Baixe Lista de EDO - resolvidos e outras Exercícios em PDF para Cálculo Diferencial e Integral, somente na Docsity!
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS
PROGRAMA:
1) Equações Diferenciais de 1
a Ordem
a) Definição e classificação das equações diferenciais.
b) Solução geral e solução particular.
c) Equação de Variáveis Separáveis.
d) Equação Homogênea.
e) Equações Lineares.
f) Equação Diferencial Exata. Fator Integrante.
g) Aplicações.
2) Equações Diferenciais Lineares de Ordem n
a) Classificação.
b) Equações diferenciais lineares homogêneas de 2
a ordem com coeficientes constantes.
c) Equações diferenciais lineares homogêneas de ordem n com coeficientes constantes.
d) Equações diferenciais lineares não-homogêneas de ordem n com coeficientes
constantes.
e) Método dos coeficientes a determinar para o cálculo de uma solução particular.
f) Método da variação dos parâmetros para o cálculo de uma solução particular.
g) Método dos operadores para o cálculo de uma solução particular.
h) Equações diferenciais lineares de coeficientes variáveis.
i) Equação de Euler-Cauchy, homogênea e não-homogênea.
j) Equação de Euler-Cauchy generalizada.
k) Método da Redução de Ordem.
l) Aplicações.
3) Sistemas de Equações Diferenciais
a) Método da Eliminação.
b) Método dos Operadores.
c) Método Matricial (autovalores e autovetores).
d) Aplicações (sistemas massa-mola e circuitos elétricos).
4) Transformação de Laplace
a) Definição e propriedades. Cálculo de integrais.
b) Definição de Transformada Inversa de Laplace. Teorema de Lerch. Propriedades.
c) Cálculo da Transformada Inversa de Laplace: por inspeção e por frações parciais.
d) Solução de equações diferenciais e sistemas de equações diferenciais.
5) Seqüências e Séries de Números Reais
a) Seqüências.
b) Séries Numéricas.
c) Critérios de convergência e divergência de séries numéricas.
d) Séries de Potências: definição. Intervalo de convergência.
e) Série de MacLaurin. Série de Taylor.
6) Resolução de Equações Diferenciais Lineares por Séries
a) Resolução em torno de um Ponto Ordinário.
b) Resolução em torno de um Ponto Singular Regular (Método de Frobenius).
Livro texto: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno
William Boyce & Richard Diprima
1 Equações diferenciais de 1
a ordem
1.1 Equações diferenciais
Definição 1: Uma equação cujas incógnitas são funções e que contém, pelo
menos, uma derivada ou diferencial dessas funções é denominada de equação
diferencial.
Definição 2: Se uma equação diferencial só contém diferenciais ou derivadas
totais é denominada de equação diferencial ordinária.
Definição 3: Se uma equação diferencial contém, pelo menos, uma derivada
parcial é denominada de equação diferencial parcial.
Exemplos:
a) 2 dx
dy
dx
d y x 2
2
⋅ − =
b) x ⋅ dy−y⋅dx= 0 ordinárias
c)
x y ′′+y= e
d) 0 ,z z( x,y)
y
z
x
z
2
2
2
2
= = ∂
parciais
e) 0 , u u( x,y,z)
z
u
y
u
x
u
2
2
2
2
2
2
= = ∂
Definição 4: Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da “maior”
derivada que aparece na equação.
Definição 5: O grau de uma equação diferencial é o grau da derivada de maior
ordem envolvida na equação.
