UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas
Departamento de Computação
José Álvaro Tadeu Ferreira
Cálculo Numérico – Notas de aulas
Interpolação Polinomial
Ouro Preto
2009
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Interpolação de Função - Cálculo Numérico
Tipologia: Notas de estudo
2011
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas
Departamento de Computação
José Álvaro Tadeu Ferreira
Cálculo Numérico – Notas de aulas
Interpolação Polinomial
Ouro Preto
Sumário
- 1 - Introdução.....................................................................................................................
- 2 - Existência e unicidade do polinômio interpolador
- 3 - Erro de truncamento......................................................................................................
- 4 - Métodos de obtenção do polinômio interpolador
- 4.1 – Método de Lagrange
- 4.2 – Método das diferenças divididas
- 4.2.1 – O operador diferença dividida
- 4.2.2 – O polinômio interpolador com diferenças divididas
- 4.3 – Método das diferenças finitas ascendentes
- 4.3.1 – O Operador Diferença Finita Ascendente
- 4.3.2 – O polinômio interpolador com diferenças finitas ascendentes........................
- 5 – Complexidade dos métodos de interpolação
- 6 – Considerações finais...................................................................................................
- Anexos.............................................................................................................................
- a) Teorema do Valor Médio
- b) Operador linear
exemplo, para a obtenção de valores intermediários em tabelas, na integração numérica, no
cálculo de raízes de equações e na resolução de equações diferenciais ordinárias.
Portanto é vantajoso substituir uma função complicada por um polinômio que a represente.
Além disto, o teorema de Weierstrass afirma que: “ Toda função contínua pode ser arbitra-
riamente aproximada por um polinômio”.
Objetivo
Sendo (xi, yi), i = 0, 1, ..., n; pontos, com abscissas distintas, de uma função y = f(x), obter
o polinômio, y = p(x) tal que:
p(xi) = f(xi) = yi, i = 0, 1, ..., n
2 - Existência e unicidade do polinômio interpolador
Teorema 2.
Se (xi, yi) i = 0, 1, ..., n; são (n + 1) pontos com abscissas distintas, relativos a uma função,
y = f(x), então existe um, e só um, polinômio, y = p(x), de grau máximo n,tal que:
p(xi) = f(xi) = yi, i = 0, 1, ..., n
Demonstração
O objetivo é aproximar uma função, y = f(x), por um polinômio, y = p(x), ou seja, deseja-
se obter
p( x) a x a x ... a 1 x a 0 y
n 1 n- 1
n (^) n
tal que p(xi) = f(xi) = yi para todo i = 0, 1, 2, ..., n
Com esta condição, tem-se:
1 n 0 n
n 1
n- 1 n
n
n n n
1 1 0 1
n 1
n- 1 1
n
1 n 1
1 0 0 0
n 1
n- 1 0
n
0 n 0
p(x ) a x a x ... ax a y
p(x) a x a x ... ax a y
p(x ) a x a x ... a x a y
Que é um sistema de (n + 1) equações lineares com (n + 1) incógnitas a 0 , a 1 , a 2 , ..., an. A
sua matriz dos coeficientes é dada por:
x x ...x 1
x x ...x 1
x x ...x 1
X
n
n 1
n
n
n
1
n 1
1
n
1
0
n 1
0
n
0
Trata-se de uma ma matriz de Vandermonde. O seu determinante é calculado da seguinte
maneira
det(X) = (x 0 – x 1 ) (x 0 – x 2 ) ... (x 0 – xn) (x 1 – x 2 ) (x 1 – x 3 ) ... (x 1 – xn) ... (xn - 1 – xn)
Como, por condição, x 0 , x 1 , ..., xn são valores distintos, então tem-se que det(X) 0 e o
sistema linear admite solução única. Portanto, existe um único polinômio, y = p(x), tal que:
p(xi) = f(xi) = yi, i = 0, 1, ..., n. Conclui-se, ainda, que o polinômio tem grau máximo n,
uma vez que os coeficientes, ai, i = 0, 1, ..., n; podem assumir qualquer valor real, zero in-
clusive.
