INTRODUCAO A LÓGICA MATEMÁTICA, Manuais, Projetos, Pesquisas de Lógica Matemática

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autora

CLARA MARIA CAVALCANTE BRUM DE OLIVEIRA 1ª edição SESES rio de janeiro 2019 INTRODUÇÃO À LÓGICA

Sumário

• Prefácio
• 1. O que é lógica?
  • Por que a Lógica é importante para a Filosofia?
  • Um pouco de história não faz mal a ninguém
  • Termos importantes no contexto da investigação lógica
    • Raciocínio, juízo e conceito
    • Inferência, proposição e argumento
• 1. Proposições e o argumento
  • Os termos da proposição
    • Classificação das proposições
    • Oposição das proposições
    • A conversão das proposições
  • A argumentação
  • Entimemas, Sorites e Dilemas
• 1. A linguagem da lógica
  • A linguagem simbólica
  • Tabelas de verdade
  • A estrutura do silogismo categórico e seus princípios lógicos
• 1. Estudo dos predicados
  • Da predicação
  • A lógica de predicados
  • Dos estudos sobre categorias e predicamentos aristotélicos
• 1. Falácias
  • O estudo das falácias
  • Sofismas e paralogismos

O que é lógica?

capítulo 1 (^) • 9 e será uma colocação verdadeira de sua parte. A lógica faz parte de nossa vida, pois é um importante instrumento da comunicação (CHAUÍ, 2010). Mas o que podemos entender por lógica? Nossa intuição imediata nos remete ao conceito de coerência, conexão entre duas ideias, harmonia e até razoabilidade. “uma pessoa com espírito lógico é uma pessoa ‘razoável’; um procedimento ‘irrazoável’ é aquele que se considera ilógico” (COPI, 1978, p. 19, destaques do autor). Em muitas situações usamos a palavra lógica para expressar alguma coisa evi- dente, ou seja, uma conclusão compartilhada e que se pretende óbvia. Imagine que você foi convidado para o show de uma banda com muito sucesso. Possivelmente sua resposta será: “É lógico que eu vou!”. É lógico, mas o que significa isso? Significa dizer que em nossa existência mais cotidiana, mais espontânea, consi- deramos como bom, atraente, seguro e interessante, aquilo que se apresenta com coerência ou por meio de um raciocínio que denote uma organização das ideias, com início, meio e fim. A lógica é uma ciência que faz parte do nosso existir e muitas vezes nem temos consciência disso. O filósofo italiano, Nicola Abbagnano (1901-1990)^1 , em seu célebre Dicionário de Filosofia (2009, p. 596), observa que a palavra “lógica”, do inglês lo- gic , francês logique e alemão logik , tem origem etimológica no grego, no termo lo- gos que significa palavra , proposições , oração e pensamento. Esta origem etimológica nos permite observar que o pensar e o pensamento estão interligados e viabilizam compreender o que é lógica. Por quê? Porque quando alcançamos a fase racional identificamos que nosso pensar opera por meio de uma ordem, segue um processo para se alcançar conclusões, descobre-se que existem regras. Trata-se do raciocínio. Segundo Irving M. Copi (1978, p. 19)^2 , o estudo da lógica é aquele que investiga “os métodos e princípios usados para distinguir o raciocínio correto do incorreto”. O sujeito que pensa são os sujeitos do pensar e esse sujeito produz um pensa- mento que é o resultado deste ato. Pensar é um ato que sempre se renova a cada momento. Penso sobre um remédio, penso sobre uma flor, penso sobre um livro, uma pessoa e etc. Cada pensamento é um ato do pensar renovado. Os objetos pensados reais ou não se tornam pensamentos e deixam de existir no tempo e no espaço, como objetos concretos, passam a habitar as mentes humanas. Viram conceitos que ficam em nossas mentes. E podemos pensar em tais conceitos ainda que não se produza um contato físico com o objeto material. 1 Nicola Abbagnano (1901- 1990) filósofo e autor italiano, professor de História da Filosofia na Universidade de Turim. Fonte: . 2 Irving Marmer Copi (1917-2002) foi um Filósofo especializado em lógica de origem norte americana, autor de vários livros sobre Lógica, Professor Emérito do Instituto de Lógica das Universidades de IllInois, Princeton, Georgetown e Michigan. Fonte: .

