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Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 4, Dezembro, 2000 523
A Invenc~ao do Conceito de Quantum
de Energia segundo Planck
Nelson Studart Departamento de Fsica, Universidade Federal de S~ao Carlos, 13565-905, S~ao Carlos, S~ao Paulo
Recebido em 22 de Novembro de 2000. Aceito em 29 de Dezembro de 2000.
Ha cem anos, a ideia do quantum provo cou uma revoluc~ao na ci^encia e a busca de uma nova base conceitual para a to da a fsica, como enfatizou Einstein. Neste artigo, discuto os asp ectos essenciais dos trabalhos de Planck de 1900 sobre a radiac~ao do corp o negro e a hipotese da quantizac~ao da energia.
A hundred years ago, the quantum concept provoked a revolution in science and the search of a new conceptual basis for whole physics, as emphasized by Einstein. In this pap er, I discuss the essential features of Planck's works in 1900 on the blackb o dy radiation and the hyp othesis of energy quantization.
I Intro duc~ao
Trop ecavas nos astros desastrada Quase n~ao tnhamos livros em casa E a cidade n~ao tinha livraria Mas os livros que em nossa vida entraram S~ao como a radiac~ao do corp o negro Ap ontando pra a expans~ao do Universo Porque a frase, o conceito, o enredo, o verso (E, sem duvida, sobretudo o verso) E o que p o de lancar mundos no mundo. Caetano Veloso em Livros (1a. estrofe)
Em 14 de dezembro de 1900, Max Karl Ernst Lud- wig Planck (1858-1957) apresentou, em uma reuni~ao da So ciedade Alem~a de Fsica, o trabalho intitulado Sobre a Teoria da Lei de Distribuic~ao de Energia no Espec- tro Normal [1], em que intro duziu o conceito de quan- tizac~ao da energia e deu origem a uma das revoluc~oes da fsica no seculo XX. Os versos de Caetano Veloso, do seu disco Livro^1 , torna o tema bastante atual para o grande p ublico ao enfo car a radiac~ao cosmica de fundo, o fossil remanescente do Universo primordial e a prin- cipal evid^encia da exist^encia do big bang e expans~ao do Universo. As origens da teoria qu^antica, em particular o signi- cado e a rep ercuss~ao da hipotese de Planck, t^em sido analisadas em varios artigos e livros com o devido rigor historico. Dentre eles, gostaria de destacar os de Leon
Rosenfeld[3], Martin Klein [4, 5 , 6 , 7 ], Hans Kangro[8, 9], Max Jammer[10], e Mehra e Rechenb erg[11] que re- levam sobremaneira o pap el de Planck como inventor da teoria qu^antica. Mais do que celebrar este imp ortante aconteci- mento, pretendo neste artigo discutir as origens da te- oria qu^antica de um mo do didatico p elo menos na concepc~ao do autor com a esp eranca de que este texto p ossa ser usado em disciplinas de Fsica Mo- derna e Mec^anica Qu^antica, com ^enfase em seus asp ec- tos historicos, b em como na disciplina de Evoluc~ao de Conceitos da Fsica, ou mesmo, de Historia da Fsica.^2 A invenc~ao do quantum de energia e um dos muitos exemplos na historia da ci^encia que revela que \con- ceitos cient cos s~ao criados p or ac~oes da imaginac~ao e intelig^encia humanas e n~ao s~ao como ob jetos que s~ao `descob ertos' como entidades que ja existem".[13] Como enfatiza Arons, alertar os estudantes para este fato e uma tarefa revestida de carater p edagogico inestimavel. Uma outra caracterstica relevante desta invenc~ao e a demonstrac~ao cabal da e ci^encia da interac~ao en- tre o p esquisador teorico e o exp erimental provido de uma infra-estrutura lab oratorial adequada. A ligac~ao estreita entre Planck e seus colegas Heinrich Rub ens (1865-1922) e Ferdinand Kurlbaum (1857-1927), do Physicalisch-Technische Reichsanstalt o mais imp or- tante lab oratorio fsico-tecnico alem~ao, centro de re- fer^encia de p esos e medidas e precursor do atual La- b oratorio Nacional de Fsica e Tecnologia da Alemanha (^1) Agraciado este ano com o Grammy, a mais imp ortante premiac~ao musical dos Estados Unidos, na categoria World Music. (^2) Uma intro duc~ao bastante simples aos conceitos da fsica qu^antica numa ab ordagem quase-historica p o de ser encontrada na Ref. [12].