3 - Erro de truncamento
Teorema 3.
Seja:
(i) (xi, yi), i = 0,1, ..., n pontos com abscissas distintas relacionados a uma função y = f(x);
(ii) y = f(x) uma função com (n + 1) derivadas contínuas no intervalo [x 0 , xn].
Então, para cada x [x 0 , xn], existe um número ξ (x 0 , xn), que depende de x, tal que
(n 1)!
f ((x )) f(x)-p(x) E (x) (x-x ).(x-x)...(x-x ).
n 1
t 0 1 n
Onde f
n + 1 (.) é a derivada de ordem (n + 1) de y = f(x) e y = p(x) é o polinômio que a in-
terpola nos pontos (xi, yi), i = 0, 1, ..., n.
A expressão (3.1) é chamada de termo do erro ou erro de truncamento. É o erro que se
comete, no ponto x, quando se substitui a função pelo polinômio que a interpola.
A importância do Teorema 3.1 é mais teórica do que prática, uma vez que não é possível
determinar o ponto ξ de tal modo que seja válida a igualdade (3.1). Na prática, para estimar
o erro cometido ao aproximar o valor da função, num ponto, pelo seu polinômio de inter-
polação, é utilizado o corolário a seguir.
Corolário 3.
Se f(x) e suas derivadas até a ordem (n + 1) são contínuas no intervalo [x 0 , xn], então:
(n 1)!
M
E (^) t (x) (x-x 0 ).(x-x 1 )...(x-xn).
Onde M = max f (x)
n 1 no intervalo [x 0 , xn].
4 - Métodos de obtenção do polinômio interpolador
4.1 – Método de Lagrange
Neste método, o polinômio, y = L(x), que interpola uma função, y = f(x), em um conjunto
de pontos (xi, yi), i = 0, 1, ..., n é considerado na forma
L( x) y 0 .L 0 (x)y 1 .L 1 (x) yn.Ln(x ) (4.1)
Onde os Li(x), i = 0,1, 2, ..., n; são polinômios de grau n tais que
Li(xi) = 1
Li(xj) = 0; i, j = 0,1, 2, ..., n; j i
É simples verificar que, com estas duas condições, tem-se que
L(xi) = f (xi) = yi, i = 0, 1, ..., n.
Para determinar cada Li(x), i = 0,1, ..., n; basta considerar que todo xj, j = 0, 1, ..., n; é um
zero de Li(x) quando i j.
Seja, a título de exemplo, a determinação de L 0 (x). Tem-se, por condição, que
L 0 (x 0 ) = 1
L 0 (xj) = 0; j = 1, 2, ..., n
Portanto, conhecendo os zeros de L 0 (x), pode-se representá-lo da forma
L 0 (x) = c 0 .(x – x 1 ).(x – x 2 ) ... (x – xn)
Para determinar o coeficiente c 0 basta considerar o valor numérico de L 0 (x) em x = x 0 que,
por condição, é igual a 1. É obtido então
L 0 (x 0 ) = c 0 .(x 0 – x 1 ).(x 0 – x 2 ) ... (x 0 – xn) = 1
(x x)(x x ) (x x )
c
0 1 0 2 0 n
0
Tem-se, então, que
(x x)(x x ) (x x )
(x x)(x x ) (x x ) L (x )
0 1 0 2 0 n
1 2 n 0
Seja, agora, a determinação de L 1 (x). Por condição, tem-se que
L 1 (x 1 ) = 1
L 1 (xj) = 0; j = 0, 2, ..., n
E, então, L 1 (x), pode ser representado da forma
L 1 (x) = c 1 .(x – x 0 ).(x – x 2 ) ... (x – xn)
De modo análogo ao que foi feito anteriormente, para determinar o coeficiente c 1 basta
considerar o valor numérico de L 1 (x) em x = x 1 que, por condição, é igual a 1, obtendo-se
então
L 1 (x 1 ) = c 1 .(x 1 – x 0 ).(x 1 – x 2 ) ... (x 1 – xn) = 1
(x x )(x x ) (x x )
c
1 0 1 2 1 n
1
Tem-se, então, que
(x x )(x x ) (x x )
(x x )(x x ) (x x )
L(x )
1 0 1 2 1 n
0 2 n
1
Considerando os resultados 4 .2 e 4. 3 , conclui-se que
(x x )(x x ) (x x )(x x ) (x x )
(x x )(x x) (x x )(x x ) (x x ) L(x )
i 0 i 1 i i 1 i i 1 i n
0 1 i 1 i 1 n
i
, i = 0, 1, ..., n (4.4)
Exemplo 4.
