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7.1 Exerc´ıcios do tema Teste de Hip´oteses para Pro-
por¸c˜ao
Exc. 162. Considere o problema sobre a piscina de bolinhas analisado na aula. (Recorde, o fornecedor alega que a propor¸c˜ao de bolas pretas na piscina de um buffet infantil ´e 0,4, enquanto que o administrador do buffet alega que tal propor¸c˜ao ´e 0,3.) Suponha que agora (diferentemente daquilo que foi considerado no exemplo da aula) o forneceder e o administrador concordam sobre o seguinte:
retirar da piscina, ao acaso e com reposi¸c˜ao, 100 bolas e contar o n´umero de bolas pretas nesta amostra; se este n´umero for 35 ou menos, decidir-se-´a que a propor¸c˜ao populacional das bolas pretas na piscina ´e 0,3, enquanto que se for 36 ou mais, decidir-se-´a que esta propor¸c˜ao ´e 0,4.
(a) Calcule a probabilidade da regra de decis˜ao apontar que a afirma¸c˜ao “a propor¸c˜ao popu- lacional das bolas pretas na piscina ´e 0,3” assumindo que a verdade ´e que “a propor¸c˜ao populacional das bolas pretas na pisciona ´e 0,4”. (Use no seu c´alculo a aprocima¸c˜ao de distribui¸c˜ao binomial pela normal.)
(b) Calcule a probabilidade da regra de decis˜ao apontar que a afirma¸c˜ao “a propor¸c˜ao popu- lacional das bolas pretas na piscina ´e 0,4” assumindo que a verdade ´e que “a propor¸c˜ao populacional das bolas pretas na piscina ´e 0,3”. (Use no seu c´alculo a aprocima¸c˜ao de distribui¸c˜ao binomial pela normal.)
(c) Coloque todo o enunciado em forma de problema de teste de hip´oteses, formulando as hip´oteses. Escolha (a seu gosto) qual das hip´oteses seja chamada “a hip´otese nula”. De acordo com sua escolha, qual ´e o conjunto de valores chamado “regi˜ao cr´ıtica do teste”? De acordo com sua escolha, qual ´e o n´ıvel de significˆancia do teste?
Exc. 163. Suponha que as drogas usuais para leucemia provoquem efeitos colaterais em 60% dos pacientes. Um laborat´orio consegue eliminar de certo medicamento um radical acetil, com isso considera estar diante de uma nova droga com o mesmo poder de cura, mas com menor atividade indesej´avel. O laborat´orio espera, portanto, que a propor¸c˜ao de indiv´ıduos com efeitos adversos tratados com essa nova droga seja menor do que com as drogas usuais. O laborat´orio resolve testar essa afirma¸c˜ao, aplicando a nova droga a alguns pacientes. Assume, para o efeito de formula¸c˜ao das hip´oteses, que sabe-se por certo que a modifica¸c˜ao feita no medicamento pelo laborat´orio n˜ao pode aumentar a propro¸c˜ao dos seus usu´arios nos quais provoca efeitos colaterais. (a) Formule este problema como um problema de testes de hip´oteses. (b) O laborat´orio conseguir´a testar a nova droga em 19 pacientes. Para este tamanho de amostra, construa a regi˜ao cr´ıtica correspondente ao n´ıvel de significˆanica igual a 9%. Em sua constru¸c˜ao, use diretamente a distribui¸c˜ao Binomial (quer dizer, n˜ao empregue a aproxima¸c˜ao da Binomial pela Normal em sua solu¸c˜ao). Devido ao uso direto da distribui¸c˜ao Binomial pode ocorrer que seja imposs´ıvel alcan¸car o valor exato de 9% para o n´ıvel de significˆancia; se for o caso, procure pelo n´ıvel mais pr´oximo ao 9% mas n˜ao superior a este. Use a regi˜ao cr´ıtica construida para dar resposta correspondente ao resultado “9 das 19 pessoas testadas apresentaram o efeito colateral”. (c) Esse item n˜ao pode e n˜ao deve ser visto como uma continua¸c˜ao do tratamento do exerc´ıcio proferido nas respostas aos itens (a) e (b). Explicitamente falando, o presente item relaciona-se ao enunciado e ao item (a), mas n˜ao tem nada a ver com item (b).
