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Introdução
Um sistema de controle é basicamente um sistema entrada(s)-saída(s) conforme ilustrado na figura (1.1).
Figura 1.1: sistema de controle
O sistema a ser controlado é, em geral, chamado de processo ou planta. O processo é um sistema dinâmico, ou seja, seu comportamento é descrito matematicamente por um conjunto de equações diferenciais. Como exemplos de sistemas dinâmicos temos, entre outros: sistemas elétricos, mecânicos, químicos, biológicos e econômicos. A entrada do
processo é chamada de variável de controle ou varivel manipulada (MV) e a saída do processo é chamada de variável controlada ou variável de processo (PV). A filosofia básica de um sistema de controle consiste em aplicar sinais adequados na entrada do processo com o intuito de fazer com que o sinal de saída satisfaça certas especificações e/ou apresente um comportamento particular. Um problema de controle consiste então em determinar os sinais adequados a serem aplicados a partir da saída desejada e do conhecimento do processo.
Controle de Malha Fechada
O controle em malha aberta consiste em aplicar um sinal de controle pré-determinado, esperando-se que ao final de um determinado tempo a variável controlada atinja um determinado valor ou apresente um determinado comportamento. Neste tipo de sistema de controle não são utilizadas informações sobre evolução do processo para a determinar o sinal de controle a ser aplicado em um determinado instante. Mais especificamente, o sinal de controle não é calculado a partir de uma medição do sinal de saída.
Figura 1.2: controle em malha aberta
Exemplo: Imagine um automóvel sem velocimetro. Deseja-se manter a velocidade
constante em um determinado valor: por exemplo. O motorista estima então com qual pressão ele deverá pisar no acelerador e mantém o acelerador com esta pressão. Dependendo da experiência do motorista a velocidade final se mantera'
próxima de , mas somente com muita sorte ele conseguirá manter a
velocidade em. Por outro lado, se ele precisar subir (descer) uma lomba, a velocidade irá diminuir (aumentar).
Exemplo: Considere o controle de um forno onde um operador com uma determinada experiência, estima o tempo que o forno deve ficar ligado a plena potência para que a temperatura chegue a um determinado valor. Obviamente, apenas com muita sorte, a temperatura do forno ao final do tempo pré-determinado será exatamente a desejada. De uma maneira geral, a temperatura ficará um pouco acima ou um pouco abaixo do valor desejado. Além disto, a temperatura final do forno provavelmente irá variar dependendo de variações temperatura ambiente, ou seja, a temperatura interna final do forno será diferente se a temperatura externa for de 5 C (inverno) ou 30 C (verão).
Os exemplos acima ilustra as características básicas de um sistema de controle que opera em malha aberta: imprecisão, nenhuma adaptação a variações externas (perturbações), dependência do julgamento e da estimativa humana. Por outro lado, este tipo de sistemas são em geral simples e baratos, pois não envolvem equipamentos sofisticados para a medição e/ou determinação do sinal de controle.
Controle em Malha Fechada
No controle em malha fechada, informações sobre como a saída de controle está evoluindo são utilizadas para determinar o sinal de controle que deve ser aplicado ao processo em um instante específico. Isto é feito a partir de uma realimentação da saída para a entrada. Em geral, a fim de tornar o sistema mais preciso e de fazer com que ele reaja a perturbações externas, o sinal de saída é comparado com um sinal de referência (chamado no jargão industrial de set-point) e o desvio (erro) entre estes dois sinais é utilizado para determinar o sinal de controle que deve efetivamente ser aplicado ao processo. Assim, o sinal de controle é determinado de forma a corrigir este desvio entre a saída e o sinal de referência. O dispositivo que utiliza o sinal de erro para determinar ou calcular o sinal de controle a ser aplicado à planta é chamado de controlador ou compensador. O diagrama básico de um sistema de controle em malha-fechada é mostrado na figura (1.3).
