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Exercícios Resolvidos de BAC014 (T3) – Engenharia de Fluidos – Prof. Rogerio
– 1º Semestre de 2013
1. Um tanque isolado cujo volume é desconhecido está dividido em duas partes. No lado esquerdo,
temos 0,01 m 3 de ar à pressão de 0,8 MPa e temperatura ambiente, enquanto que o outro também contem 1 kg de ar mas à pressão de 1,2 MPa e temperatura de 55 C. A divisória é removida e o ar de um lado do tanque interage com o ar do outro lado do tanque. A condição final é de temperatura de 10 C e pressão de 120 kPa. Determine o volume total do tanque.
Solução: Como nada foi mencionado, vamos considerar que ar se comporta como gás perfeito, o que nos permitirá utilizar a equação de estado:
Como não há massa atravessando as fronteiras do tanque (ao menos, elas não foram especificadas), a condição que irá ligar a condição inicial (massa nos dois lados do tanque) com a condição final (massas misturadas) é a lei de conservação de massa que declara que as massas se conservam, o que é uma excelente primeira observação. Assim, poderemos dizer:
massa inicial = massa final
que se traduz naturalmente por:
massa lado esquerdo + massa lado direito = massa final
Pela modelagem escolhida (gás perfeito), podemos escrever:
Substituindo os valores, temos:
cujo resultado indica um volume final de 0,74 m 3 /kg. O valor de R, constante do ar, é retirado das tabelas ou do próprio aplicativo mencionado acima.
Observação Importante: Da mesma forma que as pressões consideradas têm que ser definidas na escala absoluta, as temperaturas precisam ser definidas na escala Kelvin.
2. 1,5 kg de CO 2 é aquecido em um recipiente mecanicamente isolado de volume 0,05 m 3 desde a
temperatura de -20 C até 90 C. Determine os estados inicial e final.
Solução: Iremos considerar, novamente, a modelagem de gás perfeito. A partir dessa escolha, podemos determinar as condições desejadas. No início, temos as seguintes informações:
- V = 0,05 m
- m = 1,5 kg
- Substância = CO 2
- temperatura = T = -20 C = 253,15 K
Resolvendo, obtemos que P 1 = 1434,7 kPa. Na condição final, temos:
- V = 0,05 m
- m = 1,5 kg
- Substância = CO 2
- temperatura = T = 90 C = 363,15 K
Resolvendo, obtemos que P 2 = 2058,2 kPa.
3. Um tanque de 1 m 3 contendo ar a 25 C e 500 kPa é conectado através de uma tubulação com
uma válvula, inicialmente fechada, a outro tanque, este contendo 5 kg de ar a 35 C e 200 kPa. A válvula é aberta e todo o sistema interage até que a condição de equilíbrio de temperaturas é alcançada com o exterior, que está a 20 C. Determine o volume do segundo tanque e a pressão final de equilíbrio do ar.
Solução. Antes de usarmos o aplicativo, convém analisarmos o que está acontecendo fisicamente. No tanque de 1 m 3 , temos informações sobre o volume, a substância, a temperatura e a pressão. Dessa forma, a única incógnita é a massa, que poderá ser rapidamente determinada pela equação de gás perfeito. O resultado é 5,843 kg.
O outro tanque contem 5 kg de ar a 35 C e 200 kPa. Novamente, podemos aplicar a equação de gás perfeito para determinar o volume inicial. O resultado é 2,211 m 3.
A determinação da condição final utiliza as mesmas informações. A massa total é igual a 5 + 5, = 10,84 kg e o volume final é de 1 + 2,211 = 3,211 m 3. Sabemos finalmente que:
e com isso, determinamos a pressão final de 284,11 kPa.
7. Se o volume específico da água for 0,1 m 3 /kg e a temperatura é 225 C, qual é a pressão? E o
título?