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foi fundamental para que a hipotese da quantizac~ao da energia fosse formulada. Como veremos, foi a cons- tatac~ao, p or Rub ens, de que seus dados exp erimentais se a justavam muito b em a formula de Planck para a dis- tribuic~ao esp ectral da radiac~ao termica, obtida atraves da interp olac~ao entre dois limites de freq u^encias, que le- vou Planck a pro curar as raz~oes basicas para a obtenc~ao da famosa lei da radiac~ao do corp o negro quando \apos algumas semanas do mais extenuante trabalho da mi- nha vida, a escurid~ao se desfez e uma inesp erada vista comecou a surgir".^3 Os trabalhos seminais sobre a quantizac~ao da ener- gia foram apresentados p or Planck, p erante a Acade- mia Alem~a de Fsica, nas sess~oes de 19 de outubro e 14 de dezembro de 1900. Na primeira comunicac~ao, uma nova formula para a distribuic~ao esp ectral da ra- diac~ao normal (corp o negro) e prop osta. Na segunda, Planck intro duz a hipotese de quantizac~ao da energia seguindo um meto do n~ao-orto doxo inspirado nas ideias da mec^anica estatstica de Ludwig Boltzmann (1844- 1906). No incio de 1901, aparece no Annalen der Phy- sik o trabalho completo, em que Planck apresenta uma deduc~ao mais elab orada da sua distribuic~ao esp ectral.^4
I I A Radiac~ao do Corp o Negro
Um corp o aquecido emite radiac~ao eletromagnetica em um largo esp ectro contnuo de freq u^encias, principal- mente na regi~ao do infravermelho (sensac~ao de calor), mas com intensidade variavel que atinge um maximo em um determinado comprimento de onda. E b em conhecido, p or exemplo, que um metal a 600 o^ C, (p or exemplo, em um forno eletrico) apresenta uma fraca colorac~ao avermelhada enquanto que o mesmo material (p or exemplo, em uma sider urgica) apresenta uma cor azulada a temp eraturas b em mais altas. O Sol, cuja temp eratura na sup erfcie e de cerca de 6.000o^ C, e o exemplo mais familiar de emiss~ao de radiac~ao termica, cujo esp ectro abrange to da a regi~ao vsivel incluindo a de comprimentos de onda maiores (infravermelho) e menores (ultravioleta). De uma maneira geral, materia e radiac~ao intera- gem e atingem o equilbrio termo din^amico atraves de tro cas de energia. Sejam e a p ot^encia emissiva, i.e. a quantidade de energia radiante emitida p or unidade de area e p or unidade de temp o, e a a absortividade ou absort^ancia, i.e. a frac~ao de energia incidente sobre a sup erfcie que e absorvida. W. Ritchie (1833)^5 ve- ri cou o princpio de prop orcionalidade entre emiss~ao e absorc~ao total, em sua famosa exp eri^encia com dois corp os radiantes A e B , usando um term^ometro dife-
rencial. No equilbrio termico, o princpio estab elece que eA aA
eB aB
Sup onha que um dos corp os apresente a esp eci cidade de que aN = 1, ou seja o corp o N absorve to da a ra- diac~ao que incide sobre ele. Da, denominamos N de corp o negro. E evidente, da Eq. (1), que
eN =
eA aA
tal que eN > eA (2)
para qualquer corp o A. Assim, o corp o negro p ossui uma p ot^encia emissiva maior do que a de qualquer ou- tro corp o. Evidentemente, um ob jeto com estas ca- ractersticas e um corp o ideal que n~ao p o de ser encon- trado na pratica, mas p o de ser construdo, numa b oa aproximac~ao, atraves de uma caixa o ca (um forno, p or exemplo) com paredes internas metalicas e uma p e- quena ab ertura que p ermite a passagem de radiac~ao, como ilustrado na Fig. 1. A caixa deve ser reves- tida de um excelente isolante termico e esp elhada exter- namente, re etindo to da radiac~ao eventualmente inci- dente, exceto na ab ertura. A radiac~ao, que entra na ca- vidade, tem uma probabilidade muito p equena de esca- par, p ermanecendo assim em seu interior e sendo espa- lhada p elas paredes da cavidade ate atingir o equilbrio termico. Desta forma, to da a radiac~ao incidente e ab- sorvida p elo corp o.
Figura 1. Representac~ao esquematica de um corp o negro.
A radiac~ao contida na cavidade p o de ser decom- p osta em suas comp onentes esp ectrais atraves de uma func~ao distribuic~ao ( ; T ) tal que ( ; T )d e a den- sidade de energia (energia por unidade de volume) da radiac~ao com freq u^encia no intervalo compreendido en- tre e + d quando a cavidade esta a uma temp e- ratura absoluta T. O esp ectro emitido p ela cavidade (^3) M. Planck, citado na Ref. [4], p. 468. (^4) A vers~ao para o p ortugu^es deste trabalho encontra-se neste n umero da RBEF. (^5) Citado na Ref. [9], p. 7.
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A lei de Wien foi veri cada exp erimentalmente in umeras vezes a con rmac~ao mais cuidadosa foi a de Friedrich Paschen (1865-1947) , e constituiu um consideravel avanco p ois p ermitia determinar a distri- buic~ao esp ectral para qualquer temp eratura, uma vez que se conhecesse a distribuic~ao em uma dada temp e- ratura. Otto Lummer (1860-1925) e Ernst Pringsheim (1859-1917), em Berlim, con rmaram a validade da Eq. (8), encontrando que b = 0 ; 294 cm.grau.^13
I I.2 Formulas Empricas da Distribuic~ao
Esp ectral
No entanto, nem os princpios e relac~oes basicas da termo din^amica nem do eletromagnetismo, p or si so, p ermitem achar a forma funcional de f ( =T ) ou '(T ). Sua determinac~ao era um dos maiores problemas da fsica teorica no nal do seculo XIX. Uma das conjecturas prop ostas, em 1896 p elo proprio Wien[17], foi baseada em argumentos d ubios de que a distribuic~ao de energia deveria ser do tip o daquela prop osta p or Maxwell para a distribuic~ao de velo cidades de moleculas de um gas. Wien argu- mentou que o n umero de moleculas e prop orcional a exp( mv 2 =kB T ) express~ao que deveria ser valida tambem para moleculas no solido e \uma vis~ao atu- almente aceita e que as cargas eletricas das moleculas p o dem excitar ondas eletromagneticas...[e] como o com- primento de onda da radiac~ao emitida p or uma dada molecula e uma func~ao de v , v e tambem uma func~ao de ". Assim, usando a sua lei, dada p ela Eq. (7), prop^os que a distribuic~ao esp ectral seria ser dada p or
'(T ) = C exp( c=T )
ou f (
T
) = exp(
T
onde C ; c; e s~ao constantes. Merece ser destacado o pap el desemp enhado p elo Physicalisch-Technische Rei- chsanstalt e os exp erimentos a realizados a partir de 1896 atraves das guras pro eminentes de Otto Lum- mer, membro do lab oratorio desde 1889, e seus colegas e colab oradores Ernst Pringsheim, Heinrich Rub ens e Ferdinand Kurlbaum. As medidas da distribuic~ao es- p ectral eram difceis de serem obtidas com a precis~ao necessaria para decidir dentre varias formulas empricas prop ostas Uma descric~ao detalhada dos resultados ex- p erimentais p o de ser encontrada na Ref. [9]. A Fig. 2 mostra os resultados de Lummer e Pringsheim ao nal de 1899. A formula de Wien a justava-se satisfatoria- mente aos resultados exp erimentais `preliminares'.
