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Capítulo 3
Espaços de Hilbert
Os espaços de Hilbert são uma generalização abstracta dos espaços Euclidianos R n^ e unitários C n^ onde a noção central é o produto interno. A partir do produto interno obtemos a norma e o conceito de ortogonalidade entre vectores no espaço. Assim, neste capítulo vamos generalizar a noção de produto interno e ortogona- lidade a espaços vectoriais arbitrários. Isto é possível nos espaços vectoriais com produto interno ou espaços de Hilbert no caso de serem completos. Os espaços de Hilbert são uma classe especial de espaços normados mas historicamente os espaços de Hilbert surgiram primeiro. Toda a teoria destes espaços foi iniciada pelo matemático Alemão David Hilbert por volta de 1912 quando trabalhava em equações integrais.
3.1 Definição e exemplos
Definição 3.1 (Produto interno) Seja X um espaço vectorial sobre o corpo K_._
1. Um produto interno em X é uma aplicação (·, ·) (^) X : X × X −→ K, ( x , y ) $→ ( x , y ) (^) X
tal que para quaisquer x , y , z ∈ X e α, β ∈ K temos
(PI1) ( x , x ) (^) X ≥ 0 e ( x , x ) (^) X = 0 ⇔ x = 0_._ (PI2) (α x + β y , z ) (^) X = α( x , z ) (^) X + β( y , z ) (^) X. (PI3) ( x , y ) (^) X = ( y , x ) (^) X. O par ( X , (·, ·) (^) X ) chama-se espaço com produto interno ou espaço pré- Hilbertiano.
2. A norma | · | (^) X em X associada a (·, ·) (^) X é definida por
| x | (^) X :=
( x , x ) (^) X , x ∈ X (3.1)
e a métrica em X associada a (·, ·) (^) X é
d ( x , y ) = | x − y | (^) X =
( x − y , x − y ) (^) X. (3.2)
3. Um espaço X com produto interno completo no sentido da métrica anterior chama-se um espaço de Hilbert. Os espaços de Hilbert serão denotados por H.
Observação 3.2 Seja ( X , (·, ·) (^) X ) um espaço com produto interno.
- É claro que ( X , | · | (^) X ) é um espaço normado e se ( X , | · | (^) X ) for completo, então ( X , | · | (^) X ) é um espaço de Banach.
- Se K = R, então (PI3) diz que o produto interno é uma aplicação simétrica, pois ( x , y ) (^) X = ( y , x ) (^) X ∈ R.
- De (PI2) e (PI3) resulta que o produto interno é linear conjugada na segunda variável, isto é, ( x , α y + β z ) (^) X = α¯( x , y ) (^) X + β¯( x , z ) (^) X.
- Quando não houver perigo de confusão vamos denotar (·, ·) (^) X por (·, ·).
Exemplo 3.3 (Espaço Euclidiano R n^ e unitário C n^ ) 1. O espaço Euclidiano R n^ é um espaço de Hilbert com produto interno
( x , y )R n = x 1 y 1 + x 2 y 2 +... + xn yn.
A norma associada a este produto interno é
| x |^2 R n = x^21 + x^22 +... + x^2 n
e a métrica é
d ( x , y ) = | x − y |R n^ =
( x 1 − y 1 )^2 + ( x 2 − y 2 )^2 +... + ( xn − yn )^2.
Vimos no Exemplo 1.30 que este espaço era completo, pelo que é um espaço de Hilbert.
x
x^ +
y x (^) − (^) y
y
Figura 3.1: Paralelogramo no plano de lados x e y.
Prova. 1. Se x = 0 ou y = 0 então temos a igualdade, pelo que podemos supor x , y! 0. Existe α ∈ K, |α| = 1 tal que α( y , x ) = |( x , y )| (basta tomar α = |( x , y )|/( y , x ). Para r ∈ R podemos desenvolver | x − r α y |^2 para obter
| x − r α y |^2 = | x |^2 − r α( x , y ) − r α( y , x ) + r^2 α^2 | y |^2 = | x |^2 − r α( y , x ) − r α( y , x ) + r^2 | y |^2 = | x |^2 − 2 r |( x , y )| + r^2 | y |^2 ≥ 0.