capítulo 1 (^) • 10 Posso pensar que necessito comprar determinado livro, sem, no entanto, vê-lo numa livraria. Então, nossa inteligência natural nos diz que temos o sujeito , o ato do pensar e o pensamento. A lógica estuda o pensamento (SANTOS, 1959). Mas não é qualquer tipo de pensamento, pois “se pensamento é qualquer tipo mental que se produz na psique das pessoas, nem todo o pensamento constitui um objeto de estudo lógico. Todo raciocínio é pensamento, mas nem todo pensamento é raciocínio” (COPI, 1979, p. 20). Pensamentos de livre associação, divagações e similares são mais interessante para psicólogos e não para a Lógica. Conforme preleciona Mario Ferreira dos Santos^3 (1959, p. 15): a lógica é “a ciência dos pensamentos enquanto pensamentos, prescindindo dos outros as- pectos e dos outros elementos que se relacionam com eles, (...) permite a melhor aplicação do pensamento, evitando erros comuns”. Desta definição precisamos perceber que não são todos os pensamentos e sim no processo do raciocínio, no caminho que se percorreu para se chegar à conclusão, se as premissas fornecem sustentação para essa conclusão. Segundo Irving M. Copi (1979, p. 21): Ao lógico só interessa a correção do processo, uma vez completado. Sua interrogação é sempre esta: a conclusão a que se chegou deriva das premissas usadas ou pres- supostas? Se as premissas fornecem bases ou boas provas para a conclusão, se a afirmação da verdade das premissas garante a afirmação de que a conclusão também é verdadeira, então o raciocínio é correto. (...) A distinção entre o raciocínio correto e o incorreto é o problema central que incumbe à lógica tratar. De um modo geral, entende-se por lógica uma área do conhecimento humano que investiga o raciocínio dedutivo, a relação de consequência dedutiva para conclusões váli- das. Trata-se de uma investigação sobre como funciona a nossa razão, a forma como ra- ciocinamos para o conhecimento verdadeiro. Seguindo essa mesma concepção, da lógica como o estudo do ato de raciocinar, Jacques Maritain^4 (1970, p. 17) reforça que A lógica estuda a razão como instrumento da ciência ou meio de adquirir e possuir a verdade. Pode-se defini-la: a arte que dirige o próprio ato da razão, isto é, que nos permite chegar com ordem, facilmente e sem erro, ao próprio ato da razão. (...) daí seu nome de ciência da razão ou do logos. 3 Mario Ferreira dos Santos (1907-1968), Jurista e filósofo brasileiro, criador do sistema filosófico designado como Filosofia Concreta. Fonte: . 4 Jacques Maritain (1882-1973) foi um famoso filósofo francês, autor de várias obras clássicas em Filosofia. Algumas de suas ideias foram incorporadas na Declaração Universal dos Direitos Humanos de 1948. Disponível em: .

capítulo 1 (^) • 12 E podemos dizer, considerando-se a lógica de Aristóteles que ela possui as se- guintes características: é instrumental porque é uma ferramenta para o pensar corre- to; é formal porque não se ocupa com conteúdos e sim com a forma; é propedêutica porque configura um conhecimento preliminar importante antes de se iniciar uma investigação; é normativa porque nos oportuniza princípios, regras para o pensa- mento correto; é uma doutrina da prova porque observa as condições e fundamentos para as demonstrações. “dada uma certa hipótese, a lógica permite verificar suas consequências necessárias; dada uma certa conclusão, a lógica permite verificar se é verdadeira ou falsa” (CHAUI, 1995, p. 255); é atemporal e geral porque fornece formas para o pensar em geral e suas regras e princípios são atemporais, “universais, necessárias e imutáveis como a própria razão (CHAUÍ, 1995, p. 255). A partir de tais considerações, temos que destacar, também, que a lógica se divide em duas partes: a lógica menor ou formal e a lógica maior ou material. Segundo o filósofo francês Maritain (1970, p. 26-27), a lógica menor “estuda as condições formais da ciência; (...) ensina as regras a se seguir para que o raciocí- nio seja correto ou bem construído”. Analisa-se a forma do raciocínio em que a dedução foi bem realizada e, neste caso, não se observa o conteúdo, a matéria. O que está em jogo nesta parte da lógica é o raciocínio, a abstração feita. Van Acker (1971, p. 12), define a lógica formal como aquela que examina as condições da consequência da argumentação. (...) Chama-se formal, por- que a consequência, por ela examinada, é a própria forma ou estrutura da argumenta- ção, a ponto de não poder, sem consequência, haver argumentação genuína, quer seja verdadeira ou falsa, ou puramente formal, sem sentido determinado. A lógica maior ou material é aquela que investiga o conteúdo para que se ob- tenha a conclusão verdadeira. Podemos ter um raciocínio correto, segundo as suas regras, mas não verdadeiro quanto ao conteúdo que está sendo demonstrado. E, neste aspecto, Van Acker (1971, p.12) nos auxilia dizendo que A lógica material é assim chamada, porque a verdade da argumentação, por ela exami- nada, não depende da estrutura consequente da argumentação, mas sim da verdade das proposições que a compõem e lhe são, neste sentido, uma espécie de material.

capítulo 1 (^) • 13

Por que a Lógica é importante para a Filosofia?