Figura 2. Intensidade esp ectral como func~ao do compri- mento de onda obtida p or Lummer e Pringsheim em no- vembro de 1899. Extrado da Ref. [9 ], p. 176.
I I I A Teoria de Planck sobre a
Radiac~ao do Calor
A partir do desa o de se encontrar uma formula precisa e b em fundamentada da distribuic~ao esp ectral, nasceu a teoria qu^antica intro duzida p or Planck. Em 1897, Planck, com quase 40 anos assim como Galileo (1546-1642), fez suas descob ertas com uma (^13) Planck vai usar este valor para determinar a constante h e a constante de Boltzmann kB.
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idade ja avancada se comparada com aquela de ou- tros grandes cientistas na ep o ca de suas maiores con- tribuic~oes , comecou a investigar o problema da ra- diac~ao do corp o negro. De acordo com o teorema de Kirchho , a radiac~ao p ossua um carater universal, de mo do que Planck pro curou uma ab ordagem que se ba- seasse na eletro din^amica e na irreversibilidade do pro- cesso que conduzia a radiac~ao ao equilbrio termico. A quest~ao principal seria determinar como a radiac~ao e a materia interagem e atingem o equilbrio. Como p o- demos explicar que um sistema conservativo formado de radiac~ao eletromagnetica e uma colec~ao de oscilado- res harm^onicos que Planck chamou ressonadores chega ao equilbrio sem invo car outras hipoteses alem das leis da teoria eletromagnetica e da termo din^amica? A escolha dos osciladores harm^onicos, como um mo- delo simples para a materia, p o de ser justi cada p elo teorema de Kirchho que assegura a indep end^encia da distribuic~ao da radiac~ao do corp o negro em relac~ao a comp osic~ao da materia. Em 1899, Planck provou um teorema bastante im- p ortante que estab elece uma relac~ao entre a densidade de energia ( ; T ) e a energia media u( ; T ) do conjunto de osciladores harm^onicos que representava os atomos na sup erfcie interna da cavidade no corp o negro em equilbrio termo din^amico. O resultado p o de ser escrito como^14
( ; T ) =
c^3 u(^ ;^ T^ ):^ (10)
Como a radiac~ao e os osciladores est~ao em equilbrio, a freq u^encia tem duplo signi cado: representa a freq u^encia da radiac~ao incidente assim como uma p ossvel freq u^encia dos mo dos de oscilac~ao dos atomos na parede da cavidade. A Eq. (10) p o de ser obtida, em linhas gerais, p ela determinac~ao da energia irradiada p or segundo p or uma carga acelerada. Este e um calculo essencial na teo- ria eletromagnetica e p o de ser encontrado em in umeros livros-textos. O resultado e imp ortante para a com- preens~ao das propriedades da radiac~ao eletromagnetica, n~ao ap enas no corp o negro, mas tambem daquela emi- tida p or atomos, estac~oes de radio, estrelas e ate na origem da cor azul dos ceus.[19] A famosa formula para a p ot^encia irradiada p or um dip olo oscilante e dada p or P (t) = 23 q^
2 c^3 a
(^2) ; em que a e a acelerac~ao da
carga q. No caso de oscilador harm^onico (dip olo osci- lante), a = (2 )^2 x; e tomando-se a media temp o- ral, transforma-se em P = 23 q^
2 c^3 (2^ ^ )
(^4) x (^2) em que o
valor medio e tomado em intervalos de temp o longos
comparados com o p ero do de oscilac~ao, mas su cien- temente p equenos para desprezarmos a radiac~ao nestes intervalos. Como a energia total media dos osciladores u = m(2 )^2 x^2 , ent~ao P = 23 q^
2 mc^3 (2^ ^ )
(^2) u: Por ou- tro lado, o trabalho fornecido p or segundo ao oscilador p or um camp o de radiac~ao com densidade de energia ( ) e dado p or P = ^ q^
2 3 m (^ );^ que^ resulta^ da^ soluc~ao^ da equac~ao do movimento do oscilador harm^onico na pre- senca de um camp o eletrico com freq u^encia :^15 Igua- lando as duas express~oes, temos o resultado do teorema de Planck, Eq. (10). E evidente que Planck precisava calcular a energia media de um oscilador harm^onico a uma temp eratura T para determinar, atraves da Eq. (10), a distribuic~ao esp ectral. Po deria usar o resultado ja conhecido do teo- rema da equipartic~ao da energia que n~ao levaria a res- p osta correta como discutiremos a seguir. No entanto, Planck preferiu usar uma ab ordagem \termo din^amica", talvez devido ao seu continuado interesse nesta linha de p esquisa desde o seu doutorado, cuja tese consistiu numa reanalise do trabalho de Rudolf Clausius (1822-
- sobre a segunda lei da termo din^amica em termos da noc~ao de entropia. Usando a formula de Wien, dada p ela Eqs. (6) e (9), e a Eq. (10), temos ( ; T ) = ( c^3 = 8 ) exp( =T ): Deste resultado, temos que T ^1 = (^1) ln( (^8) c 3 u ): Mas, como T ^1 = @ S=@ u (a volume constante), a equac~ao p o de ser integrada e a entropia do oscilador S p o de ser escrita em termos de sua energia u [antes denotada p or u( ; T )] como S =
u
ln
u Ae
em que A = c^3 = 8 e e e a base do logaritmo natu- ral. Com a entropia assim de nida, Planck determinou a entropia da radiac~ao em equilbro com o conjunto de osciladores e mostrou que esta satisfazia a segunda lei da termo din^amica. Mais ainda, Planck cou impressi- onado com a simplicidade da Eq. (11) que implicava que @ 2 S=@ u^2 / u ^1. Planck mostrou ainda que qualquer outra formula prop osta para ( ; T ) deveria ser tal que @ 2 S=@ u^2 fosse uma func~ao negativa da energia u de mo do a satisfazer a segunda lei da termo din^amica.
