Baixe Lista de EDO - resolvidos e outras Exercícios em PDF para Cálculo Diferencial e Integral, somente na Docsity! EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS PROGRAMA: 1) Equações Diferenciais de 1a Ordem a) Definição e classificação das equações diferenciais. b) Solução geral e solução particular. c) Equação de Variáveis Separáveis. d) Equação Homogênea. e) Equações Lineares. f) Equação Diferencial Exata. Fator Integrante. g) Aplicações. 2) Equações Diferenciais Lineares de Ordem n a) Classificação. b) Equações diferenciais lineares homogêneas de 2a ordem com coeficientes constantes. c) Equações diferenciais lineares homogêneas de ordem n com coeficientes constantes. d) Equações diferenciais lineares não-homogêneas de ordem n com coeficientes constantes. e) Método dos coeficientes a determinar para o cálculo de uma solução particular. f) Método da variação dos parâmetros para o cálculo de uma solução particular. g) Método dos operadores para o cálculo de uma solução particular. h) Equações diferenciais lineares de coeficientes variáveis. i) Equação de Euler-Cauchy, homogênea e não-homogênea. j) Equação de Euler-Cauchy generalizada. k) Método da Redução de Ordem. l) Aplicações. 3) Sistemas de Equações Diferenciais a) Método da Eliminação. b) Método dos Operadores. c) Método Matricial (autovalores e autovetores). d) Aplicações (sistemas massa-mola e circuitos elétricos). 4) Transformação de Laplace a) Definição e propriedades. Cálculo de integrais. b) Definição de Transformada Inversa de Laplace. Teorema de Lerch. Propriedades. c) Cálculo da Transformada Inversa de Laplace: por inspeção e por frações parciais. d) Solução de equações diferenciais e sistemas de equações diferenciais. 5) Seqüências e Séries de Números Reais a) Seqüências. b) Séries Numéricas. c) Critérios de convergência e divergência de séries numéricas. d) Séries de Potências: definição. Intervalo de convergência. e) Série de MacLaurin. Série de Taylor. 6) Resolução de Equações Diferenciais Lineares por Séries a) Resolução em torno de um Ponto Ordinário. b) Resolução em torno de um Ponto Singular Regular (Método de Frobenius). Livro texto: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno William Boyce & Richard Diprima 1 Equações diferenciais de 1a ordem 1.1 Equações diferenciais Definição 1: Uma equação cujas incógnitas são funções e que contém, pelo menos, uma derivada ou diferencial dessas funções é denominada de equação diferencial. Definição 2: Se uma equação diferencial só contém diferenciais ou derivadas totais é denominada de equação diferencial ordinária. Definição 3: Se uma equação diferencial contém, pelo menos, uma derivada parcial é denominada de equação diferencial parcial. Exemplos: a) 2 dx dy dx yd x 2 2 =−⋅ b) 0dxydyx =⋅−⋅ ordinárias c) xeyy =+′′ d) ( )yx,zz , 0 y z x z 2 2 2 2 == ∂ ∂+ ∂ ∂ parciais e) ( )zy,x,uu , 0 z u y u x u 2 2 2 2 2 2 == ∂ ∂+ ∂ ∂+ ∂ ∂ Definição 4: Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da “maior” derivada que aparece na equação. Definição 5: O grau de uma equação diferencial é o grau da derivada de maior ordem envolvida na equação. Exemplos: a) 0y dx dy dx yd 2 2 =++ b) ( ) 0 dt xd tcos22t dt dx 3 3 2 10 =⋅⋅+− c) x 43 2 2 e dx dy x dx yd = ⋅+ d) 3 2 22 2 3 y u y yx u x ∂ ∂⋅= ∂⋅∂ ∂⋅ e) 0 y u x u 2 2 2 2 = ∂ ∂+ ∂ ∂ l) ( ) ( ) ( ) ( ) −= += = =′ 5 4 xseny 3xseny xseny ; xcosy 3 2 1 m) ⋅−= ⋅= = =−′ x 3 x 2 x 1 e 5 6 y e2y ey ; 0yy n) ⋅+⋅= = = =+′⋅−′′⋅ 3 2 2 13 3 2 2 1 2 xcxcy xy xy ; 06yy4xyx 3) Em cada caso, determinar ( ) ⋅= dxxfy e a constante de integração c, de modo que y satisfaça a condição dada: a) ( ) ( ) 02y ; xxf 2 == R: ( )8x 3 1 y 3 −= b) ( ) ( ) ( ) 2 y ; xcosxf 2 ππ == R: ( )2xsen 4 1 x 2 1 y += c) ( ) ( ) ( ) 10y ; 2xcosxf == R: ( ) 1 2 2xsen y += d) ( ) ( ) 00y ; exxf 2x- =⋅= R: +−= − 1e 2 1 y 2x 4) Em cada caso, verificar que a função dada é solução da equação diferencial correspondente e determinar as constantes de modo que a solução particular satisfaça a condição dada: a) 3y(0) ; ecy ; 0yy x =⋅==+′ − R: xe3y −⋅= b) 6y(1) ; 5ecy ; 5yy x =+⋅==+′ − R: 5ey x1 += − c) 2y(0) ; ecy ; 02xyy 2x −=⋅==+′ − R: 2xe2y −⋅−= d) 3y(1) ; xcy ; x 2y dx dy 2 =⋅== R: 2x3y ⋅= e) ( ) ( ) =′ −= +⋅==− 41y 81y ; cxcy ; 0 dx dy dx yd x 2 2 12 2 R: 102xy 2 −= f) ( ) ( )( ) =′ = +⋅==+ 32 3y 2 a 2 3y ; bxcosay ; 0y dx yd 2 2 π π R: +⋅= 6 xcos2y π 5) Suponha que r1 e r2 são duas raízes reais e distintas da equação ( ) 0crabar2 =+−+ . Verifique se a função 21 r2r1 xdxdy += , onde d1 e d2 são constantes arbitrárias, é uma solução da equação diferencial 0cyybxyax2 =+′+′′ 1.4 Equações de 1a ordem e 1o grau São equações do tipo ( )yx,f dx dy = . Se ( ) ( )( )yx,N yx,M yx,f −= , com ( ) 0yx,N ≠ , podemos escrever: ( ) ( )yx,N yx,M dx dy −= 0NdyMdx =+ 1.5 Equações de Variáveis Separáveis Se apresentam ou são transformáveis numa equação do tipo 0NdyMdx =+ , onde M e N podem ser: 1.5.1 funções de uma variável ou 1.5.2 produtos com fatores de uma só variável ou 1.5.3 constantes. São equações de fácil solução, bastando isolar os termos de x e y e integrar. Exemplos: a) ( ) ( ) 0dyxy2ydx1y2 =+−− b) 0xdyydx =− c) ( ) 0dyxdxy11x 222 =⋅−⋅−⋅− d) 13x dx dy −= e) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dyxsecytgdxysecxtg =⋅⋅−⋅⋅ 1.6 Exercícios 1) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: a) ( ) 0ydxdy1x =−− R: ( )1xky −= b) ( )xyx1 y1 dx dy 2 2 + += R: 1 1x kx y 2 2 2 − + = c) ( ) 0xcosy dx dy =⋅+ R: ( )xsene k y = d) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dy xtgysecdx ytgxsec 22 =⋅+⋅ R: ( ) ( )xcotgkytg ⋅= e) dx dy xy2y dx dy xa = +⋅ R: ( )a2a ykxlny ⋅= f) ( ) ( ) 