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lista de Cálculo Numérico da UFLA, Provas de Cálculo Numérico

Universidade Federal de Lavras (UFLA)Cálculo Numérico

lista de Cálculo Numérico da UFLA

Tipologia: Provas

2020

Compartilhado em 19/08/2022

viviani-salomao-teixeira-siqueira
viviani-salomao-teixeira-siqueira 🇧🇷

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bg1
UFLA – DEX
GEX114 – C´
alculo Num´
erico – 2020/1
Prof. Tiago Vieira
Lista de exerc´ıcios 03
RESPOSTAS
Orienta¸c˜ao para as respostas: o arredondamento deve ser tal que se o quinto algarismo fracion´ario for 0, 1,
2, 3 ou 4, o arredondamento do quarto algarismo ´e feito para baixo e nos outros casos ele ´e feito para cima.
1. O gr´afico da fun¸c˜ao
f(x) = sen(x) + cos(2x)
´e mostrado a seguir. Pode-se observar que
h´a trˆes zeros da fun¸c˜ao no intervalo x∈[0;6].
x
f(x)
0 2 4 6
-2
(a) Em teoria, um dos zeros mostrados
n˜ao poderia ser encontrado atrav´es do
m´etodo de Newton. Identifique qual e
dˆe a raz˜ao pela qual ele n˜ao poderia ser
encontrado.
Resposta
N˜ao. Em teoria, o primeiro zero posi-
tivo, localizado no intervalo [1;2], n˜ao
poderia ser encontrado, pois neste zero
a fun¸c˜ao tem um m´ınimo local e neste
m´ınimo, assim como em qualquer ponto
extremo, a derivada da fun¸c˜ao tem valor
zero.
(b) Utilize o m´etodo de Newton para esti-
mar o valor do zero citado no item an-
terior utilizando como condi¸c˜ao inicial o
inteiro mais pr´oximo e o crit´erio de pa-
rada Er<0.01 (erro relativo).
Observa¸c˜oes: (i) organize as estimati-
vas em uma tabela conforme o exem-
plo seguinte; (ii) durante os c´alculos, use
arredondamento para que sejam manti-
dos cinco algarismos fracion´arios a cada
uma das opera¸c˜oes matem´aticas empre-
gadas; (iii) ao aplicar as fun¸c˜oes trigo-
nom´etricas, os ˆangulos devem ser consi-
derados em radianos.
t xtEr
0x0(condi¸c˜ao inicial) —
1x1=x0−f(x0)
f0(x0)
x1−x0
x1
2.
.
..
.
.
Resposta
O inteiro mais pr´oximo do zero da
fun¸c˜ao que est´a no intervalo [1; 2] ´e 2.
A aplica¸c˜ao do m´etodo de Newton, cuja
fun¸c˜ao de itera¸c˜ao neste caso ´e
x(t)=x(t−1)−sen(x(t−1)) + cos(2x(t−1))
cos(x(t−1))−2 sen(2x(t−1)),
resulta na tabela abaixo.
t xtEr
0 2 —
1 1.76704 0.13184
2 1.6673 0.05982
3 1.61884 0.02994
4 1.59479 0.01508
5 1.58284 0.00755
(c) Utilize o m´etodo da secante para preen-
cher a tabela a seguir at´e que Er<0.02.
t xtEr
−1 4 —
0 5 —
1x1=x0f(x(−1))−x(−1) f(x0)
f(x(−1)−f(x0)
x1−x0
x1
2.
.
..
.
.
Resposta
t xtEr
−1 4 —
0 5 0.67078
1 2.99262 0.20334
2 3.75644 0.03797
3 3.61901 0.01231
4 3.6641 0.01231
1
pf3

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UFLA – DEX

GEX114 – C´alculo Num´erico – 2020/ Prof. Tiago Vieira

Lista de exerc´ıcios 03

RESPOSTAS

Orienta¸c˜ao para as respostas: o arredondamento deve ser tal que se o quinto algarismo fracion´ario for 0, 1, 2, 3 ou 4, o arredondamento do quarto algarismo ´e feito para baixo e nos outros casos ele ´e feito para cima.

  1. O gr´afico da fun¸c˜ao

f (x) = sen(x) + cos(2x)

´e mostrado a seguir. Pode-se observar que h´a trˆes zeros da fun¸c˜ao no intervalo x ∈ [0; 6].

x

f (x)

(a) Em teoria, um dos zeros mostrados n˜ao poderia ser encontrado atrav´es do m´etodo de Newton. Identifique qual e dˆe a raz˜ao pela qual ele n˜ao poderia ser encontrado. Resposta

N˜ao. Em teoria, o primeiro zero posi- tivo, localizado no intervalo [1; 2], n˜ao poderia ser encontrado, pois neste zero a fun¸c˜ao tem um m´ınimo local e neste m´ınimo, assim como em qualquer ponto extremo, a derivada da fun¸c˜ao tem valor zero. (b) Utilize o m´etodo de Newton para esti- mar o valor do zero citado no item an- terior utilizando como condi¸c˜ao inicial o inteiro mais pr´oximo e o crit´erio de pa- rada Er < 0 .01 (erro relativo). Observa¸c˜oes: (i) organize as estimati- vas em uma tabela conforme o exem- plo seguinte; (ii) durante os c´alculos, use arredondamento para que sejam manti- dos cinco algarismos fracion´arios a cada uma das opera¸c˜oes matem´aticas empre- gadas; (iii) ao aplicar as fun¸c˜oes trigo-

nom´etricas, os ˆangulos devem ser consi- derados em radianos. t xt Er 0 x 0 (condi¸c˜ao inicial) — 1 x 1 = x 0 − (^) ff ′((xx^00 ))