IV A Formula Emprica de
Planck
No incio de 1900, as duas equip es do Physicalisch- Technische Reichsanstalt em Berlim, formadas p or (^14) Derivac~oes simpli cadas encontram-se no Ap^endice A da Ref. [10 ], p. 407 e Ref. [18], p. 870. (^15) A deduc~ao p o de ser vista no Ap^endice XXXIV da Ref. [16 ].
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@ S=@ u, chega-se a dep end^encia desejada. Planck ent~ao prop^os uma express~ao \quase t~ao simples quanto a ex- press~ao de Wien, e que mereceria ser investigada uma vez que a express~ao de Wien n~ao e su ciente para cobrir to das as observac~oes" dada p or
@ 2 S @ u^2
u( + u)
em que \uso a derivada segunda de S em relac~ao a u p orque esta quantidade tem um signi cado fsico sim- ples. Esta e, de longe, a mais simples de to das as ex- press~oes que leva S a ser uma func~ao logartmica de U ". Integrando a Eq. (12), temos @ S=@ u = (1= ) ln[( + u)=u)] + c; onde c e uma constante arbitraria. Usando @ S=@ u = T ^1 , (1= ) ln[( + u)=u)] + c = T ^1 , e encon- tramos c = 0, p orque no limite de altas temp eraturas amb os os lados da equac~ao devem se anular. Assim, a energia do oscilador e dada p or
u = e =T^ 1
e usando a Eq. (10), a distribuic~ao de energia vem a ser dada p ela express~ao
( ; T ) =
c^3
e =T^ 1
A lei de deslo camento de Wien, Eq. (6) torna claro que deve ser uma func~ao linear de . Uma express~ao geral, em termos de duas constantes genericas A e B , p o de ser escrita como
( ; T ) =
c^3
A 3
eB^ ^ =T^ 1
E Planck conlui: \Assim, p ermiti-me chamar a sua atenc~ao para esta nova formula, que considero ser, ex- ceto a express~ao de Wien, a mais simples p ossvel do p onto de vista da teoria eletromagnetica da radiac~ao."
V A Lei \Classica" da Radiac~ao
Termica
Farei aqui uma p equena digress~ao, p or raz~oes de com- pletitude historica, para assinalar a contribuic~ao de Lord Rayleigh (John William Strutt, 1842-1919) a in- vestigac~ao da radiac~ao do corp o negro que se tor- nou marcante como sendo o resultado classico da dis- tribuic~ao esp ectral, baseado na mec^anica estatstica classica de Maxwell-Boltzmann.
