UFG - Instituto de Informática Fundamentos de Matemática para Computação CC/ES/SI
8ªLista de Exercícios – 2024.1
Indução Matemática
1. (a) Encontre uma fórmula para: 1
1·2+1
2·3+· · · +1
n·(n+ 1)
examinando os valores dessa expressão para pequenos valores de n.
Para encontrar a resposta, você deve testar para alguns valores de n, por exemplo:
•Para n= 1, temos que 1
1·2=1
2
•Para n= 2, temos que 1
1·2+1
2·3=1
2+1
6=4
6=2
3
•Para n= 3, temos que 1
1·2+1
2·3+1
3·4=1
2+1
6+1
12 =9
12 =3
4
•. . .
(b) Demonstre a fórmula que você conjecturou no item (a).
2. Para cada desigualdade a seguir, determine a partir de qual inteiro positivo nela se torna válida. Use a indução
matemática para comprovar sua conjectura.
(a) 2n≤n!
(b) n−2<n2
−n
12
3. Para que valores de n≥0, é verdade que 2n+1 ≥n2+ 2? Se for válida para todo n, prove usando indução
matemática. Se não for, mostre um contraexemplo.
4. Use a indução matemática para demonstrar que as proposições abaixo são verdadeiras.
(a) 2+6+10+· · · + (4 ·n−2) = 2 ·n2, para todo inteiro n≥1.
(b) 12+ 22+· · · +n2=n·(n+1)·(2·n+1)
6, para todo inteiro n≥1.
(c) 12+ 32+ 52+· · · + (2 ·n+ 1)2=(n+1)·(2·n+1)·(2·n+3)
3,para todo inteiro n≥0.
(d) 1·2+2·3 + · · · +n·(n+ 1) = n·(n+1)·(n+2)
3, para todo inteiro n≥1.
(e) 1·1! + 2 ·2! + · · · +n·n!=(n+ 1)! −1, para todo inteiro n≥1.
(f) n2−5·n+ 3 >0, para todo inteiro n≥5.
(g) (1 + x)n>1 + xn, para todo inteiro n > 1ex∈N+.
(h) 3n< n!, para todo inteiro n > 6.
(i)
n
P
i=1
(2 ·i+ 3) = n·(n+ 4), para todo inteiro n≥1.
(j)
n
P
i=1
1
i·(i+1) = 1 −1
n+1 , para todo n∈N+.
(k)
n
P
i=1
1
(2·i−1)·(2·i+1) =n
2·n+1 , para todo n∈N+.
(l)
n
P
i=1
c=n·c, para todo n∈N+e constante c∈R.
5. Demonstre, por indução matemática, que 3divide n3+ 2 ·nsempre que nfor um número inteiro positivo.
6. Demonstre, por indução matemática, que o produto de três números inteiros positivos consecutivos é divisível
por 6.
7. Demonstre, por indução matemática, que 42·n+1 + 3n+2 é divisível por 13 para todo n∈N.
8. Demonstre, por indução matemática, que 3n+1 + 7né divisível por 4para todo n∈N.
9. Demonstre, por indução matemática, que n2−1é divisível por 8para todo inteiro positivo ímpar n.
10. Prove que a seguinte igualdade é válida para todo n∈N+utilizando indução matemática.
n
X
i=1
log i= log(n!).