Figure 1.3: controle em malha fechada
Exemplo: Considere o mesmo exemplo do automóvel. Suponha agora que o carro possui um velocímetro. O motorista pode então monitorar a velocidade e variar a pressão com que ele pisa no pedal de forma a manter a velocidade no valor desejado. Se a velocidade passar do valor desejado ele "alivia o pé", e, se a velocidade cair um pouco do valor desejado ele "pisa" um pouco mais forte no acelerador. O mesmo tipo de controle ele fará quando estiver subindo ou descendo uma lomba. Exemplo: Considere o mesmo exemplo do forno. Suponha agora que a temperatura interna do forno é medida e o seu valor é comparado com uma referência pré- estabelecida. Se a temperatura dentro do forno é menor que a referência, então aplica-se
- ordem do sistema: grau de
- tipo do sistema: número de pólos da em. Exemplo: Seja um sistema representado pela seguinte função de transferência:
tem-se então:
pólos:
zeros:
tipo do sistema: 1 (apenas um pólo na origem)
ordem do sistema: 3
Conhecendo-se a tranformada de Laplace de uma determinada entrada e a funcão de tranferência do sistema, é possível, através da transformada inversa de Laplace, determinar a resposta temporal do sistema, ou seja:
Os sinais de entrada mais utilizados em sistemas de controle são sinais do tipo salto (sinais de referência constantes) e sinais do tipo rampa (sinais de referência que variam linearmente com o tempo). A transformada de Laplace destes dois sinais são:
- (^) salto de amplitude :
- rampa com declividade :
A resposta a estes dois tipos de sinal são utilizadas para caracterizar o desempenho de um sistema de controle (vide seção 1.5).
Resposta em Freqüencia
A partir da função de transferência tem-se diretamente a resposta em frequência de um
sistema, para tanto basta fazer.
Considerando um sistema cuja função de transferência é , se alicarmos em sua entrada
um sinal senoidal a saída do sistema será também um sinal senoidal dado
por onde:
Fazendo variar , podemos representar graficamente a resposta em freqüência de um sistema seja pelo diagrama de Bode, seja pelo diagrama de Nyquist. O diagrama de Bode consiste em
traçar separadamente os gráficos de (curva de módulo) e (curva de fase) (figura 1.4)). Muitas vezes a curva de módulo do diagrama de Bode é graduada
em dB. O diagrama de Nyquist é um diagrama polar (figura 1.5)): a cada freqüência
corresponde um ponto na curva de Nyquist cujo módulo é dado por e o angulo é dado
por
Figure 1.5: curva de Nyquist
Função de Transferência em malha
fechada
Seja o diagrama em blocos da figura (1.6). A partir deste diagrama tem-se que 1.1^ :
Figure 1.6: função de transferência em malha fechada
onde
A funcão de transferência é denominada função de tranferência em malha fechada
enquanto é chamada de função de tranferência em malha aberta.
Estabilidade
A estabilidade de um sistema pode ser definida de diversas maneiras e segundo vários pontos de vista. Nos fixaremos aqui no conceito de BIBO-estabilidade (bounded input- bounded output). Segundo este conceito, um sistema é dito ser estável se, para todo sinal de amplitude limitada aplicado em sua entarda, o sinal de saída é também limitado. Por outro lado, se o sistema é instável, ao aplicarmos um sinal de amplitude limitada em sua entarda, sua saída divergirá com o passar do tempo, ou seja, a amplitude do sinal de saída tenderá a crescer indefinidamente. As figuras (1.7) e (1.8) mostram a resposta de dois sistemas a uma entrada do tipo salto unitário que constitui-se em um sinal de amplitude limitada. Note que a resposta do sistema (1.7) é limitada em amplitude e, portanto, este sistema é estável. Já o sistema da figura (1.8) apresenta uma resposta apresenta um comportamento divergente sendo, portanto, instável.
