Estática: Exercícios Resolvidos - Momento de Forças e Equilíbrio, Notas de estudo de Mecânica

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M E C A N I C A P ARA E N G E N H A R I A

10a EDIÇÃO

R. C. Hibbeler

Companion

PEARSON Websrte

Prentice

Hall

Site com material de apoio para professores

E S T A T I C A

M E C Â N I C A PARA E N G E N H A R I A

T r a d u ç ã o Everi A ntonio Carrara D o u to r em astrofísica pelo In s titu to A stro n ô m ico e G eofísico d a U n iv ersid a d e d e São P aulo P ó s-d o u to r pelo N a tio n a l Radio A stro n o m y O b serv ato ry - NRAO Professor titu la r da U niversidade B an d eira n te de São P aulo - UNIBAN

Joaquim Pinheiro Nunes da Silva E n g en h eiro civil pela U n iv ersid ad e P resb iteria n a M ackenzie

Pós-graduado em e n g e n h a ria de sistem as pela Escola P o litécn ica da U n iv ersid a d e de São Paulo

R evisão T écn ica

W ilson Carlos da Silva Junior M estre e d o u to ra n d o em e n g e n h a ria pela Escola P o litécn ica d a U n iv ersid a d e de São Paulo Professor m estre da U niversidade B an d eira n te de São Paulo - UNIBAN Professor assisten te da U n iv ersid ad e de M ogi das C ruzes - UM C

10â EDIÇÃO

Hibbeler

EDITORA AFILIADA

São Paulo

Brasil Argentina Colômbia Costa Rica Chile Espanha Guatemala México Peru Porto Rico Venezuela

Ao E stu d a n te

Com a esperança de que este trabalho estim ule o interesse em m ecânica para engenharia e sirva de guia para o entendim ento deste assunto.

 - 1 Princípios Gerais Prefácio xi - 1 1 M ecânica - 1.2 C o n ceito s F u n d a m e n ta is - 1.3 U nidades de M edida - 1.4 Sistem a In te rn a c io n a l de U n id ad es - 1.5 C álculos N u m érico s 