Assim, temos uma forma quadrática definida positiva, pelo que o discriminante deverá verificar
(− 2 |( x , y )|)^2 − 4 | y | 2 | x |^2 ≤ 0 ⇔ |( x , y )| ≤ | x || y |.
- Temos
| x + y |^2 = ( x + y , x + y ) = | x |^2 + ( x , y ) + ( y , x ) + | y |^2 = | x |^2 + 2 )( x , y ) + | y |^2.
Como )( x , y ) ≤ |( x , y )| então pela desigualdade de Cauchy-Schwarz temos
| x + y |^2 ≤ | x |^2 + 2 | x || y | + | y |^2 = (| x | + | y |)^2.
A desigualdade triangular resulta tomando a raiz quadrada em ambos os lados.
- e 4. A verificação é directa usando a definição de norma dada em (3.1).
Exemplo 3.5 (Espaço L^2 ([0, 1]) ) A norma no espaço C ([0, 1])
| f | (^2) C ([0,1]) =
0
| f ( t )| 2 dt (3.8)
pode ser obtida de um produto interno, nomeadamente
( f , g ) C ([0,1]) :=
0
f ( t ) g ( t ) dt.
No Exemplo 2.13 admitimos que as funções contínuas tomam valores reais mas, em geral, podemos assumir que as funções são complexos, isto é, f : [0, 1] −→ C contínuas. O espaço resultante C (^) C ([0, 1]) das funções complexas definidas em [0, 1] torna-se num espaço com produto interno definido por
( f , g ) C (^) C ([0,1]) :=
0
f ( t ) g ( t ) dt
cuja norma associada é dada por
| f | (^2) C (^) C ([0,1]) =
0
| f ( t )| 2 dt , (3.9)
aqui | f ( t )| 2 = f ( t ) f ( t ). O completado L^2 ([0, 1]) de C ([0, 1]) (respectivamente L^2 C ([0, 1])) relativamente à métrica associada a (3.8), (respectivamente a (3.9)) é
um espaço normado completo. É possível prolongar o produto interno (cf. Teo- rema 3.11 mais à frente) ao completado de forma que L^2 ([0, 1]) (respectivamente L^2 C ([0, 1])) seja um espaço de Hilbert.
Exemplo 3.6 (Espaço # 2 (C) ) O espaço # 2 (C) das sucessões complexas z = ( z (^) n )∞ n = 1 tais que ∑∞
n = 1
| z (^) n | 2 < ∞
é um espaço de Hilbert com produto interno
( z , w )# 2 (C) =
∑^ ∞
n = 1
z (^) n w ¯ n.
A convergência da série resulta da desigualdade de Cauchy-Schwarz para séries, pois
|( z , w )# 2 (C) | ≤
n = 1
| z (^) n || w ¯ n | ≤
∑^ ∞
n = 1
| z (^) n | 2
∑^ ∞
n = 1
| w ¯ n | 2
1 / 2 < ∞.
onde usamos a desigualdade triangular e a de Cauchy-Schwarz. Como x (^) n −→ x e yn −→ y , isto é, lim (^) n →∞ | xn − x | = 0 e lim n →∞ | yn − y | = 0, logo é claro que
lim n →∞ |( xn , yn ) − ( x , y )| = 0.
Como primeira aplicação deste lema vamos provar que todo o espaço com produto interno X pode ser completado sendo o espaço resultante um espaço de Hilbert. Este espaço completado é único a menos de um isomorfismo. De seguida definimos espaços com produto interno isomorfos.
Definição 3.10 (Espaços com produto interno isomorfos) Consideremos os es- paços vectoriais ( X (^) 1 , (·, ·) 1 ) e ( X 2 , (·, ·) 2 ) sobre o mesmo corpo K com produto interno e T : X (^) 1 −→ X (^) 2 uma aplicação. Então T diz-se um isomorfismo de X (^) 1 sobre X (^) 2 se T é bijectiva e preserva o produto interno, isto é
( T x , T y ) 2 = ( x , y ) 1 , x , y ∈ X 1.
Teorema 3.11 Para qualquer espaço X com produto interno (·, ·) (^) X existe um es- paço de Hilbert H e um isomorfismo T de X sobre um subespaço W de H denso. O espaço de Hilbert H é único a menos de um isomorfismo.