0dyxy1dxyx1 3232 =−++ R: k y 1 x 1 2 1 y x ln 22 = +− g) ( )( ) ( )( ) 0dybyaxdxbyax 22222222 =−−+++ R: c b y arctg2by ax ax lnx a = ⋅−+ + −+ h) ( ) 0 dx dy ytg x 1 =− R: ( ) kycosx =⋅ i) ( ) 0dy1xdx4xy 22 =++ R: ( ) c y 1 1xln 22 =−+ j) ( ) 0dy2y3dxxy =⋅−−⋅ R: ( )122 kylnx6y =− k) 0dyyexdx 2x =+ − R: kye 2x 2 =+ l) ( ) ( ) 0dyx3dxy2 =−−+ R: ( )( ) kx3y2 =−+ m) ( ) 0dyx1dxxy 2 =⋅+−⋅ R: ( )22 x1ky += n) 4x e dx dy 2 2y + = − R: k 2 x arctge2y + = o) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dyxcosysendxxsenycos2 =⋅+⋅ R: ( )( ) ( ) kysecxsecln =+ 2) Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI): a) ( ) ( ) 20y ; 0dydxyy 2 ==−− R: xe 2 1 1 1 y −− = b) ( ) 10y ; 0ydydxex ==− R: 12ey x2 −= c) ( ) 41y ; 0dyxdxy ==− R: ( )21xy += d) ( ) ( ) 10y ; 0dy1xdxy2 ==−+ R: y y1 ex1 − =− e) ( ) ( ) ( )3ln2y ; 0dyxxdx 3 ==−+ R: − = 1x2 3x lny 2 f) ( ) ( ) ( ) 22y ; 0dyx1dxy1 22 ==−+− R: ( )1x9 1x 1y 1y − += + − g) ( ) ( ) 21y ; 0dyxdxy1 32 ==+− R: − ⋅= − + 2 2 x x1 e3 1y 1y h) ( ) 11y ; 0dyx1dxy1 22 ==−+− R: ( ) ( ) 0yarccosxarccos =+ i) ( ) ( ) ( ) 11y ; 0dyx1dxy1 22 ==+++ R: ( ) ( )xarctg 2 yarctg −= π j) ( ) ( ) ( ) 17y ; 0dyx6xydx3x 2 ==−++ R: ( ) x 6x7 y 3 2 −= d) ( ) ( ) 0ydyy2xdxyx 22 =+++ R: ky3xyx 323 =++ e) ( ) ( ) 0dyxydxyx =−++ R: ( )[ ] ⋅=+ x y arctg2yxkln 22 f) ( ) ( ) 0dyyxdxy2xx 22 =+++ R: kyy3xx 323 =++ g) 0 x;dx yxydxxdy 22 >+=− R: 222 kxyyx =++ h) ( ) 0xydydxyxyx 22 =−+− R: ( ) k x y yxln =+− i) x y e dx dy x y += R: ⋅−= x k lnlnxy j) 0xdydxyx x y senx =− ++ ⋅ R: ( ) − = x y sec x y tgkxln k) ( ) 0 x; 0dyxxy2ydx >=−⋅+ R: ( ) kyln y x =+ l) ( ) ( ) 0dyx3xy4ydxy3xy4x 2222 =+++++ R: ( ) ( ) kyxyx 2322 =+⋅+ m) 0dy y x cosx y x senydx y x cosy = ⋅− ⋅+ ⋅ R: ⋅= y x cossecky n) ( ) 0ydxdy2yx =+− R: ( ) kxyy =−⋅ 2) Resolva os problemas de valor inicial (PVI) abaixo: a) ( ) ( ) 2y ; 1 x; 0dy4yxdxy2x ===+−− R: 092yxyx 22 =+−− b) ( ) 1y ; 2 x; 02xydydx3yx 22 ===+− R: 322 x 8 3 xy −=− c) ( ) = += 11y x xyx dx dy 2 2 R: x xy ex − = d) ( ) = ⋅− = 4 1y x x y cosxy dx dy 2 π R: ( )xln1 x y tg −= e) ( ) = += 13y x 3xy4y dx dy 3 23 R: ( )( ) ( )5 5 4 xy 3 4 x4yxy ⋅=−+ 3) Dadas as equações abaixo, verifique que a mudança para coordenadas polares, ( )θcosrx ⋅= e ( )θsenry ⋅= , transforma as equações em variáveis separáveis e, então, resolva as equações: a) ( ) 0xydydxyx 22 =−+ R: ( ) 2 22 2x yx kxln += b) x y y x ln x y dx dy + ⋅= R: k y x lnx = ⋅ 1.9 Equações Diferenciais Exatas Definição 10: Uma equação na forma, ou redutível à forma 0NdyMdx =+ é diferencial exata se existe ( )yx,U tal que: 0NdyMdxdU =+= (como 0dU = então ( ) cyx,U = ) Teorema: Sejam M e N funções contínuas e deriváveis. 