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Lista de Exercícios 4: Soluções
Sequências e Indução Matemática
UFMG/ICEx/DCC DCC111 Matemática Discreta
Ciências Exatas & Engenharias 1 o^ Semestre de 2018
- O conjunto dos números racionais Q é enumerável, ou seja, é possível atribuir (associar) a cada número racional um número natural. Abaixo, os números racionais positivos estão representados na forma de um par ordenado onde o primeiro número representa o numerador e o segundo o denominador. Começando do número racional 1 par ordenado (1, 1) é possível associar o número natural 1 e, seguindo o sentido das setas, atribuir o próximo número natural de nindo assim uma sequência de enumeração. Dado o número racional positivo pq , qual é o número natural correspondente?
Resposta: De acordo com o enunciado acima, a enumeração dos números racionais irá ocorrer da forma apresentada a seguir (o número natural associado a cada número racional está entre colchetes):
[ 21 ] ↖ (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)... [ 11 ] [ 20 ] ↑ ↘ ↖ (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)... [ 10 ] [ 12 ] [ 19 ] ↖ ↘ ↖ (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)... [ 4 ] [ 9 ] [ 13 ] [ 18 ] ↑ ↘ ↖ ↘ ↖ (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)... [ 3 ] [ 5 ] [ 8 ] [ 14 ] [ 17 ] ↖ ↘ ↖ ↘ ↖ (1, 1)→(2, 1) (3, 1)→(4, 1) (5, 1)→(6, 1)... [ 1 ] [ 2 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 15 ] [ 16 ] 1 a^2 a^3 a^4 a^5 a^6 a Diagonais
Pontos a observar:
- O número racional positivo pq é representado pelo par ordenado (p, q);
- A soma dos índices p e q dos pares ordenados ao longo de cada diagonal é a mesma. Na primeira diagonal temos apenas um par ordenado, i.e., (1, 1), e a soma vale 2. A partir da segunda diagonal, as somas dos índices valem 3, 4, 5, etc;
- Na primeira diagonal temos um par ordenado, na segunda dois, na terceira três e assim sucessivamente. Isso signi ca que em cada diagonal temos (p + q) − 1 pares ordenados;
- Quando a soma p + q é um número ímpar, a enumeração ocorre de baixo para cima e, quando é par, ocorre de cima para baixo;
- Para calcular o número natural k associado ao número racional (p, q) temos que saber quantos pares ordenados existem nas diagonais anteriores à diagonal onde se encontra o par (p, q). Essa é a soma de 1 a (p + q) − 2 , representada por S:
S ← [(p + q) − 2] × [(p + q) − 1]
- Finalmente, deve-se determinar o sentido da enumeração (de baixo para cima, ou vice-versa) para o par (p, q): se (p + q) mod 2 = 0 // (p + q) é um número par, i.e., a diagonal é de descida? então k ← S + p // Sim, devemos somar a S o valor de p, que é o termo que cresce. senão k ← S + q // Não, devemos somar a S o valor de q, que é o termo que cresce. mse Observe que quando o sentido da enumeração é de cima para baixo ao longo da diagonal, o número p deve ser somado a S para determinar a posição correta da enumeração. Quando o sentido da enumeração for o contrário, o número q deve ser somado.
- Prove por indução matemática que
12 + 2^2 +... + n^2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 , n ≥ 1.
Resposta: Prova (por indução matemática): (a) Passo base: Para n = 1, 12 = 1 e n(n+1)(2 6 n+1)= 1 ·^26 · 3 = 1. O passo base é verdadeiro. (b) Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k, k ≥ 1 então deve ser verdadeira para n = k+1. Hipótese indutiva: 12 + 2^2 +... + k^2 = k(k + 1)(2k + 1) 6 , k ≥ 1 Deve-se mostrar que:
12 + 2^2 +... + k^2 + (k + 1)^2 = (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 6 Sabe-se que:
12 + 2^2 +... + k^2 + (k + 1)^2 = k(k + 1)(2k + 1) 6
= k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)^2 6 = (k + 1)[k(2k + 1) + 6(k + 1)] 6 = (k^ + 1)[2k
(^2) + k + 6k + 6] 6 = (k + 1)(2k^2 + 7k + 6) 6 = (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 6
- Prove por indução matemática que
2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 3 +... + 2n = n^2 + n, n ≥ 1.
