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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
BC1419 C´alculo Num´erico - LISTA 5 - Integra¸c˜ao num´erica (Profs. Andr´e Camargo, Feodor Pisnitchenko, Marijana Brtka, Rodrigo Fresneda)
- Calcule as integrais a seguir pela regra dos trap´ezios e de Simpson, usando quatro e seis divis˜oes de [a, b]. Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando for poss´ıvel.
(a)
1
exp(x)dx
(b)
1
xdx
(c)
2
dx √ x
- Usando as integrais do exerc´ıcio anterior, com quantas divis˜oes do intervalo, no m´ınimo, podemos esperar obter erros menores que 10−^5?
- Calcule o valor aproximado de
0
dx 1 + x
com trˆes casas decimais de precis˜ao usando Simpson e trap´ezios.
- Qual o erro m´aximo cometido na aproxima¸c˜ao de
0
(3x^3 − 3 x + 1)dx pela regra de Simpson com quatro subintervalos?
- Determinar h para que se possa avaliar
∫ (^) π/ 2
0
cos(x)dx com erro inferior a = 10−^3 pela regra de Simpson.
- Calcule, pela regra dos trap´ezios e de Simpson, cada uma das integrais abaixo, com erro menor do que dado:
(a)
∫ (^) π
0
e sen(x)dx, = 10−^2
(b)
∫ (^) π/ 2
1
( sen(x))^1 /^2 dx, = 10−^4
- (a) Comprove gr´afica e analiticamente que se:
i. f ′^ ´e cont´ınua em [a, b], e ii. f ′′(x) > 0, ∀x ∈ [a, b],
ent˜ao, a aproxima¸c˜ao obtida para
∫ (^) b
a
f (x)dx pela regra dos Trap´ezios ´e maior do que o valor exato da integral. Considere n = 1.
(b) Sabendo que f (x) = ex^ + x^2 satisfaz as condi¸c˜oes acima em [0, 1], e que I =
0
(ex^ + x^2 )dx = 2.051, comprove que a conclus˜ao do item (a) ´e v´alida tamb´em para a regra dos Trap´ezios composta, calculando I com erro inferior a 5 × 10 −^2.
- Calcule π da rela¸c˜ao
π 4
0
dx 1 + x^2
com erro de 10−^3 por Simpson.
Aplicar a regra do trap´ezio para calcular ∫ (^1). 30
00
xdx
utilizando os dados da tabela √^ x^1.^00 1.^05 1.^10 1.^15 1.^20 1.^25 1.^30 x 1. 0000 1. 0247 1. 0488 1. 0723 1. 0954 1. 1180 1. 1401
- Use a regra 1/3 de Simpson para calcular
∫ (^1). 6
- 0
ln xdx
usando a tabela x 1. 0 1. 1 1. 2 1. 3 1. 4 1. 5 1. 6 ln x 0 0. 095 0. 182 0. 262 0. 336 0. 405 0. 470
- Usando a regra 3/8 de Simpson e h = 0.4 e h = 0.2, calcular
∫ (^1). 2
0
e−x^ senxdx
sabendo
x 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1. 0 1. 2 e−x^1. 000 0. 819 0. 670 0. 548 0. 449 0. 367 0. 301 senx 0 0. 198 0. 398 0. 565 0. 717 0. 841 0. 932
- Determine h de modo que a regra do trap´ezio forne¸ca o valor de
∫ (^1)
0
e−x
2 dx
com erro inferior a 0. 5 × 10 −^6.
- Determine h de modo que a regra 3/8 de Simpson forne¸ca o valor de
∫ (^0). 8
- 2
senxdx
com erro inferior a 0. 5 × 10 −^3.
- Usando a regra do trap´ezio sobre cinco pontos, calcular:
∫ (^1). 6
- 2
senxdx.
Sabe-se que: x 1.2 1.3 1.4 1.5 1. senx 0.93204 0.96356 0.98545 0.99749 0.
- Dada a tabela: x 0 0.2 0.4 0.6 0. ex^1 1.22 1.49 1.82 2. calcular (^) ∫ (^0). 8
0
xexdx
pela regra do trap´ezio usando todos os pontos.
- Resolver os exerc´ıcios 17, 18, e 19 usando a regra 13 de Simpson.
- A velocidade v de um foguete lan¸cado do ch˜ao verticalmente (para cima, ´e claro) foi tabelada como se segue: t(s) 0 5 10 15 20 v(p´es/s) 0 60.6 180.1 341.6 528. Usando a regra 13 de Simpson, calcular a altura do foguete ap´os 20 segundos.
- Calcular (^) ∫ (^0). 6
0
cos xdx,
pela regra 38 de Simpson; com h = 0.1. Use a tabela do exerc´ıcio 17.
- Da f´ormula para calcular a ´area de um c´ırculo e da equa¸c˜ao da circunferˆencia unit´aria, temos
que π 4 =
∫^1
0
1 − x^2 dx.