0NdyMdx =+ é diferencial exata se, e somente se, x N y M ∂ ∂= ∂ ∂ . Demonstração: ( ) Sejam M e N funções contínuas e deriváveis tais que 0NdyMdx =+ é diferencial exata. Então, ( )yx,U∃ tal que ( ) cyx,U = e 0NdyMdxdU =+= . Pela definição de diferencial total, dy y U dx x U dU ∂ ∂+ ∂ ∂= dy y U dx x U NdyMdx ∂ ∂+ ∂ ∂=+ x U M ∂ ∂= e y U N ∂ ∂= xy U y M 2 ∂∂ ∂= ∂ ∂ e y x U x N 2 ∂∂ ∂= ∂ ∂ . Pelo teorema de Schwartz, xy U y x U 22 ∂∂ ∂= ∂∂ ∂ . Daí, x N y M ∂ ∂= ∂ ∂ . (⇐) Sejam M e N funções contínuas e deriváveis tais que x N y M ∂ ∂= ∂ ∂ . Seja 0NdyMdx =+ . Pelo teorema de Schwartz, ∂ ∂ ∂ ∂= ∂ ∂ ∂ ∂ y U x x U y . Daí, x U M ∂ ∂= e y U N ∂ ∂= . dx x U Mdx ∂ ∂= e dy y U Ndy ∂ ∂= . 0dUdy y U dx x U NdyMdx == ∂ ∂+ ∂ ∂=+ . Logo, 0NdyMdx =+ é diferencial exata. Exemplo: Verificar se a equação ( ) 02xydydxyx 22 =−− é diferencial exata. Resolução: Sabemos que x N y M ∂ ∂= ∂ ∂ e queremos determinar a função ( )yx,U tal que NdyMdxdU += . Seja = Mdxw a integral parcial de Mdx , isto é, a integral obtida quando se considera y constante ( )( )yx,MM = . Mostraremos que y w N ∂ ∂− é função apenas de y: ( ) = ∂ ∂ ∂ ∂− ∂ ∂= ∂ ∂− ∂ ∂ w y x x N y w N x ( ) = ∂ ∂ ∂ ∂− ∂ ∂= Mdxy x x N ( ) = ∂ ∂ ∂ ∂− ∂ ∂= Mdx xy x N ( ) = ∂ ∂− ∂ ∂= M y x N 0 y M x N = ∂ ∂− ∂ ∂= . Se tomarmos dy y w NwU ∂ ∂−+= , teremos: = ∂ ∂−+ ∂ ∂+ ∂ ∂= dy y w Ndy y w dx x w dU ( ) = ∂ ∂−+ ∂ ∂+ ∂ ∂= dy y w Ndydy y w dx Mdx x NdyMdx += . Logo, ( ) cdy y w Nwyx,U = ∂ ∂−+= , ou ainda: ( ) ( ) cdy Mdx y NMdxyx,U = ∂ ∂−+= é a solução geral da equação. Exemplos: i) ( ) 0dy2yxedxe yy =−+ c) ( ) 0dy2xy dx yx 22 =−− j) ( ) ( )( ) 0dy ycos2xydx yx 23 =+++ o) 0dyyxyxdxyxxy 2222 = +⋅−+ +⋅− R: ( ) Kyx3xy 2322 =+− p) ( )( ) ( ) ( )( ) 0dyxycosxysendxxycosy2x3x2 =⋅++⋅++ R: ( ) ( ) cycosxysenxx 23 =−++ q) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dy 2ysenh2xsenhdx 2ycosh2xcosh =⋅+⋅ R: ( ) ( ) C2ycosh2xsenh =⋅ r) 0dy2y2xyeexdx2xey2xye 2222 xyyx2xy2yx = +++ ++ R: Cyxee 22xyyx 22 =+++ s) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dyxcotgycotgycossec2xyedxxcossecycossece 22 y2y = ⋅−+ − R: ( ) ( ) Cxcotgycossecxe 2y =⋅+ t) ( ) 0dy2y2xyyx 1 dx2x yxx y y2 = ++ + + + +⋅ − R: K x yx lnyxxy 222 = ++++ 4) Determine os fatores integrantes para as seguintes equações: a) ( ) 0xdydxxyx 23 =+− R: 3 x3 e x 1 ⋅=λ b) ( ) 0dyyxyeydx 2y =−+ R: yee y 1 ⋅=λ c) ( ) ( )( ) ( ) 0dyxsendxxtgxcosy =−−⋅ R: ( )xcossec2=λ d) ( ) 0dyxdx2xyx 23 =+− R: 4x 1=λ 5) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: a) ( ) 02xydydxyx 22 =+− R: C x yx 22 =+ b) xdyydxdyy2 =+ R: Cyxy2 =+ c) ( )( ) 0dyxlnydx x y 3 =−+ R: ( ) kyyxln 32 =+ d) ( ) 0xydydxyxx 22 =−−+ R: ( ) C6y4x3xx 222 =−+ e) ( ) ( ) 0dyyxdxy2xyy3x 2232 =++++ R: ( ) C3xyye 223x =+ f) 1ye dx dy 2x −+= R: 1ekey x2x +⋅=− g) ( ) 0dyysen y x dx = −+ R: ( ) ( ) kysenycosyxy =−⋅+ h) ( ) 0dye2xyydx 2y =−+ − R: ( ) cylnxe2y =− i) ( ) ( )( ) 0dyycossec2yycotgedxe xx =⋅++ R: ( ) Kyysene 2x =+ j) ( )( ) 0xdydxxlnxy 4 =−+ R: ( )( ) Cxxln1x9y 34 =−+ k) ( ) 0dy3x2y2xydx 