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Sum´ario
- UFF/GMA - Matem´atica B´asica I - Parte III Notas de aula - Marlene - 2011-1
- III N´umeros reais - m´odulo e ra´ızes
- 3.1 M´odulo ou valor absoluto
- 3.1.1 Defini¸c˜ao e exemplos
- 3.1.2 Exemplos de resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes e inequa¸c˜oes com m´odulo, usando a defini¸c˜ao de m´odulo
- 3.1.3 M´odulo: interpreta¸c˜ao geom´etrica na reta num´erica
- 3.1.4 Propriedades de m´odulo
- 3.1.5 Exemplos de resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes e inequa¸c˜oes com m´odulo, usando propriedades
- 3.1.6 Exemplos de gr´aficos de fun¸c˜oes com m´odulo
- 3.2 Completando o quadrado
- 3.2.1 A t´ecnica de completar o quadrado
- 3.2.2 O gr´afico do trinˆomio de grau
- 3.3 Raiz quadrada e raiz c´ubica
- 3.3.1 Raiz quadrada e raiz c´ubica: defini¸c˜oes
- 3.3.2 Raiz quadrada e raiz c´ubica: propriedades
- 3.3.3 Solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de segundo grau
- 3.3.4 Fatora¸c˜ao do trinˆomio de grau
- 3.3.5 An´alise de sinal do trinˆomio de grau
- 3.4 Raiz ´ındice n
Parte III
N´umeros reais - m´odulo e ra´ızes
3.1 M´odulo ou valor absoluto
3.1.1 Defini¸c˜ao e exemplos
Defini¸c˜ao (m´odulo ou valor absoluto)
Dado um n´umero a ∈ R, o m´odulo de a ´e indicado por |a| e definido por:
|a| :=
a se a ≥ 0 −a se a < 0
Observe que: a = 0 =⇒ |a| = a =⇒ | 0 | = 0.
Logo, a defini¸c˜ao de m´odulo poderia ser assim: |a| =
a se a > 0 0 se a = 0 −a se a < 0
Observe tamb´em que: a = 0 =⇒ −a = −0 =⇒ | 0 | = −0 = 0.
Logo a defini¸c˜ao de m´odulo tamb´em poderia ser assim: |a| =
a se a > 0 −a se a ≤ 0
Lembre que dado um n´umero a, pela tricotomia da ordem, apenas uma das trˆes possibilidades da defini¸c˜ao de
m´odulo ´e verdadeira, isto ´e, apesar de que na defini¸c˜ao n˜ao aparece o conectivo ′′ ou ′′ , subentende-se que entre as
trˆes linhas h´a o conectivo ′′ ou ′′ (exclusivo).
Exemplos:
a = 8 > 0 =⇒ | 8 | = 8 a = − 3 < 0 =⇒ | − 3 | = −(−3) = 3 a = π > 0 =⇒ |π| = π
a = − 2 π < 0 =⇒ | − 2 π| = −(− 2 π) = 2π a = π − 3 > 0 =⇒ |π − 3 | = π − 3 a = 3−π < 0 =⇒ | 3 −π| = −(3−π) = −3+π = π − 3
3.1.2 Exemplos de resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes e inequa¸c˜oes com m´odulo, usando a defini¸c˜ao de m´odulo
- | 3 x| = 15
Resolu¸c˜ao:
| 3 x| :=
3 x se 3 x ≥ 0 − 3 x se 3 x < 0
⇐⇒ | 3 x| :=
3 x se x ≥ 0 − 3 x se x < 0
Logo temos que encontrar: (x ≥ 0 e 3 x = 15) ou (x < 0 e − 3 x = 15)
- para x ≥ 0, vamos ter que resolver 3 x = 15 ⇐⇒ x = 5. Como 5 > 0, conclu´ımos que x = 5 de fato ´e uma solu¸c˜ao.
ou
- para x < 0, temos ter que resolver − 3 x = 15 ⇐⇒ x = −5. Como − 5 < 0, conclu´ımos que x = −5 de fato ´e uma solu¸c˜ao.
Logo a solu¸c˜ao S = {− 5 } ∪ { 5 } = {− 5 , 5 }
- | 3 x| > 15
Resolu¸c˜ao: | 3 x| :=
3 x se 3 x ≥ 0 − 3 x se 3 x < 0
⇐⇒ | 3 x| :=
3 x se x ≥ 0 − 3 x se x < 0
Logo temos que encontrar: (x ≥ 0 e 3 x > 15) ou (x < 0 e − 3 x > 15)
- para x ≥ 0 temos que resolver 3 x > 15 ⇐⇒ x > 5. Mas x > 5 e x ≥ 0 =⇒ x > 5.
logo, uma parte da solu¸c˜ao ´e S 1 = (5, ∞)
ou
(ii) Se b < a ent˜ao o ponto b est´a `a esquerda de a e o ponto b dista a − b unidades de a.
Al´em disso, b < a =⇒ b − a < 0 =⇒ |b − a| = −(b − a) = a − b.
b
s a
s
(iii) Se b = a ent˜ao o ponto b coincide com o ponto a e o ponto b dista b − a = a − a = 0 unidades de a.
Al´em disso, b = a =⇒ b − a = 0 =⇒ |b − a| = | 0 | = 0. - b
s
≡ a
Acabamos de verificar que em qualquer caso, |b − a| representa a distˆancia do ponto b ao ponto a.
ou seja, a dintˆancia entre a e b.
Exemplos:
- Resolver a equa¸c˜ao |x − 3 | = 15 significa encontrar todos os pontos x cuja distˆancia ao ponto a = 3 ´e exatamente igual a 15 unidades.
s 3
s 18 = 3 + 15
s
E f´^ ´ acil concluir que o ponto que est´a `a direita de 3 e dista 15 unidades de 3 ´e o ponto x = 18, pois 3+15=18.