Argumentos são os tijolos com os quais se constroem as teorias filosóficas; a lógica é a palha que mantém os tijolos unidos. Boas ideias valem pouco, a menos que sejam sustentadas por bons argumentos – estes precisam ser justificados racionalmente, e isso não pode ser feito sem bases lógicas firmes e rigorosas (DUPRÉ, 2015, p. 112). A lógica é uma disciplina filosófica, é uma área da Filosofia que estuda e iden- tifica nossa maneira de argumentar. Por isso já conversamos na seção anterior que a lógica se interessa pelo estudo cuidadoso dos nossos argumentos. Mas você pode estar pensando: o que são, efetivamente, argumentos? O que estamos imaginando quando falamos a palavra “argumento”? Será que somos sempre claros em nossos ar- gumentos? Às vezes sim, por vezes não. Dependerá de a maneira como organizarmos as ideias para o nosso interlocutor. E não raro proferimos frases que são, em verdade, conclusões de raciocínios que carregamos em nossas mentes, a partir de premissas implícitas ou subentendidas. Ora o argumento é o raciocínio, a conclusão, a infe- rência que realizamos ao pensar. “Pensar é raciocinar” (MURCHO, 2015, p. 19). Tente abstrair momentaneamente a informação segundo a qual a Lógica é uma área da Filosofia. Imagine que você não tem essa informação e alguém indaga qual a relação entre lógica e Filosofia. Como responder a essa pergunta? Em geral podemos começar lembrando que a Filosofia é um saber teórico e crítico que investiga os fundamentos de todas as coisas, problematiza a vida e o mundo, busca a verdade. Podemos ir ao seu nascimento na Grécia antiga com os pré-socráticos, demonstrando que o seu advento se deu na passagem da narrativa mítica à narrativa racional. Ou, ainda, podemos invocar o célebre confronto entre Sócrates e os Sofistas que nos legou Platão em seus diálogos. Diálogos que nos lembram a palavra dialética. Filosofia envolve ideias, argumentos, diálogo, debate, investigação e fundamentação (ARANHA; MARTINS, 2003). Pensando nisso, podemos afirmar que a lógica é para o filósofo uma ferramen- ta para construir suas teorias, enfrentar objeções de interlocutores como demons- trou Platão na maiêutica de Sócrates, para organizar as ideias de maneira crítica e fundamentada como reivindicou Descartes no Discurso do Método e tantos outros. O estudo da Filosofia nos proporciona uma atitude crítica diante da realidade e sem esta atitude crítica não há que se falar em olhar filosófico ou atitude filosófica. E o que seria essa atitude crítica se não discutir ideias, considerar argumentos, dissecá-los, apontar suas fragilidades e pontos fortes.

capítulo 1 (^) • 15 A lógica é importante à Filosofia porque a leitura de textos filosóficos exige o contato com um conhecimento filosófico que passa necessariamente pelo conheci- mento dos filósofos envolvidos, seus conceitos, os problemas filosóficos que iden- tificaram e as soluções por eles proposta. O conhecimento filosófico se faz com o tempo, disciplina e dedicação em leituras abundantes e seguidas. É equivocado pensar que nesta área do conhecimento lidamos com dados, fatos exteriores ao pensamento para apenas identificar ou registrar. O pensamento filosófico nos re- mete a uma interioridade, a uma emergência de novos sentidos, a uma razão livre que constrói sua leitura sobre o que já foi pensado por outros. Reproduzir o que disse um pensador não é filosofar. Por isso, a lógica é indissociável da Filosofia; é indissociável do próprio pensamento (FOLSCHEID; WUNENBURGER, 2006). Mário Ferreira dos Santos (1959, p. 21, grifos da autora ), observa ainda que possivelmente, para Aristóteles, a lógica era muito mais que o estudo do pen- samento, era uma metodologia necessária para a Filosofia, sobre isto assevera: “Aristóteles, porém, nunca considerou a lógica apenas formal, como um estudo do pensamento como pensamento, mas sim como uma espécie de introdução me- todológica para a Filosofia ”. Através do estudo da lógica podemos evitar os erros de raciocínio nas leituras dos filósofos, podemos analisar com ponderação os problemas que identificaram, avaliar as fragilidades e pontos fortes de suas teorias e argumentos. Podemos discu- tir filosoficamente suas ideias. Conforme a epígrafe, a lógica é a palha que mantém os tijolos unidos.