Solução: Esse exercício é apenas uma continuação do anterior. Nesta nova situação, o volume específico fornecido é superior ao volume do vapor saturado seco, como pode ser rapidamente verificado. Assim, a condição é de vapor superaquecido e o título não tem significado. Na tabela de vapor superaquecido, procurando o valor de 225 C, notamos que a 2,00 MPa, o volume específico é de 0,10377 e à 2,50 MPa (valor seguinte na minha tabela), o volume é de 0,08027 m 3 /kg, o que implica no uso de interpolação. Realizando-a, obtemos que a pressão (por exemplo) vale aproximadamente igual a 2,0802 MPa (o valor exato é 2,067 MPa).
8. Qual o volume específico da água a 1 MPa e temperatura de 50 C?
Solução: Naturalmente, o primeiro passo é a localização da condição termodinâmica. Entrando na tabela de água saturada à pressão de 2 MPa, verificamos que a temperatura de vaporização é 179, C. Como a temperatura indicada é de 50 C, temos a condição chamada de líquido sub-resfriado (ou comprimido). Como exposto no material, líquidos são muito pouco compressíveis e, portanto, uma boa aproximação é considerar que o volume do líquido sub-resfriado é igual ao volume do líquido saturado na temperatura (no caso, a 50 C). Na tabela de água saturada, a 50 C o volume específico do líquido saturado é 0,001012 m 3 /kg enquanto que o valor correto é 0,0010117 m 3 /kg, indicando uma excelente aproximação.
9. Nitrogênio é comprimido dentro de um compressor alternativo. A pressão inicial é igual a 0,
MPa e a temperatura inicial é de 200 K. Se a pressão final for de 6 MPa, qual a temperatura final, sabendo-se que o processo pode ser considerado como um processo politrópico de expoente n = 1,2. Qual é o trabalho trocado neste processo? Considere o nitrogênio como gás perfeito.
Solução: Considerando o N 2 como gás perfeito, podemos usar a planilha citada acima e obter diretamente as condições:
O trabalho é negativo pois é um trabalho de compressão.
10. Nitrogênio é comprimido dentro de um compressor alternativo. A pressão inicial é igual a 0,
MPa e a temperatura inicial é de 200 K. Se a pressão final for de 6 MPa, qual a temperatura final, sabendo-se que o processo pode ser considerado como um processo politrópico de expoente n = 1,2. Qual é o trabalho trocado neste processo?
Solução: O ponto crítico do Nitrogênio tem temperatura igual a 126,193 K e pressão de 3, MPa. Como a temperatura inicial é de 200 K, maior que Tcrítico, é razoável considerarmos que temos gás na condição inicial. Como o processo de compressão resulta em aumento de pressão, a temperatura final será necessariamente superior a do ponto crítico. Assim, a condição final também é de gás.
Entretanto, como temos uma tabela de Nitrogênio superaquecido, não é preciso nos preocuparmos com a questão se o modelo de gás perfeito é conveniente. Assim, lembrando que o processo é politrópico, podemos escrever que:
o que no caso, significa:
Na tabela de vapor superaquecido de Nitrogênio a 0,2 MPa e 200 K, temos que o volume específico é igual a 0,295515 m 3 /kg e portanto, o volume específico final é igual a 0,01736 m 3 /kg. Com este volume específico e com a pressão final de 6 MPa, uma tabela de propriedades indicará o valor de 346,8 K. O trabalho trocado é determinado pela expressão:
Comparando esses resultados com os anteriores, podemos observar as pequenas diferenças, pelas razões já expostas.
11. Oxigênio expande-se desde a pressão de 800 kPa, T = 300 K até a pressão de 120 kPa. O
processo é politrópico de expoente igual a 0,8. Calcule o trabalho trocado. Em seguida, avalie se o trabalho aumenta ou diminui se o expoente politrópico passar para 1,6.