E f´´ acil concluir que o ponto que est´a `a esquerda de 3 e dista 15 unidades de 3 ´e o ponto x = −12, pois 3-15=-12.
Logo a solu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao ´e S = {− 12 , 15 }
- Resolver a inequa¸c˜ao |x − 3 | > 15 significa encontrar todos os pontos x cuja distˆancia ao ponto a = 3 ´e maior do que 15 unidades.
∼∼∼ c
s
c∼∼∼∼∼
E preciso encontrar os pontos^ ´ x que est˜ao `a direita de 3 e distam mais do que 15 unidades de 3. S˜ao os pontos x tais que x > 3 + 15 =⇒ x > 18.
E preciso encontrar os pontos´ x que est˜ao `a esquerda de 3 e distam mais do que 15 unidades de 3. S˜ao os pontos x tais que x < 3 − 15 =⇒ x < −12.
Logo a solu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao ´e S = {x; x < − 12 ou x > 18 } = (−∞, −12) ∪ (18, ∞),
3.1.4 Propriedades de m´odulo
Resolver uma equa¸c˜ao ou uma inequa¸c˜ao onde n˜ao aparece o m´odulo em nenhuma das express˜oes da equa¸c˜ao,
em geral, ´e mais f´acil do que resolver uma equa¸c˜ao ou uma inequa¸c˜ao onde aparece o m´odulo. Por esse motivo,
para resolver equa¸c˜oes e inequa¸c˜oes que envolvem m´odulos, muitas vezes primeiro aplica-se a defini¸c˜ao ou as pro-
priedades de m´odulo com objetivo de simplific´a-las at´e encontrar outras equa¸c˜oes ou inequa¸c˜oes onde n˜ao aparecem
o m´odulo. Abaixo est˜ao listadas algumas das principais propriedades de m´odulo.
Dados a, b ∈ R, valem as seguintes propriedades:
(i) |a| ≥ 0 , ∀a ∈ R e ainda |a| = 0 ⇐⇒ a = 0. (ii) |a| = | − a|, ∀ a ∈ R. (iii) |a| = |b| ⇐⇒ a = b ou a = −b ⇐⇒ a = ±b (iv) Quando b ≥ 0, vale a equivalˆencia: |a| = b, ⇐⇒ a = b ou a = −b ⇐⇒ a = ±b. Quando b < 0 ̸∃ a; |a| = b. (v) |ab| = |a| |b|
(vi)
a
b
|a|
|b|
, b ̸= 0
(vii) |a| < b ⇐⇒ −b < a < b
(viii) |a| > b ⇐⇒ a > b ou a < −b
(ix) |a + b| ≤ |a| + |b| (desigualdade triangular)
(x) |an| = |a|n, n ∈ N
Al´em disso, |a|
n = a n , n ∈ N, ∀n par.
Demonstra¸c˜oes de algumas das propriedades (Essas demonstra¸c˜oes aparecem nesse texto apenas para quem
tiver curiosidade de vˆe-las. Se quiser, pule essa parte e v´a direto aos exemplos, o importante ´e saber aplicar as
propriedades):
(i) Queremos provar: |a| ≥ 0 , ∀a ∈ R e ainda |a| = 0 ⇐⇒ a = 0.
Dado o ponto a ∈ R, pelo axioma da ordem, temos dois casos (excludentes):
- Caso 1: a = 0 ⇐⇒ a coincide com a origem ⇐⇒ a distˆancia de a at´e a origem ´e nula ⇐⇒ |a| = 0.
- Caso 2: a ̸= 0 ⇐⇒ a est´a
a direita oua esquerda da origem O ⇐⇒ a distˆancia de a `a O ´e positiva
⇐⇒ |a| > 0.
(ii) Queremos provar: |a| = | − a|, ∀ a ∈ R.
| − a| :=
−a se −a ≥ 0 −(−a) se −a < 0
⇐⇒ | − a| =
−a se −a > 0 0 se −a = 0 −(−a) se −a < 0
| − a| =
−a se a < 0 0 se a = 0 a se a > 0
⇐⇒ | − a| =
−a se a < 0 a se a ≥ 0
Mas a afirma¸c˜ao entre chaves do lado direito da ´ultima igualdade acima ´e a pr´opria defini¸c˜ao de |a|.
Logo | − a| = |a|.
(iii) Queremos provar: |a| = |b| ⇐⇒ a = b ou a = −b ⇐⇒ a = ±b.
Primeiro vamos verificar se a implica¸c˜ao ´e verdadeira nos 2 casos poss´ıveis e excludentes:
- Caso 1: |a| = |b| = 0 ⇐⇒ a = 0 e b = 0 =⇒ a = b.
ou
- Caso 2: |a| = |b| > 0. Nesse caso sabemos que a ̸= 0 e b ̸= 0 e podemos dividir em 4 casos:
a > 0 e b > 0 e |a| = |b| =⇒ |a| = a e |b| = b e |a| = |b| =⇒ a = b.
ou
a < 0 e b < 0 e |a| = |b| =⇒ |a| = −a e |b| = −b e |a| = |b| =⇒ −a = −b =⇒ a = b.
ou
a > 0 e b < 0 e |a| = |b| =⇒ |a| = a e |b| = −b e |a| = |b| =⇒ a = −b.
ou
a < 0 e b > 0 e |a| = |b| =⇒ |a| = −a e |b| = b e |a| = |b| =⇒ −a = b =⇒ a = −b.
Conclus˜ao: |a| = |b| =⇒ a = b ou a = −b.
Para provar a rec´ıproca, primeiro supomos a = b, nesse caso ´e claro que |a| = |b|.
Logo no outro caso da hip´otese, temos que b = −a.