Figure 1.7: comportamento estável
o sistema se "acomoda" ou "reage" a nova entrada. Por outro lado, a resposta em regime permanente caracteriza o comportamento da saída do sistema após um longo tempo após a aplicação de um dado sinal de entrada.
Desempenho em Regime Transitório
O desempenho em regime transitório de um sistema é avaliado, em geral, pela resposta temporal do sistema a uma entrada do tipo salto. Uma resposta típica a um salto unitário (referência constante) é apresentada na figura (1.9). O desempenho do sistema é medido pelo valor das seguintes grandezas:
Figure 1.9: desempenho em regime transitório
- Máximo sobrepasso (overshoot): supondo que o valor da saída ultrapasse o valor da referência, o máximo sobrepasso é definido como o máxima diferença entre a saída e a entrada durante o período transitório, ou seja, o valor de pico máximo atingido pela resposta. Se a saída não ultrapassa o valor da entrada o sobrepasso máximo é, por definição igual a zero. O sobrepasso máximo é em geral dado em porcentagem:
O máximo sobrepasso é um indicativo da estabilidade relativa do sistema. Quanto maior seu valor menor a estabilidade relativa, isto é mais próximo o sistema estará de apresentar um comportamento instável. Em muitas aplicações, como em controle de posição por exemplo, sobrepassos são extremamente indesejáveis.
- Tempo de subida: É definido como o tempo transcorrido para a resposta ir de a
do seu valor final. O tempo de subida é um indicativo de quão rápido reaje o sistema a aplicação de um salto em sua entrada. Muitas vezes a redução excessiva do tempo de subida de um sistema a partir da sintonia dos parâmetros de um controlador pode provocar o aparecimento de um alto sobrepasso. Isto explica-se intuitivamente pelo fato que o sistema é "acelerado" de tal maneira que é difícil de "freiá-lo" o que leva a saída a ultrapassar de maneira significante o valor da entrada.
- Tempo de estabilização (ou acomodação): é o tempo necessário para que a resposta
entre e permaneça dentro de uma faixa percentual ( ou )em torno do valor de regime permanente.
- Atraso de transporte: é o tempo decorrente para que uma variação no sinal de referência ou de controle seja efetivamente "sentida" na variável de processo. Assim, se aplicarmos por exemplo uma entrada do tipo salto em um processo com atraso de transporte, a saída do processo permanecerá "fixa" durante um intervalo de tempo. Este tempo é o atraso de transporte. Entre as causas de ocorrência do atraso de transporte podemos citar: atraso na medida da variável de processo, ou seja tempo que o sensor leva para sentir que houve efetivamente uma variação, atraso na operação do atuador e atraso na ação do próprio controlador. Em geral quanto maior o atraso de transporte, mais difícil é o controle do processo.
Desempenho em Regime Permanente
O desempenho em regime permanente é medido a partir da capacidade de um sistema seguir referências padrões (salto, rampa, parábola) e a rejeitar assintoticamente sinais de perturbação também padrões. A ferramenta matemática utilizada na análise do regime permanente é o Teorema do Valor Final, que diz que o valor da saída do sistema quando (valor da saída em regime permanente) é dada pelo seguinte limite:
onde é a entrada aplicada ao sistema e é a função de transferência 1.2^ entre e.
Consideremos o diagrama da figura (1.10):
(b)
Figure 1.11: seguimento de referência
Observe que para (a) o sistema apresenta um erro em regime permanente igual a enquanto que no caso (b) este erro é nulo, ou seja, a saída iguala o valor da referência em regime permanente.
A partir do teorema do valor final, pode-se concluir o seguinte [3]:
- para que um sistema siga, com erro nulo em regime permanente, uma entrada de referência do tipo salto (constante), a função de transferência em malha aberta deve ser no mínimo do tipo 1, ou seja, possuir ao menos 1 pólo na origem. Se o sistema for do tipo 0, teremos um erro finito em regime permanente.