• 2 Vetores Força - 2.1 Escalares e V etores - 2.2 O perações V etoriais - 2.3 A dição de Forças V etoriais - 2.4 A dição de u m Sistem a de Forças C o p lan ares - 2.5 Vetores C artesian o s - 2.6 A dição e S ubtração de V etores C artesian o s - 2.7 Vetores Posição - 2.8 V etor Força O rie n ta d o ao lo n g o de u m a Reta - 2.9 P ro d u to Escalar
• 3 Equilíbrio de um Ponto Material - 3.1 C o n d ição de E quilíbrio de um P o n to M aterial - 3.2 D iagram a de C orpo Livre - 3.3 Sistem as de Forças C o p lan ares - 3.4 Sistem as de Força T rid im en sio n al
• 4 Resultantes de Sistemas de Forças - 4.1 M o m e n to de u m a Força — F orm ulação Escalar - 4.2 P ro d u to V etorial - 4.3 M o m e n to de u m a Força — F orm ulação V etorial - 4.4 P rincípios dos M o m e n to s - 4.5 M o m e n to de u m a Força em relação a um Eixo Específico - 4.6 M o m e n to de um B inário - 4.7 Sistem a E q u iv alen te - 4 .8 R esu ltan tes d e u m S istem a d e Forças e M o m e n to s de B inários v iii E s t á t i c a - 4 .9 R eduções A dicionais de u m Sistem a d e Forças e M o m e n to s - 4 .1 0 R edução d e u m Sistem a Sim ples de C argas D istrib u íd as
• 5 Equilíbrio de um Corpo Rígido - 5.1 C o n d iç õ e s de E quilíbrio p ara u m C o rp o Rígido - 5 .2 E q u ilíb rio em D uas D im en sõ es — D iagram as de C o rp o Livre - 5 .3 E quações de E q u ilíb rio - 5 .4 E lem en to s co m D uas e Três Forças - 5 .5 E q u ilíb rio em Três D im en sõ es — D iagram as de C o rp o Livre - 5 .6 E quações d e E q u ilíb rio - 5 .7 R estrições p ara u m C o rp o Rígido
• 6 Análise Estrutural - 6 .1 Treliças Sim ples - 6 .2 O M é to d o d o s N ós - 6 .3 E lem en to s d e Força N u la - 6 .4 O M é to d o das Seções - *6.5 Treliças Espaciais - 6 .6 E stru tu ras e M á q u in a s
  • 7 Forças Internas - 7.1 Forças In te rn a s D esen v o lv id as em E lem en to s E stru tu rais - *7.2 E quações e D iagram as d e Forças de C isa lh a m e n to e d e M o m e n to s Fletores - *7.3 R elações e n tre C a rre g a m e n to D istrib u íd o , Força d e C isa lh a m e n to e M o m e n to Fletor - *7.4 C ab o s - Atrito - 8 .1 C aracterísticas d o A trito Seco - 8 .2 P ro b lem as E n v o lv e n d o A trito Seco - 8 .3 C alços - 8 .4 Forças de A trito em Parafusos - 8 .5 Forças de A trito em C orreias P lanas
• *8.6 Forças de A trito em M ancais de Escoras co m A néis, em M ancais Axiais e em D iscos - 8 .7 Forças de A trito em M ancais Radiais
• *8 .8 R esistência ao R o la m e n to
  • 9 Centro de Gravidade e Centróide - 9.1 C e n tro de G ra v id ad e e C e n tro d e M assa d e u m Sistem a d e P o n to s M ateriais - 9 .2 C e n tro de G rav id ad e, C e n tro d e M assa e C e n tró id e de u m C o rp o - 9 .3 C o rp o s C o m p o sto s
  • *9.4 T eorem as de P ap p u s e G u ld in u s
    • *9.5 R esu ltan te de u m C a rre g a m e n to D istrib u íd o G eral
  • *9.6 Pressão de u m Fluido
    • 1 0 Momentos de Inércia S u m á r i o ix
      • 10.1 D efinição de M o m en to s de Inércia de Áreas
      • 10.2 Teorem a dos Eixos Paralelos para u m a Área
      • 10.3 Raio de G iração de u m a Área
      • 10.4 M o m e n to s de Inércia de u m a Área p o r In teg ração
      • 10.5 M o m e n to s de Inércia de Áreas C o m p o sta s
  • *10.6 P ro d u to de Inércia de u m a Área
  • *10.7 M o m e n to s de Inércia de u m a Área em relação a Eixos In c lin a d o s
  • *10.8 C írculo de M o h r para M o m en to s de Inércia - 10.9 M o m e n to de Inércia de M assa - 11.1 D efinição de T rabalho e T rabalho V irtual - 11.2 P rincípio dos T rabalhos V irtuais para um P o n to M aterial e para u m C o rp o Rígido - 11.3 P rin cíp io dos T rabalhos V irtuais para um Sistem a de C o rp o s Rígidos In terlig a d o s
  • *11.4 Forças C on serv ativ as
  • *11.5 Energia P otencial
  • *11.6 C ritério da Energia P otencial para o E quilíbrio
  • *11.7 E stabilidade do E quilíbrio
    • 11 Trabalho Virtual - Expressões Matemáticas
• B Análise Numérica e Computacional - Revisão dos Fundamentos de Engenharia
• Respostas
• índice

P r e f á c i o

O objetivo principal deste livro é fornecer ao estudante um a apresentação clara e com pleta da teoria de mecânica e aplicações à engenharia. Para atingir esse objetivo o autor não tem trabalhado isoladam ente; em grande parte, esta obra, ao longo de suas 10 edições, tem sido m oldada pelos com entários e sugestões de cen te nas de professores que a revisaram, bem como por muitos dos alunos do autor.