(a) Aproxime o valor de π utilizando a regra dos n-trap´ezios para n = 1, 2 , 4 e 8. (b) Seja T (h) a aproxima¸c˜ao da integral acima calculada com o m´etodo dos n-trap´ezios referente ao espa¸camento h := 1/n. O valor exato da integral ´e o limite de T (h) com h tendendo a zero. Podemos tentar estimar esse valor calculando-se o polinˆomio de grau 3 que interpola T (h) nos pontos h = 1, h = 0. 5 , h = 0.25 e h = 0.125 e avaliando esse polinˆomio no ponto h = 0 como estimativa para a integral. Fa¸ca isso e compare o valor obtido com o valor de π fornecido pela calculadora. (c) Queremos calcular π com erro inferior a 10−^3. Temos que as duas primeiras derivadas da fun¸c˜ao f (x) =
1 − x^2 s˜ao
f ′(x) = − √ 1 x−x 2 e f ′′(x) = √ 11 −x 2 − 3 x
2 (√ 1 −x^2 )^5 /^2.
Observe que essas derivadas n˜ao est˜ao definidas no ponto x = 1 e n˜ao s˜ao limitadas no intervalo [0, 1[, de modo que n˜ao podemos utilizar a f´ormula do erro diretamente para estimar o valor de n necess´ario. Utilizando as simetrias do c´ırculo, determine uma constante positiva C tal que
∫^1 0
1 − x^2 dx = 2
√ 2 ∫^2 0
1 − x^2 dx − C
e estime o valor necess´ario de n para calcular a integral
√ 2 ∫^2 0
1 − x^2 dx pelo m´etodo dos
n-trap´ezios com erro inferior a 102 − 3.
- Considere a fun¸c˜ao f (t) = e−t^2 /^2.
(a) Calcule
∫^1
0
f (t)dt pela regra dos Trap´ezios
T 10 = 101 (0. 5 f (x 0 ) + f (x 1 ) +... + f (x 9 ) + 0. 5 f (x 10 ))
com n + 1 = 11 pontos. Estime o erro cometido ao aproximar a integral por T 10. (b) O valor de T 10 ´e maior ou menor do que o valor exato da integral? (c) Calcule a mesma integral utilizando a regra de Simpson com n + 1 = 11 pontos. (d) Determine um n´umero de pontos suficiente para que o erro de integra¸c˜ao da f´ormula de Simpson seja inferior a 10−^8.
- Seja f (x) =
∫^ x 0
ecos(y)dy.
(a) Use o m´etodo dos n-trap´ezios para calcular os valores f (1), f (2) e f (3) com erro menor do que 10−^2. (b) Determine o polinˆomio interpolador de f nos pontos x = 0, 1 , 2 , 3, com grau menor ou igual a 3, utilizando os valores calculados no item (a).
- Mostre que
∫^1
− 1
p(x)dx = p
√ 3 3
3 3
para todo polinˆomio p de grau menor ou igual a 3.
- Calcule a integral
∫^1
0
e−xdx
(a) Pelo m´etodo dos n-trap´ezios com n = 2 (T 2 ) e n = 4 (T 4 ). (b) Mostre que a integral de Simpson S 4 , com 5 pontos, satisfaz S 4 = 4T 4 − 2 T 2 e utilize os valores calculados no item (a) para determinar S 4.
Apˆendice
Polinˆomios de Legendre ω (x) = 1, [a, b] = [− 1 , 1] Pn ra´ızes pesos P 2 ± 0. 5773502691 0. 1000000000 × 101 P 3 ± 0. 7745966692 0. 5555555555
- 0000000000 0. 8888888888 P 4 ± 0. 8611363115 0. 6521451548 ± 0. 3399810435 0. 3478548451
Polinˆomios de Chebychev ω (x) = (1 − x^2 )−^1 /^2 , [a, b] = [− 1 , 1] Tn zeros pesos T 2 ± 0. 7071067811 0. 1570796326 × 101 T 3 ± 0. 8660254037 0. 1047197551 × 101
- 0000000000 0. 1047197551 × 101 T 4 ± 0. 9238795325 0. 37853981633 ± 0. 3826834323 0. 37853981633
Polinˆomios de Laguerre ω (x) = e−x, [a, b] = [0, ∞] Ln zeros pesos L 2 0. 5857864376 0. 8535534
- 3414213562 × 101 0. 1464466094 L 3 0. 4157745567 0. 7110930099
- 2294280360 × 101 0. 278517735
- 6289945082 × 101 0. 1038925650 × 10 −^1 L 4 0. 3225476896 0. 6031541043
- 1745761101 × 101 0. 3574186924
- 4536620296 × 101 0. 3888790851 × 10 −^1
- 9395070912 × 101 0. 5392947055 × 10 −^3
Polinˆomios de Hermite ω (x) = e−x^2 , [a, b] = [−∞, ∞] Hn zeros pesos H 2 ± 0. 7071067811 0. 8862269254 H 3 ± 0. 1224744871 × 101 0. 2954089751
- 0000000000 0. 1181635900 × 101 H 4 ± 0. 1650680123 × 101 0. 8131283544 × 10 −^1 ± 5246476323 0. 8049140900
