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Aula 5
Limites laterais
Para cada x real, de¯ne-se o valor absoluto ou m¶odulo de x como sendo
jxj =
x se x ¸ 0 ¡x se x < 0
Por exemplo, j
p 2 j =
p 2 , j+ 3j = +3, j¡ 4 j = 4, j 0 j = 0, j 1 ¡
p 2 j =
p 2 ¡ 1 (pois 1 ¡
p 2 < 0 ). Para apresentar o conceito de limites laterais, consideraremos a fun»c~ao
f (x) = x +
x jxj
cujo campo de de¯ni»c~ao (dom¶³nio) ¶e o conjunto R ¡ f 0 g.
Se x > 0 , jxj = x e portanto f (x) = x + 1. Se x < 0 , jxj = ¡x e portanto f (x) = x ¡ 1. O gr¶a¯co de f ¶e esbo»cado na ¯gura 5.1.
1
1
-1 x
y
-2 2
2
Figura 5.1. Esbo»co do gr¶a¯co de f (x) = x + (^) jxxj.
Se x tende a 0 , mantendo-se > 0 , f (x) tende a 1. Se tende a 0 , mantendo-se < 0 , f (x) tende a ¡ 1.
Dizemos ent~ao que o limite de f (x), quando x tende a 0 pela direita, ¶e igual a 1 , e denotamos lim x! 0 +^
f (x) = 1
Dizemos tamb¶em que o limite de f (x), quando x tende a 0 pela esquerda, ¶e igual a ¡ 1 , e denotamos lim x! 0 ¡^
f (x) = ¡ 1
De um modo geral, sendo f (x) uma fun»c~ao, se x 0 est¶a no interior ou ¶e extremo inferior de um intervalo contido em D(f ),
lim x!x+ 0
f (x) signi¯ca (^) xlim!x 0 x>x 0
f(x)
Se x 0 est¶a no interior ou ¶e extremo superior de um intervalo contido em D(f), lim x!x¡ 0
f (x) signi¯ca (^) xlim!x 0 x<x 0
f (x)
Exemplo 5.
Consideremos agora a fun»c~ao f (x) = 1=x. Conforme j¶a observado no exemplo 4.7, aula 4 (reveja-o), esta fun»c~ao n~ao tem limite quando x! 0.
Temos D(f) = R ¡ f 0 g = ] ¡ 1; 0[ [ ]0; + 1 [. Assim, 0 ¶e extremo superior do intervalo ] ¡ 1; 0[ ½ D(f ), e tamb¶em ¶e extremo inferior do intervalo ]0; + 1 [ ½ D(f ).
1
1
-1 x
y
-2 2
2
3
3
0
y=1/x
Figura 5.2. limx! 0 + (^) x^1 = + 1 , limx! 0 ¡ (^1) x = ¡
No esbo»co do gr¶a¯co de f, ¯gura 5.2, ilustramos a ocorr^encia dos limites laterais
lim x! 0 +
x
= lim x! 0 x> 0
x
= + 1 lim x! 0 ¡
x
= lim x! 0 x< 0
x
lim x! 0 +
2 x ¡ 3 x
0 +^
x!^ lim+ 1
x ¡ 3
Exemplo 5.3 Calcular lim x!¡ 2 +
x + 2 jx + 2j
e lim x!¡ 2 ¡
x + 2 jx + 2j
Solu»c~ao. Observe que x + 2 > 0 se e somente se x > ¡ 2.
