Lista de problemas 2: Física Quântica 2019.3
Função de onda, poço de potencial.
01. O que significa normalizar a função de onda? Explique em palavras.
02. Se uma exponencial real é uma função não oscilatória, porque a exponencial complexa é uma função oscilatória?
03. Um elétron está confinado em um poço de potencial finito com largura de 1,0×10−9m e altura (do potencial)
de 2,0 eV. Existe um estado ligado correspondente a n= 3 para este caso? Justifique a sua resposta.
04. Um elétron está confinado na região entre x= 0 ex=L, onde pode se mover livremente. Fora dessa região o
potencial é infinito. a) Determine a função de onda normalizada do estado fundamental para este elétron em todo
espaço. b) Qual a probabilidade de encontrar o elétron na região entre 0 e L/3, quando este está no primeiro estado
excitado? Resposta: 0,402
05. Considere um elétron aprisionado em um poço de potencial unidimensional infinito com largura de L= 300 pm.
Qual é a probabilidade para que se possa detectar o elétron no primeiro estado excitado na região entre x= 0,5Le
x= 0,75 L.Resposta: 0,25
06. para ver se funciona Considere uma partícula de massa mconfinada no intervalo −a
2<x<a
2onde o potencial
é nulo. Para x≤ −a
2ex≥ −a
2o potencial é infinito. a) Resolva a equação de Schrödinger para esse sistema e mostre
que as funções de onda resultantes são de dois tipos: as funções de onda pares, ψn(−x) = ψn(x), e as funções de
onda ímpares ψn(−x) = −ψn(x). b) Mostre que essas funções de onda são equivalentes às obtidas para o caso em
que a partícula está confinada no intervalo 0< x0< a (dica: observe que as as funções de onda do item anterior
podem seer obtidas deste último deslocando a origem, x0=x+a
2). Resposta: a) q2
Lsin nπ
Lxpara npar, e
q2
Lcos nπ
Lxpara nímpar.
Função de onda, equação de Schrödinger, valores médios.
07. Se ψ1(x, t),ψ2(x, t)eψ3(x, t)são soluções da equação de Schrödinger para um potencial V(x, t), mostre que
uma combinação linear arbitrária de ψ1(x, t),ψ2(x, t)eψ3(x, t)também é solução.
08. Uma partícula de massa mencontra-se no estado
Ψ (x, t) = Ae−a[(m x2/~)+it],
em que Aeasão constantes positivas e reais. a) Normalize Ψ (x, t).
b) Encontre a função energia potencial V(x)para a qual Ψ (x, t)é solução da equação de Schrödinger.
c) Calcule os valores médios de x,x2,pep2.
d) Calcule o desvio-padrão σxe o σp. O produto destas quantidades é compatível com o princípio de incerteza?
Resposta:a) A=2am
π~
1
4; b) V(x) = 2ma2x2;c) hxi= 0,x2=~
4am ,hpi= 0,p2=am~; d) σx=q~
4am ,
σp=√am~,σxσp=~
2(compatível com o princípio de incerteza).
9. Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por ψ(x) = A e−x2
2L2e energia
E=~2/2mL2, onde Lé um comprimento.
a) Determine a energia potencial em função de x.
b) Qual tipo de potencial clássico tem essa forma?
c) Mostre que x=Lé o ponto de retorno clássico.
d) Seja V(x) = m w2x2/2a energia potencial de um oscilador harmônico unidimensional, onde wé a frequência
angular. Compare V(x)com o resultado obtido no item a e mostre que a energia total do estado com a função de
onda ψ(x)acima pode ser escrita na forma E=~w/2.
e) Obtenha o valor médio, hxi, da posição da partícula.
Respostas: a) V(x) = ~2
2m
x2
L4; c) K=~2
2mL21−x2
L2