Um pouco de história não faz mal a ninguém

A inteligência está ausente. Estas palavras foram proferidas por Platão, ao verificar, certo dia, que Aristóteles não se encontrava na Academia. Contemporâneos dos dois filósofos declararam que Platão costumava chamar seu maior discípulo de o Espirito, o Entendimento, o Ledor. (Goffredo Telles Júnior, estudo introdutório, In: Aristóteles, Arte Retórica e Arte Poética) Agora que já compreendemos, em linhas gerais, o que é lógica e sua importân- cia para a atitude filosófica podemos voltar nossa atenção para uma curiosidade: como ela surgiu? Em que autor ou autores? A história da Filosofia nos revela que o próprio advento da Filosofia por oca- sião do surgimento dos pré-socráticos denota que alguns sábios estavam inquietos

capítulo 1 (^) • 16 diante da realidade e da resposta que a tradição mítica ofertava a essa inquietude. As indagações que surgiram nesta primeira fase, demonstram que buscavam coe- rência, relações válidas entre fenômenos, justificativas para explicar o mundo da physis (REALE; ANTISERI, 1990). É fato que o pensamento destes primeiros filósofos seguiram um raciocínio, um sentido, buscaram os nexos causais, nomearam coisas e objetos. É possível que estivessem mergulhados em questões lógicas, sem ainda surgir um estudo sistemá- tico com esse nome, porque lhes faltavam instrumentos para tal. Mais tarde com o deslocamento da temática da natureza para o ser humano teremos em Sócrates e Platão a mesma possibilidade (REALE; ANTISERI, 1990). É evidente que nos diálogos de Platão através do método maiêutico, Sócrates buscava refutar falsas ideias em nome de um conhecimento verdadeiro. Os sofistas com soberba e ‘ar de quem sabe tudo’ desafiavam o filósofo com seus argumentos. Segundo Reale e Antiseri (1990, p. 99), “Sócrates pôs em movimento o proces- so que levaria à descoberta da lógica, contribuindo de modo determinante para essa descoberta, mas ele próprio não a alcançou de modo reflexo e sistemático”. Abriu caminho para o estudo do conceito e da definição, mas não estabeleceu sua estrutura. Platão, por exemplo, na busca de sua realidade inteligível, caminhou na di- reção de uma libertação dos sentidos do mundo sensível, do simulacro para o nível do raciocínio puro, lugar do intelecto. Por meio de uma dialética ascendente colocou o filósofo liberto dos sentidos em direção às ideias, em direção à verdade (REALE; ANTISERI, 1990). Igualmente enfrentou questões lógicas ao reunir em sua doutrina das ideias o devir de Heráclito e a permanência de Parmênides. De qualquer sorte, foi Aristóteles (384-322 a.C.) quem elaborou o primeiro estudo sistemático sobre a lógica. Esse estudo se encontra em escritos organizados e designados pelo nome de Organon , que significa instrumento para o correto pensar (ABBAGNANO, 2009). Os escritos que compõem o Organon são:

1. Categorias; 2. Da interpretação; 3. Analíticos Primeiros; 4. Analíticos Segundos; 5. Tópicos; 6. Refutações sofísticas.