∣ x^1 x− 1 x^0

Resposta

O inteiro mais pr´oximo do zero da fun¸c˜ao que est´a no intervalo [1; 2] ´e 2. A aplica¸c˜ao do m´etodo de Newton, cuja fun¸c˜ao de itera¸c˜ao neste caso ´e

x(t) = x(t−1)−

sen(x(t−1)) + cos(2x(t−1)) cos(x(t−1)) − 2 sen(2x(t−1))

resulta na tabela abaixo. t xt Er 0 2 — 1 1. 76704 0. 13184 2 1. 6673 0. 05982 3 1. 61884 0. 02994 4 1. 59479 0. 01508 5 1. 58284 0. 00755

(c) Utilize o m´etodo da secante para preen- cher a tabela a seguir at´e que Er < 0 .02. t xt Er − 1 4 — 0 5 — 1 x 1 = x^0 f^ ( fx ((x−(1)−)1)−−xf(− (x1) 0 f)^ (x^0 )

∣ x^1 x− 1 x^0

Resposta

t xt Er − 1 4 — 0 5 0. 67078 1 2. 99262 0. 20334 2 3. 75644 0. 03797 3 3. 61901 0. 01231 4 3. 6641 0. 01231

  1. Para a mesma fun¸c˜ao f (x) do exerc´ıcio ante- rior, use a fun¸c˜ao de itera¸c˜ao

φ(x) = x + sen(x) + cos(2x),

obtida ao somar x de ambos os lados da equa¸c˜ao f (x) = 0, e analise a convergˆencia do m´etodo do ponto fixo.

(a) Veja que somente uma das estimati- vas iniciais listadas a seguir satisfaz a condi¸c˜ao

d φ dx

x 0

∣∣ < 1 e utilize-a para

encontrar um dos zeros da fun¸c˜ao to- mando como condi¸c˜ao de parada o erro relativo Er < 0 .01. Organize os re- sultados das itera¸c˜oes numa tabela se- melhante `aquela do m´etodo de Newton, mas com xt+1 = φ(xt). Estimativas ini- ciais: 1.3; 2; 3.5; 5.5.

(b) Note que a estimativa inicial 4. tamb´em satisfaz a condi¸c˜ao indica antes, por´em os zeros da fun¸c˜ao pr´oximos a ela n˜ao satisfazem (aproximadamente 3. e 5.76). Realize 10 itera¸c˜oes do m´etodo do ponto fixo a partir desta condi¸c˜ao ini- cial para observar que n˜ao h´a sinais de convergˆencia para nenhum desses zeros.

Dica: fa¸ca os gr´aficos de dφ/dx e f (x), pre- ferencialmente no mesmo sistema de eixos, usando algum recurso computacional como o buscador da Google ou o WolframAlpha, digi- tando o comando plot seguido das express˜oes alg´ebricas correspondentes `as fun¸c˜oes que se quer ver os gr´aficos, separadas por uma v´ırgula.

Resposta

(a) Para a fun¸c˜ao de itera¸c˜ao em quest˜ao temos

dφ dx = 1 + cos(x) − 2 sen(2x)

O gr´afico dessa derivada ´e mostrado abaixo e nele tamb´em s˜ao indicados no eixo horizontal as posi¸c˜oes das estimati- vas iniciais sugeridas. E f´´ acil notar que apenas a estimativa x 0 = 1.3 satisfaz |(dφ/dx)x 0 | < 1.

x

f (x)

As itera¸c˜oes do m´etodo do ponto fixo para x 0 = 1.3 s˜ao mostradas na tabela abaixo. t xt Er 0 1. 3 — 1 1. 40667 0. 07583 2 1. 44662 0. 02762 3 1. 4696 0. 01564 4 1. 48489 0. 0103 5 1. 49592 0. 00737

(b) As itera¸c˜oes s˜ao mostradas a seguir. Pode-se observar j´a a partir da quarta itera¸c˜ao que o erro relativo n˜ao segue a tendˆencia de caminhar em dire¸c˜ao a zero. t xt Er 0 4 , 5 — 1 2. 61134 0. 72325 2 3. 60552 0. 27574 3 3. 75761 0. 04048 4 3. 51214 0. 06989 5 3. 88774 0. 09661 6 3. 28735 0. 18264 7 4 , 09992 0. 19819 8 2. 94269 0. 39326 9 4. 06219 0. 27559 10 2. 99911 0. 35447

  1. Abaixo est´a o gr´afico de uma fun¸c˜ao f (x) que cont´em um zero no intervalo mostrado. Lo- calize no eixo horizontal as trˆes primeiras es- timativas do zero da fun¸c˜ao de acordo com o m´etodo da secante tomando como condi¸c˜oes iniciais x(−1) e x 0.