22 =−+ R: 322 Ky2yx =− l) ( ) ( ) 0dy4x2yxydx2yy 434 =−+++ R: ( ) 23 cy2xyxy =++ m) 0dy3xydx3xe2y 2x3 3 =+ + R: Keyx 3x32 =+ n) ( )( ) 0dyxedxetgxee yxyy =+++ R: ( )( ) Ceseclnxe xyx =++ 6) Mostre que as equações abaixo não são exatas mas tornam-se exatas quando multiplicadas pelo fator integrante dado ao lado. Portanto, resolva as equações: a) ( ) ( ) 3 232 xy 1 yx, ; 0dyy1xdxyx ==++ λ R: ( ) Cyln y 1 x 2 2 2 =+− b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x yeyx, ; 0dy y xcos2eycos dxxsen2e y ysen == ++ − − − λ R: ( ) ( ) kxcosy2ysenex =⋅+ 7) Achar a solução particular para 0x = na equação: ( )( ) ( ) 0dyysenxdxeycos2x 2x =−−⋅ R: ( ) 1ycosxe 2x =− 8) Resolver os seguintes problemas de valor inicial (PVI): a) ( ) 11y ; 0 dt dy y3t2ty 223 ==+ R: 3 2 ty − = b) ( ) ( ) 10y ; 0 dt dy 2t2y4ty3t 22 ==+++ R: 1yy2tt 223 =++ c) ( ) 11y ; 24y3x 53y2x dx dy = +− +−= R: 32y2y5x3xyx 22 =−++− d) ( ) 20y ; 2y12xyxe 4yye dx dy 2xy 3xy = −+ +−= R: 34xyey 3xy2 =−− e) ( ) ( ) 51y ; x yxxln3x dx dy 22 =−+= R: ( ) 5xlnxxy 3 =⋅− 7) Determine a constante a de modo que a equação seja exata e, então, resolva a equação resultante: a) 0 dx dy axeyex 2xy2xy =++ R: kex 2xy2 =+ b) 0 dx dy y 1ax y 1 x 1 322 =+++ R: 222 cxyx2y2x =−− c) ( ) 0 dx dy ey2xy3xe yax322yax =+++ ++ R: Cyxe 23yx =++ d) ( ) ( ) 0dyxyxdxyaxxy 222 =+++ R: ( ) Kx2yyx2 =+⋅ 1.12 Equações Lineares Se apresentam, ou podem ser transformadas, na forma QPy dx dy =+ , onde P e Q são funções de x ou constantes. Observe que, neste tipo de equação, Pdx e é fator integrante. De fato, QPy dx dy =+ ( ) 0dydxQPy =+− ( ) 0dyedxQPye PdxPdx = +− , onde ( )QPyeM Pdx − =λ e = PdxeN λ . ( ) ⋅= ∂ ∂ Pdx eP y M λ e ( ) ⋅= ∂ ∂ Pdx eP x N λ Daí, transformamos a equação linear em outra diferencial exata. Vamos achar, então, sua solução: ( ) ( ) Cdy dx QPye y edxQPye PdxPdxPdx = −⋅ ∂ ∂− + −⋅ (1) ( ) = ⋅ − ⋅⋅= −⋅ dxQedxePydxQPye PdxPdxPdx ⋅ − ⋅= dxQeey PdxPdx (2) ( ) = −⋅ ∂ ∂ PdxPdx edx QPye y (3) De (1), (2) e (3), temos: = − + ⋅ − ⋅ CdyeedxQeey PdxPdxPdxPdx CdxQeey PdxPdx + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = − CdxQeey PdxPdx que é a solução geral de uma equação linear de 1a ordem e 1o grau. Exemplos: k) 4x2y dx dy x =+ c) 2x x y dx dy −=− l) xey dx dy =− Seja ybxat 11 += (4) xatyb 11 −= ( )xatb 1 y 1 1 −= −= 1 1 a dx dt b 1 dx dy (5) Levando (5) e (4) em (3), temos: G(t) cmt ct Fa dx dt b 1 2 1 1 1 = + += − G(t)a dx dt b 1 1 1 = − 11 aG(t)bdx dt +⋅= dx aG(t)b dt 11 = +⋅ , que é uma equação de variáveis separáveis. Exemplos: m) ( ) ( ) 0dx52y4xdy4y2x =+−++− c) 13y6x 1y2x dx dy −− +−= n) ( ) ( ) 0dy12y2xdx1yx =−++++ 1.15 Equações Redutíveis às Homogêneas Equações da forma ++ ++= 222 111 cybxa cybxa F dx dy (1) , onde a1, a2, b1, b2, c1, c2 são constantes e o determinante 0 ba ba 22 11 ≠ , podem ser reduzidas à forma