Prova. Pelo Teorema 2.18 existe um espaço de Banach H e um isomorfismo T de X sobre um subespaço W de H denso. Assim, só resta provar que H possui um produto interno. Definimos
( ˜ x , y ˜)H := lim n →∞ ( xn , yn ) (^) X ,
onde ( xn )∞ n = 1 é ( yn )∞ n = 1 são sucessões de Cauchy na norma | · | (^) X em X nas classes ˜ x e ˜ y , respectivamente. Pelo Lema 3.9 o limite anterior existe e é único. O resto é uma consequência do Teorema 2.18.
Exercícios
Exercício 3.1 Mostre que num espaço com produto interno X se ( x , y ) = ( x , z ) para todos x ∈ X , então y = z.
Exercício 3.2 Mostre que o espaço C ([ a , b ]) com a norma
| f | C ([ a , b ]) := max t ∈[ a , b ]
| f ( t )|
não é um espaço com produto interno e, assim, não é um espaço de Hilbert. Sugestão: mostre que as funções f ( t ) = 1 e g ( t ) = ( t − a )/( b − a ) não verificam a regra do paralelogramo.
Exercício 3.3 Mostre que a desigualdade de Cauchy-Schwarz resulta na igual- dade se e só se x = α y para qualquer α ∈ K.
Exercício 3.4 Considere em C 2 a norma
|( z , w )| = | z | + | w |.
Pode esta norma ser obtida de um produto interno?
Exercício 3.5 Seja H = # 2 (C) e considere o elemento z = ( z (^) n )∞ n = 1 ∈ # 2 (C). Cal- cule | z | (^) # 2 (C) onde
- z (^) n = 2 − n /^2.
- z (^) n = (^1) n.
Exercício 3.6 Mostre que se X é um espaço com produto interno e ( x (^) n )∞ n = 1 é uma sucessão em X , então das condições | x (^) n | −→ | x | e ( xn , x ) −→ ( x , x ), n → ∞ resulta que xn −→ x no sentido lim n →∞
| xn − x | = 0.
Exercício 3.7 Prove que num espaço com produto interno X as seguintes igual- dades são verdadeiras
( x , y ) =
N
∑ N
k = 1
| x + e^2 π ki / N^ y |^2 e^2 π ki / N^ , N ≥ 3.
( x , y ) =
2 π
∫ (^2) π
0
| x + eit^ y |^2 eit^ dt.
Exercício 3.8 Dado um espaço X com produto interno (·, ·), então temos a se- guinte relação ( x , y ) = | x || y | cos θ,
onde θ é o ângulo entre os vectores x e y. Calcule o ângulo entre as funções f ( t ) = 1 e g ( t ) = t no espaço L^2 ([0, 1]).
x + y
|x^ + y| |y|
y
|x| x Figura 3.2: Relação Pitagórica em R^2. x x x
δ δ δ δ M M (^) M
δ (^) δ δ
(a) (b) (c) Figura 3.3: Existência e unicidade de y ∈ M tal que δ = | x − y |.
Definição 3.14 Seja X um espaço com produto interno. A distância δ de um ponto x ∈ X ao subconjunto não vazio M de X é definida por
δ := inf y ∈ M
| x − y |.
É muito importante saber se existe ou não um elemento y ∈ M tal que
δ = | x − y |.
Este problema de existência e unicidade, fundamental em aplicações, como por exemplo na aproximação de funções, é relativamente simples nos espaços de Hil- bert. Já o mesmo não se pode dizer nos espaços de Banach. Em R 2 podemos ilustrar esta situação na Figura 3.3. Precisamente, pode não existir nenhum y Figura 3.3-(a), pode existir um só Figura 3.3-(b) ou pode existir uma infinidade Figura 3.3-(c). O próximo teorema diz que se M for convexo, então existe um e um só ele- mento y ∈ M tal que δ = | x − y |.
Teorema 3.15 Seja X um espaço com produto interno e ∅! M ⊂ X um subcon- junto convexo completo. Então para qualquer x ∈ X existe um único y ∈ M tal que δ = inf y ˜∈ M | x − y ˜| = | x − y |.
Prova. Vamos provar a existência de y ∈ M tal que δ = | x − y |. Por definição de ínfimo existe ( y (^) n )∞ n = 1 ∈ M tal que
δ n = | x − yn | −→ δ, n → ∞.