Assim sendo, se x > ¡ 2 , temos x + 2 > 0 e ent~ao jx + 2j = x + 2. Por outro lado, se x < ¡ 2 , temos x + 2 < 0 e ent~ao jx + 2j = ¡(x + 2). Assim sendo, temos
lim x!¡ 2 +
x + 2 jx + 2j
= lim x!¡ 2 x>¡ 2
x + 2 jx + 2j
= lim x!¡ 2 x>¡ 2
x + 2 x + 2
= lim x!¡ 2 1 = 1
lim x!¡ 2 ¡
x + 2 jx + 2j
= lim x!¡ 2 x<¡ 2
x + 2 jx + 2j
= lim x!¡ 2 x<¡ 2
x + 2 ¡(x + 2)
= lim x!¡ 2 ¡1 = ¡ 1
Observa»c~ao 5.2 A a¯rma»c~ao
x^ lim!x 0
f (x) = a
¶e equivalente μa a¯rma»c~ao, simult^anea, de que
lim x!x+ 0
f(x) = a e lim x!x¡ 0
f (x) = a
Se no entanto f (x) ¶e de¯nida para x > x 0 , mas n~ao ¶e de¯nida para x < x 0 , ent~ao limx!x 0 f (x) = a signi¯ca limx!x+ 0 f (x) = a
Por exemplo, limx! 0
p x = 0, muito embora
p x n~ao esteja de¯nida para x < 0. Neste caso, a¯rmar que limx! 0
p x = 0 signi¯ca que limx! 0 +
p x = 0, j¶a que n~ao se de¯ne o limite limx! 0 ¡
p x
Observa»c~ao 5.3 (O gr¶a¯co de uma fun»c~ao cont¶³nua em [a; b] )
No exemplo ao in¶³cio da aula, vimos que a fun»c~ao f (x) = x + x=jxj tem limites laterais diferentes no ponto x 0 = 0, sendo lim x! 0 +^
f (x) = 1 e lim x! 0 ¡^
f(x) = ¡ 1. Assim, conforme
podemos vizualizar na ¯gura 5.1, o gr¶a¯co de f apresenta um salto no ponto 0.
Tamb¶em a fun»c~ao f (x) = 1=x tem um salto no ponto 0. Agora por¶em o salto ¶e in¯nito, sendo lim x! 0 +^
f (x) = + 1 e lim x! 0 ¡^
f (x) = ¡1.
a x
y
(^0) b
f(a)
f(b)
Figura 5.3. f ¶e cont¶³nua e diferenci¶avel no intervalo [a; b].
a x
y
(^0) b
f(a)
f(b)
c d
Figura 5.4. f ¶e cont¶³nua no intervalo [a; b], mas n~ao tem derivadas nos pontos c e d.
Na aula 4, estivemos observando que a fun»c~ao f (x) = 1=x^2 tem limite in¯nito no ponto 0 : lim x! 0 f (x) = + 1. Aqui, nas proximidades de 0 , o gr¶a¯co \salta" para cima dos
dois lados, apresentando uma quebra na curva do gr¶a¯co.
Quando uma fun»c~ao f (x) ¶e cont¶³nua nos pontos de um intervalo [a; b], a curva y = f (x), a · x · b, gr¶a¯co de f no intervalo [a; b], n~ao apresenta quebras ou saltos.
Intuitivamente falando, podemos desenhar o gr¶a¯co ligando o ponto inicial A = (a; f (a)) ao ponto ¯nal B = (b; f(b)) sem tirarmos o l¶apis do papel, tal como na ¯gura 5.3.
Observa»c~ao 5.4 (Uma fun»c~ao cont¶³nua pode n~ao ter derivada sempre) J¶a na ¯gu- ra 5.4 temos uma ilustra»c~ao de uma fun»c~ao cont¶³nua no intervalo [a; b] que, no entanto, n~ao tem derivada em dois pontos desse intervalo. Note que nos pontos correspondentes a c e d n~ao ¶e poss¶³vel tra»car retas tangentes ao gr¶a¯co de f.
Observa»c~ao 5.5 (Continuidade signi¯ca lim ¢x! 0
¢f = 0 ) Na observa»c~ao 2.1, aula 2,
vimos que, sendo x 0 2 D(f), se existe f 0 (x 0 ) ent~ao (^) ¢limx! 0 ¢f = 0. Na verdade, n~ao ¶e
necess¶ario termos f diferenci¶avel x 0 para que tenhamos (^) ¢limx! 0 ¢f = 0.
- Na ¯gura 5.5 est¶a esbo»cado o gr¶a¯co de uma fun»c~ao y = f (x). Complete as igualdades:
(a) lim x! 1 ¡^
f(x) = (b) lim x! 1 +^
f (x) = (c) lim x! 2 ¡^
f(x) = (d) lim x! 2 +^
f(x) = (e) lim x! 0 ¡^
f (x) = (f) lim x! 0 +^
f (x) = (g) (^) x!lim+ 1 f(x) = (h) (^) x!¡1lim f(x) =
- Em que pontos a fun»c~ao f do problema anterior ¶e de¯nida? Em quais pontos ¶e cont¶³nua?
