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Capítulo 8
INTEGRAÇÃO DUPLA
8.1 Integração Dupla sobre Retângulos
Denotemos por R = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R^2 /a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} um retângu- lo em R^2. Consideremos P 1 = {x 0 , x 1 , ...., xn} e P 2 = {y 0 , y 1 , ...., yn} partições de ordem n de [a, b] e [c, d] respectivamente, tais que:
a = x 0 < x 1 <...... < xn = b e c = y 0 < y 1 <...... < yn = d
e xi+1 − xi =
b − a n
, yj+1 − yj =
d − c n
a b
c
d
x x
R
i i+
yj+ yj
R (^) ij
Figura 8.1: Partição de R.
O conjunto P 1 × P 2 é denominada partição do retângulo R de ordem n. Sejam os n^2 sub-retângulos Rij = [xi, xi+1] × [yj , yj+1] e cij ∈ Rij arbitrário (i, j = 0, ...., n − 1 ). Considere a função limitada f : R −→ R. A soma
Sn =
n∑− 1
i=
n∑− 1
j=
f (cij ) ∆x ∆y,
onde ∆x =
b − a n
e ∆y =
d − c n
é dita soma de Riemann de f sobre R.
204 CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
Definição 8.1. Uma função f : R −→ R limitada é integrável sobre R se
lim n→+∞
Sn,
existe independente da escolha de cij ∈ Rij e da partição; em tal caso denotamos este limite por: (^) ∫ ∫
R
f (x, y) dx dy,
que é denominada integral dupla de f sobre R_._
Teorema 8.1. Toda f : R −→ R contínua é integrável.
A prova deste teorema pode ser vista em [ EL ].
8.2 Significado Geométrico da Integral Dupla
Se f é contínua e f (x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ R, a existência da integral dupla de f sobre R tem um significado geométrico direto. Consideramos o sólido W ⊂ R^3 definido por:
W = {(x, y, z) ∈ R^3 / a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, 0 ≤ z ≤ f (x, y)}
Figura 8.2: O sólido W.
W é fechado e limitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y), inferiormente por R e lateralmente pelos planos x = a, x = b, y = c, y = d. Se denotamos por V (W ) o volume de W , então:
V (W ) =
R
f (x, y) dx dy
De fato, escolhendo cij como o ponto onde f atinge seu máximo sobre Rij (pois R é fechado, limitado e f é contínua), então f (cij ) × ∆x × ∆y é o volume do parale- lepípedo de base Rij e altura f (cij ).
206 CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
Figura 8.5: Reconstrução do sólido.
Novamente notamos que é possível mostrar rigorosamente que o significado geo- métrico da integral dupla independe da escolha da partição e dos pontos cij e eij.
A integral dupla tem propriedades análogas às das integrais das funções de uma variável.
Proposição 8.1.
1. Linearidade da integral dupla. Se f e g são funções integraveis sobre R então para todo α, β ∈ R , α f + β g é integrável sobre R , e: ∫ ∫
R
α f (x, y) + β g(x, y)
dx dy = α
R
f (x, y) dx dy + β
R
g(x, y) dx dy.
2. Se f e g são integráveis sobre R e g(x, y) ≤ f (x, y) , para todo (x, y) ∈ R , então: ∫ ∫
R
g(x, y) dx dy ≤
R
f (x, y) dx dy.
3. Se R é subdividido em k retângulos e f é integrável sobre cada Ri, i = 1, ..., k então f é integrável sobre R e, ∫ ∫
R
f (x, y) dx dy =
∑^ k
i=
Ri
f (x, y) dx dy.
8.3 Integrais Iteradas
Uma integral iterada de f sobre R é uma integral do tipo:
∫ (^) d
c
[∫ (^) b
a
f (x, y) dx
]
dy.
Para calculá-la fixamos y e calculamos a integral
∫ (^) b
a
f (x, y) dx como integral de uma
veriável em x; o resultado é uma função de y que é novamente integrada em y, com limites de integração c e d.
A integral
∫ (^) b
a
[∫ (^) d
c
f (x, y) dy
]
dx é calculada de forma análoga.
8.3. INTEGRAIS ITERADAS 207
Exemplo 8.1.
[1] Calcule
0
[∫ 3
1
x^2 y dy
]
dx.
∫ (^3)
1
x^2 y dy = x^2
1
y dy = 4x^2 e
0
[∫ 3
1
x^2 y dy
]
dx =
0
4 x^2 dx =
[2] Calcule
∫ (^) π
0
[∫ (^) π
0
cos(x + y) dx
]
dy.
∫ (^) π
0
cos(x + y) dx = sen(x + y)
∣x=π x=0 =^ sen(y^ +^ π)^ −^ sen(y),
e (^) ∫ (^) π
0
[∫ (^) π
0
cos(x + y) dx
]
dy =
∫ (^) π
0
(sen(y + π) − sen(y)) dy = − 4.
