Baixe Problemas Matemáticos: Soluções Reais e Cálculo de Áreas e Volumes e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
-A-
- (2,5) Considere f (x) = ln( 1 + x^2 ) − 2arctg(1/x). Para cada k ∈ R , determine o n ´umero de soluc¸ ˜oes da equac¸ ˜ao f (x) = k. Resolu¸c˜ao: Note que dom f = R \ { 0 }. Al´em disso, temos que: xlim→ 0 +^ f^ (x) =^ xlim→ 0 +(ln(^1 +^ x^2 )^ −^ 2arctg(1/x)) =^ − π , j´a que xlim→ 0 +(^1 +^ x^2 ) =^ 1,^ xlim→ 0 +^ ln(^1 +^ x^2 ) =^ 0,^ xlim→ 0 +^1 x^ = +∞^ e^ xlim→ 0 +^ arctg(1/x) =^ π^2 , usando a continuidade das func¸ ˜oes envolvidas. De modo an´alogo, xlim→ 0 −^ f^ (x) =^ xlim→ 0 −(ln(^1 +^ x^2 )^ −^ 2arctg(1/x)) =^ π , uma vez que xlim→ 0 −(^1 +^ x^2 ) =^ 1,^ xlim→ 0 −^ ln(^1 +^ x^2 ) =^ 0,^ xlim→ 0 −^1 x^ =^ −∞^ e^ xlim→ 0 −^ arctg(1/x) =^ −^ π^2. Por outro lado, x→lim+∞ f^ (x) =^ x→lim+∞(ln(^1 +^ x^2 )^ −^ 2arctg(1/x)) = +∞, j´a que x→lim+∞(^1 +^ x^2 ) = +∞,^ x→lim+∞ ln(^1 +^ x^2 ) = +∞,^ x→lim+∞^1 x =^0 e^ x→lim+∞ arctg(1/x) =^ 0, pela continuidade de cada uma das func¸ ˜oes envolvidas. De modo an´alogo, x→−lim∞ f^ (x) =^ x→−lim∞(ln(^1 +^ x^2 )^ −^ 2arctg(1/x)) = +∞, uma vez que x→−lim∞(^1 +^ x^2 ) = +∞,^ x→−lim∞ ln(^1 +^ x^2 ) = +∞,^ x→−lim∞^1 x =^0 e^ x→−lim∞ arctg(1/x) =^ 0.
Al´em disso, f ′(x) = (^1) +^2 x x 2 − ( (^1) + (^2 1 x ) 2 )(− (^) x^12 ) = 21 x +^ + x^22. Logo, f ′(x) = 0 se, e somente se, x = −1, f ′(x) < 0 se x < −1 e f ′(x) > 0 se x > −1. Da´ı, f e estritamente decrescente no intervalo ´ ] − ∞, − 1 [ e ´e estritamente crescente nos intervalos ] − 1, 0[ e ]0, ∞[. Portanto, f (− 1 ) = ln( 2 ) + π 2 e um ponto de m´´ ınimo local de f. Obtemos assim um esboc¸o do gr´afico de f :
Conclu´ımos ent˜ao que f (x) = k:
- n˜ao tem soluc¸ ˜oes reais para k ≤ − π ,
- tem uma ´unica soluc¸ ˜ao real para − π < k < ln( 2 ) + π 2 ,
- tem duas soluc¸ ˜oes reais para k = ln( 2 ) + π 2 ou k ≥ π ,
- tem trˆes soluc¸ ˜oes reais para ln( 2 ) + π 2 < k < π.
segue que ∫ (^2) 1 (x +^ (x 2 +)(^1 x) +^2 3 ) dx^ = (^2 −^1 ) + (ln(^4 )^ −^ ln(^3 ))^ −^4 (ln(^5 )^ −^ ln(^4 )) = 1 + 5ln( 4 ) − ln( 3 ) − 4ln( 5 ) = 1 + ln(1024/1875) e o volume do s ´olido ´e π ( 1 + 5ln( 4 ) − ln( 3 ) − 4ln( 5 )) = π ( 1 + ln(1024/1875)).