Nesse caso, ´e claro que |b| = | − a|, como j´a provamos que | − a| = |a|, conclu´ımos que |b| = |a|.
iv) Queremos provar: Quando b ≥ 0, vale a equivalˆencia: |a| = b, ⇐⇒ a = b ou a = −b ⇐⇒ a = ±b.
Quando b < 0 ̸∃ a; |a| = b.
|a| = b
b≥ 0 ⇐⇒ |a| = b e |b| = b
b≥ 0 ⇐⇒ |a| = |b|
(iii) ⇐⇒ a = b ou a = −b ⇐⇒ a = ±b
Por (i) sabemos que ∀a, |a| ≥ 0
b< 0 =⇒ ∀a, b < 0 ≤ |a| =⇒ ∀a, b < |a| =⇏ ∃a; b = |a|.
v) Queremos provar: |ab| = |a| |b|
Separando em todos os casos poss´ıveis:
- Caso 1: a ≥ 0 e b ≥ 0 =⇒ ab ≥ 0 =⇒ |ab| = ab (*)
a ≥ 0 e b ≥ 0 =⇒ |a| = a, |b| = b =⇒ |a| |b| = ab (**)
Por () e (*) verificamos nesse caso que |ab| = |a| |b|.
ix) Queremos provar que |a + b| ≤ |a| + |b|, ∀a, b ∈ R.
- Primeiro vamos verificar que |a + b| = |a| + |b| ⇐⇒ ab ≥ 0 ⇐⇒ (a ≥ 0 e b ≥ 0) ou (a ≤ 0 e b ≤ 0). Verificando, |a + b| = |a| + |b| (ambos positivos, elevando ao quadrado, vale a equivalˆencia)
(|a + b|)
2 = (|a| + |b|)
provando e usando, |x|^2 = |x| |x| = |x x| = |x^2 | = x^2
(a + b) 2 = |a| 2
- 2|a| |b| + |b| 2 ⇐⇒ a 2
- 2ab + b 2 = a 2
- 2|ab| + b 2 ⇐⇒ ab = |ab| ⇐⇒ ab ≥ 0.
- Agora, supondo ab < 0, vamos provar que |a + b| < |a| + |b|.
Supondo que dois n´umeros possuem sinais contr´arios, ou seja, um ´e positivo e outro negativo, vamos chamar o
negativo de a e o positivo de b. Vamos verificar que a < 0 < b =⇒ |a + b| < |a| + |b|.
Calculando o lado direito da desigualdade: a < 0 < b =⇒ |a| = −a e |b| = b =⇒ |a| + |b| = −a + b. Agora, vamos supor os trˆes casos possiveis e excludentes:
I)
−b ≡
a
b
−a ≡
| (^) ou II) - −b
a
b
−a
ou
III)
a
−b
b
−a
I) ou II) −b ≤ a < 0 < −a ≤ b =⇒ −a ≤ b =⇒ 0 ≤ a + b =⇒ |a + b| = a + b () Mas, tamb´em temos que −b ≤ a < 0 < −a ≤ b =⇒ a < −a =⇒ a + b < −a + b = |a| + |b| () Por () e (**), |a + b| = a + b < −a + b = |a| + |b| =⇒ |a + b| < |a| + |b|
III) a < −b < 0 < b < −a =⇒ a < −b =⇒ a + b < 0 =⇒ |a + b| = −(a + b) = −a − b () Mas, tamb´em temos que a < −b < 0 < b < −a =⇒ −b < b =⇒ −a − b < −a + b = |a| + |b| () Por () e (**), |a + b| = −a − b < −a + b = |a| + |b| =⇒ |a + b| < |a| + |b|
x) Exerc´ıcio: prove a propriedade |a n | = |a| n , n ∈ N. Al´em disso, |a|
n = a n , n ∈ N, ∀n par.
3.1.5 Exemplos de resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes e inequa¸c˜oes com m´odulo, usando propriedades
Resolva as equa¸c˜oes ou inequa¸c˜oes:
- | 6 x − 9 | = 12
- | 6 x − 9 | = 12 |x − 1 |
- | 6 x − 9 | = 12 (x − 1)
- | 6 x − 9 | ≤ 12
- | 6 x − 9 | > 12
- | 6 x − 9 | < 12 (x − 1)
- | 6 x − 9 | ≥ 12 (x − 1)
- | 6 x − 9 | < 12 |x − 1 |
Resolu¸c˜oes:
- | 6 x − 9 | = 12 ⇐⇒ |3(2x − 3)| = 12
(v) ⇐⇒ | 3 || 2 x − 3 | = 12 ⇐⇒ 3 | 2 x − 3 | = 12 ⇐⇒ | 2 x − 3 | = 4 = | 4 |
(iii) ⇐⇒
I) 2 x − 3 = 4 ou II) 2 x − 3 = −4.
Resolvendo cada equa¸c˜ao,
I) 2 x − 3 = 4 ⇐⇒ 2 x = 7 ⇐⇒ x = 7/2.
II) 2 x − 3 = − 4 ⇐⇒ 2 x = − 1 ⇐⇒ x = − 1 / 2
solu¸c˜ao S = {− 1 / 2 , 7 / 2 }
- | 6 x − 9 | = 12 |x − 1 |
(v) ⇐⇒ 3 | 2 x − 3 | = 12 |x − 1 | ⇐⇒ | 2 x − 3 | = 4 |x − 1 |
(iii) ⇐⇒
I) 2x − 3 = 4(x − 1) ou II) 2x − 3 = −4(x − 1).
Resolvendo cada equa¸c˜ao,
I) 2 x − 3 = 4(x − 1) ⇐⇒ 2 x − 3 = 4x − 4 ⇐⇒ − 2 x = − 1 ⇐⇒ x = 1/2.