[3] Calcule
− 1
[∫ 1
− 2
(x^2 + y^2 ) dx
]
dy.
− 2
(x^2 + y^2 ) dx =
( (^) x^3 3
x=
x=− 2
= 3 + 3 y^2
e
∫ (^1)
− 1
[∫ 1
− 2
(x^2 + y^2 ) dx
]
dy =
− 1
(3 + 3 y^2 ) dy = 8.
[4] Calcule
∫ π 3 π 6
[∫ 4
0
ρ^2 eρ
3 sen(φ) dρ
]
dφ.
0
ρ^2 eρ
3 sen(φ) dρ = sen(φ)
0
ρ^2 eρ
3 dρ = sen(φ)
eρ
3
3
4
0
= sen(φ)
e^64 − 1 3
e
∫ π 3
π 6
[∫ 4
0
ρ^2 eρ
3 sen(φ) dρ
]
dφ =
e^64 − 1 3
∫ π 3
π 6
sen(φ) dφ =
(e^64 − 1) (
[5] Calcule
0
[∫ √ 1 −y 2
0
1 − y^2 dx
]
dy.
∫ √ 1 −y 2
0
1 − y^2 dx = 1 − y^2 , e
0
[∫ √ 1 −y 2
0
1 − y^2 dx
]
dy =
0
(1 − y^2 ) dy =
8.4. TEOREMA DE FUBINI 209
c
b^ R
d a
Figura 8.6:
Se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao plano yz a uma distância x da
origem, obtemos uma seção plana que tem como área A(x) =
∫ (^) d c f^ (x, y)^ dy. Pelo princípio de Cavalieri, o volume total do sólido é: ∫ ∫
R
f (x, y) dx dy =
∫ (^) b
a
A(x) dx =
∫ (^) b
a
[∫ (^) d
c
f (x, y) dy
]
dx.
Analogamente, se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao plano xz a uma
distância y da origem obtemos uma seção plana de área A(y) =
∫ (^) b a f^ (x, y)^ dx^ e pelo princípio de Cavalieri: ∫ ∫
R
f (x, y) dx dy =
∫ (^) d
c
A(y) dy =
∫ (^) d
c
[∫ (^) b
a
f (x, y) dx
]
dy.
Exemplo 8.2.
[1] Calcule
R
dx dy, onde R = [a, b] × [c, d]. ∫ ∫
R
dx dy =
∫ (^) b
a
[∫ (^) d
c
dy
]
dx =
∫ (^) b
a
(d − c) dx = (b − a) (d − c);
numericamente a integral dupla
R
dx dy, corresponde a área de R ou ao volume
do paralelepípedo de base R e altura 1.
[2] Calcule
R
f (x, y) dx dy, onde R = [a, b] × [c, d] e f (x, y) = h, h constante
positiva. ∫ ∫
R
f (x, y) dx dy = h
R
dx dy = h × A(R) = h (b − a) (d − c),
onde a última igualdade expressa o volume do paralelepípedo de base R e altura h.
[3] Calcule
R
(x y + x^2 ) dx dy, onde R = [0, 1] × [0, 1].
∫ ∫
R
(x y + x^2 ) dx dy =
0
[∫ 1
0
(x y + x^2 ) dx
]
dy =
0
[
x^2 y 2
x^3 3
]∣∣
x=
x=
dy
0
[
y 2
]
dy =
210 CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
O número
representa o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico
da função f (x, y) = x y + x^2 e pelos planos coordenados. ((x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1]).
0 1
0
1
Figura 8.7: Exemplo [4].
[4] Calcule
R
x y^2 dx dy, onde R = [− 1 , 0] × [0, 1].
∫ ∫
R
x y^2 dx dy =
0
[∫ 0
− 1
x y^2 dx
]
dy = −
0
y^2 dy = −
[5] Calcule
R
sen(x + y) dx dy, onde R = [0, π] × [0, 2 π].
∫ ∫
R
sen(x+y) dx dy =
∫ (^2) π
0
[∫ (^) π
0
sen(x+y) dx
]
dy =
∫ (^2) π
0
(cos(y)−cos(y +π)) dy = 0.
[6] Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = 1−y e inferiormente pelo retângulo definido por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.
0.5^ 0.
Figura 8.8: Sólido do exemplo [6].
O sólido está limitado superiormente pelo plano z = 1 − y e inferiormente pelo retângulo R = [0, 1] × [0, 1]; então, o volume V é:
V =
R
(1 − y) dx dy =
0
[∫ 1
0
(1 − y) dx
]
dy =
0
(1 − y) dy =
u.v.