Em uma curta nota, publicada em junho de 1900, Rayleigh[20] aplicou a \doutrina de Maxwell- Boltzmann da partic~ao da energia", i.e., o teorema da equipartic~ao da energia as oscilac~oes eletromagneticas da radiac~ao na cavidade e encontrou uma formula ra- dicalmente contraria a formula de Wien. Seu meto do consistia em calcular o n umero de ondas estacionarias, ou seja a distribuic~ao de mo dos eletromagneticos p er- mitidos com freq u^encia no intervalo entre e + d , N ( )d , dentro da cavidade. E b em conhecido que^18
N ( )d =
8 V
c^3
2 d : (16)
Para encontrar a densidade de energia, devemos sa- b er a energia media de cada oscilador. O teorema da equipartic~ao da energia estab elece que cada termo da energia prop orcional ao quadrado da co ordenada, momentum (ou amplitude da onda) contribui sempre com a mesma quantidade para a energia media, exata- mente (1=2)kB T. Lembre-se que no caso do oscilador " = p^2 = 2 m + (1=2)m! 2 x^2 , e no caso da radiac~ao eletro- magnetica " / (E 02 + B 20 ). Assim, teremos
u(T ) = kB T : (17)
A lei obtida p or Rayleigh para a radiac~ao do corp o ne- gro p ossa ser expressa atraves do pro duto do n umero de ondas eletromagneticas dentro da cavidade p ela energia de cada uma delas. O resultado e
( ; T )d =
N ( )d V
u(T ) =
c^3
(kB T ) 2 d : (18)
A lei de radiac~ao de Rayleigh e conhecida como lei de Rayleigh-Jeans, apos a contribuic~ao de James Jeans (1877-1946), em maio de 1905, ao intro duzir o fator 1 = 8 no calculo de N ( )d ; que fora esquecido p or Ra- yleigh em um trabalho de 1905.^19 Como o seu resultado era consideravelmente diferente da aclamada formula de Wien, Rayleigh intro duziu um fator exp onencial, tal que a express~ao completa mo di cada e
( ; T )d = c 1 T 2 exp( c 2 T
Rayleigh conclui sua nota^20 com o seguinte comentario: \Se a Eq. (19) representa as observac~oes, eu n~ao estou em p osic~ao de a rmar. Esp era-se que uma resp osta a esta quest~ao p ossa ser encontrada brevemente p elas m~aos de destacados exp erimentais que t^em se o cupado deste assunto." (^18) Veja p or exemplo, Ref. [21], p. 45. (^19) Neste ano, Rayleigh e Jeans tro caram varias cartas na Nature. Ver cronologia de eventos na Ref. [18], p. 872. (^20) Na verdade, os fatores numericos so foram calculados no artigo de 1905, sem o termo exp onencial.
530 Nelson Studart
Digno de registro e o fato que Planck p o deria ter usado o teorema da equipartic~ao da energia, u(T ) = kB T , na sua Eq. (10), e obtido o mesmo resultado. Isto foi feito p or Alb ert Einstein (1879-1955) em seu traba- lho de 1905, em que intro duziu o conceito de quantum de luz.[22] Planck n~ao se referiu a este resultado de Rayleigh em seus trabalhos, mas obviamente o conhecia, p orque fora publicado na prestigiosa Philosophical Magazine e Rub ens, na visita domiciliar de 7 de outubro, lhe co- municara que, para baixas freq u^encias, o resultado ob- servado corresp ondia a formula de Lord Rayleigh, dada p ela Eq. (19). Emb ora a lei de Rayleigh-Jeans, Eq. (18), satisfaca a lei de deslo camento de Wien, dada p ela Eq. (6) com f ( =T ) = ( =T ) ^1 , a formula falha no limite de grandes freq u^encias e conduz a uma diverg^encia na densidade de energia total, como tambem ap ontado p or Einstein,[22]
U =
Z
( ; T )d /
Z^1
0
2 dv = 1 : (20)
Este resultado cou conhecido p osteriormente como a \catastrofe do ultravioleta", gracas a Paul Ehrenfest (1880-1933).^21
VI A Intro duc~ao dos Quanta
Na reuni~ao de 14 de dezembro de 1900, Planck co- municou aos membros da So ciedade Alem~a de Fsica a deduc~ao teorica de sua formula, prop osta em 19 de outubro, e no que veio a chamar de um \ato de dese- p ero" teve que intro duzir a hipotese da descontinuidade da energia dos osciladores. A nota e curta e de difcil compreens~ao. [1] Tr^es semanas dep ois, Planck enviou um trabalho completo para o Annalen der Physik, onde apresentava uma deduc~ao mais aprimorada de sua ex- press~ao para a distribuic~ao esp ectral. Nos dois meses que separaram as duas reuni~oes, Planck mudou radicalmente a sua linha de p ensamento, exp osta nos trabalhos anteriores, ao adotar as ideias de Boltzmann acerca da relac~ao entre entropia e probabi- lidade. Mais ainda, teve que inventar um dos conceitos mais basicos da teoria fsica. E o fez usando um meto do
n~ao-orto doxo claramente diferente daquele empregado p or Boltzmann. Planck havia mostrado nos trabalhos anteriores que um p onto chave, para uma teoria do esp ectro de ra- diac~ao termica, era a determinac~ao teorica da entro- pia em func~ao da energia de um oscilador harm^onico com freq u^encia ; como na Eq. (11) no caso de uso da formula de Wien.^22 Se sua espress~ao para ( ; T ), Eq. (15), estivesse correta, ent~ao, seguindo os mes- mos passos na obtenc~ao da Eq. (11), p o der-se-ia ob- ter a entropia do oscilador. Como, em sua formula, u = A^0 [exp (B =T ) 1] ^1 , invertendo esta equac~ao para T ^1 = @ S=@ U , e ent~ao integrando, chega-se ao resultado
S =
A^0
B
h
u A^0
) ln (1 +
u A^0
u A^0
ln
u A^0
i
em que A e B s~ao as constantes que aparecem na Eq. (15) e A^0 = Ac^3 = 8 2 : Para deduzir formalmente a Eq. (21), Planck tinha que pro curar outro meto do e o en- controu no trabalho de Boltzmann. Segundo Boltzmann, a entropia de um sistema em um dado estado e prop orcional a probabilidade da- quele estado que, em notac~ao mo derna, p o de ser escrita como^23 S = kB ln W; (22) em que W e o n umero de \complexos" - como cha- mou Planck -, i.e. o n umero de arranjos microscopicos compatveis com o dado estado macroscopico, e kB e a constante de Boltzmann. Como determinar W? Planck argumenta que:
Ent~ao, a energia total
uN = N u (23)
de um tal sistema, formado p or N ressonado- res, corresp onde uma certa entropia total
SN = N S (24)
do mesmo sistema, em que S representa a en- tropia media de um ressonador particular. Esta entropia SN dep ende da desordem com a qual a energia total uN se reparte entre os diferentes ressonadores individuais. (^21) O termo apareceu p ela primeira vez no seu quarto captulo de seu artigo publicado no Ann. Phys. 36 , 91 (1911), reimpresso na Ref. 22 [23]. Esta tese e defendida p or Klein. Conferir a Ref. [4], p. 469. (^23) Na verdade, ap esar desta formula constar da lapide de seu t umulo, Boltzmann nunca a escreveu nesta forma. Quem o fez, foi Planck em seu artigo de 1901 no Annalen der Physik. Mais ainda, quem realmente intro duziu a constante kB foi Planck. "Em varias o casi~oes, nos ultimos anos de vida, Planck comentou que, emb ora a constante fosse compreensvelmente conhecida como a constante de Boltzmann, este nunca lhe atribura algum signi cado fsico nem nunca pro curou estimar o seu valor numerico" [[4], p. 471]. Planck ainda deu grande ^enfase ao seu carater universal, em sua comunicac~ao de 14 de dezembro de 1900.