Seja y = f(x) uma função dada nos pontos a seguir. Utilize o método de Lagrange para de-
terminar o polinômio que a interpola. Retenha nos cálculos quatro casas decimais.
i 0 1 2 3
xi 0 1 2 4
yi 4 11 20 44
Solução
O polinômio interpolador é:
L(x) = y 0 .L 0 (x) + y 1 .L 1 (x) + y 2 .L 2 (x) + y 3 .L 3 (x)
Seja, então, a obtenção de Li(x), i = 0, 1, 2, 3
x -7.x 14.x- 8
(x-1).(x-2).(x- 4)
(x -x)(x -x )(x -x )
(x-x)(x-x )(x-x )
L (x )
3 2
0 1 0 2 0 3
1 2 3
0
(ii) Sabendo-se que os pontos dados são relativos à função y = cos(x), estime o erro de
truncamento máximo cometido no item (i).
Solução
Sabe-se que o erro de truncamento máximo cometido é dado por:
(n 1)!
M
E (x) (x-x ).(x-x)...(x-x ). t 0 1 n
onde M = máx|f
n + 1 (x)| no intervalo [x 0 , xn].
Tem-se que f ´´´(x) = sen(x), cujo módulo é máximo no intervalo [0,9; 1,1] para x = 1,1 e
f ´´´(1,1) = 0,8912 = M. Sendo assim,
E( 1 , 07 ) 5,3x 10 0,
3!
E ( 1 , 07 ) |(1,07-0,9).(1,07- 1 ).(1,07-1,1)|.
- 5
t t
4.2 – Método das diferenças divididas
4.2.1 – O operador diferença dividida
Definição 4.
Dada uma função, y = f(x), a sua primeira derivada é definida como:
h
f(x h)- f(x)
f '(x) lim
h 0
Sendo (xi, yi), i = 0, 1, ..., n; um conjunto de pontos da função, então:
h
f(x h)-f(x )
f '(x ) lim
i i
h 0
i
Seja
xi + h = xi + 1 h = xi + 1 - xi
Sendo assim
i 1 i
i 1 i
x x
i
x -x
f(x )-f(x )
f'(x ) lim
i i 1
Definição 4.
Sendo (xi, yi), i = 0, 1, ..., n; um conjunto de pontos, cujas abscissas são distintas, de uma
função y = f(x), define-se o operador diferença dividida de primeira ordem, sobre os pontos
(xi, yi) e (xi + 1, yi + 1), como:
i 1 i
i 1 i
i 1 i
i 1 i
i
x -x
y - y
x - x
f(x )-f(x )
Dy
, i = 0, 1, ..., n – 1 (4. 7 )
Observe-se que este operador nada mais é do que uma aproximação do valor numérico da
primeira derivada de uma função em um ponto.
Pode ser demonstrado que as diferenças divididas de ordem superior, definidas a seguir,
são aproximações para as derivadas de ordem superior.