Exemplos:
a) y 0 dx
dy
dx
d y
2
2
b) ( ) 0
dt
d x 2t 2 cost dt
dx
3
3 2
10
− + ⋅ ⋅^ =
c)
x
(^34)
2
2 e dx
dy x dx
d y =
d)
3
2
2
2
2
3
y
u y x y
u x
e) (^0) y
u
x
u
2
2
2
2
= ∂
c) Idem para y ′′^ +4y= 0 , y = c 1 ⋅cos( 2x) +c 2 ⋅sen( 2x),
y
y
1.3 Exercícios
- Sendo dadas as curvas seguintes, determinar para cada uma delas a equação
diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante
arbitrária:
a)
2 2 2 x + y =c R: x ⋅dx+y⋅dy= 0
b)
x y = c⋅ e R: y 0 dx
dy − =
c) x c (x y ) ,x y ex 0
3 2 2 2 2
= ⋅ − ≠ ≠ R: 2xy dy (x 3y ) dx 0
2 2 ⋅ + − ⋅ =
d) y = c 1 ⋅cos( 2x) +c 2 ⋅sen( 2x) R: 4y 0
dx
d y
2
2
e) ( ) 3
x y = c 1 +c 2 x⋅e +c R: 0 dx
dy
dx
d y 2 dx
d y
2
2
3
3
− ⋅ + =
f)
x 2
2x y c 1 e c e
− = ⋅ + ⋅ R: 2y 0 dx
dy
dx
d y
2
2
− − =
g) 1 ay; a c , x,y 0 y
x ln
te = + ≡ ≠
R: dy 0 y
x y dx x ln ⋅ =
- Em cada caso, verificar que a função dada constitui uma solução da equação:
a)
-2x y ′+2y= 0 ; y=c⋅ e
b) y 0 ; y ax bx c
2 ′′′= = + +
c) y ′′+y= 0 ; y=a⋅cos( x) +b⋅sen( x)
d) y y x ;y c e c e x
x 2
x − = = 1 ⋅ + ⋅ −
−
e) y 2x; y x c
2 ′= = +
f)
2 ; y c x x
2y y ′= = ⋅
g)
2
h) ; x y c y
x y
2 2 ′=− + =
i)
2x x 2x y ′−y=e ; y=c⋅e +e
j) ( )
x y
y c x c
y xy y 0 ;^2
2
2 1 2
k) y ′′+y= 0 ; y=cos( x)
l) ( )
y senx
y senx 3
y senx
y cosx ;
3
2
1
m)
x 3
x 2
x 1
e 5
y
y 2 e
y e
y y 0 ;
n)
3 2
2 3 1
3 2
2 1 2
y c x c x
y x
y x
x y 4x y 6y 0 ;
3) Em cada caso, determinar y = f( x) ⋅dx e a constante de integração c, de
modo que y satisfaça a condição dada:
a) f ( x) x ; y( 2 ) 0
2
= = R: (x 8 )
y
3 = −
b) ( ) ( ) ( )
f x cos x ; y
= π = R: sen( 2x)
x 2
y = +
c) f ( x) = cos( 2x) ; y( 0 ) = 1 R:
sen 2x y = +
d) f ( x) x e ; y( ) 0 0
2
− e 1 2
y
2 x
- Em cada caso, verificar que a função dada é solução da equação diferencial
correspondente e determinar as constantes de modo que a solução particular
satisfaça a condição dada:
a) y y 0 ; y c e ; y(0) 3
x ′ (^) + = = ⋅ =
− R:
x y 3 e
− = ⋅
b) y y 5 ; y c e 5 ; y(1) 6
x ′ (^) + = = ⋅ + = − R: y e 5
1 x = +
−
c) y 2xy 0 ; y c e ; y(0) 2
2 x ′ (^) + = = ⋅ =− − R:
2 x y 2 e
− =− ⋅
d) ; y c x ; y(1) 3 x
2y
dx
dy (^2) = = ⋅ = R:
2 y = 3 ⋅ x
e)
^ ( )
y 1 4
y 1 8 0 ; y c x c ; dx
dy
dx
d y x (^2)
2 2 1
2
R: y 2x 10
2 = −
f) ( )
y^3
a 2
y^3 y 0 ; y a cosx b ; dx
d y
2
2
R:
y 2 cos x
- Suponha que r 1 e r 2 são duas raízes reais e distintas da equação
