Introdução ao Matlab - comandos básicos, Resumos de Matlab

Baixe Introdução ao Matlab - comandos básicos e outras Resumos em PDF para Matlab, somente na Docsity!

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

TUTORIAL MATLAB

CONCEITOS BÁSICOS

Autor: Prof. Paulo S. Varoto

São Carlos

CAPÍTULO 1

1.1 Introdução

1.1.1 Iniciando o MATLAB Um duplo clique no ícone MATLAB irá inicializar o programa. Assim, aparecerá na tela uma janela de comandos e o “prompt” padrão (EDU>> ou >>) é exibido na tela. Espera-se do usuário um comando, o qual deve ser finalizado teclando- se Enter. 1.1.2 Janelas Exibidas A janela principal do MATLAB chama-se Command Window (Janela de Comando), onde os dados e instruções são digitados no “prompt”. Quando se deseja implementar algum programa, projeto ou trabalho, utiliza-se o M-File Editor. Neste editor, cria-se um arquivo texto “.m” com os comandos desejados. Além dessas duas janela principais, existe a Graphics Window utilizada para exibir os gráficos. 1.1.3 Entrando com comandos Cada comando tem de ser seguido por um (tecla enter) para que o comando possa ser executado. Para executar um arquivo “.m” basta digitar o nome do arquivo, sem sua extensão, na janela de comandos. 1.1.4 Expo MATLAB Para ver a demonstração de algumas capacidades do MATLAB, entre com o comando “demo” na janela de comandos. Isto iniciará o MATLAB EXPO, o qual é um ambiente de demonstração gráfica que mostra alguns dos diferentes tipos de operações que podem ser realizados com MATLAB. 1.1.5 Abortar Para abortar um comando em MATLAB, mantenha pressionada a tecla Ctrl e pressione a tecla c. 1.1.6 Comando clc O comando clc limpa a janela de comandos e coloca o cursor na posição inicial.

Tabela 1.2 Formato de exibição

Comando Formato Exemplo 2

Format short 4 dígitos decimais. 1. Format long 14 dígitos decimais. 1. Format short e Notação exponencial com 4 dígitos decimais. 1.4142e+ Format long e Notação exponencial com 15 dígitos decimais. 1.414213562373095e+ Format short g O melhor entre “short” e “short e”.

Format long g O melhor entre “long” e “long e”.

Format bank 2 dígitos decimais representando moeda.

Format compact Elimina linhas em branco para permitir que mais linhas com informações possam ser exibidas. Format loose Adiciona linhas (Oposto de “format compact”).

1.4 Funções matemáticas

O MATLAB possui uma gama de funções matemáticas que estão disponíveis ao usuário, como por exemplo, funções trigonométricas, logarítmicas, elementares, etc. Algumas dessas funções são apresentadas nas tabelas abaixo. Tabela 1.3 Funções Trigonométricas Função Descrição sin(x) Calcula o seno de x , onde o x está em radianos. cos( x ) Calcula o cosseno de x , onde o x está em radianos. tan( x ) Calcula a tangente de x , onde o x está em radianos. cot( x ) Calcula a cotangente de x , onde o x está em radianos. sec( x ) Calcula a secante de x , onde o x está em radianos. csc( x ) Calcula a cossecante de x , onde o x está em radianos. asin( x ) Calcula o arco cujo seno é x , onde x deve estar entre - 1 e 1.

acos( x ) Calcula o arco cujo cosseno é x , onde x deve estar entre - 1 e

atan( x ) Calcula o arco cuja tangente é x. atang2( y,x ) Calcula o arco cuja tangente é y/x. sinh( x ) Calcula o seno hiperbólico de x. cosh( x ) Calcula o cosseno hiperbólico de x. tanh( x ) Calcula a tangente hiperbólica de x. asinh( x ) Calcula o arco cujo seno hiperbólico é x. acosh( x ) Calcula o arco cujo cosseno hiperbólico é x. atanh( x ) Calcula o arco cuja tangente hiperbólica é x. Tabela 1.4 Funções Elementares Função Descrição abs( x ) Calcula o valor absoluto de x. sqrt( x ) Calcula a raiz quadrada de x. round( x ) Arredonda o valor de x para o inteiro mais próximo. fix( x ) Arredonda o valor de x para o inteiro mais próximo do zero. floor( x ) Arredonda o valor de x para o inteiro em direção - ∞. ceil( x ) Arredonda o valor de x para o inteiro em direção +∞. sign( x ) Retorna

rem( x,y ) Retorna o resto da divisão de x por y. gcd( x,y ) Calcula o máximo divisor comum de x e y. lcm( x,y ) Calcula o mínimo múltiplo comum de x e y.