das homogê- neas. Considerando o sistema =++ =++ 0cybxa 0cybxa 222 111 (2) , com solução genérica α=x e β=y . Reintroduzindo x e y na equação (1) como =∴+= =∴+= dydvvy dxduux β α (geome- tricamente equivale a uma translação dos eixos coordenados para o ponto ( )βα, que é a interseção das retas componentes do sistema (2), o que é verdadeiro, uma vez que o determinante considerado é diferente de zero). ( ) ( ) ( ) ( ) = ++++ ++++= ++++ ++++= 22222 11111 222 111 cbvbaua cbvbaua F cvbua cvbua F du dv βα βα βα βα ( ) ( ) ++++ ++++= 22222 11111 cbavbua cbavbua F βα βα (vemos, em (2), que α e β são soluções do sistema) + += vbua vbua F du dv 22 11 que é uma equação homogênea. Exemplos: a) ( ) ( ) 0dy5y2xdx42yx =−+−−+ b) ( ) ( ) 0dy4yxdx2yx =+−+−+ 1.16 Exercícios Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: a) ( ) ( ) 0dy23y2xdx13y2x =+++−+ R: ( ) k73y2xln3y3x 9 =+−−++ b) 1yx 13y3x dx dy ++ +−−= R: ( ) k1yxlny3x 2 =+−−++ c) 3y42x 12yx dx dy ++ ++= R: ( ) k58yx4ln4y8 =+++− x d) ( ) ( ) 0dy13y9xdx2y3x =+−++− R: ( ) k1y2x6lny62x =+−++ e) 2y3x 13y2x dx dy −+ −−= R: k4y2xy6xy2x 22 =+−−− f) ( ) ( ) 0dy85yxdxx3y =−+++ R: ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) k2 12x 4y5 2arctg12x4y12x44y5ln 22 = + + −−++−++− g) ( ) ( ) 0dx5y2xdy4y2x =+−++− R: ( ) 3xy1yxC 3 −−=−+ h) ( ) ( ) 0dy56yxdx34yx =−−−−− R: ( ) 2x3y1x2yC 2 +−=+− 1.17 Aplicações Problemas, fenômenos, processos etc. que dependem (são funções) de uma variável contínua (independente) podem sempre ser representados (modelados) por uma equação diferencial. Geralmente a variável (contínua) independente é tempo, distância, tamanho, velocidade, volume, etc. A variável dependente (função) deve ser aquela que melhor caracteriza (descreve) o fenômeno ou processo que se deseja modelar. A modelagem – representação matemática de um enunciado em palavras – de um fenômeno, processo etc. é facilitada se forem levadas em consideração as seguintes sugestões: a – no enunciado do problema reconheça a variável dependente e represente-a por uma função ( f ) da variável independente ( x ) b – Represente uma “taxa de variação” pela derivada da função em relação à variável independente df x dx( ) c – Represente a frase “proporcional a ...” por “ = k g x( ) ” onde g x( ) pode ser a própria f(x) ou o x ou uma outra função ( g ) de f e/ou de x , conforme especificado no enunciado. d – A constante de proporcionalidade k pode ser positiva ou negativa, dependendo se f(x) cresce ou decresce – de acordo com o enunciado. Após a montagem da equação diferencial esta deve ser resolvida. Os valôres da constante k e da constante arbitrária (proveniente da solução da equação diferencial) serão determinados pelas condições iniciais dadas no enunciado do problema - 1.18 Exemplos 1. A taxa de crescimento de um investimento na bolsa de