Baixe Introdução à Análise Matemática: Integração de Funções e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Capítulo 6
Integração Indefinida
6.1 Introdução
Na primeira parte do capítulo mostraremos como obter uma função conhecendo apenas a sua
derivada. Este problema é chamado de integração indefinida.
Definição 39. Uma função
é chamada uma primitiva da função
no intervalo se para todo
, tem-se:
Muitas vezes não faremos menção ao intervalo , mas a primitiva de uma função sempre será
definida sobre um intervalo.
Exemplos 93.
[1] Seja
, então
é uma primitiva de em , pois
.
"! (^) é também uma primitiva de em , pois
. Na verdade,
'& (^) , para todo & é primitiva de pois
.
[2] Seja
, então
2& (^) , para todo & é uma primitiva de . De fato,
. & +*-,
.
[3] Seja
Não existe função definida em todo cuja derivada seja igual a
. Por outro lado, considere
a seguinte função:
@A
B
A
C
%DE
F 9 % 87 9 :<;<=
;GF 9 %HI;0J
é uma função contínua em todo e
K
se
2 I9 :<;+
. Logo,
é uma primitiva
de em
9L:<;M
.
Em geral, uma função admite uma infinidade de primitivas sobre um intervalo. É o que
assegura a seguinte proposição:
227
228 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
Proposição 14. Seja
uma primitiva da função no intervalo. Então,
, & , é
também primitiva de no intervalo.
A pergunta natural que surge, a seguir, é: se
e são primitivas de uma função sobre um
intervalo, será que
e estão relacionadas de alguma forma? A resposta a esta questão é dada
pela seguinte proposição:
Proposição 15. Se
e são primitivas de uma função num intervalo , então existe & tal que
'& (^) , para todo
.
Prova: Seja
. )F
; então, para todo
, temos que:
F
F
. Como consequência do Teorema do Valor Médio, para todo
,
;
então, para todo
,
F
J
Em outras palavras, duas primitivas de uma função diferem por uma constante. Logo, se co-
nhecemos uma primitiva de uma função, conhecemos todas as primitivas da função. De fato,
basta somar uma constante à primitiva conhecida para obter as outras.
Exemplos 94.
[1] Seja
. Uma primitiva desta função é
G
M
; logo, toda primitiva de
é do tipo
-6 -4 -2 2 4 6
1
2
3
Figura 6.1: Gráficos de e algumas primitivas de &+*^ ,
.
[2] Seja
. Uma primitiva desta função é
; logo, toda primitiva de
é do tipo
Definição 40. Seja
uma primitiva da função
no intervalo. A expressão
é
chamada a integral indefinida da função e é denotada por:
Note que
230 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
imediatas. Esta lista pode ser comprovada derivando cada resultado da integral e consultando
a tabela de derivada. Por exemplo, na tabela de derivadas do capítulo anterior temos que:
então
&
J
No entanto, não incluimos como imediatas, por exemplo, integrais do tipo 1
, pois não
é evidente encontrar uma função que tem como derivada ^1
. Para resolver este impasse,
estudaremos os chamados métodos de integração , que nos permitirão calcular integrais não
imediatas.
6.2 Tabela
Usaremos como variável independente .
^1
F
F
^ !
L9#" >
, (
5 )
6. ,0/^
(^)
F
(^)
(^)
8. ,0/^ &
(^)
9. &* ,/&^
(^)
(^)
F
(^)
(^)
10. ,0/^ &
(^)
(^)
(^)
(^)
(^)
11. &* ,/&^
(^)
(^)
(^)
(^)
F
(^)
$ %
& M, /M
(^)
%
&
% $
& +, /&
(^)
15. ,/M1'&^
(^)
(^)
16. &+*^ ,(&^
(^)
M1'&
(^)
17. ,/&)&^
(^)
&
18. &+^ ,0/^ &&^
(^)
F
(^) &
(^)
19. ,/&)&^
(^)
(^) &
(^)
(^)
F
(^)
20. &+^ ,0/^ &&^
(^)
(^) &
(^)
(^)
F
(^)
(%^
(^)
%$
&
(^)
$ (%
F
K9
(^)
Métodos de Integração
Nas próximas seções apresentaremos os métodos mais utilizados que nos permitirão determi-
nar uma grande quantidade de integrais não imediatas. O primeiro a ser estudado se baseia na
regra da cadeia.