A diferença dividida de segunda ordem, sobre os pontos (xi, yi), (xi + 1, yi + 1) e (xi + 2, yi + 2),
é definida como:
i 2 i
i 1 i i
2
x - x
Dy -D y D y
, i = 0, 1, ..., n – 2 (4. 8 )
A diferença dividida de terceira ordem, sobre os pontos (xi, yi), (xi + 1, yi + 1), (xi + 2, yi + 2), e
(xi + 3, yi + 3), é definida como:
i 3 i
i
2
i 1
2
i
3
x - x
D y -D y
D y
, i = 0, 1, ..., n^ –^3 (4.9)
Considerando as definições (4.7), (4.8) e (4.9), tem-se que a diferença dividida de ordem k,
é definida como:
i 0,1,...,n- k
k 1,2,..., n
,
x - x
D y -D y
D y
i k i
i
k- 1
i 1
k- 1
i
k (4.10)
Sendo a diferença dividida de ordem zero definida como:
D
0 yi = yi, i = 0, 1, ..., n (4.11)
4.2.2 – O polinômio interpolador com diferenças divididas
Neste método a idéia é obter o polinômio, y = p(x), que interpola uma função, y = f(x), em
um conjunto de pontos (xi, yi), i = 0, 1, ..., n; na forma
p(x) = a 0 + a 1 .(x – x 0 ) + a 2 .(x – x 0 )(x – x 1 ) + ... + an.(x – x 0 )(x – x 1 ) ... (x – xn - 1 ) (4. 12 )
Tendo em vista que y = p(x) deve ser tal que p(xi) = f(xi) = yi, i = 0, 1, ..., n
Então
p(x 0 ) = a 0 a 0 = y 0 = Dy 0 (4.13)
p(x 1 ) = y 0 + a 1 .(x 1 – x 0 ) = y 1
2 0
1 0
1 0
2 1
2 1
2 x -x
x - x
y - y
x - x
y - y
a
Portanto
2 0
1 0
2 x -x
Dy - Dy
a (4. 19 )
Com base na definição 4. 8 , conclui-se que 4. 19 é a diferença dividida de segunda ordem,
(x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ) e (x 2 , y 2 ), ou seja,
a 2 = D
2 y 0 (4. 20 )
Portanto, pode-se concluir que ai = D
i y 0 , i = 0, 1, ... n; e, então, 4. 12 é um polinômio da
forma:
p(x) = y 0 + (x – x 0 ) .Dy 0 + (x – x 0 )(x – x 1 ) .D
2 y 0 + ... + (x – x 0 )(x – x 1 ) ... (x – xn - 1 ).D
n y 0
Teorema 4.1 (Valor Médio de Lagrange Generalizado)
Se y = f(x) é uma função com n derivadas contínuas em intervalo [x 0 , xn], então existe um
pon to ξ ∈[x 0 , xn] tal que
n!
f ( ) D y
n
0
n
Demonstração
Seja
e(x) = f(x) – p(x)
Onde p(x) é o polinômio que interpola f(x) nos pontos dados. Assim sendo, a função e(x)
tem n + 1 zeros distintos, o que implica, pelo Teorema de Rolle Generalizado, que e`(x)
tem n zeros em [x 0 , xn] e, assim, sucessivamente. Assim, conclui-se que existe um ξ ∈ [a,b]
tal que e
n (ξ) = 0. Ou seja
0 = f
n (ξ) – p
n (ξ) ⇒ 0 = f
n (ξ) – D
n y 0 .n!
c.q.d.
Portanto, de acordo com este teorema, na ausência de informação sobre f
n + 1 (x), uma esti-
mativa para o erro pode ser obtida utilizando D
n + 1 y 0 caso as diferenças divididas de ordem
n + 1 não variem muito.
Corolário 4.
Sob as hipótese do teorema anterior, tem-se que
k!
f (x ) D f(x )
k k
Corolário 4. 2
Se y = f(x) e suas derivadas até a ordem (n + 1) são contínuas no intervalo [x 0 , xn], então:
ET(x) ≤ |(x – x 0 ). (x – x 1 ). .... (x – xn)|.máx|D
n + 1 f(x)|
Exemplo 4.
A tabela a seguir apresenta valores da voltagem, V, em função da corrente elétrica, I. Utili-
zando interpolação polinomial, método das diferenças divididas, estime o valor de V quan-
do I = 3A.
i 0 1 2 3
I = xi 1 2 4 8
V = yi 120 94 75 62
Solução
Inicialmente, são determinados os valores das diferenças divididas.
i I = xi V = yi Dyi D
2 yi D
3 yi
Tem-se, então:
p(x) = y 0 + (x - x 0 ).Dy 0 + (x - x 0 ).(x – x 1 ).D
2 y 0 + (x - x 0 ).(x – x 1 ).(x – x 2 ).D
3 y 0
p( 3 ) = 120 + ( 3 - 1 ).(- 26) + (3 - 1).(3 – 2).(5,5) + (3 - 1).(3 – 2).( 3 – 4 ).(- 0,64)
p(3) = 80,28V
Exemplo 4.