ar ( b a) r c 0
2
- − + =. Verifique se a função 1 2
r 2
r y = d 1 x +d x , onde d 1 e d 2 são
f) ( 1 x )y dx ( 1 y )x dy 0
2 3 2 3
x
y
x ln 2 2
g) (x a )( y b )dx (x a )( y b )dy 0
2 2 2 2 2 2 2 2
R: c b
y y 2b arctg x a
x a x ln
a
^ =
+ −^ ⋅
h) ( ) 0
dx
dy tgy x
− = R: x ⋅cos( y) =k
i) 4xy dx (x 1 )dy 0
2 2
+ + = R: ( ) c
y
ln x 1
2 2
j) xy ⋅ dx− 3 ( y− 2 ) ⋅dy= 0 R: ( )
2 12 6y −x =lnky
k) xdx ye dy 0
2 x
− R: e y k
x 2 2
l) ( 2 + y)dx −( 3 −x) dy= 0 R: ( 2 +y)( 3 −x) =k
m) xy dx ( 1 x ) dy 0
2
⋅ − + ⋅ = R: ( )
2 2 y =k 1 +x
n) x 4
e
dx
dy
2
2y
−
R: k 2
x e arctg
2y +
o) cos ( y) sen( x) dx sen( y) cos( x)dy 0
2
⋅ + ⋅ = R: ln ( sec( x)) +sec( y) =k
- Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI):
a) ( y y )dx dy 0 ; y( 0 ) 2
2 − − = = R: x e 2
y − −
b) e dx ydy 0 ; y( 0 ) 1
x − = = R: y 2e 1
2 x = −
c) ydx − xdy= 0 ; y( 1 ) = 4 R: ( )
2 y = x+ 1
d) y dx ( x 1 )dy 0 ; y( 0 ) 1
2
y
1 y
1 x e
−
e) dx ( x x)dy 0 ; y( 2 ) ln( 3 )
3
2 x 1
3x y ln 2
f) ( 1 y )dx ( 1 x )dy 0 ; y( 2 ) 2
2 2 − + − = = R:
9 ( x 1 )
x 1
y 1
y 1
g) ( 1 y )dx xdy 0 ; y( 1 ) 2
2 3 − + = = R:
(^) −
2
x
1 x
3 e y 1
y 1
h) 1 y dx 1 x dy 0 ; y( ) 1 1
2 2
− + − = = R: arccos( x) +arccos( y) = 0
i) ( 1 y )dx ( 1 x )dy 0 ; y( 1 ) 1
2 2
+ + + = = R: ( ) arctg( x)
arctg y = −
j) ( x 3 ) ydx (6x x )dy 0 ; y( 7 ) 1
2
x
7 x 6 y
3 2 − =
k) xe dx 2 ( x 1 ) ydy 0 ; y( 0 ) 0
y 2 − + = =
R: ( ) ( ) 3
x 1
2e y 1 lnx 1
y −
−
l) y ln( x) dx ( x 1 ) dy 0 ; y( 1 ) 1
2 ⋅ − + = = R:
x ( x 1 )
2x y
x 1
1
⋅ +
m) e dx ( 1 e ) dy 0 ; y( ) 0 0
2 x x − + = =
−
R: ( ) ln( ) 4
e 1
y e lne 1 x
2 x x
n) ( ( ) ( )) ( ( ( ))) ( ) ln( 3 )
cotg x +tgx ydx−lntgx dy= 0 ; y^ π =
R: ( ( ))
2 y =lntg x
o) ( ) ( ) ( )
sen2xdx+ cos3ydy= 0 ; y^ π^ =^ π R: 2sen( 3y ) =3cos( 2x) + 3
p) xdx ye dy 0 ; y( 0 ) 1
x
−
R: y 2e ( 1 x) 1
2 x = − −
q) r; r( ) 0 2
d
dr = =
R:
θ r = 2e
r) ; y( ) 0 2
y x y
2x
dx
dy
2
= R: [ ( )]
2 2 2 2 y =lne 1 +x
s) xy ( 1 x ) ; y( ) 0 1
dx
dy 2
1 3 2 = + =
− R:
2
1 2
2
3 21 x
y
− +
t) ; y( ) 2 0
1 2y
2x
dx
dy
= R: y( 1 y) x 4
2
u) xe dx ( y 1 )dy 0 ;y( ) 0 0
x 5 2
+ − = = R: 3e y(y 6 ) 3
x 5 2
- Observe que a equação x y
y 4x
dx
dy
= não é separável, mas se a variável y for
substituída por uma nova variável v, definida por x
y v = , então a equação se
torna separável em x e v. Ache a solução da equação dada usando esta técnica.