- Calcule os limites laterais
(a) lim x!¼¡
j¼ ¡ xj x ¡ ¼
(b) lim x!¼+
j¼ ¡ xj x ¡ ¼
(c) lim x! 8 ¡
x ¡ 8 (d) lim x! 8 +
x ¡ 8
(e) lim x! 2 +
x^2 ¡ 5 x + 4 2 ¡ x
(f) lim x! 2 +
p x ¡ 2
- Calcule os limites lim x!¡ 3 +^
f (x), lim x!¡ 3 ¡^
f (x) e diga se existe o limite (^) xlim!¡ 3 f (x). Diga tamb¶em se f ¶e cont¶³nua no ponto ¡ 3.
(a) f (x) =
2 ¡ 3 x
se x < ¡ 3 p (^3) x + 2 se x ¸ ¡ 3 (b) f (x) =
x^2
se x · ¡ 3 p (^3) 4 + x se x > ¡ 3
- Veri¯que que a fun»c~ao f (x) = jxj ¶e cont¶³nua em x 0 = 0, mas n~ao existe f^0 (0) (mostre que n~ao existe o limite lim ¢x! 0
f(0+¢x)¡f(0) ¢x ). Mostre que existem os limites laterais lim ¢x! 0 +
f (0+¢x)¡f(0) ¢x e^ ¢limx! 0 ¡
f(0+¢x)¡f(0) ¢x , chamados respectivamente de derivada direita de f no ponto 0 (f^0 (0+)) e derivada esquerda de f no ponto 0 (f 0 (0¡)). Esboce o gr¶a¯co de f e interprete geometricamente os fatos deduzidos acima.
- Veri¯que que a fun»c~ao f (x) = 3
p x ¶e cont¶³nua em x 0 = 0, mas lim ¢x! 0
f(0+¢x)¡f(0) ¢x =
- Neste caso, por abuso de linguagem, dizemos que f^0 (0) = + 1. Esboce o gr¶a¯co de f , tra»cando-o cuidadosamente atrav¶es dos pontos de abcissas 0 , § 1 = 8 , § 1 , § 8 , e interprete geometricamente o fato de que f 0 (0) = + 1.
5.1.1 Respostas e sugest~oes
- (a) ¡1 (b) ¡ 1 = 2 (c) + 1 (d) 0 (e) ¡ 1 (f) ¡ 1 (g) ¡ 1 = 2 (h) ¡
- A fun»c~ao f ¶e de¯nida em R ¡ f 1 g. E cont¶¶ ³nua em R ¡ f 1 ; 2 g.
- (a) ¡ 1 (b) 1 (c) ¡1 (d) + 1 (e) + 1 (f) 0
(a) lim x!¡ 3 +^
f (x) = ¡ 1 , lim x!¡ 3 ¡^
f (x) = 1= 11. N~ao se de¯ne (n~ao existe) o limite
x^ lim!¡ 3 f^ (x).^ f^ (¡3) =^ ¡^1 , mas como n~ao existe^ xlim!¡ 3 f^ (x),^ f^ n~ao ¶e cont¶³nua no ponto ¡ 3. (b) lim x!¡ 3 +^
f (x) = 1, lim x!¡ 3 ¡^
f (x) = 1, (^) xlim!¡ 3 f (x) = 1. f ¶e cont¶³nua no ponto ¡ 3 pois
x^ lim!¡ 3 f^ (x) =^ f^ (¡3).
- Ao esbo»car o gr¶a¯co de f , notamos que f (x) = x, se x ¸ 0 , e f (x) = x, se x · 0. Assim, f 0 (0+) = 1 indica a presen»ca de uma reta tangente ao gr¶a¯co de f , \μa direita do ponto (0; 0)", como sendo a reta tangente ao gr¶a¯co de y = x, x ¸ 0 , no ponto (0; 0) (a reta tangente a uma reta ¶e a pr¶opria reta). Analogamente, interpreta-se f 0 (0¡) = ¡ 1.
- f 0 (0) = + 1 signi¯ca que a reta tangente μa curva y = p^3 x, no ponto (0; 0), ¶e vertical.
