Baixe Lista de Exercícios de Álgebra Linear: Universidade Federal da Bahia e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity!
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATA07 – ÁLGEBRA LINEAR A
1 a^ LISTA DE EXERCÍCIOS
- Sejam A, B e C matrizes inversíveis de mesma ordem, encontre a expressão da matriz X, nos itens abaixo: a) ABt^ X = C b) AB + CX = I c) (CB) -1^ AX = I d) (AB)t^ XC = I
- Encontre as matrizes de ordem dois que comutam com.
- (^) Uma matriz A de ordem n é dita idempotente se A^2 = A
a) Mostre que se AB = A e BA = B, então A e B são idempotentes. b) Mostre que é idempotente.
Encontre a matriz LRFE de cada uma das seguintes matrizes: A = ; B = ; C = ; D = ; F =
Descreva todas as possíveis matrizes 2 2 que estão na forma LRFE.
Determine o posto e a nulidade de cada uma das seguintes matrizes: A = ; B = ; C = ; D = ; E =.
Dê exemplos, se possível, de matrizes satisfazendo as condições dadas abaixo. OBS: Considere N(A) como a nulidade de A e p(A) como o posto de A. a) B 23 , p(B) = 2 ; b) C 32 , p(C) = 3 ; c) D 24 , p(D) = 3; d) F 23 , N(F) = 2; e) G 43 , N(G) = 0 ; f) H 3 , N(H) = 0; g) J 3 , p(J) = 2.
Resolva os seguintes sistemas: a) b) c) d).
Determine a solução do sistema , considerando o corpo dos números complexos. )10 Um biólogo colocou três espécies de bactéria (denotadas por I, II e III) em um tubo de ensaio, onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A cada dia serão colocadas no tubo de ensaio 2.300 unidades de A, 800 unidades de B e 1.500 unidades de C. Cada bactéria consome um certo número de unidades de cada alimento por dia, como mostra a Tabela abaixo.Quantas bactérias de cada espécie podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento? Bactéria I Bactéria II Bactéria III Alimento A 2 2 4 Alimento B 1 2 0 Alimento C 1 3 1
)11 Discuta em função de k os seguintes sistemas: a) b) c) d). )12 Determine os valores de a e b que tornam o seguinte sistema possível e determinado .
)13 (^) Considere as seguintes matrizes inversíveis . a) Encontre a expressão de X tal que BAX = C. b) Determine, caso exista, a inversa da matriz X do item a. )14 Dada a matriz B em cada um dos seguintes itens, determine uma matriz N, linha reduzida à forma escada (LRFE), linha equivalente a B e uma matriz inversível M, de ordem 3, tal que N = MB. a) ; b). 15) Verifique se as matrizes a seguir são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a inversa, usando escalonamento: a) b) c). 16) Determine os valores de a e b para que as matrizes abaixo sejam inversíveis a) b). 17) Verifique se os conjuntos dados a seguir têm a estrutura de espaço vetorial, com as operações dadas. a) e. : a.(x,y )= (ax,ay) b) e. : R x a. 18) Verifique em cada item a seguir se W é um subespaço vetorial de V. I. a) b) c) d) ,Q o conjunto dos racionais. e) f) II. V = Mn(R), n2. a) W ={AV ; A é simétrica} b) W ={AV ; A é inversível} c) W ={AV ; A é não inversível} d) W ={AV ; = A} III. V é o espaço vetorial de todas as funções f : RR. a) W = {fV; f(3) = 0} b) W = {fV; f(7) = f(1)} IV. W = {AV; A é matriz hermitiana (ou auto-adjunta), isto é, }. V. W = {AV; A é matriz hermitiana (ou auto-adjunta), isto é, }. VI. V = C 2 sobre R. W = {(a + bi, c + di) C^2 ; a – 2c = 0 e b + d = 0}. 19) Sabendo que o conjunto das soluções do sistema de equações lineares homogêneas é subespaço vetorial de , verifique se Wi é subespaço vetorial de Vi , em cada item a seguir: a) b) c) d)
Caso não sejam bases, justifique o porquê.
a) b)
c) d) = {,,}
27) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais:
a) b)
c) = ; x + z – y = 0 d)
e)
28) Determine uma base para os espaços a seguir, contendo os respectivos
conjuntos de vetores
29) Sejam subespaços de. Determine, justificando a dim(), sabendo que
, dim( W1+W2 ) = 4 e
é uma base de.
30) Sabendo que ,determine a dimensão de.