Uma barra de metal encontra-se presa em duas paredes separadas pela distância de 12 m. A
5 m da parede A (ver figura), um corpo apoiado sobre a barra faz com que esta toque no
solo. Os pontos de engate nas duas paredes estão a 8 m (parede A) e 3 m (parede B) do solo,
conforme mostra a figura a seguir. Usando interpolação polinomial, Método das Diferen-
ças Divididas, pede-se estimar
a) a altura, em relação ao solo, de um ponto da barra localizado a 2m da parede A;
4.3 – Método das diferenças finitas ascendentes
4.3.1 – O Operador Diferença Finita Ascendente
Definição 4.
Sendo (xi, yi), i = 0, 1,... , n; pontos de uma função, y = f(x), tais que xi + 1 – xi = h = cons-
tante para todo i = 0, 1,... , n – 1 ; define-se a diferença finita ascendente de primeira or-
dem como:
∆f(x) = f(x + h) – f(x) (4. 24 )
Em um ponto xi tem-se que
∆f(xi) = f(xi + h) – f(xi)
∆yi = yi + 1 – yi, i = 0, 1, 2, ..., n – 1 (4.25)
Da definição (4. 24 ), verifica-se que o operador ∆(.) é linear (ver anexo), sendo assim, as
diferenças finitas ascendentes de ordem superior são definidas, por recorrência, da seguinte
maneira.
Segunda ordem.
∆[∆yi] = ∆[yi + 1 – yi]
2 yi = ∆yi + 1 – ∆yi, i = 0, 1, 2, ..., n – 2 (4. 26 )
Terceira ordem.
∆[∆
2 yi] = ∆[∆yi + 1 – ∆yi,]
3 yi = ∆
2 yi + 1 – ∆
2 yi, i = 0, 1, 2, ..., n – 3 (4.2 7 )
Generalizando, tem-se que a diferença finita ascendente de ordem r é definida como:
k yi = ∆
k - 1 yi + 1 – ∆
k - 1 yi
i 0,1,...,n- k
k 1,2,..., n
(4.28)
Sendo a diferença finita ascendente de ordem zero definida como:
0 yi = yi; i = 0, 1, 2, ..., n (4.2 9 )
As diferenças finitas ascendentes estão intimamente relacionadas com as derivadas de uma
função. Tendo em vista as definições 4.1 e 4.3, verifica-se que
h
f (x ) é uma aproximação
para a primeira derivada de uma função y = f(x). O teorema a seguir generaliza esta idéia.
Teorema 4.
Sendo y = f(x) uma função com derivadas contínuas até a ordem k, tem-se que:
k f(x) = h
k .f
(k) (k) para algum k ∈ (x, x + k.h) (4.30)
Demonstração
A demonstração será feita por indução sobre k.
Base de indução: a relação vale para k = 1
∆f(x) = f(x + h) – f(x) = h.f ’(ξ) (Teorema do Valor Médio)
Hipótese de indução
Admita-se que a relação vale para k – 1.
k – 1 f(x) = h
k – 1 .f
k – 1 (ξk – 1 ), ξk – 1 ∈ (x, x + (k – 1).h)
Passagem de indução
Provar que a relação é válida para k.