II) 2 x − 3 = −4(x − 1) ⇐⇒ 2 x − 3 = − 4 x + 4 ⇐⇒ 6 x = 7 ⇐⇒ x = 7/ 6
Solu¸c˜ao S = { 1 / 2 , 7 / 6 }
- | 6 x − 9 | = 12 (x − 1)
A equa¸c˜ao tem solu¸c˜ao se e s´o se x − 1 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 1,
ou seja, a equa¸c˜ao n˜ao tem solu¸c˜ao ∀x < 1, pois ̸∃ x; | 6 x − 9 | < 0.
Assim vamos supor x − 1 ≥ 0 e resolver a equa¸c˜ao.
| 6 x − 9 | = 12 (x − 1), x − 1 ≥ 0 ⇐⇒ 3 | 2 x − 3 | = 12 (x − 1), x − 1 ≥ 0 ⇐⇒ | 2 x − 3 | = 4 (x − 1), x − 1 ≥ 0
(iv) =⇒
I) 2x − 3 = 4 (x − 1) ou II) 2x − 3 = −4 (x − 1)
Resolvendo cada equa¸c˜ao,
I) 2x − 3 = 4 (x − 1) ⇐⇒ 2 x − 3 = 4x − 4 ⇐⇒ − 2 x = − 1 ⇐⇒ x = 1/ 2
II) 2x − 3 = −4 (x − 1) ⇐⇒ 2 x − 3 = − 4 x + 4 ⇐⇒ 6 x = 7 ⇐⇒ x = 7/ 6
Agora precisamos testar se cada solu¸c˜ao satisfaz a restri¸c˜ao, ou seja testar se x ≥ 1.
Como x = 1/ 2 < 1, x = 1/ 2 n˜ao ´e solu¸c˜ao.
Como x = 7/ 6 > 1, x = 7/ 6 ´e solu¸c˜ao.
Logo, a solu¸c˜ao S = { 7 / 6 }
- Na desigualdade podemos usar as propriedades vii) e como 12 > 0 na igualdade podemos usar a equivalˆencia
da propriedade (iv):
| 6 x − 9 | ≤ 12 ⇐⇒ − 12 ≤ 6 x − 9 ≤ 12 ⇐⇒ −12 + 9 ≤ 6 x ≤ 12 + 9 ⇐⇒ − 3 ≤ 6 x ≤ 21 ⇐⇒ − 1 / 2 ≤ x ≤ 7 / 2
Logo a solu¸c˜ao ´e o intervalo I =
[
1 2 ,^
7 2
]
- Podemos usar a propriedade viii):
| 6 x − 9 | > 12 ⇐⇒ I) 6 x − 9 < − 12 ou II) 6 x − 9 > 12
Resolvendo cada inequa¸c˜ao,
I) 6 x − 9 < − 12 ⇐⇒ 6 x < −12 + 9 ⇐⇒ 6 x < − 3 ⇐⇒ x < − 1 / 2
II) 6 x − 9 > 12 ⇐⇒ 6 x > 12 + 9 ⇐⇒ 6 x > 21 ⇐⇒ 2 x > 7 ⇐⇒ x > 7 /2.
Logo a solu¸c˜ao S ´e a uni˜ao de intervalos, S =
1 2
7 2
- Para resolver vamos aplicar a propriedade vii).
| 6 x − 9 | < 12 (x − 1) ⇐⇒ −12(x − 1) < 6 x − 9 < 12(x − 1)
Nesse caso ´e preciso separar as duas inequa¸c˜oes para ser poss´ıvel resolvˆe-las,
I) −12(x − 1) < 6 x − 9 e II) 6 x − 9 < 12(x − 1)
Resolvendo cada equa¸c˜ao,
I) −12(x − 1) < 6 x − 9 ⇐⇒ − 12 x + 12 < 6 x − 9 ⇐⇒ − 18 x < − 21 ⇐⇒ 6 x > 7 ⇐⇒ x > 7 / 6
e
II) 6 x − 9 < 12(x − 1) ⇐⇒ 6 x − 9 < 12 x − 12 ⇐⇒ − 6 x < − 3 ⇐⇒ x > 1 / 2
A solu¸c˜ao ´e a interse¸c˜ao das inequa¸c˜oes x > 7 / 6 e x > 1 /2 com x > 1.
Logo a solu¸c˜ao da inequa¸c˜ao ´e o intervalo I = (7/ 6 , ∞)
- Podemos aplicar a propriedade viii) para resolver a inequa¸c˜ao e a equivalˆencia da propriedade (iv), supondo
x − 1 ≥ 0. No final ´e preciso testar se a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao encontrada no final tamb´em ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao original.
| 6 x − 9 | ≥ 12 (x − 1) ⇐⇒ I) 6x − 9 ≤ −12(x − 1) ou II) 6 x − 9 ≥ 12(x − 1)
Resolvendo cada inequa¸c˜ao,
I) 6x − 9 ≤ −12(x − 1) ⇐⇒ 6 x − 9 ≤ − 12 x + 12 ⇐⇒ 18 x ≤ 21 ⇐⇒ x ≤ 7 / 6
ou
II) 6x − 9 ≥ 12(x − 1) ⇐⇒ 6 x − 9 ≥ 12 x − 12 ⇐⇒ − 6 x ≥ − 3 ⇐⇒ x ≤ 1 / 2
Logo a uni˜ao de I) e II) ´e a intervalo x ≤ 7 /6.
- f (x) = 2 + |x| O gr´afico de f ´e uma transla¸c˜ao vertical do gr´afico de y = |x|, de 2 unidades para cima.