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Ele achou o valor e = 4 ; 69 10 ^10 esu. Planck ressal- tou a imp ort^ancia da determinac~ao destas constantes basicas que a sua teoria tornou p ossvel.
VI I Conclus~oes
Emb ora 1900 seja considerado atualmente o ano do nas- cimento da fsica qu^antica, a ideia revolucionaria dos quanta de energia n~ao desp ertou nenhuma atenc~ao nos quatro anos seguintes. Foi ap enas em 1905, com o tra- balho de Einstein intro duzindo a hipotese dos quanta de luz (fotons) que o conceito de Planck comecou a ser reconhecido. Varias explicac~oes foram aventadas. Klein[4] argumenta que a teoria da radiac~ao n~ao era o centro das atenc~oes em fsica na ep o ca, tendo em vista as grandes descob ertas na virada do seculo: raios- X (1895), radioatividade (1896), eletron (1897), den- tre outras. Alem disto, um conjunto de eminentes ci- entistas, liderados p or Wilhelm Ostwald (1853-1932), atacava com furor os fundamentos da teoria cinetica. E em sua teoria, como vimos, emb ora Planck n~ao te- nha usado o meto do de Boltzmann (a distribuic~ao mais provavel e aquela que maximiza a entropia do sistema), se baseia na relac~ao fundamental entre a entropia e pro- babilidade.
Ap esar da maioria dos historiadores reconhecer Planck como o fundador da teoria qu^antica, ha p elo me- nos uma excec~ao ilustre. Thomas Kuhn (1923-1976), o grande losofo e historiador da ci^encia, sustenta[24] que o conceito da descontinuidade qu^antica nasceu nos tra- balhos de Einstein, seguido de Hendrik Lorentz (1853-
- e Ehrenfest entre os anos de 1906-1908 e n~ao no trabalho de Planck, emb ora obviamente este fosse uma imp ortante contribuic~ao. Para Kuhn, o racio cnio de Planck foi completamente classico: \emb ora a estru- tura do contnuo de energia seja determinado p elo ele- mento de energia h, o movimento dos osciladores de Planck p ermanece contnuo...e nenhum dos trabalhos publicados, manuscritos conhecidos, ou fragmentos au- tobiogra cos sugere que a ideia de restringir as energias dos ressonadores a um conjunto discreto de valores lhe o correu ate que outros o forcaram a reconhecer durante 1906 e nos anos seguintes". Realmente, nas suas Lec- tures sobre a radiac~ao do calor[25], durante o semestre de ver~ao de 1906-97 na Universidade de Berlim, em que apresenta em detalhes a sua teoria, n~ao ha menc~ao a descontinuidade, nenhuma formula como u = nh. A unica discretizac~ao aparece ao computar a probabili- dade de uma distribuic~ao de energia, como zera em
seu trabalho de 1900. Ap enas em outubro de 1908, numa carta a Lorentz, Planck referiu-se a quantizac~ao de energia e a necessi- dade de uma descontinuidade:^26
[A excitac~ao dos ressonadores] n~ao corres- p onde a conhecida lei do p^endulo simples; p elo contrario, existe um certo limiar; o ressonador n~ao resp onde a to das excitac~oes muito p eque- nas; e se resp onde as maiores, o faz somente de mo do que sua energia seja um m ultiplo inteiro do elemento de energia h , tal que o valor ins- tant^aneo da energia e sempre representado p or tal m ultiplo inteiro. Em suma, eu p o deria dizer que faco duas hipoteses:
- A energia do ressonador em um dado ins- tante e g h (g um n umero inteiro ou 0 );
- A energia emitida e absorvida p or um res- sonador durante um intervalo de temp o con- tendo bilh~oes de oscilac~oes (e p ortanto tambem a energia media de um oscilador) e a mesma que a equac~ao do p^endulo.