N ovas ca ra cterística s

Esta décima edição apresenta características singulares, dentre as quais podem os destacar:

• I l u s t r a ç õ e s. Ao longo do livro, foram incluídas ilustrações realistas que apresentam um a forte conexão com a natureza 3-D da engenharia. Além disso, procurou-se fornecer uma boa visão dos objetos físicos, suas dimensões e os vetores a eles aplicados, de m aneira que as situações possam ser facilm ente entendidas.
• P r o b le m a s. Os conjuntos de problem as foram revisados de m odo que os professores possam selecionar problem as tanto de projeto quanto de análise com um am plo leque de dificuldade. A lém do autor, dois outros profissionais verificaram todos os problem as para garantir clareza e exatidão das soluções. No fim de alguns capí tulos, foram propostos projetos a serem desenvolvidos.
• M a t e r i a l d e R e v is ã o. Foram incluídas no final dos capítulos seções de revisão para o aluno recordar os pontos im portantes.

N aturalm ente, os pontos fortes deste livro perm anecem os mesmos: onde necessário, dá-se grande ênfase à construção de diagram as de corpo livre e ressalta-se a im portância da seleção de um sistem a de coordenadas apropriado, com a devida convenção de sinal para os com ponentes dos vetores.

C on teú d o

O livro é dividido em 11 capítulos, nos quais os princípios são aplicados prim eiro a situações simples e depois a situações mais complicadas. Na m aioria das vezes, cada princípio é aplicado prim eiro a um ponto m aterial, depois a um corpo rígido subm etido a um sistema de forças coplanares e finalm ente a um caso geral de sistema de forças tridim ensional atuando sobre um corpo rígido. O Capítulo 1 começa com um a introdução à m ecânica e um a discussão sobre unidades. A notação de um vetor e as propriedades do sistem a de forças concorrentes são introduzidas no C apítulo 2. Essa teoria é então aplicada ao equilíbrio de uma partícula no C apítulo 3. O C apítulo 4 contém uma discussão geral dos sistem as de forças concentradas e distribuídas e os m étodos usados para simplificá-los. Os princípios do equilíbrio de corpo rígido são desenvolvidos no Capítulo 5 e depois são aplicados a problem as específicos envolvendo o equilíbrio de treliças, estruturas e máquinas, no C apítulo 6, e à análise das forças internas em vigas e cabos, no C apítulo 7. No Capítulo 8 são oferecidas aplicações a problem as que envolvem forças de atrito e no C apítulo 9 são ap re sentados tópicos relacionados a centro de gravidade e centróide. Se o tem po perm itir, podem ser estudadas seções concernentes a tópicos mais adiantados, indicadas por asteriscos (*). A m aioria desses tópicos está incluí da no Capítulo 10 (m om entos de inércia de área e m assa) e no C apítulo 11 (trabalho virtual e energia p o ten cial). Observe que esse m aterial tam bém oferece uma referência dos princípios básicos a serem discutidos em cursos mais avançados.

x ii E s t á t i c a

D e se n v o lv im e n to A lte r n a tiv o. A critério do professor, alguns dos m ateriais podem ser apresentados

num a seqüência diferente sem perda de continuidade. Por exemplo, é possível introduzir o conceito de força e todos os m étodos necessários de análise vetorial abordando prim eiro o Capítulo 2 e a Seção 4.2. Então, depois que o restante do C apítulo 4 (sistem as de força e m om ento) tiver sido estudado, podem ser discutidos os m éto dos de equilíbrio dos capítulos 3 e 5.

C a ra cterística s E sp eciais

O rg a n iza çã o e A bord agem. O conteúdo de cada capítulo está organizado em seções bem definidas que

contêm uma explanação de tópicos específicos, exemplos (problem as resolvidos) e um conjunto de problem as propostos. Os tópicos em cada seção estão colocados em subgrupos definidos por títulos em negrito. O propósi to dessa disposição é apresentar um m étodo estruturado para a introdução de cada nova definição ou novo con ceito, to rnando o livro adequado para futuras referências e recapitulações.

C o n teú d o d os C ap ítu los. Cada capítulo inicia-se com uma ilustração dem onstrando a ampla aplicabili

dade do m aterial nele contido. Um a lista do conteúdo do capítulo é fornecida para dar uma visão geral do m ate rial a ser abordado.