- para que um sistema siga, com erro nulo em regime permanente, uma entrada de referência do tipo rampa (reta), a função de transferência me malha aberta deve ser no mínimo do tipo 2, ou seja, possuir ao menos 2 pólos na origem. Se o sistema for do tipo 1, o sistema apresentará um erro finito e, se for do tipo 0, o erro será infinito, ou seja a referência e a saída do processo irão divergir em regime permanente.
Rejeição a perturbações
Considere que o sistema atingiu o regime permanente com relação a uma determinada entrada de referência. Num dado instante, o sistema é submetido à ação de um sinal
externo que não se extingüe no tempo por si só, por exemplo, um sinal do tipo salto ou rampa. Um sinal deste tipo é chamado perturbação de carga. A identificação exata do ponto de entrada da perturbação em um sistema, em geral, não é fácil determinar, mas pode-se assumir, sem perda de generalidade, que ela é aplicada na saída do processo (como na figura (1.10)) pois é onde seu efeito será sentido.
Exemplo: considere um motor de c.c. que está acionando uma determinada carga a uma velocidade constante. Num dado momento, a carga no eixo do motor é aumentada. Neste caso, a velocidade do motor tende a cair (efeito da perturbação na saída do processo) e duas situações podem ocorrer: ou a velocidade irá estabilizar em um valor menor ou tenderá a se recuperar e voltar ao valor de antes da aplicação da perturbação.
Nos sistemas de controle é desejável que o efeito de perturbações de carga na saída do processo seja minimizado ou completamente anulado, após um determinado período transitório. No primeiro caso dizemos que houve uma rejeição parcial e no segundo uma rejeição assintótica à perturbação.
Exemplo: Considerando as mesmas funções de tranferência do exemplo da página anterior, os gráficos da figura (1.12) mostram a rejeição parcial (caso (a)) e a rejeição assintótica (caso (b)) à uma perturbação do tipo salto.
Figure 1.12: rejeição à perturbações
Intuitivamente, para que um dado sistema em malha fechada rejeite assintoticamente uma dada perturbação, ele deve ser capaz de gerar internamente o sinal da perturbação, com sinal oposto a esta, de maneira a existir um cancelamento. Matematicamente, isto equivale a dizer que o laço de realimentação entre a perturbação e a saída deve possuir
- amostragem
- conversão analógico/digital
- cálculo do controle através de um programa
- conversão digital/analógica
- aplicação do sinal de controle calculado até o próximo instante de amostragem
A escolha da freqüencia de amostragem deve ser feita considerando-se o Teorema de
Nyquist que diz que "a freqüencia de amostragem, , deve ser no mínimo 2 vezes maior que a máxima freqüencia contida no sinal analógico a ser amostrado" a fim de evitar o fenômeno de aliasing (superposição de espectro). Intutivamente, se amostramos o sinal com uma freqüencia muito baixa, estaremos, de certa forma, "perdendo" informações sobre a evolução do sinal que está sendo amostrado o que acarretará o cálculo de um controle incorreto. A fim de evitar este fenômeno, um filtro anti-aliasing pode ser acrescentado ao sistema. Este filtro, colocado antes do dispositivo amostrador, funciona como um filtro passa-baixas que se encarrega de eliminar as componentes em
freqüência acima de.
Ações básicas de controle
Introdução
Como vimos no capítulo anterior, o controlador pode ser entendido como um
dispositivo que realiza determinadas operações matemáticas sobre o sinal de erro a
fim de produzir um sinal a ser aplicado a planta com o intuito de satisfazer um determinado objetivo. Estas operações matemáticas constituem o que chamamos de ações de controle. Neste sentido podemos identificar 4 ações básicas de controle:
- ação liga-desliga (on-off)
- ação proporcional
- ação integral
- ação derivativa
Detalharemos agora estas 4 ações, sendo que a compreensão física destas ações são fundamentais para o perfeito entendimento e sintonia dos controladores PID.