Teria sido Planck mais um \son^ambulo" da ci^encia na provo cativa concepc~ao[26] de Arthur Ko estler (1905- 1983)? Uma discuss~ao desta controversia esta fora do escop o deste artigo p or falta de espaco e comp et^encia do autor e sugiro as Refs. [27], [28] e [29] ao leitor interessado. Para concluir, gostaria de salientar uma das veri- cac~oes exp erimentais mais marcantes e precisas da lei de Planck e retornar aos versos de Caetano. O Uni- verso esta repleto de uma radiac~ao cosmica de fundo a uma temp eratura de 2 ; 73K, que e a mais imp or- tante evid^encia da teoria do big bang, ap oiada na expans~ao e resfriamento do Universo com o temp o. Esta radiac~ao e o mais antigo fossil referente a um p ero do em que a materia (protons e eletrons) estava em equilbrio termico com a radiac~ao eletromagnetica com to das as freq u^encias. Quando o Universo se es- friou a T = 3000K { a materia ja era constituda de hidrog^enio at^omico {, a interac~ao com a radiac~ao de dava ap enas nas freq u^encias das resp ectivas linhas es- p ectrais do hidrog^enio. Nesta ep o ca, a maior parte da radiac~ao se separou da materia, esfriando-se, a entropia constante, ate a atual temp eratura de 2 ; 73K. A primeira evid^encia da radiac~ao fossil foi encontrada p or Arno Penzias (1933-) e Rob ert Wil- son (1936- ) em 1964. Um l ucido e atraente relato da (^26) Citac~ao da Ref. [29], p. 238.
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historia desta descob erta e sua explicac~ao e dado na Ref.[31]. A distribuic~ao esp ectral da radiac~ao de fundo, as microondas cosmicas, foi obtida a partir dos anos 90 p ela miss~ao Cosmic Background Explorer (COBE).[36] A Fig. 4 mostra a intensidade esp ectral como func~ao da freq u^encia, com intensidade maxima na regi~ao de micro ondas. Os desvios da lei de Planck s~ao mnimos (algumas partes p or milh~ao) e s~ao devidos a utuac~oes primordiais que levaram ao aparecimento das galaxias.
Figura 4. Distribuic~ao esp ectral da radiac~ao cosmica de fundo corresp ondente a radiac~ao de um corp o negro a tem- p eratura T = 2 ; 73 K.
VI I I Dados Biogra cos
Planck nasceu em Kiel, Alemanha, no dia 23 de abril de 1858, lho de um professor de direito constitucio- nal da universidade lo cal, Julius Wilhelm, e de Emma (nee Patzig) Planck. Seu pai vinha de uma famlia de acad^emicos (pai e av^o eram professores de teologia da Universidade de Gottingen). Receb eu a educac~ao ini- cial em Kiel e Munique e estudou fsica e matematica nas Universidades de Munique (1874-1877) e Berlim (1877-1888). Foi aluno de Hermann von Helmholtz (1821-1894) e Gustav Kirchho em Berlim. Obteve o doutorado summa cum laude da Universidade de Mu- nique, em 1879, com uma tese sobre a concepc~ao de entropia no trabalho de Rudolf Clausius da segunda lei da termo din^amica e no ano seguinte tornou-se Privat- dozent em Munique. Em 1885, foi para a Universidade de Kiel, como Extraordinariat (professor asso ciado) e
quatro anos dep ois sucedeu Kirchho na Universidade de Berlim, tendo assumido a catedra de fsica teorica em 1892 e p ermanecendo a ate a sua ap osentadoria em
- Foi membro da Academia Prussiana de Fsica, desde 1894, e foi eleito membro da Royal Society de Londres em 1926. Foi agraciado com o Pr^emio Nob el de Fsica, em 1918, \p or seu trabalho sobre o estab e- lecimento e desenvolvimento da teoria dos quanta ele- mentares". Sua carreira cient ca inicial foi devotada ao es- tudo da segunda lei da termo din^amica, esp ecialmente o conceito de entropia com aplicac~oes ao problema de equilbro fsico e qumico, como transic~ao de fases e dis- so ciac~ao eletroltica. Foi profundamente in uenciado p or Clausius e sempre muito preo cupado em de nic~oes claras dos conceitos fundamentais. Muito emb ora n~ao simpatizasse muito, naquela ep o ca, com o trabalho de Boltzmann, cou ao seu lado na famosa disputa contra Ostwald e os partidarios do `Energismo'. Por volta de 1894, desviou a sua atenc~ao para um novo camp o de es- tudos: a radiac~ao do calor. Possveis raz~oes foram a sua crenca na imp ort^ancia dos argumentos termo din^amicos no eletromagnetismo e o interesse geral nos fen^omenos das ondas eletromagneticos provo cado p elas b em suce- didas exp eri^encias de Heinrich Hertz (1857-1894). Planck publicou 235 trabalhos sobre ci^encia e lo- so a, conforme consta da lista da Academia Prussi- ana de Ci^encias, incluindo muitos discursos relaciona- dos com as suas func~oes como \Secretario Perpetuo" da Academia Prussiana (que n~ao tinha o cargo de pre- sidente), no p ero do de 1918-1938, e confer^encias sobre assuntos gerais. Em fsica, os principais camp os foram Termo din^amica (primeiro e continuado amor), Teoria Qu^antica (a partir de 1900), e Teoria da Relatividade Esp ecial (principalmente no p ero do 1906-1908).^27 A Fig. 5 e o retrato de um Planck ja maduro, que desfrutou de enorme prestgio na Alemanha e junto a comunidade cient ca, n~ao ap enas p ela imp ort^ancia de seu trabalho, mas tambem p or suas qualidades p esso- ais: carater, integridade moral, patriotismo e lideranca. Era muito b enquisto p or seus colegas e alunos. Quando rejeitou o convite da Universidade de Viena para suce- der Boltzmann, optando p or p ermanecer em Berlim, seus alunos festejaram alegremente com uma passeata de to chas. Segundo varios historiadores, seu conser- vadorismo em fsica o tornou relutante em aceitar o conte udo revolucionario de sua propria teoria qu^antica. Durante anos, tentou a justar o seu conceito de quantum (^27) Foi Planck quem corrigiu o ^erro de Einstein em de nir F = ma, e como conseq u^encia, obtendo, em sua teoria relativstica, di- ferentes massa transversal e longitudinal do eletron. Usando F = dp=dt; Planck mostrou que uma b oa de nic~ao de momentum seria p = m 0 v =
p
1 v 2 =c^2 e p ortanto uma massa isotropica dep endente da velo cidade.[32 ]
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[7] M. J. Klein, The Beginnings of the Quantum Theory, em History of Twentieth Century Physics, Academic Press, Nova York (1977). [8] H. Kangro (organizador), Plancks Original Papers in Quantum Physics, Taylor & Francis, Londres (1972). [9] H. Kangro, Early History of the Plancks Radiation Law, Taylor & Francis, Londres (1976).