A afirma¸c˜ao do laborat´orio ser´a testado em 200 pacientes, que receber˜ao a nova droga, e ser´a aceito caso n˜ao mais que 118 dos testados apresentem efeitos adversos. Identifique a Regi˜ao Cr´ıtica e calcule o n´ıvel de significˆancia (no c´alculo do n´ıvel de significˆancia, use a aproxima¸c˜ao de binomial por normal). D´e a resposta, caso 119 dos pacientes testados apresentem efeitos adversos.
Exc. 164. Para verificar se uma moeda ´e honesta, com base em 24 lan¸camentos independentes, adotamos o seguinte crit´erio: consideramos a moeda n˜ao honesta se o resultado for menor do que 8 ou maior do que 16. (a) Formule esse problema como um problema de teste de hip´oteses, descrevendo a regra de decis˜ao e a regi˜ao cr´ıtica deste teste. (b) Qual ´e o n´ıvel de significˆancia do teste? (c) Qual ´e a probabilidade de concluir que a moeda ´e honesta se a probabilidade de sair cara for 0,3?
Exc. 165. E conhecido por certo que, anualmente, exatamente 20% dos alunos da disciplina´ “Estat´ıstica B´asica” eram reprovados. A partir do ano 2004 foi usado um novo m´etodo de ensino desta disciplina que ´e mais amplo que o m´etodo que era usado antes. Portanto, a porcentagem dos reprovados entre os alunos, que aprendem por novo m´etodo, n˜ao pode ser superior a 20%. Queremos identificar se este novo m´etodo reduz a porcentagem da reporva¸c˜ao. Para isso ser˜ao monitorados 100 alunos que estudam a disciplina no 1-o semestre de 2004. A escolha entre as hip´oteses H 0 : a porcentagem p de reporva¸c˜ao por novo m´etodo ´e exatamente 20% HA : a porcentagem p de reporva¸c˜ao por novo m´etodo ´e menor que 20% ser´a feita com base na propor¸c˜ao de alunos monitorados que ser˜ao reprovados na final da disciplina. Queremos que o n´ıvel de significˆancia do teste seja 5%. Qual ´e a Regi˜ao Cr´ıtica do teste? Qual ser´a a resposta do teste, caso a propor¸c˜ao amostral dos reprovados for 18%?
Exc. 166. (Obs.: Este exerc´ıcio ´e muito parecido com Exc. 165, mas com “maior” no lugar do “menor” em sua hip´otese alternativa. Preste a aten¸c˜ao como esta substitui¸c˜ao afeta o sinal
na sua solu¸c˜ao (exatamente, na conta do n´ıvel de significˆancia). Esta observa¸c˜ao pode te ajudar a entender melhor a escolha entre “<” e “>” na conta do valor de n´ıvel de significˆancia em todos os exerc´ıcios do tema.) Sabe-se que 70% dos alunos da disciplina ”Estat´ıstica B´asica”s˜ao aprovados na disciplina. A partir do ano 2004 foi usado um novo m´etodo de ensino desta disciplina que ´e mais amplo que o m´etodo que era usado antes. Portanto, a porcentagem dos aprovados entre os alunos, que aprendem por novo m´etodo, n˜ao pode ser inferior a 70%. Queremos identificar se este novo m´etodo aumenta a porcentagem da aprova¸c˜ao. Para isso ser˜ao monitorados 100 alunos que cursam a disciplina no 1o^ semestre de 2012. (a) A escolha entre as hip´oteses H : a porcentagem p de aprova¸c˜ao por novo m´etodo ´e exatamente 70% A : a porcentagem p de aprova¸c˜ao por novo m´etodo ´e maior que 70% ser´a feita com base no n´umero de alunos aprovados daqueles 100 alunos da amostra (quer dizer, os monitorados): se o n´umero de aprovados for 73 ou mais, ser´a decidido que o novom´etodod de ensino ´e melhor de que o antigo. Qual ´e a regi˜ao cr´ıtica e qual ´e o valor do n´ıvel de significˆancia desse procedimento? (b) (Esse item ´e indpendente do item (a); s´o a formula¸c˜ao das hip´oteses ´e a mesma.) A escolha entre H e A ser´a feita com base na propor¸c˜ao de alunos monitorados que ser˜ao aprovados no final da disciplina. Queremos que o n´ıvel de significˆancia do teste seja 10%. Qual ´e a Regi˜ao Cr´ıtica do teste? Qual ser´a a conclus˜ao do teste, caso a propor¸c˜ao amostral dos aprovados seja de 74%?