R: ( y 2x) ( y 2x) k
3
1.7 Equações Homogêneas
Definição 8: Diz-se que uma função f ( x,y,z)é homogênea se, substituindo-se
x por kx, y por ky e z por kz, for verdadeira a igualdade f ( kx,ky,kz) k f( x,y,z)
m = ⋅ ,
onde m é dito grau de homogeneidade.
Exemplos:
f) ( )
2 2 f x,y =x −2xy+y
d) (x y )dx ( 2x y)ydy 0
2 2
3 2 3
e) ( x + y)dx +( y−x)dy = 0 R: [ ( )]
x
y ln kx y 2 arctg
2 2
f) x( x 2 y) dx (x y )dy 0
2 2
3 2 3
g) xdy ydx x y dx; x 0
2 2 − = + > R:
2 2 2 x +y +y=kx
h) (x xy y )dx xydy 0
2 2
− + − = R: ( ) k
x
y ln x−y + =
i) x
y e dx
dy x
y
= + R:
x
k y x ln ln
j) x ydx xdy 0 x
y x sen − =
⋅ R: ( )
^ −
x
y sec x
y lnkx tg
k) ydx + ( 2 ⋅ xy−x)dy = 0 ; x> 0 R: ln( y) k
y
x
l) (4x 3xy y )dx (4y 3xy x )dy 0
2 2 2 2
+ + + + + = R: ( x y ) ( x y) k
2 23 2
m) dy 0 y
x x cos y
x dx y sen y
x y cos =
⋅ R:
y
x y k cossec
n) ( x − 2y)dy +ydx= 0 R: y ⋅( y−x) =k
- Resolva os problemas de valor inicial (PVI) abaixo:
a) ( 2x − y)dx −( x+4y)dy = 0 ; x= 1 ; y= 2 R: x xy 2y 9 0
2 2 − − + =
b) (x 3y )dx 2xydy 0 ;x 2 ; y 1
2 2 − + = = = R:
2 2 3 x 8
y −x =−
c)
^ ( )
y 1 1
x
x xy
dx
dy
2
2
R: x
y x
x e
−
=
d)
y 1
x
x
y y x cos
dx
dy
2
R: 1 ln(^ x)
x
y tg (^) = −
e)
^ ( )
y 3 1
x
4y 3xy
dx
dy
3
3 2
R: ( )( ) ( )
5 5
4 xy 3
y +x 4y−x = ⋅
- Dadas as equações abaixo, verifique que a mudança para coordenadas polares,
x = r⋅cos ( θ ) e y = r⋅sen( θ ), transforma as equações em variáveis separáveis
e, então, resolva as equações:
a) ( x y )dx xydy 0
2 2
+ − = R: ( )
2
2 2
2x
x y ln kx
b) x
y
y
x ln x
y
dx
dy
= ⋅ R: k y
x x ln =
1.9 Equações Diferenciais Exatas
Definição 10: Uma equação na forma, ou redutível à forma Mdx + Ndy= 0 é
diferencial exata se existe U ( x,y)tal que:
dU =Mdx+Ndy= 0
(como dU = 0 então U ( x,y) = c)
Teorema: Sejam M e N funções contínuas e deriváveis. Mdx + Ndy= 0 é
diferencial exata se, e somente se, x
N
y
M
Demonstração:
( ) Sejam M e N funções contínuas e deriváveis tais que Mdx + Ndy= 0 é
diferencial exata.
Então, ∃U ( x,y)tal que U( x,y) = ce dU = Mdx+Ndy= 0.
Pela definição de diferencial total,
dy y
U
dx x
U
dU ∂
dy y
U
dx x
U
Mdx Ndy ∂
x
U
M
= e y
U
N
y x
U
y
M
2
e x y
U
x
N
2
Pelo teorema de Schwartz, y x
U
x y
U
2 2
Daí, x
N
y
M
(⇐) Sejam M e N funções contínuas e deriváveis tais que x
N
y
M
Seja Mdx + Ndy= 0.