k [f(x)] = ∆
k - 1 [∆[f(x)]] = ∆
k - 1 [f(x + h) − f(x)]
k - 1 [f(x + h)] − ∆
k - 1 [f(x)]
k - 1 [f(x + h)] = h
k - 1 f
(k−1) (μ 1 ) com μ 1 ∈ (x + h, x + h + (k − 1)h) = (x + h, x + h.k)
k− [f(x)] = h
k− f
(k−1) (μ 2 ) com μ 2 ∈ (x, x + (k − 1)h)
Usando agora o (T.V.M) para f
(k−1) tem-se
∃ ξk ∈ (μ 1 , μ 2 ) ou (μ 2 , μ 1 ) : f
(k−1) (ξ 1 ) − f
(k−1) (ξ 2 ) = hf
(k) (ξk)
Vem, então, que
k [f(x)] = ∆
k− [f(x + h)] − ∆
k− [f(x)]
= h
k− (f
(k−1) (μ 1 ) − f
(k−1) (μ 2 ))
= h
k− hf
(k) (ξk), ξk ∈ (μ 1 , μ 2 )
= h
k f
(k) (ξk), ξk ∈ (x, x + k.h)
c.q.d.
Corolário 4. 3
[∆
k f(x) / h
k ].é uma aproximação para f
(k) (x) e o erro cometido tende a zero quando h → 0.
Seja, agora, a seguinte variável
h
x- x z
0 (4. 3 2)
De onde vem que
x = x 0 + h.z
x - x 0 = h.z
x – x 1 = x – (x 0 + h) = x – x 0 – h = h.z – h = h.(z – 1)
x – x 2 = x – (x 0 + 2.h) = x – x 0 – 2.h = h.z – 2.h = h.(z – 2)
x – xn - 1 = h.[z – (n - 1)]
Efetuando as substituições no polinômio interpolador com diferenças divididas, 4. 21 , ob-
tém-se que o polinômio interpolador com diferenças finitas ascendentes é:
0
n
0
3
0
2
0 0 0
y
n!
z(z 1 )...[z (n 1 )] y ...
3!
z(z 1 )(z 2 ) y
2!
z(z 1 ) p( x h.z) y z. y
Exemplo 4. 5
Os pontos a seguir relacionam a solubilidade, S, da água no óleo mineral, em partes por
milhão, com a temperatura, t, em graus centígrados. Utilizando interpolação polinomial,
método das diferenças finitas ascendentes, estime o valor de t quando S = 200ppm.
S t
i xi yi Δyi Δ
2 yi Δ
3 yi
Sabe-se que
h
x- x
z
0 1,
100
z
Logo
0
3
0
2
0 0 0
y
3!
z(z 1 )(z 2 ) y
2!
z(z 1 ) p( x h.z) y z. y
z(z 1 )(z 2 ) .( 19 )
2!
z(z 1 ) p( x h.z) 15 z.( 35 ) 0
Sendo assim, o polinômio interpolador é dado por:
p(x 0 + h.Z) = 2.17.Z
3
- 16 .Z
2
- 48, 83 .Z + 15
Tem-se, então, que p(200) = 62,
o
C
Exemplo 4. 6
Uma hidroelétrica tem capacidade máxima de 60MW, que é determinada por três gerado-
res de 30MW, 15MW e 15MW, respectivamente. A demanda de energia varia num ciclo
de 24h, sendo que a demanda mínima ocorre entre 2h e 5h e a máxima entre 14h e 17h.
Utilizando interpolação polinomial, método das diferenças finitas ascendentes, estime a
demanda mínima e a máxima e o horário em que cada uma ocorre, considerando os dados
a seguir.
i 0 1 2 3
Hora (xi) 2 3 4 5
Demanda (yi) 16,4 15,2 14,9 16,
i 0 1 2 3
Hora (xi) 14 15 16 17
Demanda (yi) 36,5 43,0 34,0 31,
Solução
Demanda mínima
Inicialmente, são calculados os valores das diferenças finitas ascendentes.
i xi yi yi
2 yi
3 yi Sendo
h
x- x
z
0
então z = x – 2 e x = 2 + z
O polinômio interpolador tem a forma
0
3
0
2
0 0 0
y
3!
z(z 1 )(z 2 ) y
2!
z(z 1 ) p( x h.z) y z. y
Assim,
z(z 1 )(z 2 ) ( 0 , 9 )
2!
z(z 1 ) p( 2 z) 16 , 4 z.( 1 , 2 )
p( 2 z) 0 , 08 .z 0 , 2 .z -1,48.z 16,
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