exp( x ) Calcula o valor de e x , onde e ≅ 2 , 718282

log( x ) Calcula o logaritmo de x na base e. log10( x ) Calcula o logaritmo de x na base 10. Tabela 1.5 Funções de números complexos Função Descrição

Variáveis podem ser construídas com até 63 caracteres (MATLAB 7). As variáveis devem começar com uma letra que pode ser seguida de letras, números ou subscrito . Var x a_b O MATLAB possui alguns nomes que são utilizados para variáveis predefinidas. Estes são apresentados na tabela 1.8. Tabela 1.8 Variáveis predefinidas Variáveis predefinidas Descrição ans Variável usada para exibir os resultados. pi Número 3,14159. eps Menor número tal que, quando adicionado a 1, cria um número maior que 1 no computador. inf Representa o infinito, por exemplo, ocorre nas divisões por zero.

i ou j Unidade imaginária − 1

NaN ou nan Significa que não é um número, por exemplo, na divisão 0/0. clock Representa o tempo corrente num vetor de seis elementos contendo ano, mês, dia, hora, minuto e segundo. date Representa a data atual no seguinte formato: 06 - Sep-

1.6 Comandos de gerenciamento

O MATLAB possui comandos que podem ser utilizados para eliminar variáveis ou para obter informações sobre variáveis que foram criadas. Para isso a tecla Enter deve ser pressionada após digitar o comando na janela de comandos. Alguns desses comandos são descrito na tabela 1.9.

Tabela 1.9 Comandos de gerenciamento Comando Descrição clear Remove todas as variáveis da memória. clear x, y, z Remove somente as variáveis x, y e z da memória. who Lista as variáveis correntes armazenadas na área de trabalho. whos Mostra uma lista de variáveis correntes armazenadas com informações detalhadas de seus tamanhos.

1.7 Comentários e pontuação

Tabela 1.10 Comentário e Pontuação Símbolo Função , Separar comandos em uma mesma linha. ; SE um ponto e vírgula é digitado ao final de um comando, a impressão na tela é suprimida, mas a tarefa é realizada. % Todo e qualquer caractere depois do símbolo % é tomado como comentário.

... Para continuar uma expressão matemática na próxima linha utiliza- se um espaço em branco e três pontos, ao final das linhas incompletas.

1.8 Comandos gerais

As tabelas 1.11 até 1.14 mostram comandos gerais de ajuda, da área de trabalho e de diretórios. Tabela 1.11 Help Online Comando Descrição help Lista todos os tópicos que a ajuda está disponível. helpwin Abre a janela de ajuda interativa. helpdesk Abre o navegador web de ajuda.

bench Compara as operações em MATLAB realizadas pelo seu computador em relação a outros.

CAPÍTULO 2

2.1 Gerando um vetor

A tabela 2.1 apresenta algumas maneiras de construir um vetor. Tabela 2.1 Vetores Vetor X Descrição x = primeiro : último Cria um vetor x começando com o valor primeiro, incrementando-se de 1 em 1 até atingir o valor último, ou valor mais próximo possível de último. x = primeiro : increm : último Cria um vetor x começando com o valor primeiro, incrementando-se do valor de increm. até atingir o valor último, ou valor mais próximo possível de último.. x = linspace(primeiro, último, n) Cria um vetor x começando com o valor primeiro e terminando no valor último, contendo n elementos linearmente espaçados. x = logspace(primeiro, último, n) Cria um vetor x começando com o valor 10 primeiro e terminando no valor 10último, contendo n elementos logaritmicamente espaçados. x = [1 2 3] Cria um vetor linha x com os elementos especificados. A seguir apresentam-se alguns exemplos: a) >> x=1: x = 1 2 3 4 5 b) >> x=1:6. x = 1 2 3 4 5 6

c) >> x=1:0.1:1. x = 1.0000 1.1000 1.2000 1.3000 1.4000 1. d) >> z=linspace(1,2,6) z = 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2. e) >> z=logspace(0,2,5) z =1.0000 3.1623 10.0000 31.6228 100. f) >> x=[1 2 3] x = 1 2 3 No último exemplo foi criado um vetor linha, pode-se criar um vetor coluna separando os elementos por ponto e vírgula ( ; ). Veja no exemplo a seguir:

x=[1;2;3] x = 1 2 3 Esses vetores coluna podem também ser criados a partir dos comandos utilizados anteriormente para criar os vetores linha, acompanhados do símbolo ( ' ), que é o operador de transposição. Exemplo: y=(1:0.5:2)' y = 1.

2.2 Gerando uma Matriz

Os elementos de cada linha da matriz são separados por espaços em branco ou vírgulas e as colunas separadas por ponto e vírgula, colocando-se colchetes em volta do grupo de elementos que formam a matriz. Veja o exemplo:

A(:, m:n) Refere-se aos elementos de todas as linhas entre as colunas m e n da matriz A. A(m:n, :) Refere-se aos elementos de todas as colunas entre as linhas m e n da matriz A. A(m:n, p:q) Refere-se aos elementos entre as linhas m e n e colunas p e q da matriz A.

2.4 Operações com Vetores

Sejam os vetores a = [a 1 a 2 ... an], b = [b 1 b 2 ... bn] e c um escalar. A tabela 2. apresenta as operações básicas entre vetores. Tais operações só são possíveis quando estes tiverem o mesmo tamanho e orientação (linha ou coluna). Tabela 2.3 Operações com vetores Operação Expressão Resultado Adição escalar a^ +^ c [ a (^) 1 + c a 2 + c ... an + c ] Adição vetorial a + b [ a 1 + b 1 a 2 + b 2 ... an + b ] Multiplicação escalar a * c [ a (^) 1 * c a 2 * c ... an * c ] Multiplicação vetorial a. * b [ a 1 * b 1 a 2 * b 2 ... an * b ] Divisão a. / b [ a 1 / b 1 a 2 / b 2 ... an / b ] Potenciação (^) a .^ c [ a (^) 1 ^ c a 2 ^ c ... an ^ c ] c .^ a c [ ^ a 1 c ^ a 2 ... c ^ an ] a .^ b [ a (^) 1 ^ b 1 a 2 ^ b 2 ... an ^ bn ]

2.5 Operações com Matrizes

2.5.1 Transposta O caractere apóstrofo, " ' " , indica a transposta de uma matriz. Veja o exemplo abaixo:

A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

A = 1 2 3

>> B=A'

B = 1 4 7

2.5.2 Adição e Subtração A adição (+) e subtração (-) de matrizes são realizadas elemento a elemento, por isso só são realizadas se as matrizes tiverem a mesma dimensão. Exemplos:

C=A+B C = 2 6 10 6 10 14 10 14 18 D=A-B D = 0 - 2 - 4 2 0 - 2 4 2 0 2.5.3 Multiplicação A multiplicação de matrizes é indicada por "". A multiplicação AB é definida somente se o número de linhas de A for igual ao número de colunas de B. E=AB E = 14 32 50 32 77 122 50 122 194 Pode-se também multiplicar matrizes por escalares, como no exemplo abaixo: F=0.5E

No caso da exponenciação elemento a elemento, tem-se: A.^B = aij bij , onde A e B possuem a mesma dimensão. Da mesma forma, a exponencial de uma matriz por em escalar c é dada por: A.^c = aijc.

2. 6 Álgebra Linear

2.6.1 Determinante Seja A uma matriz. O comando det(A) retorna o determinante da matriz A. Por exemplo:

A=[1 2;3 4] A = 1 2 3 4 det(A) ans = - 2 2.6.2 Matriz Inversa A matriz B é a inversa de A, quando as duas matrizes são multiplicadas e o produto é a matriz identidade. O comando inv(A) retorna a matriz inversa da matriz A. B=inv(A) B = - 2.0000 1. 1.5000 - 0. 2.6.3 Auto vetores e Auto valores O MATLAB determina os autovalores e autovetores da matriz A. O comando eig(A) calcula um vetor coluna contendo os autovalores de A. O comando [Q,d] = eig(A) calcula uma matriz quadrada Q contendo os autovetores de A como colunas e uma matriz quadrada d contendo os autovalores de A na diagonal. Exemplo: eig(A) ans = - 0.

[Q,d]=eig(A)

Q = - 0.8246 - 0.

d = - 0.3723 0 0 5. 2.6.4 Fatoração triangular superior-inferior (LU) A fatoração triangular expressa uma matriz quadrada como produto de duas matrizes triangulares, sendo uma matriz triangular inferior e outra matriz triangular superior. O comando [L,U] = lu(A) expressa uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U, tal que o produto de L por U é igual a matriz A.