- f (x) = | 2 x − 3 | − 4 |x − 1 |
Como n˜ao h´a nenhuma propriedade de igualdade relativa a soma ou subtra¸c˜ao de m´odulos, nesse caso a ´unica op¸c˜ao ´e usar a defini¸c˜ao de m´odulo para abrir | 2 x − 3 | e |x − 1 |.
Usaremos tabela para facilitar as contas nos intervalos onde abrimos os m´odulos.
x < 1 x = 1 1 < x < 3 / 2 x = 3/ 2 x > 3 / 2 | 2 x − 3 | − 2 x + 3 1 − 2 x + 3 0 2 x − 3 4 |x − 1 | − 4 x + 4 0 4 x − 4 2 4 x − 4
| 2 x − 3 | − 4 |x − 1 | 2 x − 1 1 -6x+7 -2 − 2 x + 1
3.2 Completando o quadrado
Uma t´ecnica de simplifica¸c˜ao de express˜oes bastante ´util ´e baseada nos seguintes produtos not´aveis:
(a + b) 2 = a 2
- 2ab + b 2 e (a − b) 2 = a 2 − 2 ab + b 2 .
3.2.1 A t´ecnica de completar o quadrado
Observe que:
E(x) = 9x 2 − 42 x + 49 = 9x 2 − 2 · (3x) · 7 + 49 ´e exatamente o quadrado de (3x − 7) e tamb´em E(x) = 1 9 x
2
4 3 x^ + 4 =^
1 9 x
2
1 3 x
2 + 4 ´e o quadrado perfeito de
1 3 x^ + 2
Agora, veja os exemplos:
Exemplo 1 E(x) = 9x 2
- 12x n˜ao ´e o quadrado perfeito de uma express˜ao do tipo ax + b.
Qual ´e o n´umero k que devemos somar a E(x) = 9x 2
- 12x de forma que uma nova express˜ao F (x) = E(x) + k seja o quadrado perfeito de uma express˜ao do tipo ax + b?
Para descobrir quais s˜ao os valores de a e b, vamos reescrever a express˜ao E(x):
E(x) = 9x 2
- 12x 2 = (3x) 2
- 2 · (3x) · 2.
Como 9 x 2 = (3x) 2 e 12 x 2 = 2 · (3x) · 2, conclu´ımos que a = 3 e b = 2.
O n´umero que devemos somar ´e k = b^2 = 2^2 = 4
e a nova express˜ao ´e F (x) = (3x)^2 + 2 · (3x) · 2 + 4 = (3x + 2)^2.
Observe que se somamos k = 4 e subtra´ımos k = 4, na expresss˜ao E(x), ela n˜ao se altera,
E(x) = 9x^2 + 12x = (3x)^2 + 2 · (3x) · 2 = (3x)^2 + 2 · (3x) · 2 + 4 − 4 = (3x + 2)^2 − 4
Exemplo 2 Considere a express˜ao E(x) = x^2 + 7x + 5.
Qual ´e o n´umero k que devemos somar a x^2 + 7x tal que x^2 + 7x + k seja o quadrado perfeito de uma express˜ao do tipo ax + b?
x^2 + 7x = x^2 + 2 · (x) ·
7 2
, assim, k =
7 2
4
Logo, x^2 + 7x + k = x^2 + 2 · (x) ·
7 2
49 4
x + 7 2
Observe que podemos somar e subtrair o n´umero 49 4 na primeira express˜ao entre parˆenteses abaixo, que ela n˜ao se altera.
E(x) = x 2
x 2
7 2
x 2
7 2
49 4 −^
49 4
x + 7 2
49 (^4 + 5 = x + 7 2
29
Generalizando, encontramos o m´etodo conhecido por ′′completar o quadrado′′.
Dada uma express˜ao do tipo E(x) = ax 2
- bx + c (trinˆomio de grau 2, a ̸= 0)
sempre podemos reescrever na forma E(x) = a(x + m) 2
- n realizando os seguintes procedimentos:
(i) Reescrever E(x) = ax 2
x 2
b a x
(ii) Reescrever x 2
b a x^ =^ x
2
somar e subtrair b^2 4 a^2 para obter um quadrado perfeito menos uma constante,
x 2
b a x^ =^ x
2
b^2 4 a^2 −^
b^2 4 a^2 =^
x + b 2 a
b^2 4 a^2.
(iii) Substituir a express˜ao encontrada em (ii) na express˜ao de E(x), mais `a direita em (i)
E(x) = a
x + b 2 a
b^2 4 a^2
x + b 2 a
b^2 4 a^2
x + b 2 a
b^2 − 4 ac 4 a
Logo encontramos m = b 2 a e^ n^ =^ −
b^2 − 4 ac 4 a
Aten¸c˜ao: o objetivo foi provar que ´e poss´ıvel encontrar m e n em termos de a, b, c. N˜ao ´e uma boa id´eia mem- orizar essas f´ormulas para completar o quadrado, ´e mais simples aplicar nos exemplos o mesmo procedimento descrito acima.
Exemplos
- 4x^2 + 40 x − 100 = 4
x^2 + 10 x
x^2 + 2 · x · 5
x^2 + 2 · x · 5 + 25 − 25
x 2
− 100 − 100 = 4 (x + 5)
2 − 100 = 4 (x + 5)
2 − 200
4 − 3 x − x^2 = 27 4
3 x + x^2
4
x^2 + 2 · x · 3 2
4
x^2 + 2 · x · 3 2
4
4
27 4
x^2 + 2 · x · 3 2
9 4
9 4
27 4
x + 3 2
9 4
x + 3 2
x + 3 2
3.2.2 O gr´afico do trinˆomio de grau 2
Um trinˆomio de grau 2 ´e uma express˜ao do tipo: E(x) = ax^2 + bx + c a, b, c ∈ R, constantes , a ̸= 0, x ∈ R
Sabemos da Geometria Anal´ıtica que a equa¸c˜ao y = ax^2 representa uma par´abola com v´ertice na origem e
o eixo da par´abola ´e coincidente com o o eixo y.