D ia g ra m a s d e Corpo Livre. O prim eiro passo na resolução da m aioria dos problem as de mecânica exige

a construção de um diagram a. Com isso, o aluno cria o hábito de organizar os dados necessários, enquanto se con centra nos aspectos físicos do problem a e na sua geom etria. Se esse passo for dado corretam ente, a aplicação das equações relevantes se tornará bastante sistem ática, pois os dados podem ser tom ados diretam ente do diagram a construído. Esse passo é particularm ente im portante quando se resolvem problem as de equilíbrio, e, por essa razão, enfatiza-se fortem ente ao longo do livro a construção de diagram as de corpo livre. Em particular, foram preparados seções especiais e exem plos para m ostrar com o se traçam diagram as de corpo livre, e, para se desen volver essa prática, foram incluídos em m uitas seções problem as propostos.

P r o c e d im e n to p ara A n álise. E ncontrado no fim de muitos capítulos, este recurso singular fornece ao

estudante um m étodo lógico e ordenado para a aplicação da teoria. Segue-se esse m étodo para resolver os pro blem as propostos com o exemplos, de m odo que sua aplicação num érica seja esclarecida. E ntretanto, deve-se en ten d er que uma vez que se tenha aprendido os princípios relevantes e se tenha obtido a confiança suficiente, o estudante poderá, então, desenvolver seus próprios procedim entos para resolver os problemas.

F o to g ra fia s. Utilizam-se m uitas fotos ao longo de todo o livro para explicar com o os princípios da mecânica

se aplicam a situações reais. Em m uitas seções, usaram -se fotografias para m ostrar como os engenheiros devem propor inicialm ente um m odelo idealizado para a análise e passar, então, à construção de um diagram a de corpo livre para aplicar a teoria a esse modelo.

P o n to s Im p o r ta n te s. Este recurso fornece um resum o dos conceitos mais im portantes apresentados na

seção, enfatizando os pontos mais significativos que devem ser entendidos ao se aplicar a teoria à solução de problem as.

E n te n d im e n to C on ceitu ai. Pelo uso de fotos distribuídas ao longo do livro, aplica-se a teoria de m aneira

simplificada para ilustrar algumas de suas características conceituais mais im portantes e introduzir gradativam ente o significado físico de muitos dos term os usados nas equações. Essas aplicações simplificadas aum entam o interesse no assunto e ajudam o estudante a entender os exemplos e solucionar os problemas.

E xem p los. Todos os problem as propostos com o exemplos são apresentados de m aneira concisa e num estilo

de fácil com preensão.

x iv E s t á t i c a

W ilfred Nixon, Universidade de Iowa Jonathan Russell, U.S. Coast Guard A cadem y R obert Hinks, A rizona State University Cap. M ark O rw at, U.S. Military Academy, West Point Cetin C etinyaka, Clarkson University Jack Xin, Kansas State University Fierre Julien. Colorado State University Stephen Bechtel, O hio State University W.A. C urtain. Brown University R obert O akberg, M ontana State University Richard B ennett, Universidade do Tennessee

D evo um agradecim ento especial aos professores Will Liddell, Jr. e Henry Kuhlman por sua ajuda específi ca. Devo tam bém apresentar um agradecim ento especial a Scott Hendricks da VPI e Karim N ohra da University of South Califórnia, que diligentem ente verificaram todo o texto e os problemas. G ostaria de agradecer a revisão feita por m inha esposa, Conny (C ornelie), durante o tem po em que preparei o m anuscrito para publicação. Finalm ente, m uitos agradecim entos são estendidos a todos os meus alunos e aos professores que espon taneam ente gastaram seu tem po para me enviar sugestões e comentários. Como uma lista com todos os nomes seria m uito extensa, espero que aqueles que me ajudaram dessa m aneira aceitem meu reconhecim ento anônimo. A preciaria muitíssimo receber a qualquer m om ento seus com entários, sugestões ou problem as a respeito desta edição. Rnssel Charles Hibbeler hibbeler@ bellsouth.net

P r i n c í p i o s G e r a i s

O bjetivos d o C a pítu lo

• Oferecer uma introdução às quantidades básicas e idealizações da mecânica.
• Apresentar o enunciado das leis de Newton do movimento e da gravitação.
• Revisar os princípios para a aplicação do Sistema Internacional de Unidades - SI.
• Investigar os procedimentos padrão de execução de cálculos numéricos.
• Oferecer uma orientação geral para a resolução de problemas.