6.3 Método de Substituição
Sejam
uma primitiva de num intervalo e uma função derivável tal que
,+ esteja
definida. Usando a regra da cadeia; temos,
. Logo,
6.3. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO 231
é uma primitiva de
, então:
fazendo
, tem-se
; substituindo na expressão anterior:
Exemplos 96.
Calcule as seguintes integrais:
[1]
J Fazendo
, então
. Substituindo na integral:
^1
^1
J
[2] , /M^
J
Fazendo
,0/^
, então
&+*^ ,
. Substituindo na integral:
,/M
,0/^
J
[3]
(^). Fazendo
^ , então
ou, equivalentemente,
. Substi-
tuindo na integral:
(^)
(^)
F
F
J
[4]
. Fazendo
, então
. Substituindo na integral:
, / &
(^)
(^)
'&
J
[5]
. Fazendo
^1
, então
(^) . Substituindo na integral:
^1
J
[6]
. Reescrevemos a integral fazendo:
(^) ! !
. Se
,
então
F
,/M^
(^)
ou, equivalentemente,
F
,/M^
(^)
. Substituindo na integral:
,/M^
(^)
F 5
F 5
F
(^)
J
6.3. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO 233
6.3.2 Integrais que Envolvem Produtos e Potências de Funções Trigonométricas
Exemplos 98.
Calcule as seguintes integrais:
[1] ,0/^
(^)
. Se
, utilizamos ,/M^
(^)
M
(^) $ !
!
$ ^
!
! ;
então:
M
(^)
M
5
(^)
F
)F & +* ,
(^)
,0/
(^)
F
F
F
M
(^)
^
J
Se
, utilizamos ,/M^
(^)
) $ ^
! ; então:
,/M
(^)
F
F , /M^
[2] , /M^
. Como ,0/^
F
, fazendo
, temos
e:
, /M
M
F
M
F
F
F
, /M^
F
, 0/1 (^)
M
J
[3]
. Fatorando
)F
;
)F
& +*-,
&
J
[4] , /&^
J
(^)
E,0/ &
E,0/ &
,0/^ &
E,0/ &
J
Fazendo
,/&^
, temos
,0/^ &
. Substituindo na integral:
E,0/ &
^1
2&^
J
Estes exemplos nos mostram que para determinar a primitiva de uma integral que envolve
produtos ou potências de funções trigonométricas é necessário, em primeiro lugar, transfor-
mar a função a integrar por meio de identidades trigonométricas conhecidas, para depois usar
alguns dos métodos.
234 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
6.4 Método de Integração por Partes
Sejam e funções deriváveis no intervalo. Derivando o produto
:
ou, equivalentemente,
F
. Integrando ambos os lados:
F
fazendo:
e
, temos:
e
. Logo:
F
Este método de integração nos permite transformar a integração de
na integração de
.
É importante saber “escolher” a substituição e
na integral de partida. Devemos escolher
tal que permita determinar
. As expressões de e
devem ser mais simples que as de e , respectivamente.
Exemplos 99.
Calcule as seguintes integrais:
[1] ^1
. Façamos
^1
e
; então,
e
; logo:
^1
F
)F (
F
J
[2]
. Façamos
e
/
; então,
e
; logo:
F
F 5
F /
J
[3]
, /M^
. Façamos
e
, / M
; então,
e
F
&+*^ ,
; logo:
, /M
F
FK
J
Calculemos agora
&+*^ ,
, novamente por partes. Fazendo
e
& +* ,
, temos
e
,/M^
; logo:
F
F
M
J
Então:
,/M^
F
J
236 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
Integrando por partes: fazemos
e
/
; então,
e
:
% 5
/
F
/
F
F
%
F
J
[7]
, /M^
. Aqui usamos, novamente, os dois métodos:
Substituição: seja
; então,
. ou
e
;
, / M
J
Integrando por partes: fazemos
e
, 0/
; então,
e
F
:
,/M
, 0/
) 5
F
F
J
6.5 Método de Substituição Trigonométrica
Este método é usado quando a expressão a integrar envolve alguns dos seguintes tipos de
radicais:
9 F
9
F
onde
"
.
Caso 1:
.
Para
F
, seja
,/M^
(^) ; então,
&+*^ ,
. Logo
9 F
&+*^ ,
(^).
Denotando por &
9 F :
θ
a u
c
Figura 6.2: Caso 1
Caso 2:
.
Para
F
D D , seja
; então,
,0/^ &
. Logo
9
, /&^
(^).
Denotando por
9 :
6.5. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 237
θ a
d u
Figura 6.3: Caso 2
Caso 3:
.