212 CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
Definição 8.2. Seja A ⊂ R , R = [a, b] × [c, d]. O conjunto A ⊂ R tem conteúdo nulo se existe um número finito de sub-retângulos Ri ⊂ R , ( 1 ≤ i ≤ n ) tais que A ⊂ R 1 ∪ R 2 ∪... ∪ Rn− 1 ∪ Rn e:
lim n→+∞
∑^ n
i=
|Ri| = 0;
onde |Ri| é a área de Ri_._
Exemplo 8.3.
[1] Se A = {p 1 , p 2 , ......., pm}, pi ∈ R, ( 1 ≤ i ≤ m). O conjunto A tem conteúdo nulo. Utilizando uma partição de ordem n de R como antes, temos:
|Ri| =
(b − a) (d − c) n^2
1 ≤ i ≤ n. Como cada ponto pode estar no máximo em quatro sub-retângulos, então:
0 <
∑^ n
i=
|Ri| ≤
4 m (b − a) (d − c) n^2
Logo lim n→+∞
∑^ n
i=
|Ri| = 0.
[2] ∂R tem conteúdo nulo.
b
c
d
a x (^) i xi+
yj+ y
R ij^ R j
Figura 8.11: ∂R.
Os pontos de ∂R estão distribuido em 4 n − 4 sub-retângulos Rij :
∑^ n
i=
|Ri| ≤
(4 n − 4) (b − a) (d − c) n^2
4 (b − a) (d − c) n
pois n− n 1 < 1. Logo:
n→^ lim+∞
∑^ n
i=
|Ri| = 0.
É possível provar que o gráfico de uma função contínua f : [a, b] −→ R tem con- teúdo nulo.
8.5. INTEGRAÇÃO DUPLA SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS 213
Figura 8.12: G(f ).
Teorema 8.3. Se f : R −→ R é uma função limitada e o conjunto onde f é descontínua tem conteúdo nulo, então f é integra´vel sobre R_._
Prova: Veja [ EL ] na bibliografia.
8.5 Integração Dupla sobre Regiões mais Gerais
Definiremos três tipos especiais de subconjuntos do plano, que serão utilizados para estender o conceito de integral dupla sobre retângulos a regiões mais gerais
8.6 Regiões Elementares
Seja D ⊂ R^2.
Regiões de tipo I
D é uma região de tipo I se pode ser descrita por:
D = {(x, y) ∈ R^2 /a ≤ x ≤ b, φ 1 (x) ≤ y ≤ φ 2 (x)}
sendo φi : [a, b] −→ R (i = 1, 2 ) funções contínuas tais que φ 1 (x) ≤ φ 2 (x) para todo x ∈ [a, b].
a b
D
D
a b
φ φ
φ φ
1
2
2
1
Figura 8.13: Regiões de tipo I.
8.6. REGIÕES ELEMENTARES 215
[2] Seja a região D limitada pelas seguintes curvas: y^2 − x = 1 e y^2 + x = 1.
A região pode ser descrita por:
D = {(x, y) ∈ R^2 / − 1 ≤ y ≤ 1 , y^2 − 1 ≤ x ≤ 1 − y^2 };
D é uma região de tipo II.
Figura 8.16: Região de tipo II.
[3] A região D limitada pela reta x + y = 2 e pelos eixos coordenados, no primeiro quadrante, pode ser descrita como de tipo II:
D = {(x, y) ∈ R^2 / 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ x ≤ 2 − y}.
0.5 1.0 1.5 2.
Figura 8.17: Região de tipo III.
[4] A região D limitada pelas curvas y = x − 1 e y^2 = 2 x + 6, pode ser descrita como de tipo II.
A interseção das curvas é dada pela solução do sistema:
{ y = x − 1 y^2 = 2 x + 6,
do qual obtemos: x = − 1 e x = 5; logo:
D = {(x, y) ∈ R^2 / − 2 ≤ y ≤ 4 ,
y^2 2
− 3 ≤ x ≤ y + 1}.
216 CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
1 2 3
1
2
3
1 2 3
1
2
3
Figura 8.18: Região de tipo II.
[5] Seja D a região limitada pela curva x^2 + y^2 = 1; esta região é do tipo III. De fato:
De tipo I:
D = {(x, y) ∈ R^2 / − 1 ≤ x ≤ 1 , φ 1 (x) = −
1 − x^2 ≤ y ≤ φ 2 (x) =
1 − x^2 }.
De tipo II:
D = {(x, y) ∈ R^2 / − 1 ≤ y ≤ 1 , ψ 1 (y) = −
1 − y^2 ≤ x ≤ ψ 2 (y) =
1 − y^2 }.