-A
- Calcule
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-A-
- (a) (1/0)Seja f(x) = arcsen( v1 -^ x4).^ Calcule^ 1'(0). (b) (1/0)Sejag(x) = (2+ cosx?/x2.Calculeg'(x). 0'1 1: '('(\ (^) ~ (:(.)^ -:^ .t: 'ff^ OÀ c.s.Q:C^ (~ i^ - :(.^ "}:.^ C<A'
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-B-
- (2,5) Considere f (x) = ln( 1 + x^2 ) + 2arctg(1/x). Para cada k ∈ R , determine o n ´umero de soluc¸ ˜oes da equac¸ ˜ao f (x) = k. Resolu¸c˜ao: Note que dom f = R \ { 0 }. Al´em disso, temos que: xlim→ 0 +^ f^ (x) =^ xlim→ 0 +(ln(^1 +^ x^2 ) +^ 2arctg(1/x)) =^ π , j´a que xlim→ 0 +(^1 +^ x^2 ) =^ 1,^ xlim→ 0 +^ ln(^1 +^ x^2 ) =^ 0,^ xlim→ 0 +^1 x^ = +∞^ e^ xlim→ 0 +^ arctg(1/x) =^ π^2 , usando a continuidade das func¸ ˜oes envolvidas. De modo an´alogo, xlim→ 0 −^ f^ (x) =^ xlim→ 0 −(ln(^1 +^ x^2 ) +^ 2arctg(1/x)) =^ − π , uma vez que xlim→ 0 −(^1 +^ x^2 ) =^ 1,^ xlim→ 0 −^ ln(^1 +^ x^2 ) =^ 0,^ xlim→ 0 −^1 x^ =^ −∞^ e^ xlim→ 0 −^ arctg(1/x) =^ −^ π^2. Por outro lado, x→lim+∞ f^ (x) =^ x→lim+∞(ln(^1 +^ x^2 ) +^ 2arctg(1/x)) = +∞, j´a que x→lim+∞(^1 +^ x^2 ) = +∞,^ x→lim+∞ ln(^1 +^ x^2 ) = +∞,^ x→lim+∞^1 x =^0 e^ x→lim+∞ arctg(1/x) =^ 0, pela continuidade de cada uma das func¸ ˜oes envolvidas. De modo an´alogo, x→−lim∞ f^ (x) =^ x→−lim∞(ln(^1 +^ x^2 ) +^ 2arctg(1/x)) = +∞, uma vez que x→−lim∞(^1 +^ x^2 ) = +∞,^ x→−lim∞ ln(^1 +^ x^2 ) = +∞,^ x→−lim∞^1 x =^0 e^ x→−lim∞ arctg(1/x) =^ 0.
-B-
- (a) (1,0) Para cada t > 1 seja A(t) a ´area da regi˜ao limitada pelo eixo Ox e pelo gr´afico de f (x) = (^) ln^1 x no intervalo [t, 2t]. Para qual t > 1 a ´area A(t) e m´´ ınima? ( Dica: N˜ao tente usar t´ecnicas de primitivac¸ ˜ao para encontrar uma primitiva de (^) ln^1 x .) Resolu¸c˜ao: Para t > 1, A(t) = ∫^ t^2 t ln^1 (x) dx. Segue pela Regra da Cadeia e o Teorema Fundamental do C´alculo que A′(t) = (^) ln^2 ( 2 t) − (^) ln^1 (t) = 2 ln ln((t 2 )t−)·lnln((^2 t)t ). Assim, A′(t) = 0 se, e somente se, 2ln(t) − ln( 2 t) = 0 se, e somente se, t = 2. Al´em disso, A′(t) < 0 se 1 < t < 2 e A′(t) > 0 se t > 2. Portanto, A(t) e m´´ ınima para t = 2. (b) (1,5) Seja R =
(x, y) ∈ R^2 : 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ √(x +x + 3 )(^2 x + 4 )
Calcule o volume do s ´olido obtido pela rotac¸ ˜ao de R em torno do eixo Ox. Resolu¸c˜ao: Como as sec¸ ˜oes transversais do s ´olido s˜ao c´ırculos de raio √(x+x+ 3 )(^2 x+ 4 ) , temos que o volume do s ´olido ´e ∫ (^1) 0^ π^ (x +(x 3 +)(^2 x) +^2 4 ) dx^ =^ π^ ∫^1 0 x^ x^22 ++ 7 4 xx ++ 12 4 dx. Fazendo a divis˜ao de polin ˆomios, obtemos que x^2 + 4 x + 4 x^2 + 7 x + 12 =^1 −^ 3 x + 8 x^2 + 7 x + 12 =^1 −^ 3 x + 8 (x + 3 )(x + 4 ). Sejam A, B ∈ R tais que (x +^3 3 x)(^ +x^8 + 4 ) =^ x A+ 3 +^ x +B 4 =^ Ax (^ +x +^4 A 3 )(+x^ Bx +^ + 4 )^3 B. Da´ı, obtemos o sistema (^)
A + B = 3
4 A + 3 B = 8
Resolvendo o sistema, obtemos que A = −1 e B = 4. Logo, ∫ (^1) 0
x^2 + 4 x + 4 x^2 + 7 x + 12 dx^ =
∫ (^1) 0 dx^ −
∫ (^1) 0 x^ − +^1 3 dx^ −^ ∫^1 0 x +^4 4 dx. Como (^) ∫ dx = x,^ ∫^ x− +^1 3 = −ln|x + 3 | e^ ∫^ x +^4 4 dx = 4ln|x + 4 |,
segue que ∫ (^1) 0 (x +^ (x 3 +)(^2 x) +^2 4 ) dx^ = (^1 −^0 ) + (ln(^4 )^ −^ ln(^3 ))^ −^4 (ln(^5 )^ −^ ln(^4 )) = 1 + 5ln( 4 ) − ln( 3 ) − 4ln( 5 ) = 1 + ln(1024/1875) e o volume do s ´olido ´e π ( 1 + 5ln( 4 ) − ln( 3 ) − 4ln( 5 )) = π ( 1 + ln(1024/1875)).
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