Então ( y (^) n )∞ n = 1 é uma sucessão de Cauchy em M. De facto, por um lado
| yn + ym − 2 x | = 2
( yn + ym ) − x
∣ ≥^2 δ,
pois 12 ( yn + ym ) ∈ M por este ser convexo. Por outro lado, pela regra do paralelo- gramo temos
| yn − ym | 2 = | yn − x − ( ym − x )|^2 = −| yn + ym − 2 x | 2 + 2(| yn − x |^2 + | ym − x |^2 ) ≤ −(2δ)^2 + 2(δ^2 n + δ^2 m ) < ε, n , m > N ε ,
logo ( y (^) n )∞ n = 1 é de Cauchy. Assim, existe y ∈ M tal que y (^) n −→ y , n → ∞. Temos ainda que | x − y | ≥ δ,
pois y ∈ M. Mas
| x − y | ≤ | x − yn | + | yn − y | = δ n + | yn − y | −→ δ, n → ∞.
Logo | x − y | = δ. Portanto, mostramos a existência de um y ∈ M tal que δ = | x − y |.
Unicidade de y ∈ M tal que δ = | x − y |. Suponhamos que existe outro elemento y 0 ∈ M tal que | x − y | = | x − y 0 | = δ
com vista a mostrar que y (^) 0 = y. Pela regra do paralelogramo temos
| y − y 0 | 2 = |( y − x ) − ( y 0 − x )|^2 = −|( y − x ) + ( y 0 − x )|^2 + 2(| y − x |^2 + | y 0 − x |^2 )
= − 2 2
( y − y 0 ) − x
2
Como | 12 ( y − y 0 ) − x | ≥ δ, então
| y − y 0 | 2 ≤ − 4 δ^2 + 2 δ^2 + 2 δ^2 = 0.
Como é evidente | y − y (^) 0 | ≥ 0, logo só podemos ter a igualdade.
M ⊥
z = PM ⊥ x
x
y = P x
M
Figura 3.4: Projecção de x ∈ H sobre M.
Observação 3.18 O elemento y ∈ M é chamado projecção ortogonal de x em M. Assim, definimos uma aplicação
P : H −→ M , x $→ Px = y
chamada projecção ortogonal de H sobre M , ver Figura 3.4. É fácil verificar que P possui as seguintes propriedades.
- PM = M.
- PM ⊥^ = { 0 }.
- P^2 = P , isto é, P é idenpotente.
Finalmente vamos usar o Teorema 3.17 para caracterizar os subconjuntos den- sos de um espaço de Hilbert.
Proposição 3.19 (Caracterização de subconjuntos densos) Seja H um espaço de Hilbert e M! ∅ um subconjunto em H_. Então_ 〈 M 〉 é denso em H se e só se M ⊥^ = { 0 }.
Prova. Suponhamos que 〈 M 〉 é denso em H, isto é, 〈 M 〉 = H com vista a mostrar que M ⊥^ = { 0 }. Seja y ∈ M ⊥^ ⊂ H dado, com vista a provar que y = 0. Como y ∈ H e 〈 M 〉 = H então y ∈ 〈 M 〉. Assim, existe uma sucessão ( y (^) n )∞ n = 1 ⊂ 〈 M 〉 tal que yn −→ y , n → ∞. Do facto de M ⊥^ ⊥〈 M 〉 resulta que
( yn , y ) = 0.
Passando ao limite obtemos | y | 2 = 0 pelo que y = 0. Da arbitrariedade de y resulta que M ⊥^ = { 0 }.
Inversamente, suponhamos que M ⊥^ = { 0 } com vista a provar que 〈 M 〉 é denso em H. Se x ⊥〈 M 〉, então x ⊥ M , pelo que x ∈ M ⊥^ e, assim, x = 0. Logo 〈 M 〉 ⊥^ = { 0 } o
que implica que
〈 M 〉
= 〈 M 〉⊥^ = { 0 }. Por outro lado, 〈 M 〉 é um subespaço de H
e 〈 M 〉 é fechado, então pelo Teorema 3.17 temos
H = 〈 M 〉 ⊕ (〈 M 〉)⊥^ = 〈 M 〉.
Exercícios
Exercício 3.9 Mostre que num espaço X com produto interno se x (^) n −→ x , n → ∞ e y ⊥ xn para qualquer n ∈ N, então, x ⊥ y.