1 .1 M e c â n ic a

A mecânica é definida como o ram o das ciências físicas que trata do estado de repouso ou de m ovim en to de corpos sujeitos à ação de forças. Em geral, esse assunto é subdividido em mecânica dos corpos rígidos, mecânica dos corpos deformáveis e mecânica dos fluidos. Este livro trata apenas da m ecânica dos corpos rígidos, uma vez que esta constitui uma base adequada para o projeto e a análise de m uitos tipos de dispositivos estruturais, mecânicos ou elétricos encontrados na engenharia. Além disso, ela fornece o conhecim ento necessá rio para o estudo da mecânica dos corpos deform áveis e da m ecânica dos fluidos. A mecânica dos corpos rígidos divide-se em duas áreas: estática e dinâm i ca. A estática trata do equilíbrio dos corpos, isto é, daqueles que estão em repouso ou em movimento, com velocidade constante; já a dinâmica preocu pa-se com o m ovim ento acelerado dos corpos. A pesar de a estática poder ser considerada um caso especial da dinâmica, no qual a aceleração é nula, ela m erece tratam ento separado no estudo da engenharia, uma vez que m uitos objetos são desenvolvidos com o intuito de que se m antenham em equilíbrio.

D e se n v o lv im e n to H istórico. O s princípios da estática desenvolveram -se há m uito tem po, p o rq u e podiam ser explicados sim plesm ente p o r m edições de geom etria e força. Por exem plo, os escritos de A rq u im ed e s (287- a.C.) trata m do princípio da alavanca. E studos so b re polia, plan o in clin a do e torção tam bém aparecem reg istrad o s em escritos antigos, da época em que os req u isito s da en g en h aria restringiam -se b asicam en te à c o n stru ção de edifícios.

O projeto desta estrutura de foguete e de torre de lançamento requer conhecimento básico de estática e dinâmica, que são o obje to da mecânica.

Cap. i P r i n c í p i o s G e r a i s 3

mecanismos e similares são relativam ente pequenas e a hipótese de corpo rígi do é adequada para a análise. Força Concentrada. Um a força concentrada representa o efeito de uma car ga adm itida com o atuando em um ponto do corpo. Pode-se representar uma carga como força concentrada, desde que a área sobre a qual ela é aplicada seja pequena, com parada às dimensões totais do corpo. Um exemplo seria a força de contato entre uma roda e o terreno.

A s Três Leis cio M o v im e n to de N e w to n. Tudo o que a mecânica aborda é explicado a partir das três leis do movimento de Newton, cuja validade é basea da em observações experimentais. Essas leis se aplicam ao m ovim ento do ponto m aterial m edido a partir de um sistema de referência não acelerado.* Em rela ção à Figura 1.1, pode-se dizer, em resumo, o que se segue. Primeira Lei. Um ponto m aterial inicialmente em repouso ou m ovendo-se em linha reta, com velocidade constante, perm anece nesse estado desde que não seja subm etido a uma força desequilibrada. Segunda Lei. Um ponto m aterial sob a ação de um a força desequilibrada F sofre uma aceleração a que tem a mesma direção da força e grandeza direta m ente proporcional a ele.1 Se F for aplicada a um ponto m aterial de massa m, essa lei pode ser expressa m atem aticam ente como:

Terceira Lei. As forças m útuas de ação e reação entre dois pontos m ateriais são iguais, opostas e colineares. Lei d e N e w to n de A tra ç ã o d a G ra vid a d e. Depois de explicar suas três leis do movimento, Newton postulou a lei que governa a atração da gravidade entre dois pontos m ateriais quaisquer. Expressa m atem aticam ente:

F = força da gravidade entre os dois pontos m ateriais G = constante universal da gravidade; de acordo com evi dência experim ental, G = 66,73(10 -12) m3/(k g * s2) m u m 2 = massa de cada um dos dois pontos m ateriais r = distância entre os dois pontos m ateriais Peso. De acordo com a Equação 1.2, quaisquer dois pontos m ateriais ou cor pos têm uma força de atração m útua (gravitacional) que atua entre eles. E ntretanto, no caso de um ponto m aterial localizada sobre a superfície da Terra ou próxima dela, a única força de gravidade com intensidade m ensurável é aque la entre a Terra e o ponto material. Conseqüentem ente, essa força, denom inada peso , será a única força da gravidade considerada neste estudo da mecânica. Pela Equação 1.2, pode-se desenvolver uma expressão aproximada para deter minar o peso W de um ponto material com massa m x = m. Admitindo-se que a Terra seja uma esfera de densidade constante que não gire e que tenha massa m 2 = M t , e se r é a distância entre o centro da Terra e o ponto material, tem-se:

• Como vimos à p. 2, neste livro optou-se pelo uso do termo 'ponto material'; em alguns casos, como o das leis de Newton, seria comum também o uso do termo párticula’ (N. do E.). 1 Dito de outra maneira, a força desequilibrada que atua sobre o ponto material é proporcional à taxa de mudança do momento linear deste.

Equilíbrio

Movimento acelerado

. força de A sobre B F ' i F A B V força de B sobre A Ação — reação

Figura 1.

F = m a ( 1. 1 )

onde

4 E s t á t i c a

Fazendo-se g = GM rlr2, tem-se:

W = mg (1.3)

Por com paração com F = m a, denom inam os g a aceleração devida à gra vidade. Com o ela depende de r , pode-se observar que o peso de um corpo não é um a quantidade absoluta. A o contrário, sua intensidade é determ inada onde a m edição foi feita. Para a m aioria dos cálculos de engenharia, entretanto, g é determ inada ao nível do m ar e na latitude de 45°, que é considerada a 'locali- zação-padrâo’.

1 .3 U n id a d e s de M e d id a

As quatro quantidades básicas — força, massa, com prim ento e tem po — não são todas independentes umas das outras. Elas estão relacionadas pela segunda lei do m ovim ento de Newton, F = ma. Por causa disso, as unidades usadas para m edir essas quantidades não podem ser selecionadas arbitraria m ente. A igualdade F = m a é m antida som ente se três das quatro unidades, cham adas unidades básicas , são definidas arbitrariamente, e a quarta unidade é então derivada da equação. U n id a d es SI. O Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI, do fran cês “Système International d ‘U nités”, é uma versão m oderna do sistema m étrico que teve aceitação mundial. Como m ostra a Tabela 1.1, o sistema SI especifica o com prim ento em m etros (m), o tem po em segundos (s) e a massa em quilogram as (kg). A unidade de força, cham ada newton (N), é derivada de F = ma. Assim, um new ton é igual à força requerida para dar a 1 quilogram a de m assa um a aceleração de 1 m/s2 (N = kg-m /s2). Se o peso de um corpo situado na ‘localização-padrão’ for determ inado em newtons, então deverá ser aplicada a Equação 1.3. Nessa equação, g = 9,80665 m/s2; entretanto, nos cálculos, será usado o valor g = 9,81 m/s2. Assim:

l kg W = m g ( g = 9,81 m/s2) (1.4)

Portanto, um corpo de massa de 1 kg pesa 9,81 N, um corpo de 2 kg pesa

• 9 , 8 i n 19,62 N e assim por diante (Figura 1.2a). S is te m a U su a l A m e ric a n o. No sistem a de unidades Usual A m ericano (FPS — fe e t , p o u n d , second — pé, libra, segundo), o com prim ento é m edido em (pés), a força em libras (lb) e o tem po em segundos (s) (Tabela 1.1). A uni- ] ]u dade de m assa, cham ada slug, é derivada de F = ma. Portanto, 1 slug é igual r à quantidade de m atéria acelerada de 1 pé/s2 quando acionada por uma força de 1 lb (slug - lb • s2/pé). Para se determ inar a massa de um corpo que tenha o peso m edido em 32,2 lb libras, deve-se aplicar a E quação 1.3. Se as medidas forem feitas na ‘localiza- (b) ção-padrão’, então g — 32,2 pé/s2 será usado nos cálculos. Portanto:

Figura 1.2 W , m = — (g = 32,2 pés/s2) (1.5)

Desse modo, um corpo pesando 32,2 lb tem massa de 1 slug, um corpo pesando 64,4 lb tem massa de 2 slugs e assim por diante (Figura 1.2 b).

6 E s t á t i c a

Tabela 1 .3 • P refixos Forma exponencial Prefixo Símbolo SI Múltiplo 1 000 000 000 IO9 (^) giga G 1 000 000 106 mega M 1 000 103 quilo k Submúltiplo 0,001 IO"3 mili m 0,000 001 IO-6 micro (^) P 0,000 000 001 10“9 nano n

2. Os símbolos devem ser sempre escritos com letras minúsculas, com as seguintes exceções: os símbolos dos dois prefixos maiores mostrados na Tabela 1.3, giga e mega, G e M, respectivamente, devem ser sempre escritos com letra maiúscula; os símbolos referentes a nomes de pes soas tam bém devem ser escritos com letra maiúscula, por exemplo, N.
3. Q uantidades definidas por diferentes unidades que são múltiplas umas das outras devem ser separadas por um ponto para evitar con fusão com a notação do prefixo, como no caso de N = kg-m /s2 = k g -n v s -2. Da m esm a m aneira, m*s (m etro-segundo), enquanto ms (m ilissegundo).
4. Potência representada por uma unidade refere-se a ambas as unida des e seu prefixo. Por exemplo, p. N 2 = (;u.N)2 = p N • pN. Da mesma m aneira, m m 2 representa (m m )2 = m m ‘mm.
5. A o realizar cálculos, represente os núm eros em term os de suas uni dades básicas ou derivadas , convertendo todos os prefixos a potências de 10. O resultado final deve então ser expresso usando-se um único prefixo. A lém disso, após os cálculos, é m elhor m anter os valores num éricos entre 0,1 e 1.000; caso contrário, deve ser escolhido um pre fixo adequado. Por exemplo:

(50 kN)(60 nm) = [50(103) N ][60(10'9) m] = 3.000(10~6) N • m = 3(10 3) N • m = 3 mN • m

6. Prefixos com postos não devem ser usados. Por exemplo, kp s (quilo- m icrossegundo) deve ser expresso como ms (milissegundo), visto que 1 k p s = 1(103)(10-6) s = 1(10“3) s = 1 ms.
7. Com exceção da unidade básica quilograma, evite, em geral, o uso de prefixo no denom inador de unidades compostas. Por exemplo, não escre va N/mm, mas kN/m; além disso m/mg deve ser escrito como Mm/kg.
8. A pesar de não serem expressos em múltiplos de 10, o m inuto, a hora etc. são m antidos, por razões práticas, como múltiplos do segundo. Além do mais, as m edidas angulares planas são feitas em radianos (rad). N este livro, entretanto, serão usados com freqüência graus, sendo 180° = t t rad.

1 .5 C á l c u l o s N u m ér ic o s

Os cálculos num éricos, em engenharia, costum am ser executados com fre qüência em calculadoras de m ão e com putadores. E im portante, porém , que as respostas de quaisquer problem as sejam expressas com precisão e com o uso de algarism os significativos adequados. Nesta seção serão discutidos esses e outros aspectos im portantes envolvidos em todos os cálculos de engenharia.

