Integrais Impróprias
CCM/DCET/UNIFAP
Curso: Matemática CALCULO II
Semestre 2018.1 Turma: Data 12/03/2018
Professor
Nome:
Lista de Exercícios I
1. Calcule as integrais impróprias ou decida sobre a sua divergência:
(a) Z∞
0
arctgx
1 + x2dx
(b) Z∞
0
1
1 + x3dx
(c) Zπ/2
0
cotgxdx
2. Investigue Z1
xαdx quanto à sua convergência ou divergência, na dependência do
número real α
3. Decida sobre a convergência ou não das integrais impróprias:
(a) Z2
1
1
lnx dx
(b) Z∞
1
1
2x+3
√x2+ 1 + 8dx
(c) Z∞
0
x
√x5+ 1dx
4. Mostre que se fé integrável em [a, b]para todo b≥a, então se Z∞
a|f(x)|dx
converge, Z∞
a
f(x)dx também converge.
5. Decida a respeito da convergência ou não da integral imprópria Z∞
π/2
senx
x2dx
6. Seja fuma função contínua no intervalo [0, x], para todo x > 0, e suponhamos que
existem constantes Meα, ambas estritamente positivas, tais que, para todo x≥0,
|f(x)| ≤ Meαx. Prove que Z∞
0
e−sxf(x)dx é convergente para todo s > α.
7. Calcule cada uma das integrais abaixo:
(a) Z∞
0
dx
x2+ 1
(b) Z∞
1
dx
x√2x2−1
(c) Z5
1
xdx
√5−x
(d) Z∞
0
dx
a2+b2x2
(e) Z2
1
dx
x2√4−x2
(f) Z∞
0
xe−x2dx
(g) Z∞
1
dx
(1 + x)3/2
(h) Z∞
−∞
x2dx
√x2+ 2x+ 2
(i) Z∞
1
xdx
(1 + x2)2
1