Pelo teorema de Schwartz,
y
U
x x
U
y
Daí, x
U
M
= e y
U
N
dx x
U
Mdx ∂
= e dy y
U
Ndy ∂
1.10 Fator Integrante
Quando a equação M( x,y)dx + N( x,y) dy= 0 não é diferencial exata, isto é,
x
N
y
M
, pode-se transformá-la em uma diferencial exata multiplicando-se um
λ ( x,y), denominado fator integrante.
Exemplo: ( )
2 y
y 1 +xydx−xdy= 0 ; λ =.
Pesquisa do Fator Integrante:
Seja λ ( x,y)fator integrante de Mdx + Ndy= 0.
Daí,
x
N
y
M
(1)
x
N
N
y x
M
M
y ∂
y
M
x
N
x
N
y
M λ
(2)
Esta equação é uma equação diferencial parcial de 1
a ordem em λ e, portanto,
sua solução não poderia ser efetuada por enquanto.
Assim, ela se simplifica supondo-se λ função apenas de x ou de y.
Suponhamos λ = λ( x). Então, 0
y
Daí e de (2), temos:
y
M
x
N
x
N λ
(: λN)
y
M
x
N
N
x
x
N
y
M
N
x
(3)
Como x
é função apenas de x, seja (^ )^
x
N
y
M
N
R x (4)
x
R x ∂
( ) dx
x
R xdx
dx x
du
u
( ) du ln( u) ln( λ)
u
R xdx= = =
R ( x)dx
λ = e ou
dx x
N
y
M
N
1
∂
∂ − ∂
∂ ⋅
λ e
Analogamente, se λ = λ( y),
R ( y)dy
λ = e ou
dy y
M
x
N
M
1
∂
∂ − ∂
∂ ⋅
λ e
Observe que, pelo processo adotado, pode-se obter um fator integrante e não
todos os fatores, de modo que as restrições adotadas não prejudicam a pesquisa deste
fator.
Exemplos:
a) y dx ( xy 1 )dy 0
2
2 x − =
1.11 Exercícios
- Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais:
a) ( 2x − y+ 1 )dx −( x+3y− 2 )dy = 0 R: 2x 2xy 2x 3y 4y k
2 2 − + − + =
b) ( ) ( ) dy 0
y
dx x cosxy 2 x x
y y cosxy =
R: sen( xy) +2y x+ln( y) =C
c) dy 0 y
y 3x dx y
2x
4
2 2
3
+ R: C
y
y
x
3
2
− =
d) (3x 6xy )dx (6x y 4y )dy 0
2 2 2 3
3 2 2 4
e) 2 2 x y
xdy ydx xdx ydy
+ = R: ( x y ) 4xy k
2 2 2
f) ( 1 + y⋅sen( x))dx +( 1 −cos( x))dy = 0 R: x −y⋅cos( x) +y=C
g) ( sec( t) ⋅tg( t)−w)dt +( sec( w) ⋅tg( w)−t+ 2 )dw = 0
R: sec ( t) −wt+sec( w) +2w=k
h) ( ) ( ( ) ) 0
dt
dy 2t seny y e t cosy 3y e
3 t 2 2 t ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
R: t sen( y) y e C
2 3 t ⋅ + ⋅ =
i) ( ) ( ) ( ) ( ( )) 0
dt
dy y sec t sect tgt 2y tgt
2
⋅ + ⋅ + + = R: y y tg( t) sec( t) C
2
j) 2 2 2 2 y x y
xdy
y
dy
x y
dx
R: x x y k
2 2
k) y x y
x xy
dx
dy
2
2
= − R: x x y y k
2 2 2 2
l) ( x − 2y)dx −2xdy= 0 R: x ⋅( x−4y) =C
m) ( x − y⋅cos( x))dx −sen( x) dy= 0 R: x 2ysen( x) k
2 − ⋅ =
n) sec ( x) tg( y) dx sec ( y) tg( x) dy 0
2 2
⋅ + ⋅ = R: tg ( x) ⋅tg( y) =C