Ação Liga-Desliga ( On-off )
Neste tipo de ação o controlador é modelado por um relé conforme mostra a figura (2. ).
Figure 2.1: controle on-off
O sinal de controle pode assumir apenas dois valores, conforme o erro seja positivo ou negativo. Em outras palavras tem-se:
Este tipo de função pode ser implementada como um simples comparador ou mesmo um relé físico. Note que neste caso teríamos uma inconsistência em zero e, na presença
de ruídos, teríamos chaveamentos espúrios quando o sinal for próximo de zero. Para evitar este tipo de problema, utiliza-se na prática o que chamamos de controlador liga-desliga com histerese mostrado na figura (2.2).
Figure 2.2: Histerese
Com este tipo de controlador temos o seguinte comportamento:
- Se , é necessário que o valor de desça abaixo de para
que haja um chaveamento para.
- Se , é necessário que o valor de ultrapasse o valor de para
que haja um chaveamento para.
O gráfico da figura (2.3) mostra a curva de resposta em malha fechada e o respectivo sinal de controle para um sistema com controlador liga-desliga com histerese. Note que,
A figura (2.4) mostra a resposta de um sistema considerando-se a aplicação de uma ação
proporcional. Note que, quanto maior o ganho menor o erro em regime permanente, isto é, melhor a precisão do sistema em malha fechada. Este erro pode ser diminuído com o aumento do ganho, entretanto nunca conseguiremos anular completamente o erro. Por outro lado, quanto maior o ganho, mais oscilatório tende a ficar o comportamento transitório do sistema em malha fechada. Na maioria dos processos físicos, o aumento excessivo do ganho proporcional pode levar o sistema a instabilidade.
Figure 2.4: ação proporcional: Kp=1(contínuo),2(tracejado),4(pontilhado)
Ação Integral
A ação de controle integral consiste em aplicar um sinal de controle proportional à
integral do sinal :
é chamado de tempo integral ou reset-time.
A ação integral tem assim uma função "armazenadora de energia". Note que, se a partir
de um determinado tempo o erro e' igual a zero, i.e. , o sinal o sinal de
controle será mantido em um valor constante proporcional a "energia armazenada"
até o instante. Este fato permitirá, no sistema em malha fechada, obter-se o seguimento de uma referência com erro nulo em regime permanente, pois a ação integral garantirá a aplicação ao processo de um sinal de controle constante de forma a
ter-se , i.e..
A função de transferência da ação integral é dada por:
Assim sendo, sob um ponto de vista matemático, a ação integral permite aumentar o tipo do sistema, ou seja, a nova função de transferência em malha aberta será dada por
e possuira' um pólo a mais na origem, fato este que como vimos na seção ( 1.5.2 permite obter-se erro nulo em regime permanente a determinadas referência do
tipo. Pelo mesmo raciocínio, a utilização de uma ação integral possibilitará a
rejeição assintótica de certas perturbações de carga na saída do processo do tipo. A ação integral esta então diretamente ligada a melhoria da precisão do sistema. Entretanto, a introdução de um pólo na origem na função de transferência em malha aberta, tende a piorar a estabilidade relativa do sistema em malha fechada ou mesmo torná-lo instável. Por este motivo, esta ação de controle em geral não é aplicada de maneira isolada.
Ação Derivativa
Esta ação corresponde a aplicação de um sinal de controle proporcional a derivada do sinal de erro:
A função de transferência desta ação é dada por:
Note que este tipo de função de transferência implica em um ganho que cresce com o aumento da frequência, fato este que deixaria o sistema extremamente sensível a ruídos de alta freqüência. De mais a mais a implementação analógica de um derivador puro é fisicamente impossível. Por estes motivos a implementação da ação derivativa dá-se com a introdução de um pólo em alta freqüência que tem justamente a finalidade de limitar o ganho em alta freqüencia. A função de transferência torna-se então:
