UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas
Departamento de Computação
José Álvaro Tadeu Ferreira
Cálculo Numérico – Notas de aulas
Interpolação Polinomial
Ouro Preto
2009
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interpolação polinomial, Notas de estudo de Engenharia de Materiais
Apostilha sobre Cálculo Numérico I
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas
Departamento de Computação
José Álvaro Tadeu Ferreira
Cálculo Numérico – Notas de aulas
Interpolação Polinomial
Ouro Preto
Interpolação polinomial
1 - Introdução
Em geral, dispõe-se de dados que são fornecidos em um conjunto discreto de valores, den-
tro de um contínuo de possibilidades. Entretanto, pode ser necessário fazer estimativas em
pontos que estão entre os valores discretos, ou seja, não constam do conjunto. Ocorre, tam-
bém, a situação na qual se faz necessária uma versão simplificada de uma função compli-
cada. Ambas as aplicações são conhecidas como ajuste de curvas. Há duas abordagens
gerais para o ajuste de curvas, as quais se distinguem com base na quantidade erro associa-
da com os dados.
Primeiro, quando os dados exibirem um grau significativo de erro, a estratégia será deter-
minar uma única curva que represente a tendência geral dos dados. Como cada ponto indi-
vidual poderá estar incorreto, não será feito qualquer esforço para passar a curva por todos
os pontos. Em vez disto, a curva é escolhida para seguir o padrão dos pontos considerados
como um grupo. Uma abordagem desta natureza é chamada de regressão por mínimos
quadrados.
Segundo, quando se souber que os dados são muito precisos, a abordagem básica é ajustar
uma curva ou uma série de curvas que passam diretamente por cada um dos pontos. Este
tipo de abordagem, que é o objeto deste texto, é chamada de interpolação.
Considerando o exposto, pode-se estabelecer que, interpolar uma função, y = f(x), em um
conjunto discreto de pontos pertencentes a um intervalo (a, b), consiste em substituí-la, ou
aproximá-la, por outra função, y = g(x). A necessidade de se utilizar este procedimento
ocorre, basicamente, quando a função:
a) não é conhecida na sua forma analítica, mas, apenas por meio de um conjunto de pontos
(xi, yi), i = 0, 1, ..., n; esta situação ocorre com muita freqüência, na prática, quando se
trabalha com dados obtidos de forma experimental;
b) é conhecida na sua forma analítica, mas operações como a diferenciação e a integração
são difíceis (ou mesmo impossíveis) de realizar, ou seja, a função é de difícil tratamento.
Teoricamente, a função y = g(x) pode ser qualquer. Neste texto será tratado o caso em que
pertence à classe das funções polinomiais.
A aproximação de funções por polinômios é uma das idéias mais antigas da análise numé-
rica, e ainda das mais utilizadas. É fácil entender a razão. Os polinômios são facilmente
computáveis, suas derivadas e integrais são, novamente, polinômios, seus zeros podem ser
determinados com facilidade, etc. Portanto é vantajoso substituir uma função complicada
x x ...x 1
x x ...x 1
x x ...x 1
X
n
n 1
n
n
n
1
n 1
1
n
1
0
n 1
0
n
0
Trata-se de uma ma matriz de Vandermonde. O seu determinante é calculado da seguinte
maneira
det(X) = (x 0 – x 1 ) (x 0 – x 2 ) ... (x 0 – xn) (x 1 – x 2 ) (x 1 – x 3 ) ... (x 1 – xn) ... (xn - 1 – xn)
Como, por condição, x 0 , x 1 , ..., xn são valores distintos, então tem-se que det(X) ^ 0 e o
sistema linear admite solução única. Portanto, existe um único polinômio, y = p(x), de grau
máximo n, tal que: p(xi) = f(xi) = yi, i = 0, 1, ..., n.
3 - Erro de truncamento
Teorema 3.
Seja:
(i) (xi, yi), i = 0,1, ..., n pontos com abscissas distintas relacionados a uma função y = f(x);
(ii) y = f(x) uma função com (n + 1) derivadas contínuas no intervalo [x 0 , xn].
Então, para cada x [x 0 , xn], existe um número ξ (x 0 , xn), que depende de x, tal que
(n 1)!
f ( (x ))
f(x)-p(f;x) E (f;x) (x-x ).(x-x)...(x-x ).
n 1
t 0 1 n
Onde f
n + 1 (.) é a derivada de ordem (n + 1) de y = f(x) e y = p(x) é o polinômio que a in-
terpola nos pontos (xi, yi), i = 0, 1, ..., n.
A expressão (3.1) é chamada de termo do erro ou erro de truncamento. É o erro que se
comete no ponto x quando se substitui quando se substitui a função pelo polinômio que a
interpola, calculado no ponto x.
A importância do Teorema 3.1 é mais teórica do que prática, uma vez que não é possível
determinar o ponto ξ de tal modo que seja válida a igualdade (3.1). Na prática, para estimar
o erro cometido ao aproximar o valor da função, num ponto, pelo seu polinômio de inter-
polação, é utilizado o corolário a seguir.
Corolário 3.
Seja Et(f;x) = f(x) – p(f;x). Se f(x) e suas derivadas até a ordem (n + 1) são contínuas no
intervalo [x 0 , xn], então:
(n 1)!
M
E (f;x) x-x x-x ... x-x. t 0 1 n
Onde M = max f (x)
n 1 no intervalo [x 0 , xn].
Exemplo 3.
Sabendo-se que os pontos a seguir são da função f(x) = x.e
3.x , calcule um limitante superior
para o erro de truncamento quando se avalia y para x = 0,25.
i 0 1 2
xi 0,2 0,3 0,
f(xi) 1,8221 2,4596 3,
Solução
De (3.2) tem-se que
(n 1)!
M
E (f;x) x-x x-x x-x. t 0 1 2
Onde M = max f (x)
' '' no intervalo [0,2; 0,4]. Como f(x) = x.e
3.x , segue que:
f
’ (x) = e
3.x (1 + 3.x)
f
’’ (x) = e
3.x .(6 + 9.x)
f
’’’ (x) = 27.e
3.x .(1 + x)
No intervalo [0,2; 0,4], f
’’’ (x) é máxima para x = 0,4. Logo M = f
’’’ (0,4) = 125,4998. Sen-
do assim:
E (f; 0 , 25 ) 0,
125 , 4998 M
E (f; 0 , 25 ) 0,25-0,20,25-0,30,25-0,.
t
t
Note-se que y = p(x) não necessariamente converge para y = f(x) em [a, b] aumentando o
número de pontos de interpolação. Polinômios interpoladores de grau elevado podem pro-
duzir grandes oscilações nos extremos do intervalo, é o Fenômeno de Runge. Este fenôme-
no é um problema que ocorre quando se usa interpolação polinomial com polinômios de
ordem elevada. Foi descoberto por Carl Runge quando investigava erros na interpolação
polinomial.
(x x)(x x ) (x x )
c
0 1 0 2 0 n
0
Tem-se, então, que
(x x)(x x ) (x x )
(x x)(x x ) (x x )
L (x )
0 1 0 2 0 n
1 2 n
0
Seja, agora, a determinação de L 1 (x). Por condição, tem-se que
L 1 (x 1 ) = 1
L 1 (xj) = 0; j = 0, 2, ..., n
E, então, L 1 (x), pode ser representado da forma
L 1 (x) = c 1 .(x – x 0 ).(x – x 2 ) ... (x – xn)
De modo análogo ao que foi feito anteriormente, para determinar o coeficiente c 1 basta
considerar o valor numérico de L 1 (x) em x = x 1 que, por condição, é igual a 1, obtendo-se
então
L 1 (x 1 ) = c 1 .(x 1 – x 0 ).(x 1 – x 2 ) ... (x 1 – xn) = 1
(x x )(x x ) (x x )
c
1 0 1 2 1 n
1
Tem-se, então, que
(x x )(x x ) (x x )
(x x )(x x ) (x x )
L (x )
1 0 1 2 1 n
0 2 n
1
Considerando os resultados 4 .2 e 4. 3 , conclui-se que
(x x )(x x) (x x )(x x ) (x x )
(x x )(x x) (x x )(x x ) (x x ) L(x )
i 0 i 1 i i 1 i i 1 i n
0 1 i 1 i 1 n
i
, i = 0, 1, ..., n (4.4)
Exemplo 4.
Seja y = f(x) uma função dada nos pontos a seguir. Utilize o método de Lagrange para de-
terminar o polinômio que a interpola. Retenha nos cálculos quatro casas decimais.
i 0 1 2 3
xi 0 1 2 4
yi 4 11 20 44
Solução
O polinômio interpolador é:
L(x) = y 0 .L 0 (x) + y 1 .L 1 (x) + y 2 .L 2 (x) + y 3 .L 3 (x)
Seja, então, a obtenção de Li(x), i = 0, 1, 2, 3
x -7.x 14.x- 8
(x-1).(x-2).(x- 4)
(x -x)(x -x )(x -x )
(x-x)(x-x )(x-x )
L (x )
3 2
0 1 0 2 0 3
1 2 3 0
L (x) -0,125.x 0,875.x -1,75.x 1
3 2
0
x -6.x 8.x
(x-0).(x-2).(x- 4)
(x -x )(x -x )(x -x )
(x-x )(x-x )(x-x )
L(x )
3 2
1 0 1 2 1 3
0 2 3
1
L (x) 0,3333.x -2.x 2,6667.x
3 2
1
x -5.x 4.x
(x-0).(x-1).(x- 4)
(x -x )(x -x)(x -x )
(x-x )(x-x)(x-x ) L(x )
3 2
2 0 2 1 2 3
0 1 3 2
L (x) -0,25.x 1,25.x - x
3 2
2
x -3.x 2.x
(x-0).(x-1).(x- 2)
(x -x)(x -x)(x -x )
(x-x)(x-x)(x-x )
L(x )
3 2
3 0 3 1 3 2
0 1 2
3
L (x) 0,0417.x -0,125.x 0,0833.x
3 2
3
Obtém-se, então, que
L(x) = 0,0011.x
**3
- x**
**2
- 5,9989.x + 4**
Obs: o resultado exato é L(x) = x
2
- 6.x + 4, não foi obtido em virtude de erros de arre-
dondamento.
4.2 – Método das diferenças divididas
4.2.1 – O operador diferença dividida
Definição 4.
Dada uma função, y = f(x), a sua primeira derivada é definida como:
h
f(x h)- f(x)
f '(x) lim
h 0
Sendo (xi, yi), i = 0, 1, ..., n; um conjunto de pontos da função, então:
h
f(x h)-f(x )
f '(x) lim
i i
h 0
i
Seja
xi + h = xi + 1 h = xi + 1 - xi
Sendo assim
i 1 i
i 1 i
h 0
i
x -x
f(x )-f(x )
f'(x) lim
Definição 4.
Sendo (xi, yi), i = 0, 1, ..., n; um conjunto de pontos, cujas abscissas são distintas, de uma
função y = f(x), define-se o operador diferença dividida de primeira ordem, sobre os pontos
(xi, yi) e (xi + 1, yi + 1), como:
i 1 i
i 1 i
i 1 i
i 1 i
i
x -x
y - y
x - x
f(x )-f(x )
Dy
, i = 0, 1, ..., n – 1 (4. 7 )
Observe-se que este operador nada mais é do que uma aproximação do valor numérico da
primeira derivada de uma função em um ponto.
Pode ser demonstrado que as diferenças divididas de ordem superior, definidas a seguir,
são aproximações para as derivadas de ordem superior.
A diferença dividida de segunda ordem, sobre os pontos (xi, yi), (xi + 1, yi + 1) e (xi + 2, yi + 2),
é definida como:
i 2 i
i 1 i
i
2
x - x
Dy -D y
D y
, i = 0, 1, ..., n^ –^2 (4.^8 )
A diferença dividida de terceira ordem, sobre os pontos (xi, yi), (xi + 1, yi + 1), (xi + 2, yi + 2), e
(xi + 3, yi + 3), é definida como:
i 3 i
i
2
i 1
2
i
3
x - x
D y -D y
D y
, i = 0, 1, ..., n – 3 (4.9)
Considerando as definições (4.7), (4.8) e (4.9), tem-se que a diferença dividida de ordem r,
sobre os pontos (xi, yi), (xi + 1, yi + 1), ..., (xi + r, yi + r) é definida como:
i 0,1,...,n- r
r 1,2,..., n
,
x - x
D y -D y D y
i r i
i
r- 1
i 1
r- 1
i
r (4.10)
Sendo a diferença dividida de ordem zero definida como:
D
0 yi = yi, i = 0, 1, ..., n (4.11)
4.2.2 – O polinômio interpolador com diferenças divididas
Neste método a idéia é obter o polinômio, y = p(x), que interpola uma função, y = f(x), em
um conjunto de pontos (xi, yi), i = 0, 1, ..., n; na forma
p(x) = a 0 + a 1 .(x – x 0 ) + a 2 .(x – x 0 )(x – x 1 ) + ... + an.(x – x 0 )(x – x 1 ) ... (x – xn - 1 ) (4. 12 )
Sendo assim, y = p(x) deve ser tal que p(xi) = f(xi) = yi, i = 0, 1, ..., n
Logo
p(x 0 ) = a 0 a 0 = y 0 = Dy 0 (4.13)
Considere-se agora que, por condição 4.12 deve interpolar y = f(x) no ponto (x 1 , y 1 ). Sendo
assim:
p(x 1 ) = y 0 + a 1 .(x 1 – x 0 ) = y 1
2 0
1 0
1 0
2 1
2 1
2 x -x
x - x
y - y
x - x
y - y
a
Portanto
2 0
1 0
2 x -x
Dy - Dy
a (4. 19 )
Com base na definição 4. 8 , conclui-se que 4. 19 é a diferença dividida de segunda ordem,
(x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ) e (x 2 , y 2 ), ou seja,
a 2 = D
2 y 0 (4. 20 )
Portanto, pode-se concluir que ai = D
i y 0 , i = 0, 1, ... n; e, então, 4. 12 é um polinômio da
forma:
p(x) = y 0 + (x – x 0 ) .Dy 0 + (x – x 0 )(x – x 1 ) .D
2 y 0 + ... + (x – x 0 )(x – x 1 ) ... (x – xn - 1 ).D
n y 0
Teorema 4.1 (Valor Médio de Lagrange Generalizado)
Seja y = f(x) C
n ([a, b]) uma função conhecida nos pontos distintos x 0 , x 1 , ..., xn de [a, b].
Então existe um ponto ξ [a, b] tal que
n!
f ( ) D y
n
0
n
Demonstração
Seja
e(x) = f(x) – p(x)
Onde p(x) é o polinômio que interpola f(x) nos pontos dados. Assim sendo, a função e(x)
tem n + 1 zeros distintos, o que implica, pelo Teorema de Rolle Generalizado (ver anexo),
que existe um ξ [a,b] tal que e
n (ξ) = 0. Assim
0 = f
n (ξ) – p
n (ξ) 0 = f
n (ξ) – D
n y 0 .n!
c.q.d.
Este teorema permite concluir que, na ausência de informação sobre f
n + 1 (x), uma estima-
tiva para o erro pode ser obtida utilizando D
n y 0 caso as diferenças divididas de ordem n + 1
não variem muito.
Exemplo 4.
A tabela a seguir apresenta valores da voltagem, V, em função da corrente elétrica, I. Utili-
zando interpolação polinomial, método das diferenças divididas, estime o valor de V quan-
do I = 3A.
i 0 1 2 3
I = xi 1 2 4 8
V = yi 120 94 75 62
Solução
Inicialmente, são determinados os valores das diferenças divididas.
i I = xi V = yi Dyi D
2 yi D
3 yi
Tem-se, então:
p(x) = y 0 + (x - x 0 ).Dy 0 + (x - x 0 ).(x – x 1 ).D
2 y 0 + (x - x 0 ).(x – x 1 ).(x – x 2 ).D
3 y 0
p( 3 ) = 120 + ( 3 - 1 ).(- 26) + (3 - 1).(3 – 2).(5,5) + (3 - 1).(3 – 2).( 3 – 4 ).(- 0,64)
p(3) = 80,28V
Exemplo 4.