Solução: Vamos considerar que O 2 possa ser modelado como gás perfeito. Nestas condições, o uso da planilha citada dá como resultado para o expoente n = 0,8:
Com isto, podemos chegar às propriedades termodinâmicas de interesse neste processo:
O trabalho trocado será então dado pelo produto da massa pelo trabalho por unidade de massa, obtido da planilha:
Por outro lado, se o caminho utilizado for o outro, os resultados da primeira etapa (processo politrópico) serão:
Em seguida, teremos o processo isométrico (por considerações numéricas, usamos 1E5 ao invés de ∞ para o expoente de um processo isométrico), que chegará até a pressão desejada. Os novos resultados são:
Deve ser observado que o valor da temperatura do final do processo isobárico é o mesmo (a menos do erro de arredondamento) do valor da temperatura ao final do processo acima. Isto é um bom sinal, pois a temperatura, bem como as demais propriedades termodinâmicas, são funções de ponto e não caminho. Por outro lado, o trabalho trocado ao final do primeiro processo foi de 50 kJ e o trabalho ao final do segundo processo foi 21,1 kJ, bem menor.
Verifique se os resultados acima fazem sentido desenhando os dois processos em um diagrama Pressão X volume específico. Isso pode ser muito instrutivo!!!
13. Água, na condição de líquido saturado, a 0,5 MPa é colocada dentro de um conjunto cilindro-
pistão que sofre um processo de compressão até que a temperatura de 200 C e título de 0,58 seja alcançada. Determine o expoente do processo politrópico.
Solução. Água a 0,5 MPa e na condição de líquido saturado tem o volume específico igual a 0,001093 m 3 /kg. Por outro lado, à 200 C e na condição de mistura (já que o título foi dado), a pressão é de 1,5538 MPa. O volume específico da mistura é obtido diretamente, mediante consulta às tabelas de vapor:
Se o processo politrópico é tal que:
podemos então determinar o expoente "n" da forma:
o que resulta em n = - 0,2687.
lembrando a definição do processo politrópico. Se diferenciarmos a expressão acima em termos de "n", expoente politrópico, obteremos:
Analisando a expressão, podemos concluir que para expansões, isto é, sempre que a pressão final for menor que a pressão inicial, o trabalho será sempre crescente com o valor do expoente "n". Ou seja, crescendo o valor de "n", o trabalho produzido diminui. Entretanto, para compressões, algo interessante acontece:
Para valores pequenos do expoente politrópico, o valor de dW/dn troca de sinal, o que implica em valores máximos (em valor absoluto) para o trabalho necessário:
17. Um tanque de 0,5 m 3 contem ar na pressão de 7,0 MPa e 250 C, estando perfeitamente isolado
da vizinhança. Uma válvula é aberta e o ar é descarregado até que a pressão dentro do tanque caia para 400 kPa. Desconsiderando todas as possíveis perdas por atrito e outras irreversibilidades, como primeira aproximação, calcule a massa de ar descarregada do tanque. Em seguida, calcule a variação da energia interna para a massa que ficou dentro do tanque.
Solução: Como o tanque é dito ser isolado, isto implica em isolamento térmico (feito com paredes adiabáticas) e mecânico (feito com paredes indeformáveis). Assim, podemos considerar o processo como sendo adiabático. Com a observação de se desprezar as irreversibilidades, o processo passa a ser adiabático reversível, que é descrito como:
que é um daqueles processos politrópicos que vimos. No caso, , já que estamos lidando com ar. Analisando o problema, podemos concluir que a massa de ar descarregada é a diferença entre a massa inicial e a massa final. Isto é:
Então precisamos determinar as massas contidas no tanque nos pontos extremos. Na condição inicial temos que:
o Pressão igual à 7 MPa e Temperatura de 250 C. Como o volume é fixo, podemos aplicar diretamente a equação de estado de gás perfeito:
Solução: Considerando que o CO 2 se comporte como gás perfeito, podemos escrever:
Esta é a massa que ocupará todo o espaço na condição final. Nesta nova situação, poderemos escrever, da mesma forma, que:
Isto é, temos duas incógnitas e uma única equação, por ora. Devemos lembrar agora que a Primeira Lei da Termodinâmica deve estar sendo contemplada, isto é:
Como é dito, no enunciado que o reservatório é rígido e termicamente isolado, temos que W = 0 e Q = 0. Portanto:
Finalmente, com a hipótese de considerarmos o CO 2 como gás perfeito, temos que a energia interna é função exclusiva da temperatura, e, portanto:
Com isto, a determinação do volume final é imediata:
19. Um gás ideal ocupa um volume de 0,5 m^3 à temperatura de 340 K e dada pressão. O gás realiza
um processo isobárico até que a temperatura caia para 290 K. Determine (a) o volume final; (b) o trabalho realizado se a pressão for 120 kPa e (c) o calor trocado, considerando que o calor específico a volume constante seja igual a 0,52 kJ/kg.K e a massa seja 1 kg.