[L,U]=lu(A) L = 0.3333 1. 1.0000 0 U = 3.0000 4. 0 0. 2.6.5 Fatoração QR O método de fatoração QR da matriz A expressa um par de matrizes Q e R tais que Q é ortogonal e R é triangular superior. O produto de Q por R é igual a matriz A. O

A=[1 2;3 4] A = 1 2 3 4 >> det(A) ans = - 2 2.6.2 Matriz Inversa A matriz B é a inversa de A, quando as duas matrizes são multiplicadas e o produto é a matriz identidade. O comando inv(A) retorna a matriz inversa da matriz A. >> B=inv(A) B = - 2.0000 1. 1.5000 - 0. 2.6.3 Auto vetores e Auto valores O MATLAB determina os autovalores e autovetores da matriz A. O comando eig(A) calcula um vetor coluna contendo os autovalores de A. O comando [Q,d] = eig(A) calcula uma matriz quadrada Q contendo os autovetores de A como colunas e uma matriz quadrada d contendo os autovalores de A na diagonal. Exemplo: >> eig(A) ans = - 0. 5. >> [Q,d]=eig(A) #### Q = - 0.8246 - 0. d = - 0.3723 0 0 5. 2.6.4 Fatoração triangular superior-inferior (LU) A fatoração triangular expressa uma matriz quadrada como produto de duas matrizes triangulares, sendo uma matriz triangular inferior e outra matriz triangular superior. O comando [L,U] = lu(A) expressa uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U, tal que o produto de L por U é igual a matriz A. >> [L,U]=lu(A) L = 0.3333 1. 1.0000 0 U = 3.0000 4. 0 0. 2.6.5 Fatoração QR O método de fatoração QR da matriz A expressa um par de matrizes Q e R tais que Q é ortogonal e R é triangular superior. O produto de Q por R é igual a matriz A. O comando [Q,R] = qr(A) encontra tais matrizes Q e R. [Q,R]=qr(A) Q = - 0.3162 - 0.

• 0.9487 0. R = - 3.1623 - 4. 0 - 0. Se a matriz A é m x n , então Q será m x m e R será m x n.

size(A) Retorna um vetor linha [m,n], onde m e n é o tamanho m x n de A.

>> A = [1 2 3 4; 5 6 7 8]

A = 1 2 3 4

size(A) ans = 2 4 reshape(A,m,n) Rearranja a matriz A que têm r linhas e s colunas para ter m linhas e n colunas.

>> A=[3 1 4; 9 0 7]

A = 3 1 4

B = reshape(A,3,2) B = 3 0 9 4 1 7 diag( v ) Quando v é um vetor, cria uma matriz quadrada com os elementos de v na diagonal principal. v = [3 2 1]; A = diag(v) A = 3 0 0

0 2 0 0 0 1 diag(A) Quando A é uma matriz, cria um vetor com os elementos da diagonal de A.

>> A = [1 8 3; 4 2 6;7 8 3]

A = 1 8 3

vec = diag(A) vec = 1 2 3

2. 8 Análise de Dados de Vetores e Matrizes

A tabela 2.5 apresenta algumas funções de análise de matrizes e vetores. Tabela 2.5 Análise de dados Função Descrição Exemplo

mean(v) Se v é um vetor, retorna o valor médio dos elementos de v.

v=[1 5 6 8 48 56 2 0]; mean(s) ans = 15. C = max(A) Se A é um vetor, C é o valor do maior elemento. Se a A é uma matriz, C é um vetor linha contendo o maior elemento de cada coluna de A.

>> A=[4 6 9 4 15 2 0];

C=max(A) C = 15 [d,n] = max(A) Se A é um vetor, d é o maior elemento de A, n é a posição do elemento (a primeira, se tiver diversos valores máximos). [d,n]=max(A) d = 15 n = 5 min(A) [d,n] = min(A) O mesmo de max(A), só que min(A) retorna o menor elemento.

>> A=[ 2 7 8 0 4];

min(A) ans = 2 sum(A) Se A é um vetor, retorna a soma dos elementos do vetor.

>> A=[ 2 3 9 5 4];

sum(A) ans = 23 sort(A) Se A é um vetor, coloca os elementos em ordem crescente.

>> A=[ 2 5 1 10 3 ];

sort(A) ans = 1 2 3 5 10 median(A) Se A é um vetor, coloca os elementos em ordem crescente e retorna um valor mediano desses elementos.

>> A=[-1 0 2 8 9 13];

median(A) ans = 5 std(A) Se A é um vetor, retorna o desvio padrão dos elementos de A.

>> A=[-1 0 2 3];

std(A) ans =1. dot(A) Calcula o produto escalar de dois vetores a e b. a= [5 6 7]; b= [4 3 2]; dot(a,b) ans = 52