[10] M. Jammer, The Conceptual Development of Quantum Mechanics, 2a. edic~ao, Vol.12 da colec~ao The History of Modern Physics, 1800 - 1950, American Institute of Physics, Nova York (1989).
[11] J. Mehra e H. Rechenb erg, The Historical Development of Quantm Theory, Vol. 1, Parte 1, Springer-Verlag, Berlim (1982).
[12] W. H. Cropp er, The Quantum Physicists, Oxford, Nova York (1970).
[13] A. B Arons, Teaching Introductory Physics, John Wi- ley & Sons, Nova York (1997), p. 141. [14] S. G. Brush, Heat Conduction and the Stefan- Boltzmann Law, Arch. Hist. Exact Sciences 11 , 38 (1973); reimpresso em The Kind of Motion we Cal l Heat, Vol. 2, North-Holland, Amsterdam, (1986), p.
[15] F. Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Phy- sics, Internation Student Edition, McGraw-Hill, Nova York (1965).
[16] Max Born, Fsica At^omica, Fundac~ao Calouste Gul- b enkian, 4a. edic~ao, Lisb oa (1965). [17] W. Wien, On the Division of Energy in the Emission- Spectrum of a Black Body, Phil. Mag. S. 43 , 214 (1897). Traduc~ao do Annalen der Physik, 1 , viii, p. 662 (1896).
[18] A. Pais, Einstein and the Quantum Theory, Rev. Mo d. Phys. 51 , 863 (1949).
[19] Veja, p or exemplo, F. S. Crawford, Jr., Waves, Ber- keley Physics Course, Vol. 3, sec~ao 7.5, McGraw Hill, Nova York, (1968). Veja tambem o ap^endice VI I I da Ref. [16 ]. [20] Lord Rayleigh, Remarks upon the Law of Complete Ra- diation, Phil. Mag. 49 , 539 (1900).
[21] R.M. Eisb erg, Fundamentos da Fsica Moderna, Gua- nabara Dois, Rio (1979).
[22] A. Einstein, Concerning an heuristic point of view to- ward the emission and the transformation of light, Am. J. Phys. 33 , 367 (1965) - traduc~ao do artigo publicado em Ann. Phys. 17 , 132 (1905). Uma outra vers~ao para a lngua inglesa esta na Ref. [2 ], p. 91. [23] P. Ehrenfest and H. Kamerlingh Onnes, Simpli ed De- duction of the Formula of Combinations which Planck Uses as the Basis of His Radiation Law, Pro c. Amster- dam Academy 17, 870 (1914) e reimpresso em Col lected Scienti c Papers of P. Ehrenfest, editado p or P. Mar- tin, North-Holland, Amsterdam (1959) p. 353. [24] T. S. Kuhn, Black-body Theory and the Quantum Dis- continuity, 1894-1912, Oxford U. P., Oxford (1978). [25] M. Planck, The Theory of Heat Radiation, Dover, New York (1959). [26] A. Ko estler, The Sleepwalkers, Penguin, Londres (1989). Existe uma traduc~ao antiga para o p ortugu^es: Os Son^ambulos, Editora Ibrasa, S~ao Paulo (1961). [27] M. J. Klein, A. Shimony, e T. J. Pinch, A Review Sy- mposium, Isis 70 , 429 (1979). [28] P. Galison. Kuhn and the Quantum Controversy, Bri- tish J. Phil. Sci. 32 , 71 (1981). [29] T. S. Kuhn, Revisiting Planck, Hist. Stud. Phys. Sci. 14 , 231 (1984).. [30] M. Planck, The Theory of Heat Radiation, Dover, Nova York (1959). [31] S. Weinb erg, Os Tr^es Primeiros Minutos, Guanabara Dois, Rio (1989). [32] A. I. Miller, Albert's Einstein Theory of Relativity, Addison-Wesley, Reading, (1981), p. 329. [33] W. Heisenb erg, Dialogos sobre Fsica At^omica, Edito- rial Verb o, Lisb oa (1975), p. 212. [34] E. Bro da, Max Planck in the Social Context, palestra apresentada na Summer Workshop on the Physics of Non-Conventional Energy Sources, Trieste, 10 a 28 de julho (1983). [35] A. Einstein, Escritos da Maturidade, Nova Fronteira, Rio (1994), p. 241. [36] J. C. Mather et al. Astrophy. J. 354 , L37 (1990), contem os primeiros resultados preliminares.