Uma barra de metal encontra-se presa em duas paredes separadas pela distância de 12 m. A
5 m da parede A (ver figura), um corpo apoiado sobre a barra faz com que esta toque no
solo. Os pontos de engate nas duas paredes estão a 8 m (parede A) e 3 m (parede B) do solo,
conforme mostra a figura a seguir. Usando interpolação polinomial, Método das Diferen-
ças Divididas, pede-se estimar
a) a altura, em relação ao solo, de um ponto da barra localizado a 2m da parede A;
b) qual deve ser a altura da barra no ponto localizado a 2m da parede A, para que o trecho
compreendido até 5m da mesma seja representado por um polinômio de grau um.
4.3 – Método das diferenças finitas ascendentes
4.3.1 – O Operador Diferença Finita Ascendente
Definição 4.
Seja y = f(x) uma função contínua em um intervalo [a, b]. Sejam (xi, yi), i = 0, 1,... , n;
pontos de y = f(x) em [a, b], tais que xi + 1 – xi = h para todo i = 0, 1,... , n – 1. Sendo as-
sim, a diferença finita ascendente de primeira ordem é definida como:
∆f(x) = f(x + h) – f(x) (4. 24 )
Em um ponto xi (^) [a, b], tem-se que
∆f(xi) = f(xi + h) – f(xi)
∆yi = yi + 1 – yi, i = 0, 1, 2, ..., n – 1 (4.25)
Da definição (4. 24 ), verifica-se que o operador ∆(.) é linear (ver anexo), sendo assim, as
diferenças finitas ascendentes de ordem superior são definidas, por recorrência, da seguinte
maneira.
Segunda ordem.
∆[∆yi] = ∆[yi + 1 – yi]
2 yi = ∆yi + 1 – ∆yi, i = 0, 1, 2, ..., n – 2 (4. 26 )
Terceira ordem.
∆[∆
2 yi] = ∆[∆yi + 1 – ∆yi,]
3 yi = ∆
2 yi + 1 – ∆
2 yi, i = 0, 1, 2, ..., n – 3 (4.2 7 )
Generalizando, tem-se que a diferença finita ascendente de ordem r é definida como:
r yi = ∆
r - 1 yi + 1 – ∆
r - 1 yi
i 0,1,...,n- r
r 1,2,..., n
(4.28)
Sendo a diferença finita ascendente de ordem zero definida como:
0 yi = yi; i = 0, 1, 2, ..., n (4.2 9 )
4.3.2 – O polinômio interpolador com diferenças finitas ascendentes
Teorema 4. 2
Se (xi, yi), i = 0, 1,... , n; são pontos de uma função, y = f(x), tais que xi + 1 – xi = h, para
todo i = 0, 1,... , n – 1 , então vale a seguinte relação entre diferenças divididas e diferen-
ças finitas ascendentes.
.r!
r h
y
r
y
r D
i i
, r = 0, 1, 2, ..., n; i = 0, 1, 2, ..., n – r (4.31)
Demonstração:
A demonstração é feita por meio de indução finita em r.
Base de indução: ordem 1
Dyi=
i 1 i
i 1 i
x x
y y
h. 1!
y
h
y
1
i i
, i = 0,1, 2, … , n - 1
Hipótese de indução
Admita-se que o argumento é válido para a ordem r – 1.
h .(r 1 )!
y
D y r 1
i
r 1
i
r- 1
, i = 0,1, 2, … , n – r + 1
Passagem de indução
Provar que é válido para ordem r. Por definição
i r i
i
r 1
i 1
r 1
i
r
x x
D y D y
D y
, i = 0,1, 2, … , n – r
Sendo xi + r – xi = r.h, ,tem-se que
r. h
h .(r 1 )!
y
h .(r 1 )!
y
D y
r 1
i
r 1
r 1
i 1
r 1
i
r
, i = 0,1, 2, … , n – r
h.h .r.(r 1 )!
y - y D y r 1
i
rp 1
i 1
r 1
i
r
, i = 0,1, 2, … , n - r
Portanto
h.r!
y D y r
i
r
i
r , i = 0,1, 2, … , n - r
c.q.d.