31) Sejam U eV subespaços do espaço vetorial V, de dimensão igual a 6
I. Se dim (U) = 4 e dim (W) = 5, mostre que UW
II. Se dim (U) = dim (W) = 4, encontre as dimensões possíveis para UW.
32) Dê, se possível, exemplos de:
a) Um conjunto L.I. de três vetores do que não geram o.
b) Um conjunto L.D. de três vetores de.
c) Um subespaço de tal que,.
d) Dois subespaços , tais que dim (U) = dim (W) = 3 e UW.
Caso seja impossível, justifique sua resposta.
RESPOSTAS
1) a) X = ( Bt^ ) -1^ A -1C ; b) X = C -1( I – AB ) ; c) X = A -1CB ; d) X = [(ABt^ ] -1^ C - 2) , a, b R.
4) ; ; ; ;
5) ;
6) p( A ) = 2 e N ( A ) = 1; p ( B ) = 2 = N ( B ); p( C ) = 2 e N( C ) = 0; p ( D ) = 2 e N( D ) = 0, p( E ) = 3 e N( E ) = 0
7) a) B = ; b) impossível; c) impossível; d) F= ;
e) G = ; f) H = ; g) J = 8) a) S = { ( 2,F 0 2 D1, 3 ) }; b) ; c)S = { ( x, y, z )F 0 C ER 3 ; x = y + 3 e z =F 0 2 D1 } ; d) Impossível.
10) O biólogo deve colocar, no tubo de ensaio, 100 bactérias da espécie I e 350 de cada uma das espécies II e III para que todo o alimento seja consumido. 11) a) Se k =F 0 2 D6, então o sistema é possível determinado e S = { (F 0 2 D8,F 0 2 D10)}. Se kF 0 B 9F 0 2 D6, o sistema é impossível. b) Se kF 0 B 91, então o sistema é possível e indeterminado. Se k = 1, o sistema é impossível. c) Se kF 0 B 92, o sistema é possível, determinado e S = { ( k +2, 1,F 0 2 D2 ) }. Se k = 2, o sistema é indeterminado. d) Se kF 0 B 91 e kF 0 B 9F 0 2 D4 então o sistema é possível e determinado. Se k =F 0 2 D4, o sistema é impossível. Se k = 1, o sistema é possível, indeterminado e S = { (x,y,z)F 0 C ER 3 ; x =F 0 2 DF 0 2 Dz 2 e y =F 0 2 D3zF 0 2 D3 ) }.
12) a = 2 e b = 4. 13) a) X = A -1B-1^ C; b) 14) a); b). 15) a) ; b) Não é inversível; c) 16) a) a F 0 B 91; b ) e. 17) a) não é espaço vetorial (a propriedade associativa da + não é válida). b) não é espaço vetorial. 18) I. a)Não. Contra-exemplo: (-2).(1,-2,3)=(-2,4,-6) W. b) ". " " : (0,1,0)+(1,0,0)=(1,1,0) W. c)Sim. d)Não. Contra-exemplo: .(1,2,3). e)Não. Contra-exemplo: (1,1,0)+(-1,-1,0)=(0,0,0) W. f) ". " " : (2,4,0)+(-3,9,0)=(-1,13,0) W. II. a) Sim. b) Não. Contra-exemplo:. c) Não. Contra-exemplo:. d) Não, pois se A e B pertencem a W, não necessariamente A+B pertencerá a W, visto que:. III. a) Sim b) Sim. IV) Não. Contra-exemplo: ( x+ iy). A W, para x e y R, com y 0. V) Sim. VI) Sim.
19) Os itens a , d , e e f são subespaços, pois as equações que os caracterizam formam sistemas lineares homogêneos. Já os itens b e c , não são subespaços, porque as equações que os caracterizam formam sistemas lineares não homogêneos. 20) a)W = [(1,1/2,-1)] b) W = [(-2,1,0),(3,0,1)] c)W = d) 21) I. a)[(1,1,1)] b) II. a) Como ,então , logo é subespaço de b) Observe que. Sejam v =(1,1,3) e u =(2,3,1) 22) ( i ) ,assim não é soma direta e. ( ii ), daí não é soma direta. ( iii ) , daí não é soma direta pois. ( iv ) , daí U W =. ( v ) , daí não é direta.
23) a) V b) V c) F d) V e) V f) V g) F. 24) a) L.D. b) L.D. c) L.I. 25) a) y0 ou z0. b) xR. c) x, yR