Resposta: Prova (por indução matemática): (a) Passo base: Para n = 1, 2 · 1 = 2 e 12 + 1 = 2. O passo base é verdadeiro. (b) Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k, k ≥ 1 então deve ser verdadeira para n = k+1. Hipótese indutiva: 2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 3 +... + 2k = k^2 + k = k(k + 1), k ≥ 1 Deve-se mostrar que: 2 · 1 + 2 · 2 +... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)^2 + (k + 1) = (k + 1)[(k + 1) + 1] = (k + 1)(k + 2), k ≥ 1
Sabe-se que: 2 · 1 + 2 · 2 +... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) = k^2 + k + 2k + 2 = k^2 + 3k + 2 = (k + 1)(k + 2)
- Prove por indução matemática que
n∑− 1
i=
i(i + 1) = n(n − 1)(n + 1) 3 , ∀ inteiros n ≥ 2.
Resposta: Prova (por indução matemática): (a) Passo base: Para n = 2,
∑n− 1 i=1 i(i^ + 1) =^
i=1 i(i^ + 1) = 1(1 + 1) = 2^ e^
n(n−1)(n+1) 2 =^ 2 · 1 · 3 3 = 2. O passo base é verdadeiro. (b) Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k, k ≥ 2 então deve ser verdadeira para n = k+1. Hipótese indutiva: k∑− 1
i=
i(i + 1) = k(k^ −^ 1)(k^ + 1) 3
Deve-se mostrar que: ∑^ k i=
i(i + 1) = k(k^ + 1)(k^ + 2) 3
Sabe-se que: ∑^ k i=
i(i + 1) =
k∑− 1
i=
i(i + 1) + k(k + 1)
k(k − 1)(k + 1) 3
k(k − 1)(k + 1) + 3k(k + 1) 3 = k(k + 1)[(k − 1) + 3] 3 = k(k^ + 1)(k^ + 2) 3
- Ache a fórmula fechada para a soma
1 1 · 2 +^
2 · 3 +^
3 · 4 +^...^ +^
n(n + 1) ∀ inteiros n ≥ 1 e prove o seu resultado por indução matemática. Resposta: Prova (por indução matemática): Somando os primeiros termos e simpli cando temos que: 1 1 · 2
=^3
o que leva a conjectura que para todos os inteiros positivos n, 1 1 · 2
n(n + 1) = n n + 1 (a) Passo base: Para n = 1, (^11) · 2 = 12 , que é o valor da fórmula fechada. O passo base é verdadeiro. (b) Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k, k ≥ 1 então deve ser verdadeira para n = k+1. Hipótese indutiva: 1 1 · 2
k(k + 1)
k k + 1 Deve-se mostrar que: 1 1 · 2
k(k + 1)
(k + 1)(k + 2)
k + 1 k + 2 Sabe-se que: 1 1 · 2
k(k + 1)
(k + 1)(k + 2) = k k + 1
(k + 1)(k + 2)
k(k + 2) + 1 (k + 1)(k + 2) = k^2 + 2k + 1 (k + 1)(k + 2) = (k + 1)^2 (k + 1)(k + 2) = k + 1 k + 2
- Ache a fórmula fechada para o produto ( 1 − 1 2
n
Deve-se mostrar que: 1 1 · 3
(2(k + 1) − 1) · (2(k + 1) + 1)
k + 1 2(k + 1) + 1 ou equivalentemente, 1 1 · 3
(2k + 1) · (2k + 3)
k + 1 2 k + 3 Sabe-se que: 1 1 · 3
(2k − 1)(2k + 1)
(2k + 1)(2k + 3)
k 2 k + 1
(2k + 1)(2k + 3)
k(2k + 3) (2k + 1)(2k + 3) + 1 (2k + 1)(2k + 3) = 2 k
(^2) + 3k + 1 (2k + 1)(2k + 3) = (2k + 1)(k + 1) (2k + 1)(2k + 3) = k + 1 2 k + 3
- Ache a fórmula fechada para a soma ∑n i=
(i − 1)i , ∀ inteiros n ≥ 2 e prove o seu resultado por indução matemática. Resposta: Seja a suposição que ∑n i=