Cap. i P r i n c í p i o s G e r a i s 7

H om ogeneidade D im ensional. Os termos de qualquer equação usada para des crever um processo físico devem ser dimensionalmente homogêneos , ou seja, cada um deles deve ser expresso nas mesmas unidades. Se for o caso, todos os termos de uma equação poderão ser combinados se os valores numéricos forem substi tuídos pelas variáveis. Vamos considerar, por exemplo, a equaçãos s = vt + 1 Hat2, na qual, em unidades SI, 5 é a posição em metros, t é o tem po em segundos (s), v é a velocidade em m/s e a é a aceleração em m/s2. Independentem ente de como a equação seja avaliada, ela mantém sua hom ogeneidade dimensional. Na forma descrita, cada um dos três term os é expresso em m etros [m, (m/s)8, (m/á?)S2J ou, resolvendo em função de a, a = 2 s /t2 — 2v /t, cada um dos term os é expresso em unidades de m /s2 [m /s2, m /s2, (m/s)/sj. Como os problem as de mecânica envolvem a solução de equações dim en sionalm ente homogêneas, o fato de que todos os term os de uma equação são representados por um conjunto de unidades consistente pode ser usado como verificação parcial para m anipulações algébricas de uma equação.

A lg a rism o s S ig n ifica tivo s. A precisão de um núm ero é determ inada pela quantidade de algarismos significativos que ele contém. Algarism o significati vo é qualquer algarismo, inclusive o zero, desde que não seja usado para especificar a localização de um ponto decimal do núm ero. Por exemplo, 5. e 34,52 têm. cada um, quatro algarismos significativos. Q uando os núm eros começam ou term inam com zeros, entretanto, é difícil dizer quantos algarismos significativos há neles. Vamos considerar o núm ero 400. Ele tem um (4), talvez dois (40), ou três (400) algarismos significativos? A fim de esclarecer essa situa ção, o núm ero deve ser descrito como potência de 10. U sando a notação da engenharia, o expoente é expresso em múltiplos de três para facilitar a conver são das unidades SI para as que tenham prefixo apropriado. Assim, 400 expresso com um algarismo significativo deve ser escrito 0,4(103). Da mesma m aneira, 2.500 e 0,00546 expressos com três algarismos significativos devem ser escritos assim: 2,50(103) e 5,46(10“ 3).

A rre d o n d a m e n to d e N ú m ero s. Nos cálculos numéricos, a precisão do resul tado de um problem a em geral não pode ser m elhor do que a precisão dos dados do problema. É o que se espera, mas freqüentem ente calculadoras de bolso ou com putadores envolvem mais dígitos na resposta do que o núm ero de algaris mos significativos dos dados. Por essa razão, o resultado calculado deve ser sempre 'arredondado' para um núm ero apropriado de algarismos significativos. Para assegurar uma precisão apropriada, aplicam-se as seguintes regras de arredondam ento de um núm ero com n algarismos significativos:

• Se o n + 1 dígito for m enor do que 5, o n + 1 dígito e os outros que o seguem devem ser descartados. Por exemplo, 2,326 e 0,451, arred o n dados com n = 2 dígitos significativos, tornam -se 2,3 e 0,45.
• Se o n + 1 dígito for igual a 5 seguido de zeros, arredonda-se o ené- simo dígito para um núm ero par. Por exemplo, 1,245(103) e 0,8655, arredondados com n = 3 algarismos significativos, tornam -se 1,24(103) e 0,866.
• Se o n + 1 dígito for m aior do que ou igual a 5 seguido de qualquer quantidade de dígitos diferentes de zero, então aum enta-se o enési- m o dígito de 1 e abandona-se o n + 1 dígito e os que o seguem. Por exemplo, 0,723 87 e 565,500 3, arredondados com n = 3 dígitos signi ficativos, tornam -se 0.724 e 566.

C álculos. Como regra geral, para garantir a precisão do resultado final, ao exe cutar cálculos com uma calculadora de bolso deve-se m anter sem pre um núm ero de dígitos maior do que os dados do problema. Se possível, deve-se procurar