Limites e Derivadas/Funções, Exercícios de Cálculo Avançado

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Cálculo diferencial e

integral I

Aula_ Engenharia

Cálculo de limites usando algumas

leis

1. O limite de uma soma é a soma dos limites;
2. O limite da diferença é a diferença dos limites;
3. O limite de uma constante vezes uma função é a constante vezes o limite da função
4. O limite de um produto é o produto dos limites
5. O limite de um quociente é o quociente dos limites (desde que o limite do denominador não seja zero)

Propriedade de substituição direta

 (^) Se f(x) for uma função polinomial ou racional e estiver no domínio da função, então  (^) O problema é quando não está no domínio da função. Sendo assim deve-se checar se pode haver substituição da função por uma função mais simples. Por exemplo: Encontre:  lim f ( x ) f ( a ) x a   h h h ( 3 ) 9 lim 2 0   

Para o aluno

Encontre:

t

t

t

lim

2 0



Assíntotas horizontais

 (^) Ocorrem quando f x L ou

x



lim ( ) f x L x    lim ( )

Derivadas

Outras notações

´( ) ´ f ( x ) Df ( x ) D f ( x ) dx d dx dy f x y x     

Derivadas e taxas de variação

A velocidade de uma partícula é a taxa de variação de deslocamento em

relação ao tempo. Há também um interesse dos físicos por outras taxas de

variação, como, por exemplo, a taxa de variação do trabalho em relação ao

tempo (a potência). Quem estuda reações químicas se interessa pela taxa de

variação da concentração de um reagente em relação ao tempo (taxa de

reação). Uma siderúrgica se interessa pela taxa de variação do custo de

produção de x toneladas de aço por dia em relação a x (o custo marginal). Um

biólogo está interessado na taxa de variação populacional de uma colônia de

bactérias no tempo. De fato, o cálculo de taxas de variações é importante nas

engenharias e em todas as ciências naturais, exatas e sociais.

Todas essas taxas podem ser interpretadas como inclinações de tangentes.

Isso torna significativa a solução do problema da tangente. Sempre que

resolvemos um problema de reta tangente, não estamos tão-somente

resolvendo um problema geométrico. Implicitamente estamos resolvendo uma

grande variedade de problemas que envolvem taxas de variação. STEWART, J.

Cálculo. 5. ed. Sao Paulo: Cengage Learning, 2008.