(i − 1)i
n ∀ inteiros n ≥ 2. Deve-se provar que de fato essa suposição é verdadeira. Prova (por indução matemática): (a) Passo base: Para n = 2, os dois lados da equação valem 12. O passo base é verdadeiro. (b) Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k, k ≥ 2 então deve ser verdadeira para n = k+1. Hipótese indutiva: ∑k
i=
(i − 1)i
k , k ≥ 2.
Deve-se mostrar que: k∑+
i=
(i − 1)i
k + 1 , k ≥ 2.
Sabe-se que: k∑+
i=
(i − 1)i
∑^ k i=
(i − 1)i
k(k + 1)
= 1 − 1 k
k
k + 1
k + 1
- Prove o seguinte predicado P (n) usando indução matemática:
P (n): Qualquer número inteiro positivo n ≥ 8 pode ser escrito como a soma de 3's e 5's. Resposta: Prova (por indução matemática fraca): (a) Passo base: P (n 0 ) = P (8): Para n 0 = 8, temos que 8 = 3 + 5 e o predicado P é verdadeiro. (b) Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser verdadeira para n = k + 1, i.e., P (k) → P (k + 1). Suponha que a fórmula seja verdadeira para n = k, i.e., P (k) : k = 3a + 5b, para a ≥ 0 e b ≥ 0. [hipótese indutiva] Deve-se mostrar que P (k + 1) : k + 1 = 3a′^ + 5b′, para a′^ ≥ 0 e b′^ ≥ 0. Dois casos a considerar para k + 1: (i) b 6 = 0: É possível substituir um 5 por dois 3's quando é feita a soma de: k + 1 = 3 a + 5b + 1 = 3 a + 5(b − 1) + 5 + 1 = 3 a + 2·3 + 5(b − 1) = 3 a′^ + 5b′ (ii) b = 0: Neste caso, deve haver pelo menos três 3's para termos valores de n ≥ 9. Assim, temos: k + 1 = 3 a + 1 = 3(a − 3) + 3·3 + 1 = 3 a′^ + 2· 5 = 3 a′^ + 5b′ [Isto era o que devia ser provado.]
- Suponha que temos selos de 4 e 7 centavos. Prove que é possível ter qualquer valor de postagem de 18 centavos ou mais usando somente esses selos. Resposta: Prova (por indução matemática forte): (a) Passo base: Para os seguintes valores de postagem p é possível usar apenas selos de 4 e 7 centavos.
p Selos 18 7 + 7 + 4 19 7 + 4 + 4 + 4 20 4 + 4 + 4 + 4 + 4 21 7 + 7 + 7 Assim, o passo base é verdadeiro. (b) Passo indutivo: Vamos supor que para todos inteiros p, 18 ≤ p < k, p seja um valor de postagem que pode ser obtido apenas com selos de 4 e 7 centavos. Vamos provar que a proposição também é verdadeira para k. Ao dividirmos k por 4 temos um quociente q e um resto entre 0 e 3. Ao dividirmos os valores de postagem p ∈ [18, 21] temos também como resto os valores entre 0 e 3. Ou seja, k pode ser expresso como um valor de postagem p entre 18 e 21 somando de um fator múltiplo de 4. Formalmente temos que k ≡ p mod 4 para um valor de p ∈ [18, 21]. Isto é lido como: k é congruente com p módulo 4, o que signi ca que existe um valor de p ∈ [18, 21] que quando dividido por 4 deixa o mesmo resto que k quando dividido por 4.
(a) Passo base: A propriedade é verdadeira para n = 1 e n = 2, já que a 1 = 1 e a 2 = 3, que são ímpares. (b) Passo indutivo: Se k > 2 e a propriedade é verdadeira para todos i, 1 ≤ i < k, então deve ser verdadeira para n = k. Hipótese indutiva: Seja k > 2 um inteiro e suponha que ai é ímpar para todos os inteiros i, 1 ≤ i < k. Deve-se mostrar que ak é ímpar. Sabe-se pela de nição de
a 1 , a 2 , a 3 ,... , an = ak− 2 + 2ak− 1 Sabe-se também que ak− 2 é ímpar pela hipótese indutiva, já que 1 ≤ k − 2 < k e k > 2 , e 2 ak− 1 é par, pela de nição de número par. Assim,
ak− 2 + 2ak− 1 é a soma de um número ímpar e um número par, que dá como resultado sempre um número ímpar.
- Seja a seqüência g 0 , g 1 , g 2 ,... de nida como
g 0 = 12 g 1 = 29 gk = 5 gk− 1 − 6 gk− 2 , ∀ inteiros k ≥ 2
Prove por indução matemática que gn = 5 · 3 n^ + 7 · 2 n^ para todos os inteiros n ≥ 0. Resposta: Prova (por indução matemática forte): (a) Passo base: Para n = 0, temos que g 0 = 5 · 30 + 7 · 20 = 5 · 1 + 7 · 1 = 12 e para n = 1, temos que g 1 = 5 · 31 + 7 · 21 = 5 · 3 + 7 · 2 = 29. Logo, o passo base é verdadeiro. (b) Passo indutivo: Se k > 1 e a propriedade é verdadeira para todos i, 1 ≤ i < k, então deve ser verdadeira para n = k. Hipótese indutiva: Seja k > 1 um inteiro e suponha que gk = 5 · 3 k^ + 7 · 2 k^ para todos os inteiros i, 1 ≤ i < k. Deve-se mostrar que gk = 5 · 3 k^ + 7 · 2 k^ para n = k. Sabe-se que:
gk = 5 gk− 1 − 6 gk− 2 = 5(5 · 3 k−^1 + 7 · 2 k−^1 ) − 6(5 · 3 k−^2 + 7 · 2 k−^2 ) = 25 · 3 k−^1 + 35 · 2 k−^1 − 30 · 3 k−^2 − 42 · 2 k−^2 = 3 k−^2 (25 · 3 − 30) + 2k−^2 (35 · 2 − 42) = 3 k−^2 · 45 + 2k−^2 · 28 = 3 k−^2 (9 · 5) + 2k−^2 (4 · 7) = 5 · 3 k^ + 7 · 2 k
- Seja a seqüência h 0 , h 1 , h 2 ,... de nida como
h 0 = 1 h 1 = 2 h 2 = 3 hk = hk− 1 + hk− 2 + hk− 3 , ∀ inteiros k ≥ 3
Prove por indução matemática que hn ≤ 3 n^ para todos os inteiros n ≥ 0. Resposta: Prova (por indução matemática forte):
(a) Passo base: A propriedade é verdadeira para n hn 3 n 0 h 0 = 1 30 = 1 1 h 1 = 2 31 = 3 2 h 2 = 3 32 = 9 (b) Passo indutivo: Se k > 2 e a propriedade é verdadeira para todos i, 1 ≤ i < k, então deve ser verdadeira para n = k. Hipótese indutiva: Seja k > 2 um inteiro e suponha que hi ≤ 3 i^ para todos os inteiros i, 1 ≤ i < k. Deve-se mostrar que hk ≤ 3 k. Sabe-se pela de nição de
hk = hk− 1 + hk− 2 + hk− 3
Sabe-se também que hk− 1 ≤ 3 k−^1 hk− 2 ≤ 3 k−^2 hk− 3 ≤ 3 k−^3 Logo,
hk = hk− 1 + hk− 2 + hk− 3 ≤ 3 k−^1 + 3k−^2 + 3k−^3 ≤ 3 k−^3 (3^2 + 3^1 + 1) ≤ 3 k−^3 (3 · 4) ≤ 4 · 3 k−^2 ≤ 3 k
já que 4 < 32.