h) ydx (2xy e )dy 0
2y
−
R: xe ln( y) c
2y − =
i) e dx (e cotg( y) 2y cossec( y))dy 0
x x
+ + ⋅ = R: e sen( y) y K
x 2
j) (y x ln( x))dx xdy 0
4
+ − = R: 9y x ( 1 ln(x )) Cx
4 3
k) 2xydx (2y 3x )dy 0
2 2
2 2 3 x −2y =Ky
l) (y 2y)dx (xy 2y 4x)dy 0
4 3 4
+ + + − = R: ( )
3 2 y x+y +2x=cy
m) 2y 3xe dx 3xy dy 0
3 x 2 3 +^ =
3 2 3 x
n) (e xe tg(e ))dx xe dy 0
y y x y
+ + + = R: xe ln(sec (e )) C
x y x
- Mostre que as equações abaixo não são exatas mas tornam-se exatas quando
multiplicadas pelo fator integrante dado ao lado. Portanto, resolva as
equações:
a) ( ) ( )
3
2 3 2
xy
x ydx+x 1 +y dy= 0 ; λ x,y = R: ln(y ) C
y
x
2 2
2 − + =
b)
x
x x dy 0 ; x,y ye y
cosy 2e cosx 2e senx dx y
sen y = =
− −
R: e sen( y) 2 y cos( x) k
x
- Achar a solução particular para x = 0 na equação:
(2x cos ( y) e )dx x sen( y)dy 0
x 2
⋅ − − = R: e x cos( y) 1
x 2 − =
- Resolver os seguintes problemas de valor inicial (PVI):
a) 0 ; y( ) 1 1
dt
dy 2ty 3t y
3 2 2
2
y t
−
b) ( ) 0 ; y( ) 0 1
dt
dy 3t 4ty 2y 2t
2 2
3 2 2
c) ; y( ) 1 1
3x 4y 2
2x 3y 5
dx
dy
− +
= R: x 3xy 5x 2y 2y 3
2 2 − + + − =
d) ; y( ) 0 2
xe 12xy 2y
ye 4y
dx
dy
xy 2
xy 3
=
= − R: y e 4xy 3
2 xy 3 − − =
e)
; y( ) 1 5
x
3x lnx x y
dx
dy
2 2
=
= R: xy x ln( x) 5
3 − ⋅ =
- Determine a constante a de modo que a equação seja exata e, então, resolva a
equação resultante:
a) 0 dx
dy x ye axe
2xy 2xy
2 2xy
b) 0 dx
dy
y
ax 1
y
x
2 2 3
+ + R:
2 2 2 2x −2y −x=cxy
c) ( ) 0
dx
dy e 3x y 2x y e
ax y 2 2 3 ax y
R: e x y C
x y 3 2
d) (xy ax y)dx ( x y)x dy 0
2 2 2
+ + + = R: x y ( y 2 x) K
2 ⋅ + =
1.12 Equações Lineares
Se apresentam, ou podem ser transformadas, na forma Py Q dx
dy
Q são funções de x ou constantes.
Observe que, neste tipo de equação,
Pdx e é fator integrante.
De fato, Py Q dx
dy
+ = (Py −Q)dx +dy= 0
e ( Py Q) dx e dy 0
Pdx Pdx
− + = , onde M e (Py Q)
Pdx
λ = − e =
Pdx
λ N e.
∂ Pdx P e y
λ M
e
∂ Pdx P e x
λ N
Daí, transformamos a equação linear em outra diferencial exata.
Vamos achar, então, sua solução:
( ) e ( Py Q) dx dy C
y
e Py Q dx e
Pdx Pdx Pdx
e ⋅ Py−Q dx y P e dx e Qdx
Pdx Pdx Pdx
= y ⋅e − e ⋅Qdx
Pdx Pdx (2)
∂ Pdx Pdx e Py Q dx e y
(3)
De (1), (2) e (3), temos:
y ⋅ e − e ⋅Qdx e e dy C
Pdx Pdx Pdx Pdx
y e e Qdx C
Pdx Pdx
− y e e Qdx C
Pdx Pdx
que é a solução geral de uma equação linear de 1
a ordem e 1
o grau.