Al´em disso, quando a > 0 a concavidade da par´abola ´e voltada para cima e quando a < 0 a concavidade da par´abola ´e voltada para baixo.
Podemos completar o quadrado na express˜ao ax 2
- bx + c, vamos encontrar valores para h e k de forma a
reescrever a express˜ao, ax 2
Assim, y = ax 2
- bx + c ⇐⇒ y = a(x − h) 2
- k ⇐⇒ y − k = a(x − h) 2
A equa¸c˜ao y = ax 2
- bx + c representa uma transla¸c˜ao da par´abola y = ax 2 , ou seja, ´e uma par´abola cujo
v´ertice ´e V = (h, k) e, al´em disso, a concavidade ´e para cima quando a > 0 e para baixo quando a < 0.
Exemplos:
- Vamos identificar a par´abola de equa¸c˜ao y = 4x 2 + 40 x − 100.
No exemplo 1 da se¸c˜ao anterior j´a completamos o quadrado dessa express˜ao, logo
y = 4x 2 +40 x− 100 ⇐⇒ y = 4 (x + 5)
2 − 200 ⇐⇒ y+200 = 4 (x + 5)
2 ⇐⇒ y−(−200) = 4 (x − (−5))
2 .
Essa equa¸c˜ao representa uma par´abola de v´ertice V = (− 5 , −200), com concavidade voltada para cima.
3.3 Raiz quadrada e raiz c´ubica
3.3.1 Raiz quadrada e raiz c´ubica: defini¸c˜oes
Defini¸c˜ao - Raiz quadrada ou raiz
Dado a ∈ R; a ≥ 0, a raiz quadrada de a ´e o ´unico b ∈ R, indica-se
a = b, tal que b 2 = a e b ≥ 0.
Defini¸c˜ao - Raiz c´ubica
Dado a ∈ R, a raiz c´ubica de a ´e o ´unico b ∈ R, indica-se 3
a = b, tal que b^3 = a.
Observa¸c˜oes:
- A equa¸c˜ao x^2 = 9 tem duas solu¸c˜oes, x = ±3, pois x = 3 =⇒ x^2 = 3^2 = 9 e x = −3 =⇒ x^2 = (−3)^2 = 9. √ 9 = 3 e
9 ̸= − 3 pois 3 2 = 9 e 3 > 0, (−3) 2 = 9, mas − 3 < 0.
- O n´umero a ´e chamado de radicando tanto na raiz quadrada quanto na raiz c´ubica.
- Na raiz quadrada o radicando ´e necessariamente positivo ou nulo, na raiz c´ubica n˜ao h´a restri¸c˜ao.
- O processo de encontrar a raiz quadrada ou raiz c´ubica se chama de radicia¸c˜ao.
- Considere a = x^2. Sabemos que x^2 ≥ 0 , ∀x ∈ R, logo sempre ser´a poss´ıvel determinar
x^2 , ∀x ∈ R. √ x^2 = b ⇐⇒ b 2 = x 2 e b ≥ 0
Sabemos que b 2 = x 2 ⇐⇒ b = x ou b = −x, isto ´e, essas s˜ao as duas ´unicas candidatas a ra´ızes de x 2 .
Suponha que x ≥ 0. Nesse caso, b = x ≥ 0 e b 2 = x 2 =⇒
x^2 = x.
Suponha que x < 0. Nesse caso, b = −x > 0 e b^2 = (−x)^2 = x^2 =⇒
x^2 = b = −x.
Acabamos de provar que
x^2 = |x|
3.3.2 Raiz quadrada e raiz c´ubica: propriedades
Dados a, b ∈ R, valem as propriedades:
A1)
a^2 = |a|, ∀a ∈ R B1)
3
a^3 = a, ∀a ∈ R
A2)
ab =
a
b a ≥ 0 e b ≥ 0 B2)
3
ab = 3
a
3
b
A3) (
a)
2 = a a ≥ 0 B3) ( 3
a)
3 = a A4)
ab =
−a
−b a ≤ 0 e b ≤ 0 B4) 3
ab = 3
−a 3
−b
A5)
a
b
a √ b
a ≥ 0 e b > 0 B5) 3
a
b
3
a √ 3 b
, b ̸= 0
A6)
a
b
−a √ −b
a ≤ 0 e b < 0 B6) 3
a
b
3
−a 3
−b
, b ̸= 0
A7) 0 ≤ a = b ⇐⇒
a =
b B7) a = b ⇐⇒ 3
a =
b
OBS. a = b ̸=⇒
a =
b pois, caso a < 0 e a = b =⇏ ∃
a
A8) 0 ≤ a < b ⇐⇒
a <
b B8) a < b ⇐⇒
a <
3
b
OBS. a < b ̸=⇒
a <
b pois, caso a < 0 e a < b =⇏ ∃
a A9)
a + b <
a +
b, ∀a, b > 0 B9) 3
a + b < 3
a + 3
b, ∀a, b > 0
Exemplos de simplifica¸c˜oes de expresss˜oes:
- Para x ̸= 1,
3
(x − 1)^3
x − 1
x − 1
x − 1
- Para x ̸= 1,
(x − 1)^2
x − 1
|x − 1 |
x − 1
- Para x ̸= 1,
3
(x − 1)^6
x − 1
3
((x − 1)^2 )
3
x − 1
(x − 1)^2
x − 1
= x − 1
- Para x ̸= 1,
(x − 1)^6
x − 1
((x − 1)^3 )
2
x − 1
(x − 1) 3
x − 1
(x − 1) 2 (x − 1)
x − 1
(x − 1) 2 |x − 1 |
x − 1
(x − 1) 2 |x − 1 |
x − 1
= (x − 1) |x − 1 |
- Para x ̸= 1,
(x − 1)^8
x − 1
((x − 1)^4 )
2
x − 1
(x − 1) 4
x − 1
(x − 1) 4
x − 1
= (x − 1)^3
- Para x > 1 ,
(x − 1)^7
x − 1
(x − 1)^3 )
2 (x − 1)
x − 1
(x − 1) 3
x − 1
x − 1
(x − 1)^3
x − 1
x − 1
= (x − 1)^2
x − 1
- Para x < 1 ,
(1 − x)^7
1 − x
(1 − x)^3 )
2 (1 − x)
1 − x
(1 − x) 3
1 − x
1 − x
−(1 − x)^3
1 − x
1 − x
= −(1 − x) 2
1 − x
3.3.3 Solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de segundo grau
As solu¸c˜oes da equa¸c˜ao: ax 2
- bx + c = 0, a, b, c ∈ R, constantes , a ̸= 0, x ∈ R.