Passagem de indução
Provar que a relação é válida para k.
k [f(x)] = ∆
k - 1 [∆[f(x)]] = ∆
k - 1 [f(x + h) − f(x)]
k - 1 [f(x + h)] − ∆
k - 1 [f(x)]
k - 1 [f(x + h)] = h
k - 1 f
(k−1) (μ 1 ) com μ 1 (x + h, x + h + (k − 1)h) = (x + h, x + h.k)
k− [f(x)] = h
k− f
(k−1) (μ 2 ) com μ 2 (x, x + (k − 1)h)
Usando agora o (T.V.M) para f
(k−1) tem-se
ξk (μ 1 , μ 2 ) ou (μ 2 , μ 1 ) : f
(k−1) (ξ 1 ) − f
(k−1) (ξ 2 ) = hf
(k) (ξk)
Vem, então, que
k [f(x)] = ∆
k− [f(x + h)] − ∆
k− [f(x)]
= h
k− (f
(k−1) (μ 1 ) − f
(k−1) (μ 2 ))
= h
k− hf
(k) (ξk), ξk (μ 1 , μ 2 )
= h
k f
(k) (ξk), ξk (x, x + k.h)
c.q.d.
Corolário 4.
[∆
k f(x) / h
k ].é uma aproximação para f
(k) (x) e o erro cometido tende a zero quando h → 0.
Exemplo 4. 5
Os pontos a seguir relacionam a solubilidade, S, da água no óleo mineral, em partes por
milhão, com a temperatura, t, em graus centígrados. Utilizando interpolação polinomial,
método das diferenças finitas ascendentes, estime o valor de t quando S = 200ppm.
S t
i xi yi Δyi Δ
2 yi Δ
3 yi
Sabe-se que
h
x- x z
0 1,
100
z
Logo
0
3 0
2 0 0 0 y 3!
z(z 1 )(z 2 )
y
2!
z(z 1 )
p( x h.z) y z. y
z(z 1 )(z 2 ) .( 19 )
2!
z(z 1 ) p( x h.z) 15 z.( 35 ) 0
Sendo assim, o polinômio interpolador é dado por:
p(x 0 + h.Z) = 2.17.Z
3
- 16 .Z
2
- 48, 83 .Z + 15
Tem-se, então, que p(200) = 62,
o
C
Exemplo 4. 6
Uma hidroelétrica tem capacidade máxima de 60MW, que é determinada por três gerado-
res de 30MW, 15MW e 15MW, respectivamente. A demanda de energia varia num ciclo
de 24h, sendo que a demanda mínima ocorre entre 2h e 5h e a máxima entre 14h e 17h.
Utilizando interpolação polinomial, método das diferenças finitas ascendentes, estime a
demanda mínima e a máxima e o horário em que cada uma ocorre, considerando os dados
a seguir.
i 0 1 2 3
Hora (xi) 2 3 4 5
Demanda (yi) 16,4 15,2 14,9 16,
i 0 1 2 3
Hora (xi) 14 15 16 17
Demanda (yi) 36,5 43,0 34,0 31,
Solução
Demanda mínima
Inicialmente, são calculados os valores das diferenças finitas ascendentes.
i xi yi yi
2 yi
3 yi
Sendo
h
x- x z
0
então z = x – 2 e x = z + 2
O polinômio interpolador tem a forma
0
3 0
2 0 0 0 y 3!
z(z 1 )(z 2 ) y
2!
z(z 1 ) p( x h.z) y z. y
Assim,
z(z 1 )(z 2 )
( 0 , 9 )
2!
z(z 1 )
p( 2 z) 16 , 4 z.( 1 , 2 )