Para
D
ou
D
, seja
, /&^
(^) ; então,
,0/^ &
. Logo
F 9 9
. Denotando por /
F
:
θ a
u e
Figura 6.4: Caso 3.
Exemplos 100.
Calcule as seguintes integrais:
[1]
9 F .
Seja
M
(^) ; então,
9 & +* ,
;
F
e
9 F 9 &+*^ ,
(^).
9 F 9 & +* ,
5
M
J
,/M
(^) e
F
(^)
; então,
& M,0/
(^) ; estamos no caso 1: θ
a x
c (^) onde
9 F
; logo, , /M^
e &*,
. Substituindo no resultado da integral:
9 F
9 & M,0/
9 F '&
J
[2]
. Seja^
; então,
E , 0/ &
;
F D D
. Em tal caso
(^) :
, / &
% , /&
5
, /&^
M
J
6.5. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 239
Se
" , então ,/&^
" (^5) e
& M,0/ &
(^) , onde
D
D
. Se
ED F
, então , /&^
D F
5 e
& +, /&
(^) , onde
D D
. Mas
D
D
e ,/&^
F
(^) ; logo, para D F
,
F
M,0/ &
(^) , onde
D
D
; substituindo no resultado da integral:
i)
" :
F
(^)
9 & M, /&
(^)
F 5
'&
J
ii)
%D F
:
F
(^)
F 9 & M,0/ &
M
F
'&
(^) onde &
'&^.
[6]
F
) F %
. Primeiramente completamos os quadrados:!
F
)F F(
;
fazendo
, temos
. Substituindo na integral:
F )#F
%
F
%
J
Seja
,/M^
(^) ; então
&+*^ ,
;
F
D
D
e
F
%
&+*^ ,
(^).
F )F
%
(^)
J
Estamos no caso 1:
$ %
$
$ %
. Substituindo no resultado da integral:
F )F
%
!
F )#F^
J
[7]
. Completando os quadrados:^
(!^
L 5
; fazendo
, temos
. Substituindo na integral:
)
F
J
Seja
! ; então
,/&^
e
5
,0/^ &
(^) :
F
^ 5
F
,/&
F
(^)
) '&
J
Estamos no caso 2:
e ,/&^
'! (^). Substituindo no resultado
da integral:
)
E!
5
)
F 5
)
5
J
240 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
6.6 Método para Integração de Funções Racionais
Um polinômio
de coeficientes reais pode ser sempre expresso como um produto de fatores
lineares e/ou quadráticos. Naturalmente esta decomposição depende essencialmente do grau
de
.
i)
#F 9 F 9 JJJJJJJJJJ F 89
ou
ii)
. F 9 #F8; JJJJJJJJF ; ou
iii)
9
F JJJJJJ F
ou
iv)
. 9.
#F JJJJJJF
.
Exemplos 101.
[1]
( F
F F
.
[2]
(
.
[3]
(GF
F
F
.
[4]
(
F
F
F
F
F
.
Seja uma função racional
! !
. A decomposição de uma função racional em frações mais sim-
ples, depende do modo em que o polinômio
se decompõe em fatores lineares e/ou qua-
dráticos. Se numa função racional o grau de
é maior ou igual ao grau de
, então
podemos dividir os polinômios. De fato, se
9
KH
então
onde
D
; então,
! !
! !
J
Logo, basta estudar o caso em que:
D
pois, caso contrário efetuamos a divisão dos polinômios.
Caso 1:
se decompõe em fatores lineares distintos.
F 9 +F 9 JJJJJJ F
onde
são distintos dois a dois; então
#F 9
F 9
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
F
onde
: : JJJJJJJ são constantes a determinar.
F 9
#F 9
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
#F 9
J
Calculemos
F 9 .
242 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
Aplicando o método à última parcela da direita, calculemos
K
F
F
F F
. Primei-
ro observemos que
GF F
( #F
:
) F
F
F F
#F
F
F
F F
J
Comparando os numeradores:
) F
F
F
F
;
as raízes do polinômio
são
,
e
F
; agora substituimos cada raiz na última
expressão.
Se
, então,
; se
então,
F e se
F
, então,
. A fração inicial
pode ser decomposta em:
) F
F
F F
F
F
J
Pelo Caso 1, temos:
K
)F
F
. A integral procurada é:
^1
F
^1
#F
J
Nos exemplos anteriores a forma de determinar os coeficientes é equivalente a resolver um
sistema de equações.