(b) Desreva em palavras os erros de tipo I e de tipo II. Determine a probabilidade de erro de tipo I. Qual o n´ıvel de significˆancia do teste?
(c) Determine a probabilidade de que o clube deixe de selecionar um atleta cujo aproveitamento seja na verdade de 70%.
Exc. 172. Suspeitamos que a moeda D. Pedro V de 200 R´eis (do ano 1855) seja n˜ao honesta, pois o relevo da coroa num dos seus lados faz com que tal lado seja mais pesado e, consequen- temente, a probabilidade da moeda cair com “cara” para cima deva ser maior que a de cair com “coroa” para cima. Ent˜ao, para testar as hip´otese H: p = 1/ 2 contra a hip´otese A: p > 1 /2, onde p denota a probabilidade da moeda mostrar “cara” num lan¸camento, vamos lan¸car a moeda 120 vezes, e caso observar 64 ‘caras ou mais, decidiremos a favor da hip´otese A; caso contr´arios, decidiremos a favor de H. Pede-se calcular o n´ıvel de significˆancia desse teste.
7.2 Solu¸c˜oes dos exerc´ıcios sobre Teste de Hip´oteses para
Propor¸c˜ao
Solu¸c˜ao do Exc. 162 a ser acrescida.
Solu¸c˜ao do Exc. 163. Resposta em (a). Denotado por p a propor¸c˜ao populacional das pessoas para as quais a nova droga provoca efeitos colaterias, temos que o problema do enunciado pode ser reformulado como o problema de escolha entre H (a hip´otese nula): p = 0, 6 e A (a hip´otese alternativa): p < 0 , 6. Observe que o r´otulo “nula” recebeu aquela das duas hip´oteses que tem a afirma¸c˜ao precisa, isto ´e, aquela que afirma a igualdade. Observe tamb´em que a distribui¸c˜ao dos nomes “nula” e “alternativa” por hip´oteses n˜ao tem nada ver com que uma das hip´oteses seja “positiva” ou “desejada” enquanto que a outra seja a obra do advogado do diabo. No presente caso, por exemplo, todos n´os desejamos que o novo rem´edio tenha eficˆacia elevada, quer dizer, todos queremos que a hip´otese p < 0 , 6 ven¸ca. Outrassim, essa hip´otese adquiriu o nome “alternativa”.
Resposta em (b). Para resolver item (b), precisamos fingir que a realidade corresponde a afirma¸c˜ao da hip´otese nula e nos colocar no eixo de tempo antes da aplica¸c˜ao experimental da droga num grupo de pacientes com o objetivo de estudar os efeitos colaterias. De acordo com o enunciado do item (b), este grupo tem 19 pacientes. Do ponto de vista da posi¸c˜ao de “antes” posi¸c˜ao, o n´umero de pacientes dentre dos 19 a serem testados, que apresentar˜ao efieto colateral, ´e uma vari´avel aleat´oria. Denotamos esta por X. Como “fingimos” que a hip´otese nula correspondea realidade, temos portanto que
X tem distribui¸c˜ao binomial com n = 19 e p = 0, 6
A determina¸c˜ao da distribui¸c˜ao da quantidade a ser observada (´e a que foi denominada acima por X) ´e um dos ingredientes da solu¸c˜ao. O segundo ingrediente ´e a determina¸c˜ao da regi˜ao cr´ıtica. Recordamos que “regi˜ao cr´ıtica” ´e nome para o conjunto dos valores de X para os quais a regra rejeita a hip´otese nula. A regra da constru¸c˜ao deste conjunto est´a embutida no enunciado de exerc´ıcio e revela-se para n´os logo que formulamos as hip´oteses. Esta ´e o princ´ıpio gen´erico. Eis como ele realiza-se no presente caso. As hip´oteses descordam entre si sobre o valor de p e esta descordˆancia pode ser resumida verbalmente da seguinte maneira: a hip´otese alternativa afirma que o valor de p ´e menor do que aquele afirmado pela hip´otese nula. Formularemso agora a repercur¸c˜ao desta descordˆancia na distribui¸c˜ao de X: se a verdade for a da afirma¸c˜ao da hip´otese nula, ent˜ao a distribui¸c˜ao de X ´e aquela descrita acima, enquanto que se a verdade for da hip´otese alternativa ent˜ao o parˆametro p desta distribui¸c˜ao deve ser menor que 0, 6 e, consequentemente, X deve assumir valores pequenos com probabilidades maiores. Esta consequˆencia ´e o fundamento para a regra da decis˜ao a ser tomada com base na observa¸c˜ao do valor de X: se a valor for pequena - rejeitar a hip´otese nula, caso contr´ario - aceitar esta hip´otese. A mesma coisa pode ser dita com o emprego da informa¸c˜ao de que X assume valores em { 0 , 1 , 2... , 19 } seja para p = 0, 6 ou seja para p > 0 , 6: se X assumir valor no conjunto { 0 , 1 , 2... , k} - rejeitar a hip´otise nula, j´a se for do conjunto {k + 1, k + 2,... , 19 } - aceitar a hip´otese nula. E evidente que ainda n˜´ ao dissemos nada sobre o valor de k que apareceu nos conjuntos. Sobre este versaremos daqui a pouco. Agora s´o concluimos a resposta na pergunta de identifica¸c˜ao da regi˜ao cr´ıtica: este ´e o conjunto { 0 , 1 , 2... , k}. Denotaremos este por RC, isto ´e: RC = { 0 , 1 ,... , k}
Solu¸c˜ao do Exc. 164. Resposta em (a). Denotamos por p a probabilidade da moeda considerada a dar “cara” num lan¸camento. Responderemos `a quest˜ao com uso desta nota¸c˜ao. Isto nos permitir´a a aproveitar esta resposta nas respostas aos itens (b) e (c). Segundo o acordo de nomenclatura, uma moeda chama-se honesta se p = 0, 5. Portanto, a d´uvida de se nossa moeda seja honesta ou n˜ao pode ser expressa como a tarefa de escolha entre as duas seguintes hip´oteses:
p = 0, 5, afirma¸c˜ao a ser rotulada “hip´otese nula” e denotada por H; e:
p 6 = 0, 5, afirma¸c˜ao a ser rotulada “hip´otese alternativa” e denotada por A.
Quanto a tarefa de descri¸c˜ao da regra de decis˜ao, notamos que tal regra foi formulada no enunciado da seguinte maneira: “adotamos o seguinte crit´erio: consideramos a moeda n˜ao honesta se o resultado for menor do que 8 ou maior do que 16”. Esta est˜ao ´e a resposta na tarefa. Quantoa descri¸c˜ao da regiˆao cr´ıtica, come¸caremos com o lembrete de que esta ´e o conjunto das observa¸c˜oes que n´os levam – segundo o crit´erio adotado – a n˜ao aceitar a hip´otese nula. Portanto, a regi˜ao cr´ıtica comp˜oe-se dos valores menores que 8 e maiores que 16. Podemos ainda descrever a regi˜ao com precis˜ao maior, pois sabemos que nossa observa¸c˜ao ser´a um valor natural n˜ao maior que 24 (j´a que esta observa¸c˜ao ser´a o n´umero de “caras” que aparecer˜ao em 24 lan¸camentos da moeda). Logo, segue-se a seguinte descri¸c˜ao da regi˜ao cr´ıtica:
RC = { 0 , 1 , 2 ,... , 6 , 7 , 17 , 18 ,... , 23 , 24 }
Resposta em (b). Introduziremos a vari´avel aleat´oria que corresponde ao n´umero de caras a serem obtidas em 24 lan¸camentos da moeda a serem feitos conforme “planejado” pelo enunciado do exerc´ıcio. Denotaremos esta por X. Esta vai ser usada no c´alculo do n´ıvel de significˆancia do teste. Para a execu¸c˜ao deste c´alculo, precisamos agir como se fosse que a hip´otese nula seja verdadeira. Isto significa que assumimos – apesar de n˜ao haver nenhuma raz˜ao real amparando tal pressuposto – que p ´e igual 0, 5. Este pressuposto nos permite a caraterizar precisamente a distribui¸c˜ao de X: esta ´e Bin(24; 0, 5). A partir dai, podemos calcular a probabilidade de X assumir seu valor dentro da regi˜ao cr´ıtica do teste, o que ´e – pela pr´opria defini¸c˜ao – o n´ıvel de significˆancia (recorde, a nota¸c˜ao para este ´e α). Eis o c´alculo:
α = P [X ∈ RC] (onde X ∼ Bin(24; 0, 5)) = P [X ≤ 7] + P [X ≥ 17] = P [X = 0] + · · · + P [X = 7] +
- P [X = 17] + · · · + P [X = 24]
Para fechar a conta, usaremos os valores da distribui¸c˜ao binomial com n = 24 e p = 0, 5 a qual foi obtida com aux´ılio do pacote estat´ıstico R. Eis a tabela de seus valores:
0 5.960464e-08 9 7.793331e-02 18 8.022547e- 1 1.430511e-06 10 1.169000e-01 19 2.533436e- 2 1.645088e-05 11 1.487818e-01 20 6.333590e- 3 1.206398e-04 12 1.611803e-01 21 1.206398e- 4 6.333590e-04 13 1.487818e-01 22 1.645088e- 5 2.533436e-03 14 1.169000e-01 23 1.430511e- 6 8.022547e-03 15 7.793331e-02 24 5.960464e- 7 2.062941e-02 16 4.383749e- 8 4.383749e-02 17 2.062941e-
Somando os valores, temos que P [X ≤ 7] = 0, 03195733 e que P [X ≥ 17] = 0, 01132792. Por fim, ent˜ao, temos a resposta: α = 0, 03195733+0, 01132792 ≈ 0 , 043, ou, o n´ıvel de significˆancia ´e 4,3% aproximadamente.
Resposta em (c). A pergunta (c) faz parte das perguntas do tipo “o que seria se p da moeda tivesse um valor espec´ıfico”. Vale nota que fazer tal pergunta n˜ao significa saber o valor verdadeiro de p (no presente caso, por exemplo, ningu´em afirma que a moeda testada possui p = 0, 3; ´e uma pergunta hipotˆetica: “o que seria, se fosse...”). Ent˜ao, vamos fingir que p = 0, 3 e vamos calcular a probablidade de que a regra de decis˜ao erre, quer dizer, conclua que a hip´otese nula ´e v´alida (sendo que a hip´otese nula afirma que p = 0, 5, est´a claro onde est´a o erro). Vale mencionar que a conta a ser feita para p = 0, 3, sendo repetida para todos os valores de p diferentes de 0,5, dar´a a informa¸c˜ao suficiente para deduzir a fun¸c˜ao de poder do teste. Isto revela a liga¸c˜ao da presente quest˜ao com o conte´udo da aula te´orica onde menciona-se o Poder de Teste. Cabe, por´em, a ressalva: a aula n˜ao foi al´em da men¸c˜ao e n˜ao apresentou nem o c´alculo da Fun¸c˜ao de Poder de Teste, nem sua aplica¸c˜ao. Nosso procedimento ´e muito parecido com o que usamos para o c´alculo de n´ıvel de signi- ficˆancia. N´os vamos nos colocar no eixo de tempo antes do experimento (o qual ´e 24 lan¸camentos da moeda) mas depois de ter assumido que o p da moeda ´e 0,3. De nosso ponto de vista, a quantidade de “caras” a aparecer neste experimento ´e uma vari´avel aleat´oria. Denotaremos esta por Y. Temos que Y tem a distribui¸c˜ao Bin(24; 0, 3) pois Y contar´a a n´umero de “caras” em 24 lan¸camentos de mesma moeda, sendo que a proba- bilidade de obter “cara” em cada um deles ´e 0, 3. Com uso de Y podemos expressar a probabilidade que a regra de decis˜ao aponte na hip´otese nula:
IP [Y assumir valor fora da RC] = = IP [Y = 8] + IP [Y = 9] + · · · + IP [Y = 16] onde Y tem a distribui¸c˜ao Bin(24; 0, 3)
Para fechar a conta, consultaremos a tabela da distribui¸c˜ao binomial com os parˆametros n = 24 e p = 0, 3. Eis esta (obtida com aux´ılio do pacote estat´ıstico R): 0 1.915812e-04 9 1.221813e-01 18 6.134836e- 1 1.970550e-03 10 7.854515e-02 19 8.302786e- 2 9.711995e-03 11 4.284281e-02 20 8.895842e- 3 3.052341e-02 12 1.989131e-02 21 7.261912e- 4 6.867768e-02 13 7.869088e-03 22 4.243975e- 5 1.177332e-01 14 2.649795e-03 23 1.581605e- 6 1.597807e-01 15 7.570842e-04 24 2.824295e- 7 1.760849e-01 16 1.825114e- 8 1.603630e-01 17 3.680902e- A resposta final ´e 0, 435 aproximadamente.