De acordo com o que foi visto anteriormente, ao completar o quadrado na expresss˜ao ax 2
aparece no lado esquerdo da primeira igualdade abaixo, obtemos a express˜ao do lado esquerdo da segunda equa¸c˜ao
(sabemos que a ̸= 0),
ax 2
a
x +
b
2 a
b^2 − 4 ac
4 a
a
x +
b
2 a
b^2 − 4 ac
4 a
x +
b
2 a
b 2 − 4 ac
4 a^2
Para que essa equa¸c˜ao tenha solu¸c˜ao ´e preciso que
b 2 − 4 ac
4 a^2
≥ 0 porque sabemos que
x +
b
2 a
Mas, como 4 a 2
0, para que essa equa¸c˜ao tenha solu¸c˜ao ´e preciso que ∆ = b 2 − 4 ac ≥ 0.
Quando h´a solu¸c˜ao, temos dois casos a considerar: b 2 − 4 ac = 0 ou b 2 − 4 ac > 0.
- Quando b^2 − 4 ac = 0, resolvendo a equa¸c˜ao, temos que:
(
x +
b
2 a
= 0 ⇐⇒ x +
b
2 a
= 0 ⇐⇒ x = −
b
2 a
- Quando b^2 − 4 ac > 0, resolvendo a equa¸c˜ao, temos que:
(
x +
b
2 a
b^2 − 4 ac
4 a^2
x +
b
2 a
b^2 − 4 ac
4 a^2
x +
b
2 a
b^2 − 4 ac √ 4 a^2
x +
b
2 a
b^2 − 4 ac
2
a^2
3.3.5 An´alise de sinal do trinˆomio de grau 2
A an´alise de sinal de E(x) = ax^2 + bx + c pode ser dividida de acordo com os trˆes tipos de solu¸c˜ao da equa¸c˜ao.
- Se a equa¸c˜ao E(x) = ax 2 + bx + c = 0 possui duas ra´ızes distintas, x =
−b ±
b^2 − 4 ac
2 a
Considerando que as ra´ızes s˜ao x 1 < x 2.
Pela afirma¸c˜ao 1 da se¸c˜ao anterior, ax^2 + bx + c = a (x − x 1 ) (x − x 2 )
Logo, para a > 0:
x x < x 1 x 1 x 1 < x < x 2 x 2 x > x 2
a + + + + + x − x 1 − 0 + + + x − x 2 − − − 0 +
ax 2
- bx + c = a (x − x 1 ) (x − x 2 ) + 0 − 0 +
Logo, para a < 0:
x x < x 1 x 1 x 1 < x < x 2 x 2 x > x 2 a − − − − −
x − x 1 − 0 + + + x − x 2 − − − 0 +
ax 2
- bx + c = a (x − x 1 ) (x − x 2 ) − 0 + 0 −
- Se a equa¸c˜ao E(x) = ax 2 + bx + c = 0 possui apenas uma solu¸c˜ao x 1 =
− b
2 a
, pela afirma¸c˜ao 2 da se¸c˜ao
anterior, ax 2
Logo, para a > 0:
x x < x 1 x 1 x > x 1 a + + +
(x − x 1 )
2
ax^2 + bx + c = a (x − x 1 )
2
Logo, para a < 0:
x x < x 1 x 1 x > x 1 a − − −
(x − x 1 )
2
ax 2
2 − 0 −
- Se a equa¸c˜ao E(x) = ax 2 + bx + c = 0 n˜ao possui solu¸c˜ao, pela afirma¸c˜ao 3 da se¸c˜ao anterior, o sinal de E(x) = ax 2
- bx + c s´o depende do sinal de a.
Logo, para a > 0: x x ∈ R
a + ax 2
Logo, para a < 0: x x ∈ R
a − ax 2
EXEMPLOS
- Vamos encontrar o dom´ınio da express˜ao E(x) =
x^2 − 4 √ x − 2
e encontrar todos os valores de x em que a
identidade
x^2 − 4 √ x − 2
x + 2 ´e verdadeira.
D = Dom´ınio de E(x): x; x^2 − 4 ≥ 0 e x − 2 > 0.
x^2 − 4 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 2 ou x ≤ −2.
x − 2 > 0 ⇐⇒ x > 2.
Logo D = (2, ∞).
Usando propriedades de raiz,
x^2 − 4 √ x − 2
(x − 2)(x + 2) √ x − 2
x − 2
x + 2 √ x − 2
x + 2.
Mas para que a identidade seja verdadeira ´e preciso que todas as express˜oes da identidade sejam definidas.
Para isso, ´e preciso que x 2 − 4 ≥ 0 , x − 2 > 0 , x + 2 ≥ 0.
Fazendo as interse¸c˜oes das solu¸c˜oes das trˆes inequa¸c˜oes, conclu´ımos que x > 2.