valores é proporcional ao investimento a cada instante. Determine a equação (modelo matemático) que rege o investimento com o tempo. Seja t - tempo ( variável independente) f ( t ) - valor do investimento no instante t (variável dependente) df t dt ( ) - taxa de crescimento do investimento com o tempo = k f t( ) - representando o “proporcional ao investimento” Logo, do enunciado temos a equação diferencial que modela o problema: df t dt k f t ( ) ( )= onde k > 0 por ser a taxa de investimento crescente (pelo enunciado do problema) 2. Experiências mostram que uma substância radioativa se decompõe a uma taxa proporcional à quantidade de material radioativo presente a cada instante. Obtenha a equação diferencial que modela o fenômeno. Seja t - tempo ( variável independente) f ( t ) - quantidade (massa) de substância presente no instante t Derivando 4 3 3 42 2π πr dr dt k r= Simplificando, temos finalmente d r d t k= , k < 0 Integrando, temos a equação que exprime o raio da gota em função do tempo r t k t r = + 0 onde r0 = raio da gota no instante t = 0 ( constante de integração) - 1.19 Exercícios 1- No Exemplo n° 1 sabe-se que um investimento de R$ 100 rendeu R$ 44 após 6 anos. Determine qual foi o rendimento deste investimento nos 3 primeiros anos. Resposta: R$ 20 2- No Exemplo n° 3 determine: a) a distância radial do centro da terra na qual o corpo pára e começa a retornar à terra em queda livre sabendo que a velocidade inicial no lançamento foi de 3600 km/h b) a velocidade inicial mínima necessária para o corpo escapar da gravitação terrestre e nunca mais retornar. Resposta: a) 6431 km; b) 4027 km/h 3- No Exemplo n° 4 determine o tempo necessário para a gota evaporar por completo, sabendo que a gota inicialmente tinha 1 mm de diâmetro e que o tempo em que uma outra gota de 0,5 mm diâmetro evaporou foi de 10 minutos Resposta: 20 minutos 4- a) Determine a equação diferencial cujas curvas integrais são círculos de raio e cujos centros estejam sobre o eixo das ordenadas. b) Quais são as duas soluções singulares da equação diferencial determinada no item (a) Resposta: a) d y d x x x = − 2 2 2 210 ; b) Retas x = ±10 5- Um tanque vertical tem uma pequena fenda no fundo. Supondo que água escape do tanque a uma taxa proporcional à pressão da água sobre o fundo e sabendo que 5 % de água escapou no primeiro dia, determine o tempo necessário para que o nível da água no tanque chegue á metade. Resposta: 13,5 horas 6- De acordo com a Lei de Newton, a taxa a que uma substância se resfria é proporcional à diferença das temperaturas da substância e do ar. Se a temperatura do ar é de 20°C e a substância se resfria de 100°C para 60°C em 30 minutos, quando a temperatura da substância atingirá 40°C ? Resposta: 60,2 minutos

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