Solução: Como o problema envolve relações entre formas de energia (pois o enunciado pede trabalho e calor), será inevitável o envolvimento com a equação da Primeira Lei da Termodinâmica. Pela ausência de dados relativos a velocidade e cotas, poderemos desprezar as eventuais contribuições das energias cinética e potencial. Assim, a forma da Primeira Lei será:
Vamos precisar calcular a variação de energia interna, o que passará pela identificação dos estados limites. Pelas informações fornecidas, temos:
Pressão Temperatura Volume
Estado Inicial 120 kPa 340 K 0,5 m 3
Estado Final 120 kPa 290 K?
Sabemos também que, sendo um gás perfeito, a equação de estado é:
de forma que podemos escrever:
Assim, o volume final é determinado diretamente:
O trabalho trocado em um processo isobárico é rapidamente determinado pela equação
. Finalmente, poderemos voltar à Primeira Lei. O primeiro passo é a determinação da variação da energia interna:
Desta forma, temos que:
Como ar é tratado como gás perfeito, os volumes inicial e final podem ser diretamente determinados:
e assim, o trabalho mecânico vale:
que é positivo, pelo aumento no volume. O trabalho total = -18,3+5,2=-13,1 kJ, negativo, indicando que mais trabalho entra no sistema do que sai. A variação de energia interna pode ser determinada de duas maneiras:
- diretamente:
- indiretamente, pela equação do Balanço de Energia:
Naturalmente, a pequena diferença é devida aos erros de aproximação, arredondamento, etc. A variação da entalpia é feita a partir da sua própria definição:
21. Em um conjunto cilindro-pistão, 0,5 kg de ar se expandem em um processo politrópico de
expoente n = 1,8, a partir de uma pressão inicial de 5 MPa e um volume inicial de 0,07 m 3 até a pressão final de 500 kPa. Calcule o trabalho e o calor trocados.
Solução. Como vimos, processos politrópicos são aqueles descritos pela equação:
Isto implica em que o trabalho (mecânico, de variação de volumes) é descrito por:
Considerando que ar é gás perfeito, podemos usar a equação de estado e escrever
A determinação do calor trocado para um processo politrópico pode ser feita pela Primeira Lei:
Novamente, para um gás perfeito, podemos escrever:
que após algumas manipulações, se reduz à:
Observe que quando , o calor trocado é nulo, como deveria ser, visto que é a situação do processo adiabático reversível de gás perfeito. Substituindo os valores do problema, obtemos que T 1 = 2438,8 K e T 2 = 876,45 K. Finalmente o trabalho trocado vale 279,68 kJ e o calor trocado vale -280,82 kJ, negativo.
22. 10 kg de ar estão dentro de um conjunto pistão-cilindro são aquecidos de 25 a 77 C pela
passagem de corrente elétrica em uma resistência. A pressão interna é mantida constante em 200 kPa durante o processo e uma perda de 5 kJ por calor é detectada. Determine a energia elétrica fornecida em kWh.
Solução: Como pode ser observado, o problema relaciona várias formas de energia e desta forma, será inevitável o uso da Primeira Lei da Termodinâmica. Poderemos desprezar as variações de energia cinética e potencial, já que nada foi dito sobre velocidades ou cotas. Assim, o problema envolve o relacionamento entre trabalho elétrico, variação de energia e calor.
Para começar, será necessário determinarmos (ou melhor, identificarmos os estados limites do ar). Para isto, o uso da equação de estado de gás perfeito será necessária. Vejamos as informações fornecidas:
