ao mesmo ponto dos elementos qua a constituem."
J o dA A
2
r.
OBS: Se levarmos em conta o teorema de Pitágoras:
r2 = x (^2) + y 2 então:
J o dA A
2
(x y
2 ). =
2
x. dA
A
+^
2
y. dA
A
Jo = J x + Jy
Conclusão: O momento de inércia de uma superfície em relação a um ponto é a soma dos momentos de inércia em relação a dois eixos ortogonais que passem pelo ponto considerado.
C. PRODUTO DE INÉRCIA
Define-se: "O produto de inércia de um elemento de área em relação a um par de eixos é o produto da área deste elemento por suas coordenadas em relação aos eixos considerados."
Notação : j (índice o par de eixos) Expressão analítica :
jx,y = x.y.dA
Sinal: admite sinais positivos e negativos, de acôrdo com o sinal do produto das coordenadas.
Unidade : cm^4 ,m^4 , ...
Define-se: "O produto de inércia de uma superfície é a soma dos produtos de inércia, em relação ao mesmo par de eixos, dos elementos que a constituem."
Jx , y ==== x. y. dA
A
OBS : O produto de inércia de uma superfície por ser o somatório do produto dos elementos que a constituem pode resultar em um valor negativo,positivo ou nulo.
Exemplo: Determine o momento de inércia de um retangulo b x h , em relação ao eixo horizontal coincidente com a base.
A. SEGUNDO UMA INCLINAÇÃO QUALQUER ( αααα )
O teorema à seguir nos permite calcular momentos e produtos de inércia em
relação a eixos deslocados da referência de um angulo αααα , conforme mostra a figura
FORMULÁRIO:
OBS: A convenção adotada para se medir o angulo (^) αααα segue a convenção adotada no círculo trigonométrico
mede-se o angulo α de x à x' no sentido anti horário.
B. EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
Jx' = Jx. cos2^ αααα + Jy. sen2 αααα - Jx,y. sen 2 αααα
Jy' = Jy. cos2^ αααα + Jx .sen2 αααα + Jx,y. sen 2 αααα
Jx',y' = Jx,y. cos 2 αααα +
(Jx - Jy).sen 2 αααα
Podemos notar que ao efetuarmos a rotação dos eixos que passam por um ponto 'o', os momentos e produtos variam em função do angulo de rotação α. Em problemas práticos, normalmente nos interessa a inclinação 'α', em relação à qual os valores do momento de inércia é máximo, para então aproveitarmos integralmente as características geométricas da seção transversal que deve ser adotada. Para a determinação do máximo de uma função , por exemplo Jx', podemos
utilizar os conceitos de cálculo diferencial, onde sabemos que uma função é máxima ou mínima no ponto em que sua primeira derivada for nula.
Então:
dJ d
x' αα αα
Efetuando as derivações e com algumas simplificações algébricas chegamos à expressão:
tg 2 =
. J
J - J
xy
y x
αααα
2
Esta expressão nos permite calcular dois valores para o angulo α, que caracterizam a posição dos eixos em relação aos quais o momento de inércia assume valores extremos (máximo e mínimo). Vamos observar que estes eixos são:
- Ortogonais entre si.
- O produto de inércia em relação a este par de eixos é nulo.
- Na rotação dos eixos a soma dos momentos de inércia é constante. Jx + Jy = Jx' + Jy'
Os dois eixos determinados chamam-se de eixos principais de inércia e os momentos correspondentes momentos principais de inércia.
Observações:
- Se o ponto "o" em tôrno do qual se fez a rotação coincidir com o centro de gravidade da seção, os eixos passarão a ser chamados de principais centrais de inércia e a eles corresponderão os momentos principais centrais de inércia.
2. Se a seção tiver eixo de simetria, este será, necessáriamente , um eixo
principal central de inércia.
R: YG = 2,60 R: YG = 27
XG = 6,57 XG = 25
- Determinar o momento de inércia das figuras em relação aos eixos baricentricos horizontail e vertical. (medidas em cm)
a. b.
R: Jx = 3.541,33 cm^4 R: Jx = 553 cm^4 Jy= 1.691,33 cm^4 Jy = 279,08 cm^4
c. d.
R: Jx = 687,65 cm^4 R: Jx = 1.372,29 cm^4 Jy= 207,33 cm4^ Jy= 1.050,27 cm
- Para as figuras abaixo, determine os seus eixos principais centrais de inércia, bem como os momentos correspondentes (momentos principais centrais de inércia) ( medidas em cm). a. b.
R: Jmáx = 1.316 cm^4 R: Jmáx = 2.707 cm^4
Jmín = 325,5 cm^4 Jmín = 105 cm^4
- Para a figura abaixo determine: a. Momentos principais centrais de inércia b. Momentos principais de inércia em relação ao ponto O.
J
b h x ====^
J
b h h b xG ====^ ====
. 3.^3
JyG
J J
R
x ====^ y == ==
ππππ. 4 4