Solu¸c˜ao do Exc. 165 a ser acrescida.
Solu¸c˜ao do Exc. 166(a). Rc = { 73 , 74 ,... , 100 }.
α = IP [X ∈ Rc] , onde X ∼ Bin(100; 0, 7)
Usando a aproxima¸c˜ao de X pela Y ∼ N (70; 21) temos (abaixo, Z ∼ N (0, 12 )):
α ≈ IP [Y ≥ 73] = IP
[
Z ≥
]
Como IE[X] = 200 × 0 , 1 = 20 e Var[X] = 200 × 0 , 1 × (1 − 0 , 1) = 18, ent˜ao, pela aproxima¸c˜ao de binomial por normal, temos
IP [Y ≤ 15] = IP (Z ≤ (15 − 20)/
18) = IP (Z ≤ − 1 , 17) = 1 − P (Z ≥ 1 , 17) ≈ 0 , 121
quer dizer, o n´ıvel de significˆancia do teste ´e 0, 121.
Solu¸c˜ao do Exc. 168. S˜ao duas alternativas, entre as quais o dono do supermercado quer (ou precisa) escolher:
1-a: A marca Z de um produto est´a respons´avel por 50% das vendas do produto;
2-a: A marca Z est´a respons´avel por uma porcentagem maior que 50% das vendas do produto.
Se quizer, pode iterpretar as alternativa da seguinte maneira:
1-a: A campanha promocional n˜ao mudou a popularidade da marca Z e esta continua ser respons´avel por 50% das vendas do produto;
2-a: A campanha promocional foi eficiente – conforme os promotores garantem – e a marca Z tornou-se mais popular, isto ´e, come¸cou a ser respons´avel por uma porcentagem maior que 50% das vendas do produto.
Seja que foi a interpreta¸c˜ao das duas alternativas, a “matematiza¸c˜ao” das mesmas ´e a seguinte: (i) suponhamos que detro de cada consumidor h´a uma moeda que est´a sendo lan¸cada cada vez que o consumidor escolha a marca do produto; (ii) suponhamos que na “cara” da moeda, o consumidor compra a marca Z, e na “coroa” compra qualquer outra marca; (iii) suponhamos que todas as moedas s˜ao independentes e tˆem a mesma probabilidade de dar “cara”, a qual ser´a denotada por p. Ent˜ao, a exress˜ao matem´atica das duas alternativa ´e:
1-a: p = 0, 5;
2-a: p > 0 , 5.
Observo que n˜ao ´e ´obvio (para alunos) que as alternativas acima descritas em palavras tenham a express˜ao matem´atica como a de cima. Na verdade, tal express˜ao matem´atica ´e o nosso (os professores) modelo probabil´ıstico para a situa¸c˜ao na qual encontra-se o dono do supermercado. E honestamente falando, ao inventar esta situa¸c˜ao, j´a partimos deste modelo probabil´ıstico. Seja como for o caminho, alunos devem aprender a enchergar exatamente este modelo por trˆaz da descri¸c˜ao verbal. Pois se o modelo for outro, o m´etodo de sua an´alise seria diferente daquele ensinado no nosso curso. Agora a d´uvida ´e qual das duas alternativas levar´a o nome “Hip´otese Nula” e qual o nome “Hip´otese Alternativa”. O m´etodo da escolha neste caso ´e muito simple: a que tem informa¸c˜ao exata sobre (o desconhecido) valor de p deve ser a NULA! Isto por que faremos as contas (e as conclus˜oes baseadas nor resultados das contas), assumindo que a hip´otese nula ´e verdade. Ent˜ao, com este pressuposto, e com a escolha da 1-a alternativa no lugar da hip´otese nula, teremos nas m˜aos o dado “p = 0, 5”. Com este dado, podemos fazer contas. J´a no caso oposto, quer dizer, no caso da ecolha da 2-a alternativa para a hip´otese nula, teremos o dado “p > 0 , 5”. Com este dado n˜ao d´a para fazer muita conta. Resumindo, eis nossa escolha:
H: p = 0, 5;
A: p > 0 , 5,
onde “H” significa “hip´otese nula” e “A” significa “Hip´otese alternativa”.