8.7 Extensão da Integral Dupla
Seja D uma região elementar tal que D ⊂ R, onde R é um retãngulo e f : D −→ R uma função contínua (logo limitada). Definamos f ∗^ : R −→ R por:
f ∗(x, y) =
f (x, y) se (x, y) ∈ D 0 se (x, y) ∈ R − D.
f ∗^ é limitada e contínua, exceto, possivelmente, em ∂D; mas se ∂D consiste de uma união finita de curvas que são gráficos de funções contínuas, pelo teorema 8.1, f ∗^ é integrável sobre R.
D
R
R
D
Figura 8.19: Gráficos de f e f ∗, respectivamente.
Definição 8.3. f : D −→ R é integrável sobre D se f ∗^ é integrável sobre R e em tal caso definimos: (^) ∫ ∫
D
f (x, y) dx dy =
R
f ∗(x, y) dx dy.
218 CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
Se f (x, y) ≥ 0 e é contínua em D, podemos novamente interpretar a integral dupla de f sobre D como o volume do sólido W limitado superiormente pelo gráfico de f e inferiormente por D.
W = {(x, y, z) ∈ R^3 /(x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f (x, y)}
D é a projeção de W sobre o plano xy e:
V (W ) =
D
f (x, y) dx dy
8.8.1 Exemplos
[1] Calcule
0
[∫ 1
y
ex
2 dx
]
dy. A integral não pode ser calculada na ordem dada.
Observe que:
∫ ∫
D
ex
2 dx dy =
0
[∫ 1
y
ex
2 dx
]
dy.
A região D, onde está definida a integral, é de tipo II: 0 ≤ y ≤ 1 e y ≤ x ≤ 1.
1
1
1
1
Figura 8.21: A região D.
A região D é de tipo III; logo, D também é de tipo I. De fato: 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x e: ∫ ∫
D
ex
2 dx dy =
0
[∫ (^) x
0
ex
2 dy
]
dx =
0
x ex
2 dx =
(e − 1).
[2] Calcule
0
[∫ 1
x
sen(y) y
dy
]
dx.
A região D, onde está definida a integral é de tipo I: 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1. Por outro lado, D é de tipo III, logo D também é de tipo II: 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ y:
8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 219
1
1
1
1
Figura 8.22: A região D.
0
[∫ 1
x
sen(y) y
dy
]
dx =
0
[∫ (^) y
0
sen(y) y
dx
]
dy =
0
sen(y) dy = 1 − cos(1).
[3] Calcule
D
1 − y^2 dx dy, onde D é a região limitada por x^2 + y^2 = 1 no pri-
meiro quadrante.
1
1
1
1
Figura 8.23: A região D.
Consideramos D como região de tipo II:
D = {(x, y) ∈ R/ 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ x ≤
1 − y^2 }.
Pela proposicão:
∫ ∫
D
1 − y^2 dx dy =
0
[∫ √ 1 −y 2
0
1 − y^2 dx
]
dy =
0
(1 − y^2 ) dy =
Note que se escrevemos D como região de tipo I, a integração é muito mais com- plicada.
[4] Calcule
D
(x + y)^2 dx dy, se D é a região limitada por y = x, 2 y = x + 2 e o
eixo dos y.
8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 221
[6] Determine o volume do sólido limitado por z = 2 x + 1, x = y^2 e x − y = 2.
0
2
4
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
0
2
4
0 2 4
0
1
2
3
4
5
0
2
4
Figura 8.26: O sólido do exemplo [6].
1 2
1
1 2
1
Figura 8.27: A região D.
Observe que z = f (x, y) = 2 x + 1 e
V (W ) =
D
(2 x + 1) dx dy,
onde D é a projeção do sólido no plano xy. Considerando D como região do tipo II, ela é definida por:
D = {(x, y) ∈ R^2 / − 1 ≤ y ≤ 2 , y^2 ≤ x ≤ y + 2}.
O volume é:
V (W ) =
D
(2x + 1) dx dy =
− 1
[∫ (^) y+
y^2
(2 x + 1) dx
]
dy
− 1
(5 y + 6 − y^4 ) dy =
u.v.
[7] Calcule o volume do sólido que está acima do plano xy e é limitado por z = x^2 + 4 y^2 e x^2 + 4 y^2 = 4.
222 CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
O gráfico de z = x^2 + 4 y^2 é um parabolóide elítico e o de x^2 + 4 y^2 = 4 é um cilindro elítico.
x
-0.5 0
0.5 1
y
0
1
2
3
z
x
-0.5 0
x
-1 -0.^
0 0.5^1
y
0
1
2
3
z
-1 -0.^
0 0.
Figura 8.28: O sólido do exemplo [7].
-1 1 2
1
-1 1 2
1
Figura 8.29: A região do exemplo [7].
Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multiplicamos o resultado por 4.
1 2
1
1 2
1
Figura 8.30: A região D.
D é a projeção do cilindro no plano xy. D é do tipo I: 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤
4 − x^2 2