capítulo 1 (^) • 18 resolução e designa o método por meio do qual investigamos uma dada conclusão a partir dos elementos da qual resulta e, portanto, buscamos seu fundamento, sua justificação (REALE; ANTISERI, 1990). O que Aristóteles quis dizer é que a analítica ou lógica é o conhecimento que precisamos desenvolver antes de um aprofundamento filosófico ou uma investiga- ção científica. Em Aristóteles, é “uma disciplina vestibular, um conhecimento que deve anteceder aos outros conhecimentos, sendo por isso uma propedêutica (de pró- , antes e paideía , formação: propaideía )” (CHAUÍ, 1994, p. 255). É interessante perceber que mesmo considerando-o como pai da lógica, de- signada posteriormente como lógica aristotélica ou lógica clássica o termo apareceu somente nos escritos estoicos com o sentido de arte do discurso dirigido à persua- são. Sobre isto diz Abbagnano (2009, p. 597): “Aristóteles deixou a Lógica não somente sem um nome próprio para designá-la, mas também equívoca em seu status como disciplina e não bem determinada com relação à sua matéria subietcta ”. Após os estoicos a nomearem como Lógica, com os comentadores peripatéti- cos, neoplatônicos e ecléticos como Cícero, por exemplo, e nas próprias reflexões de Alexandre de Afrodísia, que o termo apareceu como a doutrina apresentada na obra Analíticos de Aristóteles. Surgiu a Lógica como a doutrina do silogismo e demonstração (ABBAGNANO, 2009). Ocorre que com Boécio (477 – 524 d.C.), a doutrina contida no Organon também recebeu o nome de Lógica e, por vezes, de Dialética. É interessante que Boécio introduziu a obra Isagoge de Porfírio, que ele havia traduzido para o latim atribuindo esse nome, como se fosse uma introdução geral à Lógica de Aristóteles. Porfírio de Tiro era um filósofo grego famoso por ter elaborado a biografia do filó- sofo platônico Plotino. E ficou conhecido, também, por ter difundido o neoplato- nismo durante o Império Romano. O nome original da obra traduzida por Boécio como Isagoge era Introductio in Praedicamenta que apresentava um comentário sobre o primeiro texto que compõe o Organon , intitulado Categorias (REALE; ANTISERI. 1990; ABBAGNANO, 2009). E assim, durante a Idade Média, a partir do séc. XII, se estudava primeiro a obra porfiriana para depois ingressar nas leituras do Organon. Posteriormente, o pensamento medieval acrescentou mais doutrinas aos escritos originais de origem aristotélica. Foram inseridas partes que integram a doutrina da Lógica conhecida como semântica (ABBAGNANO, 2009). Durante a idade média a obra Isagoge e os escritos aristotélicos desencadearam o que se denominou de querela dos universais. A questão central era se os universais

capítulo 1 (^) • 19 seriam ou não substâncias reais. De um lado, os realistas como Anselmo di Aosta, que afirmavam a existência real dos universais e, de outro, os nominalistas, como Abelardo discutiam essa questão negando a existência real dos universais. A lógica medieval passou a ser pensada a partir das duas correntes ou métodos. Sendo o ponto de vista de Abelardo o que predominou, de certo modo, até início da Idade Moderna, divulgando-se a tese de que o problema dos universais estaria mais vin- culado a metafísica e gnosiologia que a Lógica propriamente (ABBAGNANO, 2009). No período moderno, a lógica sofreu influência do pensamento de Galileu Galilei (1564-1642) e de Francis Bacon (1561-1626), assimilando método de experimentação e da matemática, bem como novas regras a partir da influência de John Stuart Mill (1806-1873) (SANTOS, 1959). Podemos organizar os escritos de Aristóteles em áreas porque o estagirita es- tudou praticamente todos os ramos do saber de sua época. Na área da lógica: Organon. Na área da filosofia natural, Física , o Céu , A geração e a corrupção e a Meteorologia. Na área da psicologia, o tratado Sobre a Alma e opúsculos sob o título Parva naturalia. A famosa Metafísica composta de 14 livros. As obras de filosofia moral e política como Ética a Nicômaco , Grande Ética , Ética a Eudemo e a Política. Poética e Retórica e sobre ciências naturais História dos animais , As partes dos animais , O movimento dos animais e A geração dos animais (REALE; ANTISERI, 1990). De qualquer sorte a contribuição de Aristóteles foi inestimável e podemos dizer que ainda enxergamos o mundo e vivemos nele seguindo muitas de suas ideias. Por exemplo, até hoje usamos os princípios da lógica aristotélica e que figuram na base de toda argumentação, tais como o princípio da não contradição , o princípio de iden- tidade e o princípio do terceiro excluído. Imagine-se convivendo com alguém que age de uma maneira e depois nega o que falou ou fez, uma pessoa que menciona que branco é verde e verde é azul, ou que confunde a verdade com a falsidade e tenta criar um terceiro modo que seja ao mesmo tempo verdadeiro e falso. Complicado. O princípio lógico da não contradição é aquele que diz que ‘o que é, é; o que não é, não é’. Se o objeto que tenho nas mãos é um livro, é um livro e não po- derá ser, simultaneamente, uma cadeira. Este princípio lógico está intimamente ligado ao princípio da identidade porque estabelece que nenhum objeto poderá, ao mesmo tempo, ser ele mesmo e outro. Se afirmo que o objeto que seguro em minhas mãos é um livro e depois afirmo que é uma caneta estou produzindo um conhecimento contraditório, ferindo os dois princípios, o da identidade e o da não contradição (REALE; ANTISERI. 1990; ABBAGNANO, 2009).