Exercício 3.10 Mostre que um conjunto ortonormado é linearmente independente.
Exercício 3.11 Seja H um espaço de Hilbert e M ⊂ H um subconjunto convexo e ( xn )∞ n = 1 ⊂ M tal que | x (^) n | −→ δ = inf (^) y ∈ M | y |. Mostre que ( x (^) n )∞ n = 1 converge em H. Sugestão: mostre que ( xn )∞ n = 1 é uma sucessão de Cauchy por intermédio da regra do paralelogramo.
Exercício 3.12 Considere o espaço de Hilbert # 2 (R) e o subconjunto
M := { x ∈ # 2 (R)| x 2 n = 0 , n ∈ N}.
- Mostre que M é um subespaço fechado de # 2 (R) e encontre M ⊥^.
- Encontre M ⊥^ no caso em que M = 〈{ e (^) 1 , e 2 ,... , en }〉, onde ( e (^) n )∞ n = 1 é a base canónica de # 2 (R).
Exercício 3.13 Considere o espaço das funções contínuas C ([− 1 , 1]) com a norma
| f | C (^2) ([− 1 ,1]) :=
− 1
| f ( t )| 2 d λ( t ), f ∈ C ([− 1 , 1]),
onde λ é a medida de Lebesgue no intervalo [− 1 , 1]. O espaço normado ( C ([− 1 , 1]), |· | C ([− 1 ,1]) ) não é completo. Podemos adaptar a prova do Exemplo 2.13 para a suces- são de funções ( f (^) n )∞ n = 1 definidas por
Acontece que nesta situação é possível determinar explicitamente as constantes α k. De facto, o produto interno entre x e e (^) j , j = 1 ,... , n dá
( x , e (^) j ) =
∑^ n
k = 1
α k ek , e (^) j
∑^ n
k = 1
α k ( ek , e (^) j ) = α (^) j.
Assim, temos
x =
∑^ n
k = 1
( x , ek ) ek.
Mais geralmente, se x ∈ X mas x " 〈 e (^) 1 ,... , en 〉, então podemos definir y ∈ 〈 e 1 ,... , en 〉 como
y :=
∑^ n
k = 1
( x , ek ) ek
de tal modo que se z = x − y , então z ⊥ y. Na verdade
( z , y ) = ( x − y , y ) = ( x , y ) − | y |^2
=
x ,
∑^ n
k = 1
( x , ek ) ek
∑^ n
k = 1
( x , ek ) ek ,
∑^ n
j = 1
( x , e (^) j ) e (^) j
∑^ n
k = 1
( x , ek )( x , ek ) −
∑^ n
k = 1
∑^ n
j = 1
( x , ek )( x , e (^) j )( ek , e (^) j )
∑^ n
k = 1
|( x , ek | 2 −
∑^ n
k = 1
|( x , ek )|^2 = 0.
Isto implica que x = y + z com y ⊥ z , logo pelo Teorema de Pitágoras, cf. Teo- rema 3.13, temos
| x |^2 = | y |^2 + | z | 2
=
∑^ n
k = 1
|( x , ek )|^2 + | z | 2
∑^ n
k = 1
|( x , ek )|^2 ,
pois | z | 2 ≥ 0. Portanto
s (^) n :=
∑^ n
k = 1
|( x , ek )|^2 ≤ | x |^2
e a sucessão ( s (^) n )∞ n = 1 é crescente e limitada, logo tem limite. Como ( s (^) n )∞ n = 1 é a sucessão das somas parciais, então a série
∑^ ∞
k = 1
|( x , ek )|^2
é convergente. Temos ∑∞
k = 1
|( x , ek )|^2 ≤ | x |^2.
Daqui resulta o seguinte teorema.
Teorema 3.20 (Desigualdade de Bessel) Seja X um espaço com produto interno e ( e (^) j )∞ j = 1 uma sucessão ortonormada em X. Então para qualquer x ∈ X
∑^ ∞
k = 1
|( x , ek )|^2 ≤ | x |^2
é chamada desigualdade de Bessel e os produtos internos ( x , e (^) k ) são chamados coeficientes de Fourier de x relativamente a ( e (^) k )∞ k = 1_._
Exemplo 3.21 No espaço de Hilbert # 2 (C) a sucessão ( en )∞ n = 1 onde
en := (0︸,!!!!!! (^0) ︷︷,... ,!!!!!! (^) ︸ 0 n − 1
, 1 , 0 ,.. .), n ∈ N
é uma sucessão ortonormada, pois
( en , em )# 2 (C) =
1 se n = m 0 se n! m.