Deve ser entendido que no ambiente do Teste de Hip´otese n˜ao assume-se que saberemos qual das duas ´e verdade de verdade, e qual ´e falsa de verdade. Faremos s´o um teste e este vai apontar para aquela das duas que ele (o teste, quer dizer) acha que seja verdadeira. Portanto, podem, a princ´ıpio, ocorre erros de dois tipos. Estes erros est˜ao descritos abaixo j´a com os nomes corretos:
Erro tipo I: E quando nosso teste aponta na hip´´ otese alternativa como a verdadeira enquanto que na verdade a hip´otese nula ´e verdadeira;
Erro tipo II: E quando nosso teste aponta na hip´´ otese nula como a verdadeira enquanto que na verdade a hip´otese alternativa ´e verdadeira.
E f´´ acil decorrar a “numera¸c˜ao” dos erros: o no qual o teste erra de acertar a hio´otese nula chama-se “do tipo I”, enquanto que o no qual o teste erra em acertar a hip´otese alternativa chama-se “do tipo II”.
Nosso teste ser´a baseado em n´umero das pessoas, dentro das 18 intervistadas, que escolham a marca Z do produto. Apriori, este n´umero pode ser qualquer um entre 0 e 18. No enunciado est´a dito que se for 14 ou mais, ent˜ao a decis˜ao ser´a que a hip´otese nula ´e verdadeira. O conjunto dos valores que levam o teste a decidir pela veracidade da hip´otese alternativa chama se regi˜ao cr´ıtica do teste. Portanto, { 14 , 15 , 16 , 17 , 18 } ´e a regi˜ao cr´ıtica no presente caso.
O n´ıvel de significˆancia de teste ´e a probabilidade do Erro do Tipo I. Voltando `a defini¸c˜ao deste erro, podemos ver que esta ´e a probabilidade de que dentro das 18 intervistadas, no m´ınimo 14 escolher˜ao a marca diferente de Z, mas sendo que dentro de cada um dos 18 h´a moeda cuja probabilidade de dar “cara” ´e p = 0, 5. (Volte acima no texto para lembrar como, dentro de nosso modelo probabil´ıstico, pessoas escolham entre a marca Z e outras marcas do produto. Observe que adotamos p = 0, 5 pois o Erro Tipo I significa errar na situa¸c˜ao em qual a hip´otese nula ´e verdadeira. Isto implica no que todas as contas podem ser feitas com base no pressuposto que p = 0, 5.) Para formalizar a conta e chegar ao valor num´erico, introduzimos a vari´avel aleat´oria X como o n´umero das pessoas, dentro das 18, que prefirir˜ao a marca Z, e observaremos que X tem a distribui¸c˜ao binomial com os parˆametros n = 18 e p = 0, 5. Portanto,
o n´ıvel de significˆancia do teste = a probabilidade do Erro do tipo I = = IP
[
X pertencer `a regi˜ao cr´ıtica
]
, quando H ´e verdade = IP
[
X ≥ 14
]
, quando X ∼ Bin(18; 0, 5).
Para chegar no valor, faremos aproxima¸c˜ao de binomial pela normal. Precisamos saber que IE
[
X
]
= 18 · 0 , 5 = 9 e Var
[
X
]
= 18 · 0 , 5(1 − 0 , 5) = 4, 5 ⇒ σ
[
X
]
= 2, 12. Ent˜ao:
IP
[
X ≥ 14
]
= IP
[
Z ≥
]
IP
[
Z ≥ 2 , 39
]
Este valor ´e o n´ıvel de significˆancia do teste. Comentaria que este ´e muito baixo, o que ´e bom, pois significa que errar na escolha da hip´otese nula, enquanto ela ´e verdadeira, tem probabilidade baixa de acontecer.
Solu¸c˜ao do Exc. 168(c). Separei este item dos (a) e (b) pois situa¸c˜ao aqu´ı n˜ao pode ser misturada com a destes dois itens. Pois em (a, b) n˜ao sabiamos precisamente o valor de p sob a
