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Princ´ıpio da Incerteza
O desvio RMS na medida de toda observ´avel ´e dada por:
(∆A)
2
〈
ψ
∣
∣
∣(
A −
〈
A
〉
2
∣
∣
∣ ψ
〉
onde
〈
A
〉
e
〈
ψ
∣
∣
∣
A
∣
∣
∣ ψ
〉
com similar express˜ao para:
(∆B)
2
=
〈
ψ
∣
∣
∣(
B −
〈
B
〉
2
∣
∣
∣ ψ
〉
Desde que estamos tratando com grandezas observ´aveis supomos que am-
bas
A e
B s˜ao hermiteanas.
NB1/ Usando a mesma trilha como na prova da Desigualdades de Schwarz,
definimos o estado “ket” dado por:
η = (
A −
〈
A
〉
)ψ + iλ(
B −
〈
B
〉
)ψ (3)
onde λ ∈ R
E o mesmo para o “BRA”:
〈
η
∣
∣
∣=
〈
ψ(
A −
〈
A
〉
∣
∣
∣−iλ
〈
ψ(
B −
〈
B
〉
∣
∣
∣
O produto interno 〈η |η〉 ´e ent˜ao uma f (λ) e n˜ao negativa, 〈η |η〉 ≥ 0.
Logo:
0 ≤ I(λ) ≡ 〈η|η〉 =
〈
ψ(
A −
〈
A
〉
∣
∣
∣ (
A −
〈
A
〉
)|ψ
+i λ
〈
ψ(
A −
〈
A
〉
∣
∣
∣(
B −
〈
B
〉
) |ψ〉 − iλ
〈
ψ(
B −
〈
B
〉
∣
∣
∣(
A −
〈
A
〉
) |ψ〉
+λ
2
〈
ψ(
B −
〈
B
〉
∣
∣
∣(
B −
〈
B
〉
) |ψ〉
NB2/ Lembrando o fato que
A e
B s˜ao hermiteanos e que
〈
A
〉
e
〈
b
〉
s˜ao
portanto, REAIS, para mover todos os termos:
I(λ) =
〈
ψ(
A −
〈
A
〉
2 |ψ〉 + λ
2
〈
ψ
∣
∣
∣(
B −
〈
B
〉
2 |ψ〉
+i λ
〈
ψ(
A −
〈
A
〉
∣
∣
∣(
B −
〈
B
〉
) |ψ〉 − (
B −
〈
B
〉
A −
〈
A
〉
) |ψ〉
NB3/ Os segundos termos podem ser escritos como:
(∆A)
2
− λ
2
(∆B)
2
(4)
NB4/ O terceiro termo pode ser escrito como:
A −
〈
A
〉
B −
〈
B
〉
B −
〈
B
〉
A −
〈
A
〉
A
B −
B
A = [
A,
B] (5)
Com a simplifica¸c˜ao em vista do fato que um comutador de um operador
com todo n´umero complexo anular [c,
A] = 0, logo, o termo resultante tem a
forma:
λ
〈
ψ
∣
∣
∣[
A,
B]
∣
∣
∣ ψ
〉
= λ 〈ψ |F |ψ〉 (6)
Em que
F ≡ i[
A,
B] ´e um operador hermiteano e que tem necessariamente
esperan¸cas matem´aticas (valor esperado) REAIS.
Logo, I(λ) ´e reescrito em termos de quantidades REAIS, tal que:
I(λ) = (∆A)
2
2 (∆B)
2
〈
ψ
∣
∣
∣
F
∣
∣
∣ ψ
〉
Desde que isto, por constru¸c˜ao, ´e n˜ao negativo para todos os valores de
λ, ser´a ent˜ao no m´ınimo, ie para λ determinado por:
dI
dy
(λ min
) = 2λ min
(∆B)
2
〈
ψ
∣
∣
∣
F
∣
∣
∣ ψ
〉
ou
λ min
〈
ψ
∣
∣
∣
F
∣
∣
∣ ψ
〉
2(∆B)
2
NB5/ A desigualdade para este valor de λ pode ent˜ao ser escrito na forma
de um PRODUTO DE INCERTEZA, desde que, de (7):
I(λmin) = (∆A)
2
−
〈
ψ
∣
∣
∣
F
∣
∣
∣ ψ
〉
2(∆B)
2
2
(∆B)
2
−
〈
ψ
∣
∣
∣
F
∣
∣
∣ ψ
〉
2(∆B)
2
〈
ψ
∣
∣
∣
F
∣
∣
∣ ψ
〉
Que implica em:
(∆A)
2
〈
ψ
∣
∣
∣
A
∣
∣
∣ ψ
〉 2
4(∆B)
2
〈
ψ
∣
∣
∣
F
∣
∣
∣ ψ
〉
2(∆B)
2
〈
ψ
∣
∣
∣
F
∣
∣
∣ ψ
〉
E, multiplicando tudo por (∆B)
2 , fica:
(∆A)
2
(∆B)
2
〈
ψ
∣
∣
∣
F
∣
∣
∣ ψ
〉 2
〈
ψ
∣
∣
∣
F
∣
∣
∣ ψ
〉 2
〈
ψ
∣
∣
∣
F
∣
∣
∣ ψ
〉
