Lista 16 C´alculo I -A- 2008-1 32
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matem´atica
GMA - Departamento de Matem´atica Aplicada
LISTA 16 - 2008-1
Problemas de otimiza¸c˜ao
1. Quais s˜ao as dimens˜oes do retˆangulo de maior ´area que pode ser inscrito em um semi-c´ırculo de raio r?
2. Uma p´agina deve conter 60cm2de ´area impressa. As margens superior e inferior devem ter 3cm, enquanto
as laterais tˆem 2 cm cada. Encontre as dimens˜oes da p´agina que consomem a menor quantidade de papel.
3. Constr´oi-se uma janela normanda colocando-se um semic´ırculo em cima de uma janela
retangular (figura ao lado). Encontre as dimens˜oes da janela de ´area m´axima, sabendo-se
que seu per´ımetro ´e de 5 m.
4. Uma ilha situada a 40 km da costa deve ter um servi¸co de barcos para
uma cidade A(figura ao lado). Se os barcos tˆem velocidade m´edia de
15 km/h e os carros uma velocidade m´edia de 45 km/h, onde dever´a estar
situada a esta¸c˜ao de barcos na costa, a fim de tornar a via a mais r´apida
poss´ıvel?
40 km
100 km A
ilha
costa
5. Considere os triˆangulos retˆangulos no 1o.quadrante, cada um com seus lados apoiados nos eixos coorde-
nados e em uma reta que cont´em o ponto (2,3). Encontre o triˆangulo de ´area m´ınima.
6. Encontre as dimens˜oes do cone circular de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio r.
Calcule o volume desse cone.
7. Um oleoduto tem a forma da curva y= 1 −x2com 0 ≤x≤1, xeymedidos em quilˆometros. Ser´a
constru´ıda uma cerca tangente `a curva y= 1 −x2no ponto P6= (0,1). Determine as coordenadas do
ponto Pde modo que a ´area da regi˜ao triangular formada pela cerca e pelos eixos seja m´ınima.
8. Se um ob jeto dista xunidades de um foco de intensidade luminosa constante I, a luminosidade do objeto
´e igual a I/x2. Dois focos, F1eF2de intensidades I1eI2, respectivamente, encontram-se separados por d
unidades. Em que ponto do segmento de reta que liga F1aF2, a luminosidade ´e m´ınima? Qual deve ser
a raz˜ao entre I1eI2para que o ponto de luminosidade m´ınima entre os dois focos esteja a uma distˆancia
de d/3 unidades da fonte de luminosidade I1?
9. Um quadro de altura Hest´a pendurado em uma parede vertical de modo que sua borda inferior est´a a
uma altura h do raio de vis˜ao horizontal de um observador. A que distˆancia da parede deve colocar-se
o observador para que a sua posi¸c˜ao seja a mais vantajosa para contemplar o quadro, isto ´e, para que o
ˆangulo de vis˜ao seja m´aximo?
10. Um fabricante produz por semana xtoneladas de um certo produto. O pre¸co de venda ´e de punidades
monet´arias por tonelada do produto e est´a relacionado com xpor 5x= 375−3p, p ≥0. O custo de produ¸c˜ao
´e de C(x) = 500 + 15x+x2
6unidades monet´arias. Determine xpara que o lucro (=venda−custo) seja
m´aximo. Determine, tamb´em, o lucro m´aximo.
RESPOSTAS
1. Base (no diˆametro) = r√2e altura = r√2/2. 2. S˜ao 6 + 3√10 ∼
=15,49 cm e 4 + 2√10 ∼
=10,32 cm.
3. Retˆangulo: base = 10
π+4∼
=1,4 m, altura = 5
π+4∼
=0,7 m. 4. `
A 100 −10√2∼
=85,86 km de A.
5. V´ertices: (0,0); (4,0); (0,6). 6. Raio = 2√2
3r,altura = 4
3r,volume = 32π
81 r3.
7. Distˆ
ancia do ponto a F1´e
3
√I1d
3
√I1+3
√I2
,raz˜ao = 8. 8. P=µ√3
3,2
3¶.
9. Distˆ
ancia = √hH +h2.10. x= 30 toneladas e lucro = 1150 unidades monet´arias.
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