- Seja a seqüência x 0 , x 1 , x 2 ,... de nida como
x 0 = 0 x 1 = 1 xk = 5 x^3 k− 1 + 7xk− 2 , ∀ inteiros k ≥ 2
Prove por indução matemática que se k é múltiplo de 3 então xk é par. Resposta: Prova (por indução matemática forte): (a) Passo base: Ao observarmos essa sequência temos:
i xi Número 0 0 par 1 1 ímpar 2 5 · 13 + 7 · 1 = 5 ímpar 3 5 · 53 + 7 · 0 = 632 par .. .
Para os índices 0 e 3, múltiplos de 3, a proposição está correta e, assim, o passo base é verdadeiro. (Se continuarmos a calcular os próximos valores de xi veremos que ambos x 4 e x 5 sáo números ímpares e x 6 é par. (b) Passo indutivo: Se k ≥ 2 e a propriedade é verdadeira para todos i, 1 ≤ i < k, então deve ser verdadeira para n = k.
Resposta: Ao observarmos essa sequência temos: i ai 0 0 1 1 2 2 − 1 = 1 3 3 − 1 = 2 4 4 − 2 = 2 5 5 − 2 = 3 6 6 − 3 = 3 7 7 − 3 = 4 8 8 − 4 = 4 .. .
ou seja, o termo ak =
k 2
Se k é par então ak = k 2 ; se k é ímpar então ak = k+1 2. Prova (por indução matemática forte): (a) Passo base: A propriedade é verdadeira para i = 0.. 8. (b) Passo indutivo: Se k > 2 e a propriedade é verdadeira para todos i, 0 ≤ i < k, então deve ser verdadeira para n = k. Hipótese indutiva: Se i é par então ai = 2 i ; se i é ímpar então ai = i+1 2 , para 0 ≤ i < k. Deve-se mostrar que essa proposição é verdadeira para k. Sabe-se que ak = k − ak− 1. Temos dois casos: (i) k é par: ak = k − ak− 1 = k − k 2 = k 2 , já que k − 1 é ímpar e ak− 1 = k−1+1 2. (ii) k é ímpar: ak = k − ak− 1 = k − k− 2 1 = k+1 2 , já que k − 1 é par e ak− 1 = k− 2 1.
- Prove por indução matemática que ∀n ≥ 1 , 3 n^ − 2 é ímpar.
Resposta: Prova (por indução matemática): (a) Passo base: Para n = 1, 31 − 2 = 1 é ímpar. O passo base é verdadeiro. (b) Passo indutivo: se a a rmação é verdadeira para n = k, k ≥ 1 então deve ser verdadeira para n = k + 1. Hipótese indutiva: ∀k ≥ 1 , 3 k^ − 2 é ímpar. Deve-se mostrar que: 3 k+1^ − 2 é ímpar. Sabe-se que: 3 k+1^ − 2 = 3 · 3 k^ − 2 = 3 · 3 k^ − 6 + 4 = 3(3k^ − 2) + 4. Pela hipótese indutiva 3 k^ − 2 é um número ímpar que quando multiplicado por 3 e somado com 4 continua sendo um número ímpar.