- Observe que a simplifica¸c˜ao do item (a) est´a correta e a do item (b) est´a errada.
(a)
x^4 − 2 x^2
x
x^2 (x^2 − 2)
x
x^2
x^2 − 2
x
|x|
x^2 − 2
x
. Logo,
Quando x > 0 ,
x^4 − 2 x^2
x
x
x^2 − 2
x
x^2 − 2
Quando x < 0 ,
x^4 − 2 x^2
x
−x
x^2 − 2
x
x^2 − 2
(b)
12 x^8 + 4x^6
x^3
4 x^6 (3x^2 + 1)
x^3
4 x^6
3 x^2 + 1
x^3
3 x^2 + 1
O erro nessa simplifica¸c˜ao ocorreu quando x 6 dentro da raiz do numerador foi cancelado com x 3 do denominador. N˜ao ´e poss´ıvel fazer isso porque
x^6 = x 3 apenas no caso em que x ≥ 0, mas no caso em
que x < 0, temos que
x^6 =
(x^3 )
2 = x 3 = −x 3 .
- Vamos resolver a equa¸c˜ao (x − 3) 2 = 5 sem elevar ao quadrado, usando propriedades de raiz.
Como (x − 3) 2
0 e 5 > 0, pela propriedade A7), temos
(x − 3) 2 = 5 ⇐⇒
(x − 3)^2 =
5 ⇐⇒ |x − 3 | =
5 ⇐⇒ x − 3 =
5 ou x − 3 = −
x = 3 +
5 ou x = 3 −
Resolvendo a mesma equa¸c˜ao de outra forma, elevando ao quadrado o termo (x − 3), encontraremos
x^2 − 6 x + 4 = 0, resolvendo, x =
Naturalmente as solu¸c˜oes s˜ao as mesmas, n˜ao importa como a equa¸c˜ao foi resolvida.
- A partir do produto not´avel a n − b n = (a − b)(a n− 1 + a n− 2 b + · · · + ab n− 2 + b n− 1 ) podemos obter novas identidades, por exemplo:
(a) (a − b)(a + b) = a^2 − b^2 , a =
x, b =
y =⇒
x −
y
x +
y
x)
2 −
y
Logo, como (
x)
2 = x e
y
= y, conclu´ımos que
x −
y
x +
y
= x − y
(b) (a − b)(a 2
- ab + b 2 ) = a 3 − b 3 , a = 3
x, b = 3
y =⇒
3
x − 3
y
x)
2
x 3
y +
3
y
x)
3 −
3
y
. Conclu´ımos que
3
x − 3
y
x)
2
x 3
y +
3
y
= x − y.
(c) (a − b)(a 2
- ab + b 2 ) = a 3 − b 3 , a = 3
1 − 2 x, b =
3
x^2 =⇒ ( 3
1 − 2 x −
3
x^2
3
1 − 2 x
3
1 − 2 x
3
x^2 +
3
x^2
= 1 − 2 x − x 2
- Vamos resolver a inequa¸c˜ao:
−x
2 + 3
x
x^2 − 2
2 + 3
x
O dom´ınio da inequa¸c˜ao ´e a interse¸c˜ao das solu¸c˜oes de: I) −x ≥ 0; II) x^2 − 2 ≥ 0; III) 2 + 3
x ̸= 0.
I) −x ≥ 0 ⇐⇒ x ≤ 0
II) x^2 − 2 ≥ 0 ⇐⇒ x^2 ≥ 2 ⇐⇒
x^2 ≥
2 ⇐⇒ |x| ≥
2 ⇐⇒ x ≥
2 ou x ≤ −
III) 2 + 3
x ̸= 0 ⇐⇒ 3
x ̸= − 2 ⇐⇒ ( 3
x)
3 ̸ = (−2) 3 ⇐⇒ x ̸= −8.
Assim, o dom´ınio D = (−∞, −8) ∪ (− 8 , −
2 ].
Resolvendo a inequa¸c˜ao,
−x
2 + 3
x
x^2 − 2
2 + 3
x
−x −
x^2 − 2
2 + 3
x
Vamos usar tabela de sinais, para isso precisamos encontrar primeiro os valores de x ∈ D onde a expresss˜ao do numerador e a express˜ao do denominador se anulam e onde s˜ao positivas.
- Resolver a equa¸c˜ao:
x^50 +
x^27
x^5
Primeiro vamos simplificar a express˜ao,
x^50 +
x^27
x^5
10
(x^5 )
10
9
(x^3 )
9
x^5
16 |x^5 | + x^3
x^5
Sabemos que x 5
0 ⇐⇒ x > 0 =⇒ x 5 = x 5 e x 5 < 0 =⇒ x < 0 =⇒ x 5 = −x 5 .
Caso x > 0
16 |x 5 | + x 3
x^5
16 x 5
x^5
x^3
16 x^2 + 1
x^5
16 x 2
x^2
. Resolvendo a equa¸c˜ao,
16 x 2
x^2
= 0 ⇐⇒ 16 x^2 + 1 = 0 ⇐⇒ 16 x^2 = −1. Essa equa¸c˜ao n˜ao tem solu¸c˜ao em R.
Caso x < 0
16 |x^5 | + x^3
x^5
− 16 x^5 + x^3
x^5
x 3
− 16 x 2
x^5
− 16 x^2 + 1
x^2
. Resolvendo a equa¸c˜ao,
− 16 x 2
x^2
= 0 ⇐⇒ − 16 x 2
- 1 = 0 ⇐⇒ 16 x 2 = 1 ⇐⇒ x = ± 1
1 4 <^ 0 =⇒^ x^ =^ −^
1 4 ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao.^
1 4 >^ 0 =⇒^ x^ =^
1 4 n˜ao ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao.
