Kalman apresentação, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

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Filtro de Kalman

Detecção e Diagnóstico de Falhas em Sistemas Dinâmicos

Daniel Lúcio de Souza Borba Escola de Engenharia – Universidade Federal de Minas Gerais Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica 14/05/

Sumário

 Introdução

 Conceitos Básicos

 O Caso Estático

 O Caso Dinâmico

 O Filtro de Kalman Discreto

 O Filtro de Kalman Extendido

 Exemplos

 Conclusões

Introdução O que é o filtro de Kalman?

 É um algoritmo recursivo ótimo de processamento de

dados.

 Há diversas maneiras de definir ótimo, dependento dos

cirtérios escolhidos para se avaliar o desempenho.

 O filtro de Kalman, considerando alguns pressupostos,

é ótimo para qualquer critério que faça sentido. Ele é

ótimo no sentido de minimizar a covariância do erro

estimado.

Introdução Por que o filtro de Kalman é ótimo?

 Ele incorpora toda a informação que pode ser fornecida

a ele.

 Ele processa todas as medições disponíveis,

independente de sua precisão, para estimar o valor

corrente das variáveis de interesse, utilizando-se:

1. do conhecimento do sistema e da dinâmica dos

dispositivos de medição;

2. da descrição estatística dos ruídos do sistema,

dos erros de medição e das incertezas nos

modelos dinâmicos;

3. de qualquer informação disponível sobre as

condições iniciais das variáveis de interesse.

Introdução Por que o filtro é necessário?

 Nenhum modelo matemático de um sitema real é

perfeito.

 O mundo real é repleto de pertubações desconhecidas.

 Sensores não são perfeitos.

Introdução Aplicações

 Monitoramento de radar

 Monitoramento de trajetória de mísseis

 Navegação à vela

 Navegação de robôs

 Monitoramento de movimento

 Combinação de medições de diversos sensores

 Combinação de modelos de sistemas

Conceitos Básicos Variáveis Aleatórias

 Função de Distribuição Acumulada (fda)

 Função de Densidade de Probabilidade (fdp)

F (^) X  x = p [−∞ , x ] F X  x   0 quanto x −∞ F (^) X  x   1 quanto x ∞ F (^) X  x  é uma função não decrescente de x f (^) X  x = d dx F (^) X  x  f X  x  é uma função não negativa ∫−∞ ∞ f (^) X  x  dx = 1 p (^) X [ a , b ]=∫ a b f (^) X  x  dx

Conceitos Básicos Média e Esperança

 Caso Discreto

 Caso Contínuo

= X =

X 1  X 2 ⋯ X N

N

Valor esperado de X = E  X =∑ i = 1 n p i x i = X ≈  p 1 N  x 1  p 2 N  x 2 ⋯ pN N  xN N Esperança de X = E  X =∫ −∞ ∞ x f (^) X  x  dx

Conceitos Básicos Variância e Desvio Padrão

 Variância

 Desvio Padrão

g  X = X − E  X   X =  X 2

X 2 = E  g  X  2   Segundo momento estatístico de g  X   X 2 = E [ X − E  X  2 ]  X 2 = E  X 2 − E  X  2

Conceitos Básicos

Matriz de Covariância

 Covariância

 Matriz de covariância

cov  X ,Y = E  X − E  X  Y − E  Y 

cov  X ,Y = E  XY − E  X  E  Y 

X =

[

X 1

X n

]

cov  X =

[

cov  X 1, X 1  ⋯ cov  X 1, X n 

cov  X

n

, X

1

 ⋯ cov  X

n

, X

n

]

cov  X ,Y = cov  Y , X 

cov  X , X =

X 2

A matriz de covariância é simétrica!

Conceitos Básicos Distribuição Normal ou Gaussiana

Conceitos Básicos Independência Estatística e Probrabilidade Condicional

 Duas variáveis aleatórias contínuas são ditas

estatisticamente independentes se:

 Probabilidade Condicional (Regra de Bayes)

f XY  x , y = f X  x  f Y  y 

f (^) X ∣ Y  x , y = f (^) Y ∣ X  y  f (^) X  X  f Y  y 

Conceitos Básicos Ruído Branco RX = { se = 0 então A senão 0  Delta de Kronecker 

Conceitos Básicos Ruído Branco

 Características:

 Qualquer amostra do sinal em um certo instante

de tempo é completamente independente de

uma amostra em qualquer outro instante de

tempo.

 Ele possue energia em todas as frequências do

espectro.

Apesar de ser impossível se obter ou se observar o ruído

branco na prática, ele é importante para o

desenvolvimento e análise de sistemas.