Exemplo 3.22 O espaço das funções reais contínuas C ([0, 2 π]) com o produto interno
( f , g ) C ([0, 2 π]) =
∫ (^2) π
0
f ( t ) g ( t ) dt
Possui as seguintes sucessões ortogonais:
u (^) n ( t ) := cos( nt ), n ∈ N (^0) vn ( t ) := sin( nt ), n ∈ N.
e (^2)
e (^1)
u (^2)
−(x 2 , e 1 )e (^1)
(x 2 , e 1 )e (^1)
x^2
u (^) n
xn e (^) n
∑ (^) n− 1 k=1 (xn^ , e^ k^ )e^ k
− ∑n− 1 k=1 (xn^ , e^ k^ )e^ k
n Figura 3.5: Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.
Passo 2: Consideremos u (^) 2 := x (^) 2 − ( x 2 , e 1 ) e 1 de tal forma que u (^) 2 ⊥ e 1. Então e (^) 2 é dado por e 2 :=
u (^) 2 | u (^) 2 |
Passo 3: Definimos u (^) 3 := x (^) 3 − ( x 3 , e 1 ) e 1 − ( x 3 , e 2 ) e 2 de tal forma que u (^) 3 ⊥ e 1 e u (^) 3 ⊥ e 2 logo podemos definir
e 3 :=
u (^) 3 | u (^) 3 |
Passo n: O vector
u (^) n := x (^) n −
∑^ n −^1
k = 1
( xn , ek ) ek
é tal que u (^) n ⊥ { e 1 , e 2 ,... , en − 1 }, ver Figura 3.5. Então e (^) n é dado por
en :=
u (^) n | u (^) n |
Exemplo 3.23 (Polinómios de Hermite) Seja L^2 (R, γ) o espaço de Hilbert das funções reais definidas em R com produto interno dado por
( f , g ) :=
R
f ( x ) g ( x ) d γ( x ) =
2 π
R
f ( x ) g ( x ) e −^
x 22 dx.
Ortogonalizar os primeiros 4 vectores da sucessão independente u (^) n ( x ) = xn^ , n ∈ N 0.
Prova. Aplicando o processo de ortogonalização de Hilbert-Schmidt temos
H (^) 0 ( x ) := u 0 ( x )
pelo que
e 0 ( x ) :=
H (^) 0 ( x ) | H (^) 0 |
Por seu lado H (^) 1 é dado por
H (^) 1 ( x ) := u 1 ( x ) − ( u 1 , H (^) 0 ) H 0 = x
de onde resulta
e 1 ( x ) :=
H (^) 1 ( x ) | H (^) 1 |
x − ( x , 1) | x − ( x , 1)1|
= x
Para H 2 temos
H (^) 2 ( x ) := u 2 ( x ) − ( u 2 , H (^) 0 ) H 0 − ( u (^) 2 , H (^) 1 ) H 1 = x^2 − 1
logo
e 2 ( x ) :=
H (^) 2 ( x ) | H (^) 2 |
x^2 − 1 | x^2 − 1 |
( x^2 − 1)
Finalmente temos
H (^) 3 ( x ) := u 3 ( x ) − ( u 3 , H (^) 0 ) H 0 − ( u (^) 3 , H (^) 1 ) H 1 − ( u (^) 3 , H (^) 2 ) H 2 = x^3 − 3 x
e
e 3 ( x ) :=
x^3 − 3 x | x^3 − 3 x |
( x^3 − 3 x ).
Observação 3.24 1. Na literatura a definição de polinómios de Hermite não é única. Assim, à quem defina os polinómios de Hermite como sendo os po- linómios H (^) n do exercício anterior e também podemos encontrar definições em que os e (^) n são chamados polinómios de Hermite. Ambas as definições di- ferem por uma constante, nomeadamente e (^) n = (^) | H^1 (^) n | H (^) n , isto é, uns têm norma um enquanto que outros não. Em particular é interessante verificar que o coeficiente de maior grau dos polinómios H (^) n é 1.