Exemplos:
k)
4 2y x dx
dy x + = c) x 2 x
y
dx
dy − = −
l)
x y e dx
dy − =
t) (θ ) ( θ)
3r cotg 5 sen 2 d
dr
+ ⋅ =− ⋅ R: (θ ) ( θ )
2 3 r =− 2 ⋅sen +k⋅cossec
u) x ⋅cos( x) ⋅dy+[ y⋅( x⋅sen( x) +cos( x))− 1 ] ⋅dx= 0
R: [sen ( x) k cos( x)]
x
y = ⋅ + ⋅
v) ( )
x 1
x y dx
dy x x 1 2
2 2
⋅ − + = R:
= C
x 1
x 1 ln
x 1
x y 2
w) y sec ( x) tg( x) sec ( x)
dx
dy (^2 )
+ ⋅ = ⋅ R: ( )
tg( x) y tgx 1 C e
− = − + ⋅
x) ( ) y ln( ln( x))
dx
dy
x ⋅ lnx ⋅ + = R: ( ( ))
lnx
k y =lnlnx + −
y) ( θ) ( θ)
2r cos 2 sen 4 d
dr
+ ⋅ = R: ( )
r sen 2 k e 1
sen 2 = + ⋅ −
− θ
- Achar a solução particular para y = 0 e x = 0 na equação:
y tg ( x) sec( x)
dx
dy
− ⋅ = R: y =x⋅sec( x)
- Achar a solução particular para y = be x = a na equação:
y e 0 dx
dy x
x
⋅ + − = R: ( )
x a e ab e x
y = ⋅ + −
1.14 Equações Redutíveis às de Variáveis Separáveis
Equações da forma
2 2 2
1 1 1
a x b y c
ax by c F dx
dy (^) (1) , onde a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c 1 , c 2 são
constantes e o determinante 0 a b
a b
2 2
1 1 = , podem ser redutíveis a variáveis separá-
veis.
Se o determinante acima é zero, então a 1 b 2 − a 2 b 1 = 0.
Daí, a 1 b 2 = a 2 b 1 m b
b
a
a
1
2
1
2 = = , onde
1
2
c
c m ≠ (caso fosse igual seria possí-
vel uma simplificação na forma da equação, não sendo necessário, então, o processo
em descrição).
Desta forma,
2 1
2 1
b m b
a m a (2) .
Levando (2) em (1), temos:
1 1 2
1 1 1
ma x mby c
ax by c F dx
dy
1 1 2
1 1 1
max by c
ax by c F dx
dy (^) (3)
Seja t^ =^ a 1 x +b 1 y
(4)
b 1 y = t−a 1 x ( t a x)
b
y (^1) 1
1 1
a dx
dt
b
dx
dy (^) (5)
Levando (5) e (4) em (3), temos:
G(t) mt c
t c a F dx
dt
b
2
1 1 1
− a G(t) dx
dt
b
1 1
^ =
b 1 G(t) a 1 dx
dt = ⋅ + dx b G(t) a
dt
1 1
, que é uma equação de variáveis
separáveis.
Exemplos:
m) ( 2x − y+ 4 )dy +(4x −2y+ 5 )dx = 0 c)
6x 3y 1
2x y 1
dx
dy
n) ( x +y+ 1 )dx +( 2x+2y− 1 )dy = 0
1.15 Equações Redutíveis às Homogêneas
Equações da forma
2 2 2
1 1 1
a x b y c
ax by c F dx
dy (^) (1) , onde a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c 1 , c 2 são
constantes e o determinante (^0) a b
a b
2 2
1 1 ≠ , podem ser reduzidas à forma das homogê-
neas.
Considerando o sistema
a x b y c 0
ax by c 0
2 2 2
(^1 11) (2)
, com solução genéricax= α
e y = β.
Reintroduzindo x e y na equação (1) como
y v dv dy
x u du dx
β
α (geome-
tricamente equivale a uma translação dos eixos coordenados para o ponto (α , β)que
é a interseção das retas componentes do sistema (2), o que é verdadeiro, uma vez que
o determinante considerado é diferente de zero).
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
2 2 2
1 1 1
a u a b v b c
au a bv b c F a u b v c
a u b v c F du
dv
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
a u b v a b c
au bv a b c F
(vemos, em (2), que α e β são soluções
do sistema)
a u b v
au bv F du
dv
2 2
1 1 que é uma equação homogênea.