Consideremos o exemplo 2.
) F
F
F
F
.
Ordenando o segundo membro em potências de
, temos:
) F
KF
F
F
6F
Comparando os polinômios e sabendo que dois polinômios são
iguais se e somente se os coeficientes dos termos do mesmo grau são iguais, temos que resolver
o seguinte sistema:
A
B
AC
.
F
(^)
5
:
que tem como solução:
,
F e
[3]
F ^
(^).
D
; e
F
F 89
; aplicando o método:
F
F 9
F
F 89
J
Comparando os numeradores: 5
F
E9
; as raízes do polinômio
são
e
F
K
; agora substituimos cada raiz na última expressão. Se
, então,
e
se
F
, então,
F
. A fração inicial pode ser decomposta em:
F 89
F 9
F
J
Pelo Caso 1, temos:
6.6. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 243
F 89
^1
F
9 )F
9
F
^
(^) '&
Aplicamos esta última fórmula para completamento de quadrados.
Exemplos 103.
Calcule as seguintes integrais:
[1]
F . Como
F
#F F :
F
#F F
J
Fazendo
(#F
,
temos
. Substituindo:
F
F
^1
F
^
'&
F
'&
onde as últimas igualdades são obtidas pela fórmula anterior.
[2]
F F . Completando os quadrados!
F
% F FE
e fazendo
,
temos
. Substituindo:
F F
F
F
F
^1
F
'&^
F
#F
'&
onde as últimas igualdades são obtidas pela fórmula anterior.
Caso 2 :
se decompõe em fatores lineares, alguns deles repetidos.
Seja
F89
o fator linear de
de multiplicidade
e
a maior potência da fatoração. Então,
a cada fator linear repetido associamos uma expressão do tipo:
F 9
F89
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
F 9
onde
: : JJJJJJJ são constantes a determinar. Em tal caso, integrando esta expressão obte-
mos:
^1
F89 F
#F 9
J
J
J
J
J
J
J
5
F + F89 $
Os fatores lineares não repetidos são tratados como no caso 1.
Exemplos 104.
Calcule as seguintes integrais:
[1]
)
. Como
9
D
e
. O fator
5
tem multiplicidade 2 e o fator
é como no caso 1.
J
6.6. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 245
onde
: são constantes a determinar. Os fatores lineares são tratados como no caso 1 e 2.
Exemplos 105.
Calcule as seguintes integrais:
[1] Calcule
.
Primeiramente observamos que
9
D
. Fatorando
)
. O único fator quadrático irredutível é
; o fator
5 é como no caso 1.
J
Comparando os numeradores:
^
(^). A raiz
real do polinômio
é
F
; agora substituimos esta raiz na última expressão. Se
F
,
então
!. Formamos o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dos
polinômios:
, logo
e
^
(^) implica em
.
J
Portanto:
6 !
'& (^) , onde a última inte-
gral é resolvida usando substituição simples.
[2] Calcule
!
F
.
Primeiramente observamos que
9
D
. Fatorando
#F
F
. O único fator quadrático irredutível é
. O fator
F
5 é como
no caso 1.
E!
F
F
J
Comparando os numeradores:
!
F
L
F
F ;
a raiz real do polinômio
é
5 ; substituindo esta raiz na última expressão: Se
I
,
então
. Formamos o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dos
polinômios:
; logo
e
F
; logo
. Então:
E!
F
#F
(^)
logo:
246 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
^1
F 5
onde a última integral é resolvida usando substituições; de fato:
5
.
Então, considere
; logo
e:
^
^
^
^
^
J
A segunda integral é imediata, pois:
^
&
'&
&
5
'&
J
Na primeira integral fazemos
; logo
:
^
^1
&
e:
5 5 ^1
#F 5
(^)
5
'& (^).
[3] Calcule
5 5
F
. Observemos que
D
;
e
) 5
são fatores quadráticos irredutíveis. Temos:
^
F
5
(^)
J
Comparando os numeradores:
5 5
F
)
(^).
Formando o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dos polinômios:
@A
A
A
A
B
A
A
A
AC
^
5 5
F
Resolvendo o sistema:
5 ,
F
e
F
; logo:
^
F
F
#F
J
Integrando, após a decomposição da função integranda, obtemos quatro integrais, a primeira é
resolvida por substituição simples, a segunda é imediata, a terceira e quarta são resolvidas por
completamento de quadrados.
^1
5
F
M
KF 9 &
J
